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2016年无锡市中考数学第一次模拟试卷含答案解析2015年江苏省无锡市东湖塘中学中考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．﹣6的相反数是（）A．﹣6 B．6 C．﹣ D．2．下列计算正确的是（）A．a2+a3=a5 B．a6÷a3=a2C．4x2﹣3x2=1 D．（﹣2x2y）3=﹣8x6y33．如图，是由6个棱长为1个单位的正方体摆放而成的，将正方体A向右平移2个单位，向后平移1个单位后，所得几何体的视图（）A．主视图改变，俯视图改变 B．主视图不变，俯视图不变C．主视图不变，俯视图改变 D．主视图改变，俯视图不变4．如图，直线AB、CD相交于点E，DF∥AB．若∠D=70°，则∠CEB等于（）A．70° B．80° C．90° D．110°5．下列说法正确的是（）A．要了解人们对"低碳生活"的了解程度，宜采用普查方式B．一组数据3、4、5、5、6、7的众数和中位数都是5C．随机事件的概率为50%，必然事件的概率为100%D．若甲组数据的方差是0.168，乙组数据的方差是0.034，则甲组数据比乙组数据稳定6．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直 B．对角线相等C．对角线互相平分 D．对角互补7．圆锥的底面半径为2，母线长为4，则它的侧面积为（）A．8π B．16π C． D．4π8．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+2b+c＞0；④c＜0；⑤b＞0．其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个9．已知点A，B分别在反比例函数y=（x＞0），y=（x＞0）的图象上且OA⊥OB，则tanB为（）A． B． C． D．10．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（）A．y=x B．y=x C．y=x D．y=x二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，计16分）11．函数：中，自变量x的取值范围是．12．分解因式：x3﹣2x2+x=．13．我市去年约有50000人参加中考，这个数据用科学记数法可表示为人．14．写出一个大于1且小于2的无理数．15．正五边形的每一个内角都等于°．16．如图，在△ABD中，∠ADB=90°，C是BD上一点，若E、F分别是AC、AB的中点，△DEF的面积为3.5，则△ABC的面积为．17．矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以AB为直径在矩形内作半圆．DE切⊙O于点E（如图），则tan∠CDF的值为．18．如图，已知⊙O的半径为2，C为直径AB延长线上一点，BC=2．过C任作一直线l．若l上总存在点P，使过P所作的⊙O的两切线互相垂直，则∠ACP的最大值等于．三、解答题（本大题共10小题，计84分．）19．计算：（1）；（2）3（x2+2）﹣3（x+1）（x﹣1）．20．（1）解方程：x2+4x﹣2=0；（2）解不等式组：．21．如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上，现将△ABC绕着格点O顺时针旋转90°．（1）画出△ABC旋转后的△A′B′C′；（2）求点C旋转过程中所经过的路径长；（3）点B′到线段A′C′的距离为．22．端午节吃粽子是中华民族的传统习惯．小祥的妈妈从超市买了一些粽子回家，用不透明袋子装着这些粽子（粽子除内部馅料不同外，其他一切相同），小祥问买了什么样的粽子，妈妈说："其中香肠馅粽子两个，剩余的都是绿豆馅粽子，若你从中任意拿出一个是香肠馅粽子的概率为"．（1）袋子中绿豆馅粽子有个；（2）小祥第一次任意拿出一个粽子（不放回），第二次再拿出一个粽子，请你用树状图或列表法，求小祥两次拿到的都是绿豆馅粽子的概率．23．某校九年级（1）班所有学生参加2010年初中毕业生升学体育测试，根据测试评分标准，将他们的成绩进行统计后分为A、B、C、D四等，并绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成），请结合图中所给信息解答下列问题：（1）九年级（1）班参加体育测试的学生有人；（2）将条形统计图补充完整；（3）在扇形统计图中，等级B部分所占的百分比是，等级C对应的圆心角的度数为；（4）若该校九年级学生共有850人参加体育测试，估计达到A级和B级的学生共有人．24．如图，某公路稽查站设立了如下测速方法：先在公路旁选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21m，∠ACD=60°，∠BCD=30°．某辆汽车从A到B用时为2s，本路段对汽车限速为40km/h，这辆汽车是否超速？说明理由．（≈1.732）25．已知点E是正方形ABCD中的CD的中点，F是边AD上一点，连接FE并延长交BC延长线于点G，AB=6．