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2016年中考数学模拟专题演练详解：3-3二次函数§3.3二次函数A组2015年全国中考题组一、选择题1．(2015·山东泰安，19，3分)某同学在用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c图象时，列出了下面的表格：x … －2 －1 0 1 2 …y … －11 －2 1 －2 －5 …由于粗心，他算错了一个y值，则这个错误的数值是  ()A．－11 B．－2 C．1 D．－5解析由表格知二次函数的对称轴为x＝0，且过点(0，1)，(1，－2)，∴－b2a＝0，c＝1，a＋b＋c＝－2.解得a＝－3，b＝0，c＝1.∴二次函数解析式为y＝－3x2＋1.当x＝2时，y＝－3×22＋1＝－11，故选D.答案D2．(2015·四川巴中，10，3分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，下列结论：①abc<0②2a＋b＝0③a－b＋c>0④4a－2b＋c<0其中正确的是 ()A．①② B．只有① C．③④ D．①④解析由图象可知：a>0，b>0，c<0所以abc<0；故①正确；对称轴－b2a＝－1，可得b＝2a，故②错误；当x＝－1时，a－b＋c<0，故③错误；当x＝－2时，4a－2b＋c<0，故④正确．答案D3．(2015·四川泸州，9，3分)若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为x＝－1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是()A．x<－4或x>2  B．－4≤x≤2C．x≤－4或x≥2 D．－4<x<2解析∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为x＝－1，∴二次函数的图象与x轴另一个交点为(－4，0)．∵a<0，∴抛物线开口向下，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是－4＜x＜2.答案D4．(2015·浙江宁波，11，4分)二次函数y＝a(x－4)2－4(a≠0)的图象在2<x<3这一段位于x轴的下方，在6<x<7这一段位于x轴的上方，则a的值为()A．1 B．－1 C．2 D．－2解析由题目画出图象，由图象观察，图象一定经过(2，0)和(6，0)两个点，把其中一个点的坐标代入得：a＝1，故A正确．答案A5．(2015·浙江温州，9，4分)如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH.已知∠DFE＝∠GFH＝120°，FG＝FE.设OC＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是  ()A．y＝32x2  B．y＝3x2C．y＝23x2  D．y＝33x2解析∵OC＝x，∴DE＝2x，∴△DEF的面积为33x2，菱形的面积为△DEF的2倍，∴y＝3x2，故B正确．答案B6．(2015·贵州遵义，6，3分)已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是  ()解析根据a的符号可排除A、C，(这两项a的符号相反)；B项，二次函数a<0，b>0，而一次函数a<0，b<0；故错误；D项正确．答案D二、填空题7．(2015·浙江温州，15，5分)某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27m，则能建成的饲养室总占地面积最大为________m2.解析设垂直于墙的一边为xm，则另一边为(30－3x)m2，面积为y，则y＝x(30－3x)＝－3x2＋30x，算出最大值为75m2.答案758．(2015·浙江舟山，12，4分)把二次函数y＝x2－12x化为形如y＝a(x－h)2＋k的形式：________．解析用配方法可得y＝(x－6)2－36.答案y＝(x－6)2－369．(2015·山东日照，15，3分)如图是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1，3)，与x轴的一个交点B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a＋b＝0；②abc>0；③方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；⑤当1<x<4时，有y2<y1，其中正确的是________．解析∵抛物线的顶点坐标A(1，3)，∴抛物线的对称轴为直线x＝－b2a＝1，∴2a＋b＝0，所以①正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴b＝－2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标A(1，3)，∴x＝1时，二次函数有最大值，∴方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根，所以③正确；∵抛物线与x轴的一个交点为(4，0)而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为(－2，0)，所以④错误；∵抛物线y1＝ax2＋bx＋c与直线y2＝mx＋n(m≠0)交于A(1，3)，B(4，0)，∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．答案①③⑤三、解答题10．(2015·浙江杭州，20，10分)设函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k是常数)．