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2016年北京中考数学复习《相似》《解直角三角形》建议讲义及练习北京市西城区重点示范中学2016年3月九年级数学中考复习《相似》、《解直角三角形》复习建议及练习一、2016年北京考试说明（一）图形的性质1.相似三角形：A.了解相似三角形的性质定理与判定定理；B.能利用相似三角形的性质定理与判定定理解决有关简单问题。2.锐角三角函数及解直角三角形A.理解锐角三角函数(sinA，cosA．tanA)的概念；知道30°、45°、60°角的三角函数值，理解（2015年是"了解"）解直角三角形的概念；B.能利用锐角三角函数的有关知识解直角三角形，能利用锐角三角函数的有关知识解决一些（2015年是"某些"）简单的实际问题；C．运用直角三角形的有关内容解决有关问题。（二）图形的变化3.图形的相似：A.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；了解黄金分割；认识图形的相似；了解相似多边形和相似比；了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小；B.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（2015年新增）；会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。（三）图形与坐标4.坐标与图形运动：A.在平面直角坐标系中，知道已知顶点坐标的多边形经过位似（位似中心为原点）后的对应顶点坐标之间的关系；了解将多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点，有一条边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形位似；B.在平面直角坐标系中，能写出已知顶点的多边形经过位似（位似中心为原点）后的图形的顶点坐标；C.运用坐标与图形运动的有关内容解决有关问题。二、复习建议1．按照考试说明的要求进行全面复习，重点知识重点复习、知识系统复习全面、非重点的A级知识点适当安排、不漏过、不随意拔高难度；2．B级的知识要落实到位；C级知识要达到灵活运用；3．注重方程思想在相似、解直角三角形中的使用；4．教会学生观察复杂的几何图形，善于分解出基本图形，熟练的应用几何中定义、定理、公式来解题；5.逆向思维是寻求几何证明思路的有效途径之一；6.去模式化，重知识，重思想；7.重视学生思路的收集，关注学生的学习过程，给予有效的学习方法指导。8.课时安排：相似约2课时解直角三角形约2课时三、具体内容相似三角形的性质与判定落实一：能利用相似三角形的性质定理与判定定理解决有关简单问题落实二：掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例落实三：会利用图形的相似解决一些简单的实际问题落实四：能利用位似变换将一个图形放大或缩小，并能写出以位似中心为原点的位似变化前后点的坐标变化例1. 如图，在平行四边形中，点在上，连接并延长与的延长线交于点，若，则的值是________.例2. 如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（DE>CE），连接AE，并过点E作AE的垂线交BC于点F,若AB=9,BF=7,求DE长.例3.如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，则旗杆的高度为米．例4.如图，点A的坐标为（3，2），点B的坐标为（3，0）．作如下操作：①以点A为旋转中心，将△ABO顺时针方向旋转90°，得到△AB1O1；②以点O为位似中心，将△ABO放大，得到△A2B2O，使相似比为1∶2，且点A2在第三象限．（1）在图中画出△AB1O1和△A2B2O；（2）请直接写出点A2的坐标：__________．例5.（ZFX/P70例4）已知：如图，在正方形ABCD中，AD=12,点E是边CD上的动点（点E不与端点C、D重合），AE的垂直平分线FP分别交AD、AE、BC于点F、H、G，交AB的延长线于点P.（1）设DE=m(0＜m＜12)，试用含m的代数式表示的值；（2）在（1）的条件下，当时，求BP的长.例6.含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°.将其绕直角顶点C顺时针旋转角（0o90o），得到Rt△，边与AB所在直线交于点D，过点D作DE∥交边于点E，连接BE.求证：∠CBE=30°.练习：1. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=2. 如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为3. 某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB的长为20m，C为AB的一个黄金分割点（AC<BC），则AC的长为_______.（结果精确到0.1m）4. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为．5.（ZFX/P69例2）已知：如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD与点P，Q.（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1的除外）；（2）求BP:PQ:QR的值.6.（ZFX/P69例3）已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3cm,BC=7cm,∠B=60°,P为下底BC上一点（不与B、C重合）.连接AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE=∠B(1) 你认为图中哪两个三角形相似，为什么？(2) 当点P在底边BC上自点B向C移动过程中，是否存在一点P，使得DE:EC=5:3，如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由.7.在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．（1）求证：△DEC∽△FDC；（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）（1）若△CEF与△ABC相似．①当AC=BC=2时，AD的长为；②当AC=3，BC=4时，AD的长为；（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．9.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，1），C（﹣5，2）．（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．（2）将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2．（3）求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比，即：=（不写解答过程，直接写出结果）．相似的综合应用1.在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图像过点．（1）求反比例函数的表达式；（2）@co过点的直线与反比例函数图像的另一个交点为，与轴交于点，若，求点的坐标．2.在矩形ABCD中，边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处（如图1）．图1图2（1）如图2，设折痕与边BC交于点O，连接,OP、OA．已知△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；（2）动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN、PB，交于点F，过点M作ME⊥BP于点E．①在图1中画出图形；②在△OCP与△PDA的面积比为1：4不变的情况下，试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？请你说明理由．3.如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒.（1）当t=秒时，则OP=，S△ABP=；（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQ·BP=3.