（1）求证：CG=DF；（2）连接BF，若BF＞GF，试求AF的范围．26．某服装经销商甲．库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时每套600元，每月可卖出100套，一年内刚好卖完，现在市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出价每套500元，每月可卖出120套（两种服装的市场行情互不受影响），目前有一可进B品牌服装的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装．可是，经销商甲手头无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，经与经销商乙协商，达成协议，转让价格（元/套）与转让数量（套）有如下关系：转让数量（套） 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100价格（元/套） 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350（1）猜想并求出转让价格与转让数量之间的函数关系；（2）现在经销商甲面临三种选择：方案1：不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装；方案2：全部转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装，经销B品牌服装；方案3：部分转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装，经销B品牌服装，同时也经销A品牌服装．如果你是经销商甲，为使自己在服装经销过程中获得最大利润，你选择哪一种方案？怎样选择？为什么？27．已知：A、B、C三点不在同一直线上．（1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，i）如图①，当∠A=45°，R=1时，求∠BOC的度数和BC的长；ii）如图②，当∠A为锐角时，求证：sinA=；（2）若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与A不重合）滑动，如图③，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试探索在整个滑动过程中，P、A两点间的距离是否保持不变？请说明理由．28．如图，已知抛物线y=ax2+c经过A（0，﹣1）和B（2，0），在x轴下方有一直线l，它的解析式是y=﹣2（即l上每点的纵坐标都是﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）C是抛物线上任意一点，试探求以C为圆心、OC为半径的圆与直线l的位置关系；（3）设P是抛物线上一点，以OP为边作等边三角形OPQ，Q点恰好落在直线l上，试求出所有满足条件的P点坐标．2015年江苏省无锡市东湖塘中学中考数学模拟试卷（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．﹣6的相反数是（）A．﹣6 B．6 C．﹣ D．【考点】相反数．【分析】根据相反数的概念解答即可．【解答】解：﹣6的相反数是6，故选：B．【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上"﹣"号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2．下列计算正确的是（）A．a2+a3=a5 B．a6÷a3=a2C．4x2﹣3x2=1 D．（﹣2x2y）3=﹣8x6y3【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【专题】计算题．【分析】根据合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的除法，底数不变指数相减；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．分别计算即可．【解答】解：A、a2+a3=a5不是同类项，不能合并，故A选项错误；B、a6÷a3=a3，故B选项错误；C、4x2﹣3x2=x2，故C选项错误；D、（﹣2x2y）3=﹣8x6y3，故D选项正确．故选D．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方的性质，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．3．如图，是由6个棱长为1个单位的正方体摆放而成的，将正方体A向右平移2个单位，向后平移1个单位后，所得几何体的视图（）A．主视图改变，俯视图改变 B．主视图不变，俯视图不变C．主视图不变，俯视图改变 D．主视图改变，俯视图不变【考点】简单组合体的三视图．【分析】主视图是从正面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，结合图形即可作出判断．