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2016年中考复习数学真题汇编详解版：与圆有关的位置关系一、选择题1.（2015四川省自贡市，13，4分）如图，已知AB是⊙O的－条直径，延长AB至C点，使AC＝3BC，CD与⊙O相切于D点，若CD＝，则劣弧AD的长为_____．【答案】2.（2015重庆B卷，9，4分）如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O与点D，连接OD，若∠BAC=55°，则∠COD的大小为A．70°B．60°C．55°D．35°【答案】A【解析】解：因为AC是⊙O的切线，所以∠ACB＝90°.因为∠BAC=55°，所以∠B＝35°,所以∠COD＝70°.故选A.3.（2015四川省遂宁市，7，4分）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB＝6cm，OC⊥AB于点C，则OC＝()．A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm【答案】B．【解析】解：显然利用垂径定理．连结OA，∵AB＝6，AC＝AB＝3cm，又⊙O的半径为5cm，所以OA＝5cm，在Rt△AOC中，OC＝(cm)．答案：B．4.(2015广东省广州市，3，3分)已知⊙O的半径是5，直线是⊙O的切线，在点O到直线的距离是()A．2．5B．3C．5D．10【答案】C【解析】如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么直线l和⊙O相切?d＝r；所以点O到直线的距离等于半径．5.（2015四川省达州市，10，3分）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，连接OD、OC，下列结论：①∠DOC＝90°，②AD＋BC＝CD，③＝，④＝，⑤＝，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】连接OE．∵AD、BC、CD分别与⊙O切于A、B、E，∴OA⊥AD，OB⊥BC，OE⊥CD，DA＝DE，CE＝CB，∠ADO＝∠EDO，∠ECO＝∠BCO，∴∠OAD＝∠OED＝∠OEC＝∠OBC＝90°，∴∠AOD＝∠EOD，∠BOC＝∠EOC，①∵∠AOD＋∠EOD＋∠BOC＋∠EOC＝180°，∴∠DOC＝∠EOD＋∠EOC＝90°，∴①正确；②∵DA＝DE，CE＝CB，∴AD＋BC＝DE＋CE＝CD，∴②正确；③∵∠AOD＋∠BOC＝90°，∠AOD＋∠ADO＝90°，∴∠BOC＝∠ADO，∵∠OAD＝∠OBC＝90°，∴△OAD∽△COB，∴，∴③正确；④∵△OAD∽△COB，∴，∵OB≠EC，∴④不正确；⑤∵∠DOC＝∠OED＝90°，∴∠EOD＋∠EDO＝90°，∠CDO＋∠DCO＝90°，∴∠EOD＝∠DCO，∴△OED∽△COD，∴，即DE·CD＝OD·OE＝OD2，∴⑤正确；综上，正确的有①、②、③、⑤，故选C．6.（2015江苏省南京市，6，2分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，则DM的长为A．B．C．D．【答案】A【解析】由勾股定理得：设GM=x，解得，，所以DM=．7.（2015浙江嘉兴，7，4分）如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（）A.2.3B.2.4C.2.5D.2.6【答案】B8.（2015四川南充，8，3分）如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB的大小是（）（A）60°（B）65°（C）70°（D）75°第8题图【答案】C【解析】连接OB。因为PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，所以，根据四边形内角和为且得，故。故选C9.（2015浙江省衢州市，10，3分）如图已知等腰△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的圆O的切线交BC于点E，若CD=5，CE=4，则圆O的半径是（）A．3B.4C.D.【答案】D【解析】解：连接OD,DB10.（2015浙江省温州市，10，4分）如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG.DE，FG，,的中点分别是M，N，P，Q，若MP+NQ=14，AC+BC=18，则AB的长为（）A.B.C.13D.16【答案】C11.（2015贵州遵义，12，3分）将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，，则四边形AB1ED的内切圆半径为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：由题意可得：四边形AB1ED是轴对称图形，其中对称轴是直线AE，则∠EAB1=∠DAB1=30°；在Rt△AB1E中，∠B1=90°，∠EAB1=30°，AB1=，可得：EB1=1；∴四边形AB1ED的面积==2×××1=，四边形AB1ED的周长=2（AB1+EB1）=2（+1），∴该四边形的内切圆半径r=，故选B．12.（2014江苏省苏州市，9，3分）如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A=30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由AB为⊙O的切线，∠A=30°，得∠D=∠OCD=30°，则∠COD=120°，因为⊙O的半径为2，故点O到CD的距离为，所以扇形OCD的面积为，△COD的面积为，所以阴影部分的面积为.二、填空题1.14.（2015年四川省宜宾市，14，3分）如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD=OB，DC切⊙O于点C，点B是的中点，弦CF交AB于点E，若⊙O的半径为2，则CF=。【答案】【解析】连结OC、BC∵DC切⊙O于点C，∴∠OCD=90°，∵BD=OB，⊙O的半径为2，∴BC=BD=OB=OC=2即△BOC是等边三角形，∴∠BOC=60°，∵AB为⊙O的直径，点B是的中点，∴CE=EF，AB⊥CF即△OEC为直角三角形，∵在Rt△OEC中，OC=2，∠BOC=60°，∠OEC=90°，∴CF=2CE=2OC·sin∠BOC=2.