(1)当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；(2)根据图象，写出你发现的一条结论；(3)将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值．解(1)当k＝0时，y＝－(x－1)(x＋3)，所画函数图象如图；(2)①图象都经过点(1，0)和点(－1，4)；②图象总交x轴于点(1，0)；③k取0和2时的函数图象关于点(0，2)中心对称；④函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)]的图象都经过点(1，0)和(－1，4)；等等．(其他正确结论也行)(3)平移后的函数y3的表达式为：y3＝(x＋3)2－2，所以当x＝－3时，函数y3的最小值等于－2.11．(2015·浙江舟山，23，10分)某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系式：y＝54x（0≤x≤5），30x＋120（5<x≤15）.(1)李明第几天生产的粽子数量为420只？(2)如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元(利润＝出厂价－成本)?(3)设(2)小题中第m天利润达到最大值，若要使第(m＋1)天的利润比第m天的利润至少多48元，则第(m＋1)天每只粽子至少应提价几元？解(1)设第n天生产了420只粽子．由题意可知：30n＋120＝420，解得n＝10.答：第10天生产了420只粽子．(2)由图象得：当0≤x≤9时，p＝4.1；当9≤x≤15时，设p＝kx＋b，把点(9，4.1)，(15，4.7)代入上式，得4.1＝9k＋b，4.7＝15k＋b，解得k＝0.1，b＝3.2.∴p＝0.1x＋3.2，①0≤x≤5时，ω＝(6－4.1)×54x＝102.6x，当x＝5时，ω最大＝513(元)；②5<x≤9时，ω＝(6－4.1)×(30x＋120)＝57x＋228，∴当x＝9时，ω最大＝741(元)；③9≤x≤15时，ω＝(6－0.1x－3.2)×(30x＋120)＝－3x2＋72x＋336.∵a＝－3<0，∴当x＝－b2a＝12时，ω最大＝768(元)．综上，当x＝12时，ω有最大值，ω最大＝768元．(3)由(2)小题可知m＝12，m＋1＝13.设第13天提价a元，由题意得：ω13＝(6＋a－p)(30x＋120)＝510(a＋1.5)．∴510(a＋1.5)－768≥48，∴a≥0.1，答：第13天应至少提价0.1元．12．★(2015·山东青岛，22，10分)如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝－16x2＋bx＋c表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为172m.(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？解(1)由题意得点B的坐标为(0，4)，点C的坐标为3，172，∴4＝－16×02＋b×0＋c，172＝－16×32＋b×3＋c，解得b＝2，c＝4，∴该抛物线的函数关系式为y＝－16x2＋2x＋4.∵y＝－16x2＋2x＋4＝－16(x－6)2＋10，∴拱顶D到地面OA的距离为10m.(2)当x＝6＋4＝10时，y＝－16x2＋2x＋4＝－16×102＋2×10＋4＝223>6，∴这辆货车能安全通过．(3)当y＝8时，－16x2＋2x＋4＝8，即x2－12x＋24＝0，∴x1＋x2＝12，x1x2＝24，∴两排灯的水平距离的最小值是：|x1－x2|＝（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝122－4×24＝144－96＝43(m)．B组2014～2011年全国中考题组一、选择题1．(2013·浙江义乌，10，3分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在(0，2)、(0，3)之间(包含端点)，则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a＋b＞0；③－1≤a≤－23；④3≤n≤4中，正确的是()A．①② B．③④ C．①④ D．①③解析∵A(－1，0)在抛物线上，∴a－b＋c＝0.∵顶点坐标为(1，n)，∴b＝－2a，抛物线与x轴的另外一个交点坐标为(3，0)．∵开口方向向下，∴a＜0.∴x＞3时，y＜0，故①正确；∵b＝－2a，∴b＋2a＝0，∴b＋3a＝a＜0，②错误；∵a－b＋c＝0，b＝－2a，∴c＝－3a.∵抛物线与y轴的交点在(0，2)、(0，3)之间(包含端点)，∴2≤c≤3，∴2≤－3a≤3，∴－1≤a≤－23，③正确；∵a＋b＋c＝n，b＝－2a，∴a－c＝－n，∵c＝－3a，∴n＝－4a，∴－1≤－n4≤－23，∴83≤n≤4，④错误，故选D.答案D2．(2013·浙江杭州，10，3分)给出下列命题及函数y＝x，y＝x2和y＝1x的图象①如果1a＞a＞a2，那么0＜a＜1；②如果a2＞a＞1a，那么a＞1；③如果1a＞a2＞a，那么－1＜a＜0；④如果a2＞1a＞a时，那么a＜－1.则  ()A．正确的命题是①④ B．错误的命题是②③④C．正确的命题是①② D．错误的命题只有③解析如图分析：联立组成方程组可得：y＝1x，y＝x，解得x＝1或x＝－1，所以交点坐标为(1，1)和(－1，－1)，由图得①描述正确．②如果a2＞a＞1a，则根据图象可得a＞1或－1＜a＜0，所以②描述错误．③如果1a＞a2＞a，则根据图象没有这样的a存在，所以③描述错误．④描述正确．答案A3．(2014·浙江金华，9，3分)如图是二次函数y＝－x2＋2x＋4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是   ()A．－1≤x≤3  B．