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免费上海市16区2018届中考一模数学试卷分类汇编：押轴题含真题分类汇编解析上海市16区2018届九年级上学期期末（一模）数学试卷分类汇编押轴题专题宝山区25．（本题共14分，其中（1）（2）小题各3分，第（3）小题8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD＝7，AB＝CD＝15，BC＝25，E为腰AB上一点且AE：BE＝1：2，F为BC一动点，∠FEG＝∠B，EG交射线BC于G，直线EG交射线CA于H．（1）求sin∠ABC；（2）求∠BAC的度数；（3）设BF＝x，CH＝y，求y与x的函数关系式及其定义域．长宁区25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题5分）已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4.P是对角线BD上的一个动点（点P不与点B、D重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F.联结AP，画∠FPE=∠BAP，PE交BF于点E.设PD=x，EF=y．（1）当点A、P、F在一条直线上时，求ABF的面积；（2）如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）联结PC，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD的长．崇明区25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题5分，第(3)小题5分）如图，已知中，，，，D是AB边的中点，E是AC边上一点，联结DE，过点D作交BC边于点F，联结EF．（1）如图1，当时，求EF的长；（2）如图2，当点E在AC边上移动时，的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出的正切值；（3）如图3，联结CD交EF于点Q，当是等腰三角形时，请直接写出BF的长．奉贤区25.（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分6分）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，AD=CD=2，点E在边AD上（不与点A、D重合），∠CEB=45°，EB与对角线AC相交于点F，设DE=x.（1）用含x的代数式表示线段CF的长；（2）如果把△CAE的周长记作,△BAF的周长记作，设，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当∠ABE的正切值是时，求AB的长.虹口区25．（本题满分14分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分4分）已知AB=5，AD=4，AD∥BM，（如图），点C、E分别为射线BM上的动点（点C、E都不与点B重合），联结AC、AE，使得∠DAE=∠BAC，射线EA交射线CD于点F．设BC=x，．（1）如图1，当x=4时，求AF的长；（2）当点E在点C的右侧时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）联结BD交AE于点P，若△ADP是等腰三角形，直接写出x的值．黄浦区25．（本题满分14分）如图，线段AB=5，AD=4，∠A=90°，DP∥AB，点C为射线DP上一点，BE平分∠ABC交线段AD于点E（不与端点A、D重合）.（1）当∠ABC为锐角，且tan∠ABC=2时，求四边形ABCD的面积；（2）当△ABE与△BCE相似时，求线段CD的长；（3）设CD=x，DE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域.嘉定区25.在正方形ABCD中，AB=8，点P在边CD上，tan∠PBC=，点Q是在射线BP上的一个动点，过点Q作AB的平行线交射线AD于点M，点R在射线AD上，使RQ始终与直线BP垂直。（1）如图8，当点R与点D重合时，求PQ的长；（2）如图9，试探索：的比值是否随点Q的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；（3）如图10，若点Q在线段BP上，设PQ=x，RM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域。金山区25．（本题满分14分，第（1）题3分，第（2）题5分，第（3）题6分）如图，已知在△ABC中，AB=AC=5，cosB=，P是边AB上一点，以P为圆心，PB为半径的⊙P与边BC的另一个交点为D，联结PD、AD．（1）求△ABC的面积；（2）设PB=x，△APD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△APD是直角三角形，求PB的长．静安区25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）已知：如图，四边形ABCD中，0°＜∠BAD≤90°，AD=DC，AB=BC，AC平分∠BAD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果点E在对角线AC上，联结BE并延长，交边DC于点G，交线段AD的延长线于点F（点F可与点D重合），∠AFB=∠ACB，设AB长度是（是常数，且），AC=，AF=，求关于的函数解析式，并写出定义域；（3）在第（2）小题的条件下，当△CGE是等腰三角形时，求AC的长．（计算结果用含的代数式表示）闵行区25．（本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分，满分14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD是斜边上中线，点E在边AC上，点F在边BC上，且∠EDA=∠FDB，联结EF、DC交于点G．（1）当∠EDF=90°时，求AE的长；（2）CE=x，CF=y，求y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；（3）如果△CFG是等腰三角形，求CF与CE的比值．浦东新区25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，点D在射线BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．（1）求证：△EFG∽△AEG；（2）设FG=x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；（3）联结DF，当△EFD是等腰三角形时，请直接写出FG的长度．普陀区25．（本题满分14分）如图11，的余切值为2，，点是线段上的一动点（点不与点、重合），以点为顶点的正方形的另两个顶点、都在射线上，且点在点的右侧．联结，并延长，交射线于点．（1）在点运动时，下列的线段和角中，▲是始终保持不变的量（填序号）；①；②；③；④；⑤；⑥．（2）设正方形的边长为，线段的长度为，求与之间的函数解析式，并写出定义域；（3）如果△与△相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．青浦区25．（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）如图10，在边长为2的正方形ABCD中，点P是边AD上的动点（点P不与点A、点D重合），点Q是边CD上一点，联结PB、PQ，且∠PBC＝∠BPQ．