【解答】解：根据图形可得，图①及图②的主视图一样，俯视图不一样，即主视图不变，俯视图改变．故选C．【点评】此题考查了简单组合体的三视图，掌握主视图及俯视图的观察方法是解答本题的关键，难度一般．4．如图，直线AB、CD相交于点E，DF∥AB．若∠D=70°，则∠CEB等于（）A．70° B．80° C．90° D．110°【考点】平行线的性质．【专题】压轴题．【分析】由DF∥AB，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠BED的度数，又由邻补角的定义，即可求得答案．【解答】解：∵DF∥AB，∴∠BED=∠D=70°，∵∠BED+∠BEC=180°，∴∠CEB=180°﹣70°=110°．故选D．【点评】此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，内错角相等，注意数形结合思想的应用．5．下列说法正确的是（）A．要了解人们对"低碳生活"的了解程度，宜采用普查方式B．一组数据3、4、5、5、6、7的众数和中位数都是5C．随机事件的概率为50%，必然事件的概率为100%D．若甲组数据的方差是0.168，乙组数据的方差是0.034，则甲组数据比乙组数据稳定【考点】方差；全面调查与抽样调查；中位数；众数；概率的意义．【分析】根据全面调查与抽样调查、中位数、众数、方差的定义分别对每一项是否正确进行分析即可．【解答】解：A、要了解人们对"低碳生活"的了解程度，宜采用抽查的方式，故本选项错误；B、一组数据3、4、5、5、6、7的众数和中位数都是5，故本选项正确；C、随机事件的概率大于0小于1，必然事件的概率为100%，故本选项错误；D、若甲组数据的方差是0.168，乙组数据的方差是0.034，则乙组数据比甲组数据稳定，故本选项错误；故选B．【点评】此题考查了全面调查与抽样调查、中位数、众数、方差，关键是灵活应用有关定义对每一选项进行判断．6．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直 B．对角线相等C．对角线互相平分 D．对角互补【考点】矩形的性质；菱形的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据菱形对角线垂直平分的性质及矩形对交线相等平分的性质对各个选项进行分析，从而得到最后的答案．【解答】解：A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项符合要求；B、矩形的对角线相等，而菱形的不具备这一性质；故本选项不符合要求；C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项不符合要求；D、菱形对角相等；但菱形不具备对角互补，故本选项不符合要求；故选A．【点评】此题主要考查了学生对菱形及矩形的性质的理解及运用．菱形和矩形都具有平行四边形的性质，但是菱形的特性是：对角线互相垂直、平分，四条边都相等．7．圆锥的底面半径为2，母线长为4，则它的侧面积为（）A．8π B．16π C． D．4π【考点】圆锥的计算．【专题】压轴题．【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面半径为2，底面周长=64，侧面积=×4π×4=8π，故选A．【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．8．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+2b+c＞0；④c＜0；⑤b＞0．其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】采用形数结合的方法解题．根据抛物线的开口方向，对称轴，与x、y轴的交点，x=2的函数值的符号，通过推算进行判断．【解答】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向是向下，∴a＜0；故本选项不正确；②∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不同的交点，∴△=b2﹣4ac＞0；故本选项正确；③根据图象知，当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0；故本选项正确；④∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于正半轴，∴c＞0；故本选项不正确；⑤根据对称轴在y轴的右侧，ab的符号相反，得出b＞0，故本选项正确；综上所述，正确结论共3个；故选B．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等确定．9．已知点A，B分别在反比例函数y=（x＞0），y=（x＞0）的图象上且OA⊥OB，则tanB为（）A． B． C． D．【考点】反比例函数综合题．【专题】压轴题；探究型．