（2015浙江嘉兴，16，5分）如图，在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以AP为半径的⊙P周长为1，点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交x轴于点N(n,0)，设点M转过的路程为m(0<m<1).(1)当时，n=________；（2）随着点M的转动，当m从变化到时，点N相应移动的路径长为_____________【答案】-1;3.（2015山东济南，18，3分）如图，PA是O的切线，A是切点，PA=4，OP=5，则O的周长为.（结果保留π）.【答案】6π【解析】连接AO，因为AP是切线，所以AP垂直于AO根据勾股定理AO2=OP2－AP2AO=3，○O的周长为6π,故答案为6π三、解答题1.（2015福建省福州市，23，10分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，tanB=.半径为2的⊙C，分别交AC、BC于点D、E，得到.(1)求证：AB为⊙C的切线；(2)求图中阴影部分的面积.【答案】解：(1)如图所示，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ABC中，tanB，∴BC=2AC=，∴，∴.∴AB为⊙C的切线.(2).2.（2015四川省遂宁市，24，10分）如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N．(1)求证：∠ADC＝∠ABD；(2)求证：AD2＝AM·AB；(3)若AM＝，sin∠ABD＝，求线段BN的长．【答案】(3)．【解析】(1)证明：连接OD．因为CD是⊙O的切线，所以∠ADC＋∠ADO＝90°，又因为AB是直径，所以∠ADB＝90°，所以∠ADO＋∠ODB＝90°，所以∠ADC＝∠ODB，又因为OD＝OB，所以∠ODB＝∠ABD，所以∠ADC＝∠ABD；(2)由(1)可得∠ADC＝∠ABD，∠ADB＝90°，又因为AM⊥MN，所以∠AMN＝∠ADB＝90°，所以△ADM∽△ABD，所以，得AD2＝AM·AB；(3)∵sin∠ABD＝，所以AD∶DB∶AB＝3∶4∶5，又因为△ADM∽△ABD，所以AM∶MD∶AD＝3∶4∶5，所以，得AD＝6，由，所以BD＝8，由(2)同理可得△DBN∽△ABD，所以DN∶BN∶BD＝3∶4∶5，1所以，所以BN＝．3.（2015四川省巴中市，30，10分）如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连接CE，AE，CD，若∠AEC=∠ODC．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）若AB=5，BC=4，求线段CD的长．【答案】解：（1）证明：如图，连接CO，∵圆周角∠AEC与∠ABC所对弧相同，∴∠ABC=∠AEC．又∠AEC=∠ODC，∴∠ABC=∠ODC．∵OC=OB，OD⊥BC，∴∠OCB=∠OBC，且∠OCB＋∠COD=90°．∴∠ODC＋∠COD=90°．∴∠OCD=180°－∠ODC－∠COD=90°，即OC⊥CD．又OC为半径，∴直线CD为⊙O的切线．（2）在⊙O中，OD⊥弦BC于点F，∴BC=CF=BC=2．又OB=AB=，∴OF=．由（1）知∠OBF=∠CDF，且∠OFB=∠CFD，∴△OFB∽△CFD．∴，∴．4.（2015浙江省丽水市，21，8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明：连结OD．∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∴∠ODB＝∠ACB．∴OD∥AC．∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD．∴DF⊥AC．（2）连结OE．∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°．∴∠BAC＝45°．∵OA＝OE，∴∠AOE＝90°．∴⊙O的半径为4，∴S扇形AOE＝，S△AOE＝8．∴S阴影＝S扇形AOE－S△AOE＝－85.（2015年四川省宜宾市，23，10分）如图，CE是⊙O的直径，BD切⊙O于点D，DE∥BO，CE的延长线交BD于点A。（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AE=2，tan∠DEO=，求AO的长。【答案】（2）AO的长为3【解析】解：（1）如图，连结DO∵BD切⊙O于点D，∴∠BDO=90°，∵DE∥BO，∴∠BOC=∠DEO，∠EDO=∠BOD∵OD=OC，∴∠DEO=∠EDO，∴∠BOC=∠BOD，在Rt△BDO和Rt△BCO中，OD=OC，∠BOC=∠BOD，BO=BO，∴Rt△BDO≌Rt△BCO∴∠BCO=∠BDO=90°∴直线BC是⊙O的切线（2）如图，连结CD，设⊙O的半径为r∵CE是⊙O的直径，∴∠CDE=90°∵DE∥BO，∴∠BOC=∠DEO即tan∠BOC=tan∠DEO=∵OC=OE=r，∴BC=r，则BO=r∵tan∠DEO=，∴DC=DE，在Rt△CDE中，由勾股定理得：即：∴∵DE∥BO，∴△ADE∽△ABO，∴即解得：r=1∴AO=AE+OE=2+1=3答：AO的长为36.（2015四川泸州）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F。21世纪教育网版权所有（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）若AE=6，CD=5，求OF的长。【答案】证明：（1）∵AE为⊙O的切线∴∠EAC=∠B∵AB=AC∴∠B=∠ACB∴∠EAC=∠ACB∴AE∥BC∵AB∥CD∴四边形ABCE是平行四边形（2）连接OA，交BC于点G,则OA⊥AE∵BC∥AE∴OG⊥BC∴CG=∵⊙O的切线∴∵AE=6，CD=5∴CE=4∴AC=4在Rt△GAC中∴AG=在Rt△OCG中∴OG=∵AB∥CD∴∴BF=2，CF=4∴GF=1∴OG=7.（2015浙江省湖州市，8，分）(本小题8分)如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连结DE．(1)若AD＝DB，OC＝5，求切线AC的长；(2)求证：ED是⊙O的切线．【答案】【解析】(1)解连结CD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB，∵AD＝DB，∴AC＝BC＝2OC＝10．(2)证明连结OD．∵∠ADC＝90°，E为AC的中点，∴DE＝EC＝，∴∠1＝∠2，∵OD＝OC，∴∠3＝∠4，∵AC切⊙O于点C，∴AC⊥OC，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．