x≤－1C．x≥1  D．x≤－1或x≥3解析当y＝1时，－x2＋2x＋4＝1，解得x1＝－1，x＝3，结合二次函数的图象知y≤1成立的x的取值范围是x≤－1或x≥3，故选D.答案D4．(2014·浙江嘉兴，10，4分)当－2≤x≤1时，二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1有最大值4，则实数m的值为   ()A．－74  B.3或－3C．2或－3  D．2或－3或－74解析对于y＝－(x－m)2＋m2＋1，∵a＝－1＜0，∴抛物线的开口向下，对称轴为x＝m，顶点坐标(m，m2＋1)．当－2≤m≤1时，最大值m2＋1＝4，解得m1＝3(不合题意，舍去)，m2＝－3.当m＜－2时，可知x＝－2时有最大值，即－(－2－m)2＋m2＋1＝4，解得m＝－74(不合题意，舍去)．当m＞1时，可知x＝1时有最大值，即－(1－m)2＋m2＋1＝4，解得m＝2.综上可知，m的值为2或－3.故选C.答案C二、填空题5．(2013·浙江衢州，15，4分)某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种________棵橘子树，橘子总个数最多．解析根据题意得，y＝(600－5x)(100＋x)，化为一般形式为y＝－5x2＋100x＋60000，－b2a＝－1002×（－5）＝10，当多种10棵树时，橘子总个数最多．故填10.答案106．★(2013·山西，18，3分)如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9m，AB＝36m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为________m.解析以C为原点，过点C平行于AB的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，以1m为一个单位长度，可得A，B的坐标分别为(－18，－9)，(18，－9)，C的坐标为(0，0)，点D，E的纵坐标为－16.设抛物线的解析式为y＝ax2，把(18，－9)代入y＝ax2，得－9＝324a，解得a＝－136，∴抛物线的解析式为y＝－136x2.把y＝－16代入y＝－136x2，得－16＝－136x2，解得x＝±24，即D(－24，－16)，E(24，－16)，∴DE＝48(m)．答案487．(2014·浙江绍兴，13，5分)如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线．以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y＝－19(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是________________．解析由y＝－19(x－6)2＋4可知顶点坐标为(6，4)，又因为AB为12m，则以点B为坐标原点时，抛物线的形状、大小不变，但顶点坐标变为(－6，4)，所以抛物线的解析式为y＝－19(x＋6)2＋4.答案y＝－19(x＋6)2＋4三、解答题8．(2014·浙江宁波，23，10分)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点．(1)求二次函数的解析式；(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；(3)在同一坐标系中画出直线y＝x＋1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．解(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点，∴4a＋2b＋c＝0，c＝－1，16a＋4b＋c＝5.∴a＝12，b＝－12，c＝－1，∴二次函数的解析式为y＝12x2－12x－1.(2)当y＝0时，得12x2－12x－1＝0，∴x1＝2，x2＝－1，∴点D的坐标为(－1，0)．(3)经过D(－1，0)，C(4，5)两点的直线即为直线y＝x＋1的图象．由图象得，当－1＜x＜4时一次函数的值大于二次函数的值．9．(2014·浙江义乌，21，8分)受国内外复杂多变的经济环境影响，去年1至7月，原材料价格一路攀升，义乌市某服装厂每件衣服原材料的成本y1(元)与月份x(1≤x≤7，且x为整数)之间的函数关系如下表：月份x 1 2 3 4 5 6 7成本(元/件) 56 58 60 62 64 66 688至12月，随着经济环境的好转，原材料价格的涨势趋缓，每件原材料成本y2(元)与月份x的函数关系式为y2＝x＋62(8≤x≤12，且x为整数)．(1)请观察表格中的数据，用学过的函数相关知识求y1与x的函数关系式．(2)若去年该衣服每件的出厂价为100元，生产每件衣服的其他成本为8元，该衣服在1至7月的销售量p1(万件)与月份x满足关系式p1＝0.1x＋1.1(1≤x≤7，且x为整数)；8至12月的销售量p2(万件)与月份x满足关系式p2＝－0.1x＋3(8≤x≤12，且x为整数)，该厂去年哪个月利润最大？并求出最大利润．解(1)由表格中数据可猜测，y1是x的一次函数．设y1＝kx＋b，则k＋b＝56，2k＋b＝58，解得：k＝2，b＝54.∴y1＝2x＋54，经检验其它各点都符合该解析式，∴y1＝2x＋54(1≤x≤7，且x为整数)．(2)设去年第x月的利润为w万元．当1≤x≤7，且x为整数时，w＝p1(100－8－y1)＝(0.1x＋1.1)(92－2x－54)＝－0.2x2＋1.6x＋41.8＝－0.2(x－4)2＋45，∴当x＝4时，w最大＝45万元；当8≤x≤12，且x为整数时，w＝p2(100－8－y2)＝(－0.1x＋3)(92－x－62)＝0.1x2－6x＋90＝0.1(x－30)2，∴当x＝8时，w最大＝48.4万元．∴该厂去年8月利润最大，最大利润为48.4万元.