【分析】首先设出点A和点B的坐标分别为：（x1，）、（x2，﹣），设线段OA所在的直线的解析式为：y=k1x，线段OB所在的直线的解析式为：y=k2x，然后根据OA⊥OB，得到k1k2=o（﹣）=﹣1，然后利用正切的定义进行化简求值即可．【解答】解：法一：设点A的坐标为（x1，），点B的坐标为（x2，﹣），设线段OA所在的直线的解析式为：y=k1x，线段OB所在的直线的解析式为：y=k2x，则k1=，k2=﹣，∵OA⊥OB，∴k1k2=o（﹣）=﹣1整理得：（x1x2）2=16，∴tanB=======．法二：过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，∴∠AMO=∠BNO=90°，∴∠AOM+∠PAM=90°，∵OA⊥OB，∴∠AOM+∠BON=90°，∴∠AOM=∠BON，∴△AOM∽△OBN，∵点A，B分别在反比例函数y=（x＞0），y=（x＞0）的图象上，∴S△AOM：S△BON=1：4，∴AO：BO=1：2，∴tanB=．故选B．【点评】本题考查的是反比例函数综合题，解题的关键是设出A、B两点的坐标，然后利用互相垂直的两条直线的比例系数互为负倒数求解．10．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（）A．y=x B．y=x C．y=x D．y=x【考点】一次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，B过A作AC⊥OC于C，易知OB=3，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标即可得到该直线l的解析式．【解答】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，B过A作AC⊥OC于C，∵正方形的边长为1，∴OB=3，∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，∴两边分别是4，∴三角形ABO面积是5，∴OBoAB=5，∴AB=，∴OC=，由此可知直线l经过（，3），设直线方程为y=kx，则3=k，k=，∴直线l解析式为y=x，故选C．【点评】此题考查了面积相等问题、用待定系数法求一次函数的解析式以及正方形的性质，此题难度较大，解题的关键是作AB⊥y轴，作AC⊥x轴，根据题意即得到：直角三角形ABO，利用三角形的面积公式求出AB的长．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，计16分）11．函数：中，自变量x的取值范围是x≠﹣1．【考点】函数自变量的取值范围．【专题】计算题．【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x+1≠0，解可得答案．【解答】解：根据题意可得x+1≠0；解可得x≠﹣1；故答案为x≠﹣1．【点评】求解析法表示的函数的自变量取值范围时：当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0．12．分解因式：x3﹣2x2+x=x（x﹣1）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式x，进而利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：x3﹣2x2+x=x（x2﹣2x+1）=x（x﹣1）2．故答案为：x（x﹣1）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．13．我市去年约有50000人参加中考，这个数据用科学记数法可表示为5.0×104人．【考点】科学记数法-表示较大的数．【专题】计算题．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将50000用科学记数法表示为5.0×104．故答案为：5.0×104．【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．14．写出一个大于1且小于2的无理数．【考点】估算无理数的大小．【专题】开放型．【分析】由于所求无理数大于1且小于2，两数平方得大于2小于4，所以可选其中的任意一个数开平方即可．【解答】解：大于1且小于2的无理数是，答案不唯一．故答案为：．【点评】此题主要考查了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，"夹逼法"是估算的一般方法，也是常用方法．15．正五边形的每一个内角都等于108°．【考点】多边形内角与外角．【专题】计算题．【分析】根据多边形的外角和是360度，而正五边形的每个外角都相等，即可求得外角的度数，再根据外角与内角互补即可求得内角的度数．【解答】解：正五边形的外角是：360÷5=72°，则内角的度数是：180°﹣72°=108°．故答案为：108．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化，因而把求多边形内角的计算转化为外角的计算，可以使计算简便．16．