8.（2015四川省凉山州市，27，8分）如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O于D、C两点.（1）求证：PA·PB=PD·PC；（2）若PA=，AB=，PD=DC+2，求点O到PC的距离.【答案】（1）略；（2）3.【解析】（1）证：如图-1，连接AC，BD，∵∠PBD=∠PCA，∠P=∠P，∴△PBD∽△PCA，∴，∴PA·PB=PD·PC；（2）解：∵PA·PB=PD·PC，∴PD·PC=，又PD=DC+2，则PC=2DC+2，∴(DC+2)×(2DC+2)=180，∴DC=8或DC=﹣11（舍去），如图-2，过O作OM⊥CD于M，则CM=CD=4，CO=5，∴OM=，∴点O到PC的距离为3.9.(2015广东省广州市，24，14分)(本小题满分14分)如图10，四边形OMTN中，OM＝ON，TM＝TN，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．(1)试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论；(2)在筝形ABCD中，已知AB＝AD＝5，BC＝CD，BC＞AB，BD，AC为对角线，BD＝8．①是否存在一个圆使得A，B，C，D四个点都在这个圆上？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由；②过点B作BF⊥CD，垂足为F，BF交AC于点E，连接DE．当四边形ABED为菱形时，求点F到AB的距离．【答案】解：(1)猜想：筝形对角线之间的位置关系：垂直．即OT⊥MN证明：连接OT，MN在△OMT和△ONT中，∴△OMT≌△ONT(SSS)∴∠MOT＝∠NOT∵OM＝ON∴OT⊥MN(等腰三角形三线合一)(2)①存在由(1)得AC⊥BD设AC与BD交于点M．在Rt△AMB中，AB＝5，BM＝BD＝4．AM＝＝3∵A、B、C、D四点共圆∴∠ABC＋∠ADC＝180°又∵△ABC≌△ADC∴∠ABC＝ADC＝90°∴AC即为所求圆的直径．∵∠BAM＝∠BAC，∠ABC＝∠AMB＝90°∴△ABM∽△ACB∴＝，即＝∴AC＝∴圆的半径为：AC＝②四边形ABED是菱形，∴AB＝AD＝BE＝DE＝DE＝5∴BM＝MD＝4，AM＝ME＝3BD⊥AE，∠BME＝90°又BF⊥CD，∠BFD＝90°∴△BME∽△BFD∴＝，即＝∴DF＝在Rt△DEF中，EF2＝DE2－DF2即EF2＝52－∴EF＝，BF＝∵AB∥DE，∴∠ABF＝∠DEF作FG⊥AB，交AB于点G∴∠BGF＝∠EFD＝90°∴△BGF∽△EFD∴＝，∴＝∴FG＝∴F到AB的距离为．【解析】(1)首先要熟记题目的定义，其次是要猜想对角线是什么关系，之后去证明这个关系．对角线连接起来，就可以看出是中垂线的关系．(2)①问是否存在，一般是假如存在，然后把它当成已知条件，去求解，有无矛盾，求出即为结果．既是中垂线，那么久要想到垂径定理，所以这个中垂线即为直角所在直线，证明是直径即可．②要求边长，在本题中用相似三角形的对应边成比例去计算比较合适，辅助的是计算相关的线段长度．10.（2015四川省达州市，24，9分）在△ABC的外接圆⊙O中，△ABC的外角平分线CD交⊙O于点D，F为上一点，且，连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E．（1）判断BD与DA的数量关系，并说明理由；（2）求证：△BCD≌△AFD；（3）若∠ACM＝120°，⊙O的半径为5，DC＝6，求DE的长．【答案】【解析】解：（1）DB＝DA．理由如下：∵CD是△ABC的外角平分线，∴∠ACD＝∠DCM，∵∠DAB＋∠DCB＝180°，∠DCM＋∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠DCM，∵∠ACD＝∠DBA，∴∠DAB＝∠DBA，∴DB＝DA．（2）连接BF，∵，∴AF＝BC，∠ABF＝∠BAC，∵∠DAB＝∠DBA，∴∠DAB－∠BAC＝∠DBA－∠ABF，即∠DBF＝∠DAC，∵∠DBF＝∠DAF，∠DAC＝∠DBC，∴∠DAF＝∠DBC，在△BCD和△AFD中，∴△BCD≌△AFD．（3）∵∠ACM＝120°，∴∠ACB＝60°，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∵DB＝DA，∴△ABD是等边三角形，∠DAB＝∠DBA＝60°，∵∠DBA＋∠DFA＝180°，∠DAB＋∠DAE＝180°，∴∠DFA＝∠DAE，∵∠ADE＝∠FDA，∴△DAF∽△DEA，∴，即DA2＝DE·DF，作OG⊥AD，连接OA，∴∠GOA＝∠ABD＝60°，DG＝AG，在Rt△AGO中，OA＝5，∴，∴，∵△BCD≌△AFD，∴DF＝DC＝6，∴，∴．11.（2015山东省聊城市，24，10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E。（1）求证：AB=BE；（2）若PA=2，，cosB=，求⊙O半径的长。【解析】（1）证明：如图，连接OD，∵PD切⊙O于点D，∴∠PDO=90°即∠PDA+∠ADO=90°，∵BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，∴∠E+∠EDC=90°，∵∠PDA=∠EDC，∴∠ADO=∠E，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠E，∴AB=BE（2）设⊙O半径的半径为r∵OD⊥PC，BE⊥PC，∴OD∥BE，∴∠POD=∠B，∵在Rt△PDO中，PO=PA+AO=2+r，cos∠POD=cos∠B=∴，解得：r=3，答：⊙O半径的长为312.（2015湖南省长沙市，24，9分）如图，在直角坐标系中，经过原点，点与点，点在劣弧上，连接交轴于点，且．（1）求的半径；（2）求证：平分；（3）在线段的延长线上找一点，使得直线恰为的切线，求此时点的坐标．(第24题图)【答案】（1）（2）略（3）【解析】解：（1）在中，由勾股定理得，∴半径；（2）（同弧所对圆周角相等）∴平分；（3）∵，∴，∵平分，∴∴在中，，∴．13.（2015江苏省南京市，26，8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB．（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD．求证：△ABE是等边三角形．