为了证明AQ·BP=3，小华同学尝试过O点作OE∥AP交BP于点E。试利用小华同学给我们的启发补全图形并证明AQ·BP=3．4.已知：如图，为⊙O的直径，为AB上一点，过作弦，在上取一点，分别作直线，交直线于点，分别连结OE，CO，CM.(1)若G为OA的中点.①∠COA=°，∠FDM=°；②.(2)如图，若为半径上任意一点(不与点O、B重合)，过作弦，点在上，仍作直线，分别交直线于点，分别连结OE，CO，CM.①依题意补全图形；②此时仍有FD·OM=DM·CO成立.请写出证明FD·OM=DM·CO的思路.（不写出证明过程）5．已知：△ABC，△DEF都是等边三角形，M是BC与EF的中点，连接AD，BE.（1）如图1，当EF与BC在同一条直线上时，直接写出AD与BE的数量关系和位置关系；（2）△ABC固定不动，将图1中的△DEF绕点M顺时针旋转（≤≤）角，如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；解直角三角形落实一：锐角三角函数的定义例1：（1）.在Rt△ABC中，，，那么的值为________.（2）在Rt△中，∠C=90°，BC=1，那么AB的长为________.（3）在△ABC中，∠C=90°，cosA=，求sinA、tanA的值.（4）如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点.若BC=8，，则AB的长为().A．B． C．D．12（5）已知：如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形的顶点上，求tan∠ADC的值.（6）（ZFXP74例(5)）如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则sinα的值为_________.落实二：特殊角的三角函数值例2：（1）.如果是锐角，且sinA=，那么__________゜（2）计算：1.2.2sin260°·tan45°+cos30°·tan30°3.4.5.落实三：解直角三角形，能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形例3：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，求AB的长.例4：如图，在四边形ABCD中，∠C=120?，∠B=75?，CD=4，BC=，cosA=.求AD的长.例5：如图，在四边形中，对角线交于点，．求的长和四边形的面积．例6：（ZFX/P75例5）在⊿ABC中，∠A=30°，BC=3，AB=，求∠BCA的度数和AC的长。练习：1.如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（）A．OM的长 B．2OM的长 C．CD的长 D．2CD的长2.如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个项点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（） A． B． C． D．3.把两块含有300的相同的直角尺按如图所示摆放，使点C、B、E在同一条直线上，连结CD，若AC=6cm，则ΔBCD的面积是__。4．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA=，BE=4，则tan∠DBE的值是．5．如图，矩形ABCD的边AB上有一点P，且AD=，BP=，以点P为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段DC，线段BC于点E，F，连接EF，则tan∠PEF=．6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上．若DB=6，AD=CD，sin∠CBD=，求AD的长和tanA的值．7.（ZFX/P75例3）如图，在△ABC中，∠C=90?，∠A=30?，E为AB上一点，且AE：EB=4:1，EF⊥AC于点F，连接FB.求tan∠CFB的值.8.（ZFX/P75例4）（1）如图，在△ABC中，∠ACB=105°，∠A=30°，AC=8，求AB和BC的长？（2）在△ABC中，∠ABC=135°，∠A=30°，AC=8，求AB和BC的长？（3）在△ABC中，AC=17，AB=26，锐角A满足sinA=，求BC的长及△ABC的面积？若AC=3，其他条件不变呢？解直角三角形的实际应用落实一：能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题落实二：会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题落实三：能综合运用直角三角形的性质解决有关的问题例1：如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度．他们采取的方法是：先在地面上的点A处测得杆顶端点P的仰角是45°，再向前走到B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，这时只需要测出AB的长度就能通过计算求出电线杆PQ的高度.你同意他们的测量方案吗？若同意，画出计算时的图形，简要写出计算的思路，不用求出具体值；若不同意，提出你的测量方案，并简要写出计算思路.例2：如图，某小区在规划改造期间，欲拆除小区广场边的一根电线杆AB，已知距电线杆AB水平距离14米处是观景台，即BD＝14米，该观景台的坡面CD的坡角∠CDF的正切值为2，观景台的高CF为2米，在坡顶C处测得电线杆顶端A的仰角为30°，D、E之间是宽2米的人行道，如果以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域．请你通过计算说明在拆除电线杆AB时，人行道是否在危险区域内？()例3：在一次数学实践活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点处观测到河对岸水边有一点，测得在北偏西的方向上，沿河岸向北前行米到达处，测得在北偏西的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽度．（参考数值：）例4：如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．练习：1、两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部（1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）（2）设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN=2（+1）km，在M处测得点C位于点M的北偏东60°方向，在N处测得点C位于点N的北偏西45°方向，求点C到公路ME的距离．2、如图：我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A点观测到我渔船C在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业．若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B点，观测到我渔船C在东北方向上．问：渔政310船再按原航向航行多长时间，离渔船C的距离最近？（渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值．）3、如图，为了测量某电线杆（底部可到达）的高度，准备了如下的测量工具：①平面镜；②皮尺；③长为2米的标杆；④高为1.5m的测角仪（测量仰角、俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：（1）画出你的测量方案示意图，并根据你的测量方案写出你所选用的测量工具；（2）结合你的示意图，写出求电线杆高度的思路．4、如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PH丄HC．（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于度；（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．5、如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈2.45）