如图，在△ABD中，∠ADB=90°，C是BD上一点，若E、F分别是AC、AB的中点，△DEF的面积为3.5，则△ABC的面积为14．【考点】相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．【专题】压轴题．【分析】根据三角形的中位线定理和直角三角形的性质，可得△DEF和△ABC的对应边的比都是1：2，从而得到两个三角形相似，再根据相似三角形的面积比是相似比的平方进行求解．【解答】解：∵∠ADB=90°，E、F分别为AC、AB的中点，∴EF=BC=EF，DF=AB=AF，DE=AC=AE．∴△DEF∽△ABC，且相似比为1：2，则S△ABC=4S△DEF=4×3.5=14．【点评】用到的知识点有：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；三条对应边的比相等的两个三角形相似；相似三角形的面积比等于相似比的平方，三角形的中位线的性质．可以直接根据三边对应成比例证明△DFE和△ABC相似，再利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求解．17．矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以AB为直径在矩形内作半圆．DE切⊙O于点E（如图），则tan∠CDF的值为．【考点】切线的性质．【专题】计算题．【分析】根据矩形的面积得∠A=∠B=∠C=90°，CD=AB=4，AD=BC=3，则可判断AD、BC与半圆相切，根据切线长定理得到DA=DE=3，BF=EF，设CF=x，则BF=EF=3﹣x，在Rt△DCF中利用勾股定理得到x2+42=（6﹣x）2，解得x=，然后根据正切的定义求解．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠B=∠C=90°，CD=AB=4，AD=BC=3，∵AB为直径，∴AD、BC与半圆相切，而DE切⊙O于点E，∴DA=DE=3，BF=EF，设CF=x，则BF=EF=3﹣x，∴DF=DE+EF=6﹣x，在Rt△DCF中，∵CF2+CD2=DF2，∴x2+42=（6﹣x）2，解得x=，∴tan∠CDF==．故答案为．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了解直角三角形．18．如图，已知⊙O的半径为2，C为直径AB延长线上一点，BC=2．过C任作一直线l．若l上总存在点P，使过P所作的⊙O的两切线互相垂直，则∠ACP的最大值等于45°．【考点】切线的性质．【分析】根据切线的性质和已知条件先证得四边形PMON是正方形，从而求得OP=2，以O为圆心，以2长为半径作大圆⊙O，然后过C点作大⊙O的切线，切点即为P点，此时∠ACP有最大值，作出图形，根据切线的性质得出OP⊥PC，根据勾股定理求得PC的长，从而证得△OPC是等腰直角三角形，即可证得∠ACP的最大值为45°．【解答】解：∵PM、PN是过P所作的⊙O的两切线且互相垂直，∴∠MON=90°，∴四边形PMON是正方形，根据勾股定理求得OP=2，∴P点在以O为圆心，以2长为半径作大圆⊙O上，以O为圆心，以2长为半径作大圆⊙O，然后过C点作大⊙O的切线，切点即为P点，此时∠ACP有最大值，如图所示，∵PC是大圆⊙O的切线，∴OP⊥PC，∵OC=4，OP=2，∴PC==2，∴OP=PC，∴∠ACP=45°，∴∠ACP的最大值等于45°，．故答案为45°．【点评】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理的应用，解题的关键是求得P点的位置．三、解答题（本大题共10小题，计84分．）19．计算：（1）；（2）3（x2+2）﹣3（x+1）（x﹣1）．【考点】整式的混合运算；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【分析】（1）先根据零指数幂，负整数指数幂，二次根式的性质分别求出每一部分的值，再代入求出即可；（2）先算乘法，再合并同类项即可．【解答】解：（1）原式=4﹣+1=3；（2）原式=3x2+6﹣3x2+3=9．【点评】本题考查了整式的混合运算和有理数的混合运算的应用，能综合运用法则进行计算和化简是解此题的关键，注意：运算顺序．20．（1）解方程：x2+4x﹣2=0；（2）解不等式组：．【考点】解一元二次方程-配方法；解一元一次不等式组．【分析】（1）求出b2﹣4ac的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可；（2）先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．【解答】解：（1）x2+4x﹣2=0，b2﹣4ac=42﹣4×1×（﹣2）=24，x=，x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；（2）∵解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x＞﹣3，∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解（1）的关键，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解（2）的关键．