【答案】【解析】解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形∴∠A+∠BCD=180°∵∠DCE+∠BCD=180°,∴∠A=∠DCE∵DC=DE∴∠DCE=∠AEB∴∠A=∠AEB（2）∵∠A=∠AEB∴△ABE是等腰三角形。∵OE⊥CD∴CF=DF∴OE是CD的垂直平分线∴ED=EC又DC=DE∴DC=DE=EC∴△DCE是等边三角形∴∠AEB=60°∴△AEB是等边三角形14.（2015山东临沂，23，9分）如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD。（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留∏）【答案】【解析】（1）证明：因为BC为切线，所以OD⊥BC，所以∠C=90°，所以OD//AC，所以∠CAD=∠ADO，所以OA=OD，所以∠ADO=∠OAD，所以∠CAD=∠OAD，所以AD平分∠BAC（2）因为AO=OE，所以∠OAE=∠AEO=60°,所以∠AOE=60°,所以△AOE为等边三角形，所以AF⊥EO,EF=OF，因为AC//OD，所以△AEF的面积等于△ODF的面积，所以阴影部分的面积=扇形DOE的面积==故答案为15.(2015贵州省安顺市,25,12分）如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E.（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）求cos∠E的值.证明：连接OD、CD。∵BC是直径，∴CD⊥AB∵AB=BC∴D是的AB中点。又O为CB的中点，∴OD∥AC∴EF是⊙O的切线（2）解：连BG。∵BC是直径，∴∠BGC＝90°在Rt△ACD中，DC===8∵AB·CD=2S△ABC=AC·BG∴BG===∵BG⊥AC，EF⊥AC∴BG∥EF∴∠E＝∠CBG∴cos∠E=cos∠CBG=。16.（2015上海市，25，14分）已知：如图7，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQ=OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F（点F与点C、D不重合），AB=20，设OP=x,△CPF的面积为y.(1)求证：AP=OQ;(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长.【答案】(1)证明略；(2)y关于x的函数解析式((3)线段OP的长为8；【解析】解：（1）连接OD∵AO=OD，∠AOC=∠C=∠ODQOP=DQ∴△AOP≌△ODQ∴AP=OQ（2）作PH⊥OA∴OH=∴POE又△PFC∽△PAO∴即((3)当∠POE=时，CQ=OP=DQ=CD-CQ=当∠OPE=时，OP=AO∠COA=8当∠OEP=时，∠AOQ=∠DQO=∠APO∴∠AOC=∠AEO，即∠OEP=∠COA，即此种情况不存在。∴线段OP的长为817.（2015江苏泰州，24，10分）（本题满分10分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F.（1）试说明DF是⊙O的切线；（2）若AC=3AE，求tanC.解：（1）连接OD，则OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∵DF经过半径OD的外端，∴DF是⊙O的切线；（2）连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠E=90°，设AE=k，则AB=AC=3k，∴BE===，∴tanC=．【易错点津】此类问题容易出错的地方是不知如何证明一条直线是圆的切线、不知在哪个直角三角形中求∠C的正切．【方法规律】（1）证明圆的切线的问题，若已知半径，需要证明垂直；若已知垂直，需要证明半径；（2）要求一个锐角的三角函数值，则需将这个锐角放到一个直角三角形利用边角关系去求，或者换成另一个与它相等的容易求三角函数角．【试题难度】★★★【关键词】切线的判定；圆周角定理的推论；勾股定理；正切的定义18.（2015天津市，21，10分）已知A,B,C是⊙O上的三个点，四边形OABC是平行四边形，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D.（1）如图①，求∠ADC的大小；（2）如图②，经过点O作CD的平行线，与AB交于点E，与交于点F，连接AF,求∠FAB的大小.【答案】（1）∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=900，∵平行四边形OABC,∴OC∥AD,∴∠ADC=1800-900=900；（2）连接OB,由圆的性质知OA=OB=OC,∵平行四边形OABC,∴OC=AB,∴OA=OB=AB,∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=600，由垂径定理，得=,∴∠FAB=150.19.（2015内蒙古呼和浩特，24，9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，P是⊙O外的一点，AM是⊙O的直径，∠PAC=∠ABC(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)连接PB与AC交于点D，与⊙O交于点E，F为BD上的一点，若M为BC⌒的中点，且∠DCF=∠P，求证：==.证明：(1)连接CM.∵∠PAC=∠ABC,∠M=∠ABC，∴∠PAC=∠M.∵AM为直径，∴∠ACM=90°，∴△ACM中，∠M+∠MAC=90°.∴∠PAC+∠MAC=90°，即∠MAP=90°.∴MA⊥AP，∴PA是⊙O的切线.(2)连接AE∵M为BC⌒中点，AM为⊙O的直径∴AM⊥BC∵AM⊥AP∴AP∥BC∴△ADP∽△CDB∴=.∵AP//BC∴∠P=∠CBD∵∠CBD=∠CAE∴∠P=∠CAE∵∠P=∠DCF∴∠DCF=∠CAE∵∠ADE=∠CDF∴△ADE∽△CDF∴=.∴==.20.（2015浙江宁波，26，14分）如图，在平面直角坐标系中，点M是第一象限内一点，过M的直线分别交x轴，y轴的正半轴于A，B两点，且M是AB的中点.以OM为直径的⊙P分别交x轴，y轴于C，D两点，交直线AB于点E(位于点M右下方)，连结DE交OM于点K.(1)若点M的坐标为(3，4)，①求A，B两点的坐标；②求ME的长.(2)若，求∠OBA的度数.(3)设tan∠OBA=x(0<x<1)，,直接写出y关于x的函数解析式.(第26题图)【答案】解：(1)①连结DM，MC，∵OM为直径，∴∠MDO=∠MCO=90°.∵∠AOB=90°,∴MD∥OA,MC∥OB.∵M是AB中点，∴D是OB中点，C是OA中点.∵M(3,4),∴OB=2MC=8,OA=2MD=6,∴B(0,8),A(6,0).②在Rt△AOB中，OA=6，OB=8,∴AB=10.∵M为AB中点，∴BM=AB=5.∵∠BOM=∠BED,又∵∠OBM=∠EBD，∴△OBM∽△EBD,∴∴,∴ME=BE-BM，∴ME=6.4-5=1.4.(2)连结DP，∵,∴OK=3MK，OM=4MK，∴PK=MK.∵OP=PM,BD=DO,∴DP为△BOM的中位线,∴DP∥BM.∴∠PDK=∠MEK.又∵∠PKD=∠MKE，∴△DPK≌△EMK,∴DK=KE.∵OM为直径，∴OM⊥DE，∴cos∠DPK=.∵DP=PM=2PK，∴cos∠DPK=,∴∠DPK=60°,∴∠DOM=30°.∵在Rt△AOB中，M为AB中点，∴BM=MO，∴∠OBA=∠DOM,∴∠OBA=30°.(3)y关于x的解析式为.下列解答过程仅供参考：连结OE，∵OM为直径，∴∠MEO=90°.∵tan∠OBA=x，设BE=1，∴在Rt△OBE中，OE=BE×tan∠OBA=x，设BM=OM=m，∴ME=BE-BM=1-m.∴在Rt△OME中，,∴,∴ME=1-m=,DP=BM=m=.∵△DPK∽△EMK，∴,∴∵P为MO的中点，∴∴y关于x的函数解析式为21.（2015四川资阳，22，9分）如图11，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接AE，若∠C=45°，求sin∠CAE的值．【答案】解：（1）方法1：连接OD，BD，易得∠ADB=∠BDC=∠ABC=90°．由CE=DE，OD=AO，得∠CDE=∠C，∠ADO=∠A．由∠A+∠C=90°，得∠ADO+∠CDE=90°，所以∠ODE=90°，所以DE是⊙O的切线．方法2：连接OD，BD，易得∠BDC=∠ABC=90°．由CE=BE，OD=OB，得∠EDB=∠EBD，∠ODB=∠OBD．所以∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD=90°，即∠ODE=90°，所以DE是⊙O的切线．（2）作EF⊥CD于F，设EF=x，因为∠C=45°，所以△CEF、△ABC都是等腰直角三角形．所以CF=EF=x，所以BE=CE=，所以AB=BC=．由勾股定理，得，所以sin∠CAE=．22.（2015浙江省温州市，21，10分）如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于点C，交半圆于点Ｅ，DF切半圆与点F.已知∠AEF=135°.(1)求证：DF∥AB(2)若OC=CE，BF=，求DE的长.23.（2015浙江省温州市，24，14分）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O，点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l,过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E.在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF.设AQ=3x.（1）用关于x的代数式表示BQ，DF.（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长.（3）在点P的整个运动过程中，①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？②作直线BG交⊙O于另一点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）解：（1）在Rt△ABQ中，∵AQ：AB=3:4，AQ=3x，∴AB=4x，BQ=5x，又∵OD⊥m，l⊥m，∴OD∥l.∵OB=OQ，∴AH=BH=AB=2x，∴CD=2x，∴FD=CD=3x.(2)∵AP=AQ=3x，PC=4，∴CQ=6x+4.作OM⊥AQ与点M（如图①），∴OM∥AB.∵⊙O是△ABQ的外接圆，∠BAQ=90°，∴点O是BQ中点，∴QM=AM=x，∴OD=MC=x+4.∴OE=BQ=x，∴ED=2x+4,∴=DF·DE=3x（2x+4）=90，∴x1=-5（舍去），x2=3,∴AP=3x=9.（3）①若矩形DEGF是正方形，则DE=FD.Ⅰ.点P在点A的右侧时，（如图①），∴2x+4=3x，解得x=4，∴AP=3x=12.Ⅱ.点P在点A的左侧时，ⅰ当点C在点Q的右侧，（ⅰ）0<x<时（如图②），∵ED=4-7x，FD=3x，∴4-7x=3x，解得x=，∴AP=.（ⅱ）时，（如图③）∵ED=7-4x，DF=3x，∴7-4x=3x，解得x=1（舍去）.ⅱ当点C在点Q的左侧时，即（如图④），∵DE=7x-4，DF=3x，∴7x-4=3x，解得x=1，∴AP=3.综上所述，当AP为12或或3时，矩形DEGF是正方形.②AP的长为或.略解：连结NQ，由点O到BN的弦心距为1，得NQ=2.当点N在AB的左侧时（如图⑤），过点B作BM⊥EG于点M，∵GM=x，BM=x，∴∠GBM=45°，∴BM∥AQ，∴AI=AB=4x，∴IQ=x，∴NQ=∴AP=.当点N在AB的右侧时（如图⑥），过点B作BJ⊥GE于点J，∵GJ=x，BJ=4x，∴tan∠GBJ=，所以AI=16x，∴QI=19x，∴NQ=，∴AP=.24.（2015山东潍坊，21，10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交于点D，交AB于点E.过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE.（1）求证：直线DF与⊙O相切；（2）若AE=7，BC=6，求AC的长.解：（1）如图，连接OD.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵OD=OC，∴∠ODC=∠C，∴∠ODC=∠B，∴OD//AB.∵DF⊥AB，∴OD⊥DF.∵点D在⊙O上，∴直线DF与⊙O相切.（2）∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，∴∠AED+∠ACD=180°.∵∠AED+∠BED=180°，∴∠BED=∠ACD.又∵∠B=∠B，∴△BED∽△BCA.∴.∵OD//AB，AO=CO，∴BD=CD=，又∵AE=7，∴，解得BE=2.∴AC=AB=AE+BE=7+2=9.25.（2015四川省广安市，25，9分）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D.