21．如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上，现将△ABC绕着格点O顺时针旋转90°．（1）画出△ABC旋转后的△A′B′C′；（2）求点C旋转过程中所经过的路径长；（3）点B′到线段A′C′的距离为．【考点】作图-旋转变换；弧长的计算．【分析】（1）画出△ABC旋转后的图形，即分别将A，B，C绕点O顺时针旋转90°得出即可；（2）点C所经过的路径长需判断出路径的形状为弧，求出圆心角以及半径即可；（3）利用勾股定理得出：A′C′==，再利用三角形面积公式得出即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵CO==，∴点C旋转过程中所经过的路径长为：=π．（3）由勾股定理得出：A′C′==，设点B′到线段A′C′的距离为x，则S△A′B′C′=x×A′C′=8﹣×1×2﹣×1×3﹣×1×4，解得：x=．故答案为：．【点评】此题主要考查了图形的旋转图形画法以及弧长计算公式以及三角形面积公式等知识，旋转三角形就是旋转三角形的三个顶点是解决问题的关键．22．端午节吃粽子是中华民族的传统习惯．小祥的妈妈从超市买了一些粽子回家，用不透明袋子装着这些粽子（粽子除内部馅料不同外，其他一切相同），小祥问买了什么样的粽子，妈妈说："其中香肠馅粽子两个，剩余的都是绿豆馅粽子，若你从中任意拿出一个是香肠馅粽子的概率为"．（1）袋子中绿豆馅粽子有2个；（2）小祥第一次任意拿出一个粽子（不放回），第二次再拿出一个粽子，请你用树状图或列表法，求小祥两次拿到的都是绿豆馅粽子的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）香肠馅粽子数除以它的概率即为总粽子数，减去香肠馅粽子数即为绿豆馅粽子的个数；（2）列举出所有情况，看两次拿到的都是绿豆馅粽子的情况占总情况的多少即可．【解答】解：（1）2÷﹣2=2（个）；（2）设绿豆馅的粽子分别为1，2；香肠馅的粽子分别为3，4．共有12种情况，两次拿到的都是绿豆馅粽子的有2种，所以概率是；【点评】考查了列表与树状图法球概率，部分除以相应概率=总体数目；如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．注意本题是不放回实验23．某校九年级（1）班所有学生参加2010年初中毕业生升学体育测试，根据测试评分标准，将他们的成绩进行统计后分为A、B、C、D四等，并绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成），请结合图中所给信息解答下列问题：（1）九年级（1）班参加体育测试的学生有50人；（2）将条形统计图补充完整；（3）在扇形统计图中，等级B部分所占的百分比是40%，等级C对应的圆心角的度数为72°；（4）若该校九年级学生共有850人参加体育测试，估计达到A级和B级的学生共有595人．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【专题】图表型．【分析】（1）由A等的人数和比例，根据总数=某等人数÷所占的比例计算；（2）根据"总数=某等人数÷所占的比例"计算出D等的人数，总数﹣其它等的人数=C等的人数；（3）由总数=某等人数÷所占的比例计算出B等的比例，由总比例为1计算出C等的比例，对应的圆心角=360°×比例；（4）用样本估计总体．【解答】（1）总人数=A等人数÷A等的比例=15÷30%=50人；（2）D等的人数=总人数×D等比例=50×10%=5人，C等人数=50﹣20﹣15﹣5=10人，如图：（3）B等的比例=20÷50=40%，C等的比例=1﹣40%﹣10%﹣30%=20%，C等的圆心角=360°×20%=72°；（4）估计达到A级和B级的学生数=（A等人数+B等人数）÷50×850=（15+20）÷50×850=595人．【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．24．如图，某公路稽查站设立了如下测速方法：先在公路旁选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21m，∠ACD=60°，∠BCD=30°．某辆汽车从A到B用时为2s，本路段对汽车限速为40km/h，这辆汽车是否超速？说明理由．（≈1.732）【考点】勾股定理的应用．【分析】分别在Rt△ADC和Rt△BCD中，求得AB的长，由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速．【解答】解：超速．理由：由題意得，在Rt△ADC和Rt△BCD中，∠ACD=60°，∠BCD=30°，∠CAD=∠ACB=30°，故AB=BC，在Rt△BDC中，cos30°===，则AB=BC=14≈24.2（米），∵汽车从A到B用时2秒，∴速度为24.2÷2=12.1（米/秒），∵12.1×3600=43560（米/时），∴该车速度为43.56千米/小时，∵大于40千米/小时，∴此校车在AB路段超速．