⑴求证：PA是⊙O的切线.⑵若，且OC=4，求PA的长和tanD的值.【答案】解：⑴连接OB，∵PB为⊙O的切线，∴∠PBO=90°，∵OC⊥AB，∴PA=PB，∴∠PAB=∠PBO，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠PAB+∠OAB=∠PBO+∠OBA，即∠PAO=∠PBO=90°，∴OA⊥PA，又∵OA为⊙O的半径，∴PA是⊙O的切线.⑵，且OC=4，∴AC=OC=6，∴在Rt△ACO，，由⑴得∠PAO=∠ACO=90°，∠AOP=∠AOC，∴△PAO∽△ACO，∴，∴，∵∠PAO=∠OBD=90°，∠D=∠D，∴△PAD∽△OBD，∴，∴，∵在Rt△BOD，DB2+OB2=OD2，又∵OD=DA-AO=，∴，解得：，∴在Rt△BOD，tanD=，故：，tanD=.26.（2015山东省菏泽市，18，10分）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于D、E，BC的延长线与的⊙O的切线AF交于点F.（1）求证：∠ABC＝2∠CAF；（2）若AC＝，CE∶EB＝1∶4，求CE的长.解：（1）证明：如图，连接BD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠ABD=90°．∵AF是⊙O的切线，∴∠FAB=90°，即∠DAB+∠CAF=90°．∴∠CAF=∠ABD．∵BA=BC，∠ADB=90°，∴∠ABC=2∠ABD．∴∠ABC=2∠CAF．（2）解：如图，连接AE．∴∠AEB=90°．设CE=x，∵CE：EB=1：4，∴EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x．在Rt△ACE中，AC2=CE2+AE2．即（2）2=x2+（3x）2．∴x=2．∴CE=2，∴EB=8，BA=BC=10，AE=6．∵tan∠ABF=．∴．∴AF=．27.（2015湖南株洲，23，8分）（本题满分8分）已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C、D两点，CD＝2，∠DAB=30°,动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q，（1）当点P，运动到Q、C两点重合时（如图1），求AP的长。（2）点运动过程中，有几个位置（几种情况）使△CQD的面积为?（直接写出答案）（3）当使△CQD的面积为，且Q位于以CD为直径的的上半圆上，CQ＞QD时（如图2），求AP的长。【答案】（1）AP＝（2）2（3）AP＝【解析】解：（1）∵AB是圆O的切线∴∠OBA＝90°∵ABC中，CD＝2，∠DAB=30°∴OB＝1∴OB＝OC＝AC＝1∵当点P，运动到Q、C两点重合时∴PC为圆O的切线∴∠PCA＝90°∵∠DAB=30°，AC＝1∴AP＝（2）利用三角形的面积公式，知底和积可求高，然后用平行线去截圆，即可以得到解。由于CD的长度2，而S△CQD＝，故CD上的高的长度为：，从而如图，可知有2个：过点Q作QN⊥AD于点N，过点P作PM⊥AD于点M（3）∵S△CQD＝∴QN×CD＝∴CD＝∵CD是圆O的直径∴∠CQD＝90°易证△QCN∽△DQN∴∴设CN＝X，则DN＝2－X∴解得：∵CQ＞QD∴CN＝∴易证：△PMC∽△QNC易得：∴在AMP中易得：∵AM＋CM＝AC＝1∴＋＝1∴MP＝∴AP＝2MP＝28.（2015江西省，第17题，6分）⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分(保留作图痕迹，不写作法)．(1)如图1，AC＝BC；(2)如图2，直线l与⊙O相切与点P，且l∥BC．【答案】答案略【解析】解：：如右图所示.图1，∵AC=BC,∴弧AC=弧BC,∴点C是弧AB的中点，连接CO，交AB于点E，由垂径定理知，点E是AB的中点，延长CE交⊙O于点D，则CD为所求作的弦；图2，∵l切⊙O于点P,作射线PO，交BC于点E，则PO⊥l,∵l∥BC,∴PO⊥BC,由垂径定理知，点E是BC的中点，连接AE交⊙O于F，则AF为所求作的弦.29.（2015山东日照市，21，9分）（本题满分９分）阅读资料：如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（，），B（，），由勾股定理得，所以A、B两点间的距离为。我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系中，A（，）为圆上任意一点，则A到原点的距离的平方为，当⊙O的半径为时，⊙O的方程可写为：。问题拓展：如果圆心坐标为，半径为，那么⊙P的方程可写为综合应用：如图3，⊙P与轴相切于原点O，P点的坐标为（0,6），A是⊙P上一点，连接ＯＡ，使tan∠POA=，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交轴于点Ｂ，连接AB。①证明ＡＢ是⊙P的切线；②是否存在到四点O、P、A、B距离都相等的点Q？若存在，求Q点的坐标，并写出以Q为圆心，以ＯＱ为半径的⊙Ｑ的方程，若不存在，说明理由。【答案】（1）⊙P的方程可写为：∠POB=∠PAB=90°，ＡＢ经过⊙P半径ＰＡ的外端，∴ＡＢ是⊙P的切线；(2)以Q为圆心，以ＯＱ为半径的⊙Ｑ的方程为:【解析】问题拓展：⊙P的方程可写为：综合应用：①∵P点的坐标为（0,6），⊙P与轴相切于原点O，∴PO=PA=6，PO⊥OB，∴AD=OD，PO⊥OB，∴AB=OB∴△POB≌△PAB（SSS）∠POB=∠PAB=90°，ＡＢ经过⊙P半径ＰＡ的外端，∴ＡＢ是⊙P的切线；②存在点Q，理由如下：∵△POB、△PAB为直角三角形，由直角三角形性质"斜边上的中线等于斜边的一半"可得：∴点Q就是线段PB的中点，过点Q作ＱＥ⊥轴，垂足为Ｅ，∵PD⊥OA，tan∠POA=,PO=6∴OB=8,PB=10,⊙Q的半径=5,∵点Q是PB的中点,∴QE=3,OE=4,∴点Q为(4,3),以Q为圆心，以ＯＱ为半径的⊙Ｑ的方程为:。30.(2015年湖南衡阳，26，8分)如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E.（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由.【答案】（１）答案略；（２）四边形AOCD为菱形.【解析】解：（１）连结OD，∵点C、D为半圆O的三等分点，∴∠AOD=∠COD=∠COB=60°.∵OA=OD,∴△AOD为等边三角形，∴∠DAO=60°,∴AE∥OC.∵CE⊥AD，∴CE⊥OC∴CE为⊙O的切线(2)四边形AOCD为菱形.理由：∵OD=OC，∠COD=60°∴△OCD为等边三角形，∴CD=CO.同理：AD=AO.∵AO=CO,∴AD=AO=CO=DC∴四边形AOCD为菱形.31.（2015年江苏扬州市）（本题满分10分）如图，已知⊙的直径AB=12cm,AC是⊙的弦，过点C作⊙的切线交BA的延长线于点P，连接BC（1）求证：∠PCA=∠B（2）已知∠P=40°，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），当△ABQ与△ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长32.（2015年江苏扬州市）（本题满分12分）如图，直线⊥线段于点，点在上，且，点是直线上的动点，作点关于直线的对称点，直线与直线相交于点，连接（1）如图1，若点与点重合，则∠=°，线段与的比值为；（2）如图2，若点与点不重合，设过、、三点的圆与直线相交于，连接。求证：①=；②=2；（3）如图3，，，则满足条件的点都在一个确定的圆上，在以下两小题中选做一题：①如果你能发现这个确定圆的圆心和半径，那么不必写出发现过程，只要证明这个圆上的任意一点Q，都满足QA=2QB②如果你不能发现这个确定圆的圆心和半径，那么请取几个特殊位置的点，如点在直线上、点与点重合等进行探究，求这个圆的半径33.（2015广东省深圳市，22，9分）如图1，形如量角器的半圆O的半径OE＝3cm，形如三角板的△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝6cm，△ABC以2cm/s的速度从左向右匀速运动（点B运动到E点时，运动停止），在运动过程中，点A，B始终在直线DE上，设运动时间为t（s），当t＝0时，△ABC在半圆O的左侧，BD＝1cm．（1）当点B运动到O时，求运动时间t的值；（2）当斜边AC与半圆O相切时，求AD的长；（3）如图，当点B运动到E点时，连接CO，交半圆O于点F，连接DF并延长交CE于点G，求证：CF2＝CGoCE．【答案】（1）2s（2）(3－3)cm（3）略【解析】（1）BO＝4cm，t＝＝2s（2）连接O与切点H，则OH⊥AC又∠A＝45°，∴AO＝OH＝3cm，AD＝AO－DO＝(3－3)cm（3）连接EF∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD∵DE为直径，∴∠ODF＋∠DEF＝90°∠DEC＝∠DEF＋∠CEF＝90°∴∠CEF＝∠ODF＝∠OFD＝∠CFG又∠FCG＝∠ECF，∴△CFG∽△CEFCF2＝CEoCG34.（2015湖南常德，24，8分）如图9，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点.连接EF.⑴求证：EF是⊙O的切线；.⑵若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长.【答案】⑴略⑵【解析】⑴证明：∵AC是⊙O直径，∴CE⊥AB∴△BCE是直角三角形，∵F为BC的中点∴EF=CF∴∠ECF=∠FEC∵OE=OC∴∠OCE=∠OEC∵∠ACB=∠OCE+∠ECF=90°∴∠OEF=∠OEC+∠FEC=90°又OE是⊙O的半径∴EF是⊙O的切线⑵解：∵∠EAC=60°，OE=OA∴△OAE是等边三角形∴∠AOE=60°∴∠COD=∠AOE=60°∵∠OCD=180°-∠ACB=90°∴∴35.（2015贵州遵义，26，12分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE=3，BD-AD=2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．【答案】（1）证明略；（2）⊙O的半径是；（3）弦AE的长是．【解析】解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°，即AD⊥BC∵AB=AC∴AD平分BC，即D是BC的中点．（2）解：∵AB=AC∴∠B=∠C又∵∠E=∠B∴∠E=∠C∴CD=ED=3∵D是BC的中点∴BD=CD=3∵BD-AD=2∴AD=1∵∠ADB=90°∴AB2=BD2+AD2=9+1=10∵AB＞0∴AB=∴r=AB=．（3）作DF⊥CE交CE于点F，如图所示：在Rt△ABD中，∠ADB=90°∴cosB=∵∠C=∠B∴cosC=在Rt△CDF中，∠DFC=90°，∴cosC=∴CF=∵DE=DC，DF⊥CE∴CE=2CF=又∵AC=AB=∴AE=CE-AC=-=36.（2015成都市）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，且BF＝BC.⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD、FH.（1）求证：△ABC≌△EBF；（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB＝1，求HG·HB的值.【答案】：（1）见解析（2）见解析（3）【解析】：解：（1）(1)在Rt△ABC和Rt△EBF中∵∴△ABC≌△EBF(A)（2）BD为⊙O的切线.理由：连接，则，∴，∴.（3）连接，，由于为垂直平分线，∴，∴，又∵为角平分线，∴，∴，∴，∴，即，∵在等腰中，∴.37.（2015湖南省永州市，25，10分）如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC,直径AD交BC于点E,F是OE上的一点，使CF∥BD.(1)求证:BE＝CE;(2)试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；(3)若BC＝8，AD＝10，求CD的长.(第25题图)【答案】(1)证明略；(2)四边形BFCD是菱形；(3)2【解析】解：(1)∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝∠ACD＝90°.∵AB＝AC,AD＝AD,∴Rt△ABD≌Rt△ACD.∴BD＝CD.∵AB＝AC,BD＝CD,∴点A，D都在线段BC的垂直平分线上.∴AD垂直平分BE.∴BE＝CE,AD⊥BC.(2)四边形BFCD是菱形.理由：∵AD垂直平分BE.∴BF＝CF.∵CF∥BD,∴∠DBE＝∠FCE,∠BDE＝∠CFE.又∵BE＝CE,∴△BDE≌△CFE.∴BD＝CF.∵BD＝CD,BF＝CF,BD＝CF,∴BD＝CD＝CF＝BF.∴四边形BFCD是菱形.(3)∵BC＝8，∴BE＝CE＝4.∵CE2＝AEoDE,AE＝AD－DE＝10－DE,∴42＝（10－DE）oDE.解得DE＝2或8.