【点评】此题考查了解直角三角形的应用问题．此题难度适中，解题的关键是把实际问题转化为数学问题求解，注意数形结合思想的应用．25．已知点E是正方形ABCD中的CD的中点，F是边AD上一点，连接FE并延长交BC延长线于点G，AB=6．（1）求证：CG=DF；（2）连接BF，若BF＞GF，试求AF的范围．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据中点定义可得DE=CE，根据正方形的四个角都是直角可得∠BCD=∠D=90°，然后利用"角边角"证明△DEF和△CEG全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=DF；（2）过点F作FH⊥BC于H，可得GH=2DF，设AF=x，表示出DF，再表示出GH，然后根据BF＞GF得到AF＞GH，列出方程求出x的取值范围，再根据点F在AD上可知AF＜AD，从而得解．【解答】（1）证明：∵E是CD的中点，∴DE=CE，在正方形ABCD中，∠BCD=∠D=90°，在△DEF和△CEG中，，∴△DEF≌△CEG（ASA），∴CG=DF；（2）解：过点F作FH⊥BC于H，则四边形ABHF和四边形CDFH都是矩形，∴DF=HC，AF=BH，∴GH=2DF，设AF=x，则DF=6﹣x，GH=2（6﹣x），∵BF＞GF，∴AF＞GH，∴x＞2（6﹣x），解得x＞4，又∵点F在AD上，∴x＜6，∴4＜x＜6．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，（1）熟记正方形的性质找出三角形全等的条件是解题的关键，（2）作辅助线构造出两个矩形并盘淡出AF＞GH是解题的关键．26．某服装经销商甲．库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时每套600元，每月可卖出100套，一年内刚好卖完，现在市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出价每套500元，每月可卖出120套（两种服装的市场行情互不受影响），目前有一可进B品牌服装的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装．可是，经销商甲手头无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，经与经销商乙协商，达成协议，转让价格（元/套）与转让数量（套）有如下关系：转让数量（套） 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100价格（元/套） 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350（1）猜想并求出转让价格与转让数量之间的函数关系；（2）现在经销商甲面临三种选择：方案1：不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装；方案2：全部转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装，经销B品牌服装；方案3：部分转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装，经销B品牌服装，同时也经销A品牌服装．如果你是经销商甲，为使自己在服装经销过程中获得最大利润，你选择哪一种方案？怎样选择？为什么？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）猜想转让价格与转让数量之间的函数关系为一次函数，设转让价格为x（元/套），转让数量y（套），则转让价格与转让数量之间的函数关系式为：y=kx+b，把两对对应值代入解方程组可得结果；（2）根据利润=（售价﹣成本）×销售量，由方案1：不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装，直接求解即可求得答案；由方案2：由全部转让A品牌服装，用转让得来的资金一次性购入B品牌服装后，经销B品牌服装，首先求得转让款，又分析可得可购进B品牌服装，一年内刚好卖完，根据利润的求解方法求得答案；由方案3：设转让A品牌服装x套，则转让价格是每套360﹣元，可进购B品牌服装套，列出利润与x之间的函数关系式，求其最大值，即可求得答案．【解答】解：（1）猜想转让价格与转让数量之间的函数关系为一次函数，设转让价格为x（元/套），转让数量y（套），则转让价格与转让数量之间的函数关系式为：y=kx+b，∴，解得：，∴转让价格与转让数量之间的函数关系式为：y=﹣10x+3600；（2）经销商甲的进货成本是1200×400=480000（元），选方案1，则获利1200×600﹣480000=240000（元），若选方案2，得转让款1200×240=288000（元），可购进B品牌服装288000÷200=1440（套），一年内刚好卖完，可获利1440×500﹣480000=240000（元），若选择方案3，设转让A品牌服装x套，则转让价是每套（360﹣）元可得转让资金x（360﹣）元那么可购进B品牌服装套，全部售出B品牌服装后得款500×=x（360﹣），此时，还剩A品牌服装（1200﹣x）套，全部售出A品牌服装后得款600（1200﹣x）（元）共获利：x（360﹣）+600（1200﹣x）﹣480000=﹣（x﹣600）2+330000，∴当x=600（套），可获最大利润330000元．