但DE＝8不合题意，应舍去.∴CD===2.38.（2015湖南省永州市，27，10分）问题探究：(一)新知学习：圆内接四边形的判定定理：如果四边形的对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E，F，G，H都在同一个圆上）.(二)问题解决：已知⊙O的半径为2，AB,CD是⊙O的直径，P是上任意一点，过点P分别作AB,CD的垂线，垂足分别为N，M.(1)若直径AB⊥CD，对于上任意一点P（与B，C不重合）（如图一），证明:四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；(2)若直径AB⊥CD，在点P（与B，C不重合）从B运动到C的过程中，证明:MN的长为定值，并求其定值；(3)若直径AB与CD相交成120°角.①当点P运动到的中点P1时（如图二），求MN的长；②在点P（与B,C不重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值.(4)试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值.(第27题图一)(第27题图二)(第27题图三)【答案】(1)证明略，此圆直径的长为2；(2)证明略，其定值为2；(3)①MN＝;②证明略;(4)当直径AB与CD相交成90°角时，MN的长取最大值，其最大值为2.【解析】解：(1)连接OP，则OP＝2.∵PM⊥CD,PN⊥AB,∴∠PMO＝∠PNO＝90°.∴∠PMO＋∠PNO＝180°.∴四边形PMON内接于圆.∵AB⊥CD，∴∠MON＝90°.又∵∠PMO＝∠PNO＝90°，∴四边形PMON是矩形.∴OP是四边形PMON内接圆的直径.∴四边形PMON内接圆的直径为2.(2)在(1)中已证四边形PMON是矩形.∴MN＝OP.∵OP＝2(是定值)，∴MN的长也为定值，其定值为2；(3)①连接OP1.则OP1＝2.∵P1是的中点，∴∠COP1＝∠BOP1＝∠BOC＝60°.∴∠OP1M＝∠OP1N＝30°.∴OM＝ON＝OP1＝1.∴P1M＝P1N＝.∵∠P1MO＝∠P1NO＝90°，∴点O,M,P1,N都在以OP1为直径的同一个圆上.∵∠MON＋∠MP1N＝180°，∠MON＝120°,∴∠MP1N＝60°.∵P1M＝P1N＝,∴△MP1N是等边三角形.∴MN＝P1M＝P1N＝.②连接OP,则OP＝2.取OP的中点O′,并分别连接O′M,O′N.∵∠PMO＝∠PNO＝90°，∴点O,M,P,N都在以OP为直径的⊙O′上.∴O′M＝O′N＝OP＝1.∵∠MON＋∠MPN＝180°，∠MON＝120°,∴∠MPN＝60°.∴∠MO′N＝2∠MPN＝120°.∴∠O′MN＝∠O′NM＝30°.过点O′作O′E⊥MN于点E.则O′E＝O′M＝,∴ME＝.∴MN＝2ME＝.(第27题图三)(4)如图四，连接OP,则OP＝2.取OP的中点O′,并分别连接O′M,O′N.∵∠PMO＝∠PNO＝90°，∴点O,M,P,N都在以OP为直径的⊙O′上.∴O′M＝O′N＝OP＝1.∴MN≤O′M＋O′N＝2且当点M,O′,N在同一条直线上时，等号成立.此时∠MO′N＝180°，则∠MPN＝∠MO′N＝90°.∵点O,M,P,N四点共圆，∴∠MON＝180°－∠MPN＝180°－90°＝90°.∴当直径AB与CD相交成90°角时，MN的长取最大值，其最大值为2.(第27题图四)39.（2014江苏省苏州市，28，5分）如图，在矩形ABCD中，AD=acm，AB=bcm（a＞b＞4），半径为2cm的⊙O在矩形内且与AB、AD均相切．现有动点P从A点出发，在矩形边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，当点P到达D点时停止移动；⊙O在矩形内部沿AD向右匀速平移，移动到与CD相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O回到出发时的位置（即再次与AB相切）时停止移动．已知点P与⊙O同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）．（1）如图①，点P从A→B→C→D，全程共移动了▲cm（用含a、b的代数式表示）；（2）如图①，已知点P从A点出发，移动2s到达B点，继续移动3s，到达BC的中点．若点P与⊙O的移动速度相等，求在这5s时间内圆心O移动的距离；（3）如图②，已知a=20，b=10．是否存在如下情形：当⊙O到达⊙O1的位置时（此时圆心O1在矩形对角线BD上），DP与⊙O1恰好相切？请说明理由．【答案】（1）a+2b．（2）∵在整个运动过程中，点P移动的距离为cm，圆心O移动的距离为cm，由题意，得．①∵点P移动2s到达B点，即点P用2s移动了bcm，点P继续移动3s，到达BC的中点，即点P用3s移动了cm．∴．②由①②解得∵点P移动的速度与⊙O移动的速度相等，∴⊙O移动的速度为（cm/s）．∴这5s时间内圆心O移动的距离为5×4=20（cm）．（3）存在这种情形．解法一：设点P移动的速度为v1cm/s，⊙O移动的速度为v2cm/s，由题意，得．如图，设直线OO1与AB交于点E，与CD交于点F，⊙O1与AD相切于点G．若PD与⊙O1相切，切点为H，则O1G=O1H．易得△DO1G≌△DO1H，∴∠ADB=∠BDP．∵BC∥AD，∴∠ADB=∠CBD．∴∠BDP=∠CBD．∴BP=DP．设BP=xcm，则DP=xcm，PC=（20-x）cm，在Rt△PCD中，由勾股定理，可得，即，解得．∴此时点P移动的距离为（cm）．∵EF∥AD，∴△BEO1∽△BAD．∴，即．∴EO1=16cm．∴OO1=14cm．①当⊙O首次到达⊙O1的位置时，⊙O移动的距离为14cm，∴此时点P与⊙O移动的速度比为．∵，∴此时PD与⊙O1不可能相切．②当⊙O在返回途中到达⊙O1的位置时，⊙O移动的距离为2×(20-4)-14=18（cm），∴此时点P与⊙O移动的速度比为．∴此时PD与⊙O1恰好相切．解法二：∵点P移动的距离为cm（见解法一），OO1=14cm（见解法一），，∴⊙O应该移动的距离为（cm）．①当⊙O首次到达⊙O1的位置时，⊙O移动的距离为14cm≠18cm，∴此时PD与⊙O1不可能相切．②当⊙O在返回途中到达⊙O1的位置时，⊙O移动的距离为2×(20-4)-14=18（cm），∴此时PD与⊙O1恰好相切．解法三：点P移动的距离为cm，（见解法一）OO1=14cm，（见解法一）由可设点P的移动速度为5kcm/s，⊙O的移动速度为4kcm/s，∴点P移动的时间为（s）．①当⊙O首次到达⊙O1的位置时，⊙O移动的时间为，∴此时PD与⊙O1不可能相切．②当⊙O在返回途中到达⊙O1的位置时，⊙O移动的时间为，∴此时PD与⊙O1恰好相切．