答：选择第三种方案在一年内获得利润最大，当他转让给经销商乙的A品牌服装的数量是600套时，可获最大利润330000元．【点评】本题主要考查二次函数的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是理解题意，根据利润=（售价﹣成本）×销售量，列出函数关系式，求出最值，注意灵活运用二次函数解决实际问题．27．已知：A、B、C三点不在同一直线上．（1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，i）如图①，当∠A=45°，R=1时，求∠BOC的度数和BC的长；ii）如图②，当∠A为锐角时，求证：sinA=；（2）若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与A不重合）滑动，如图③，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试探索在整个滑动过程中，P、A两点间的距离是否保持不变？请说明理由．【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理；解直角三角形．【专题】压轴题．【分析】（1）i）根据圆周角定理得出∠BOC=2∠A=90°，再利用勾股定理得出BC的长；ii）作直径CE，则∠E=∠A，CE=2R，利用sinA=sinE=，得出即可；（2）首先证明点A、B、P、C都在⊙K上，再利用sin60°=，得出AP==（定值）．【解答】解：（1）i）∵A、B、C均在⊙O上，∴∠BOC=2∠A=2×45°=90°，∵OB=OC=1，∴BC=，注：也可延长BO或过O点作BC的垂线构造直角三角形求得BC．ii）证法一：如图②，连接EB，作直径CE，则∠E=∠A，CE=2R，∴∠EBC=90°∴sinA=sinE=，证法二：如图③．连接OB、OC，作OH⊥BC于点H，则∠A=∠BOC=∠BOH，BH=BC∴sinA=sin∠BOH===，（2）如图④，连接AP，取AP的中点K，连接BK、CK，在Rt△APC中，CK=AP=AK=PK，同理得：BK=AK=PK，∴CK=BK=AK=PK，∴点A、B、P、C都在⊙K上，∴由（1）ii）可知sin60°=∴AP==（定值），故在整个滑动过程中，P、A两点间的距离不变．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及解直角三角形和四点共圆等知识，根据已知得出点A、B、P、C都在⊙K上以及sin60°=是解题关键．28．如图，已知抛物线y=ax2+c经过A（0，﹣1）和B（2，0），在x轴下方有一直线l，它的解析式是y=﹣2（即l上每点的纵坐标都是﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）C是抛物线上任意一点，试探求以C为圆心、OC为半径的圆与直线l的位置关系；（3）设P是抛物线上一点，以OP为边作等边三角形OPQ，Q点恰好落在直线l上，试求出所有满足条件的P点坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）将点A、B的坐标代入解析式，求出a、c的值即可得出解析式；（2）分别求出圆的半径和抛物线上的点到y=﹣2的长度，继而可判断圆与直线l的位置关系；（3）根据（2）求出的结果可得，抛物线上任意一点P与它到直线y=﹣2的距离都相等，因此只要在直线y=﹣2上找到一点Q使∠OQA=30°，就能作出等边三角形OPQ，据此找出满足条件的坐标．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线y=ax2+c得，，则抛物线的解析式为：y=x2﹣1；（2）设点C坐标为（x，y），则OC===x2+1，∵点C到直线l的距离为：x2﹣1+2=x2+1=OC，∴圆的半径=点C到直线l的距离，∴圆C与直线l相切；（3）由（2）得，抛物线上任意一点P与它到直线y=﹣2的距离都相等，∴当∠PQO=60°时，△OPQ为等边三角形，即当∠OQA=30°时，△OPQ为等边三角形，∵OB=2，∠OQB=30°，∴BQ=2，点Q坐标为（2，﹣2），同理可得，当点P在第二象限，点Q在第三象限时，此种情况仍然成立，此时点Q坐标为（﹣2，﹣2），综上所述，满足条件的P点坐标为（2，﹣2），（﹣2，﹣2）．【点评】本题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求函数解析式、圆与直线的位置关系、等边三角形的性质等知识点，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，进而解决问题．