（1）当QD＝QC时，求∠ABP的正切值；（2）设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数解析式；（3）联结BQ，在△PBQ中是否存在度数不变的角，若存在，指出这个角，并求出它的度数；若不存在，请说明理由．松江区25.（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，已知中，，AC=1，BC=2，CD平分交边AB于点D，P是射线CD上一点，联结AP.（1）求线段CD的长；（2）当点P在CD的延长线上，且∠PAB=45°时，求CP的长；（3）记点M为边AB的中点，联结CM、PM，若△CMP是等腰三角形，求CP的长.徐汇区25．（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分，第（3）小题满分4分）已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=2，AB=4，BC=5，在射线BC任取一点M，联结DM，作∠MDN=∠BDC，∠MDN的另一边DN交直线BC于点N（点N在点M的左侧）．（1）当BM的长为10时，求证：BD⊥DM；（2）如图（1），当点N在线段BC上时，设，，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当是等腰三角形时，求BN的长．杨浦区25．（本题满分14分，第（1）、（2）小题各6分，第（3）小题2分）已知：矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点M、N分别在边AB、CD上，直线MN交矩形对角线AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上.（1）如图1，当EP⊥BC时，求CN的长；（2）如图2，当EP⊥AC时，求AM的长；（3）请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长最大时MN的长.参考答案宝山区长宁区25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题5分）解：（1）∵矩形ABCD∴∴∵A、P、F在一条直线上，且PF⊥BD∴∴∴∵∴∴（2分）∴（1分）（2）∵PF⊥BP∴∴∵∴∴又∵∠BAP=∠FPE∴∽∴（2分）∵AD//BC∴∴即∵∴（2分）∴∴（1分+1分）（3）（3分）或（2分）崇明区25、（1）∵，∴∵∴……………………………1分∵是边的中点∴∵∴∴∴∴∵在中，∴……………………1分∵∴又∵∴四边形是矩形∴………………………………………………………………1分∵在中，∴…………………1分（2）不变……………………………………………………………………………1分过点作，，垂足分别为点、由（1）可得，∵，∴又∵∴四边形是矩形∴∵∴即……1分又∵∴……………………………………………………1分∴…………………………………………………………1分∵∴……………………1分（3）1°当时，易证，即又∵，D是AB的中点∴∴…………………………………………………1分2°当时，易证∵在中，∴设，则，当时，易证，∴∵∴∴∴∵∴∴解得∴∴……………………………………………………2分3°在BC边上截取BK=BD=5，由勾股定理得出当时，易证∴设，则，∴∵∴∴∴∵∴∴解得∴∴………………………………………………………2分奉贤区虹口区黄浦区25.解：（1）过C作CH⊥AB与H，-----------------（1分）由∠A=90°，DP∥AB，得四边形ADCH为矩形.在△BCH中，CH=AD=4，∠BHC=90°，tan∠CBH=2，得HB=CH÷2=2，（1分）所以CD=AH=5-2=3，-----------------------（1分）则四边形ABCD的面积=.---（1分）（2）由BE平分∠ABC，得∠ABE=∠EBC，当△ABE∽△EBC时，① ∠BCE=∠BAE=90°,由BE=BE,得△BEC≌△BEA，得BC=BA=5，于是在△BCH中，BH=，所以CD=AH=5-3=2.-----------------------（2分）② ∠BEC=∠BAE=90°，延长CE交BA延长线于T，由∠ABE=∠EBC，∠BEC=∠BET=90°，BE=BE，得△BEC≌△BET，得BC=BT，且CE=TE，又CD∥AT，得AT=CD.令CD=x，则在△BCH中，BC=BT=5+x，BH=5-x，∠BHC=90°，所以，即，解得.---（2分）综上，当△ABE∽△EBC时，线段CD的长为2或.---------（1分）（3）延长BE交CD延长线于M，------------------（1分）由AB∥CD，得∠M=∠ABE=∠CBM，所以CM=CB.在△BCH中，.则DM=CM-CD=，又DM∥AB，得，即，----（2分）解得----------（2分）嘉定区25.在正方形ABCD中，AB=8，点P在边CD上，tan∠PBC=，点Q是在射线BP上的一个动点，过点Q作AB的平行线交射线AD于点M，点R在射线AD上，使RQ始终与直线BP垂直。（1）如图8，当点R与点D重合时，求PQ的长；（2）如图9，试探索：的比值是否随点Q的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；（3）如图10，若点Q在线段BP上，设PQ=x，RM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域。【解答】（1）因为AB=8，tan∠PBC=所以BC=DC=8，所以PC=6，BP=10，DP=2当点R与点D重合时，因为PQ⊥BP，所以△BCP∽△RQP所以，所以。（2）没有变化。如图，设射线BP交AD的延长线于点H。因为RQ⊥BP，QM⊥AD所以∠RQM+∠MQH=90°，∠MHQ+∠MQH=90°所以∠RQM=∠MHQ因为AH∥BC，所以∠MHQ=∠PBC所以Rt△RQM∽Rt△PBC所以。（3）如图，由（2）易得Rt△RQM∽Rt△PBC∽Rt△QHM∽PHD因为DP=2，所以DH=，PH=所以QH=，所以MQ=因为，所以解得。金山区静安25．（1）证明：∵四边形ABCD中，AD=DC，AB=BC，∴∠DAC＝∠DCA，∠BAC＝∠BCA………………………………………………（1分）∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠DCA＝∠BCA，……………………………………………………………………（1分）在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC…………（1分）∴AB＝AD，BC＝DC，∴AB＝AD＝DC＝BC，…（1分）∴四边形ABCD是菱形．（2）解：如图②，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠FAC＝∠ACB，∠AFB＝∠FBC，∵∠AFB=∠ACB，∴∠F＝∠FAC，又∵AC平分∠BAD，∴∠ACB＝∠FBC＝∠CAB，∵∠ECB＝∠BCA，∴△CEB∽△CBA，∴，………………………………（2分）∵AB长度是（是常数，且），AC=，AF=，∴，∴，∴，……………………………………………………………（1分）又∵AF∥BC，∴∴…………………………………………（1分）∴．………………………………………………………………………（1分）又∵0°＜∠BAD≤90°∴此函数定义域为（）．……………………（1分）（3）解：∵四边形ABCD是菱形，DC∥AB，∴△CGE∽△ABE∴当△CGE是等腰三角形时，△ABE是等腰三角形．∵△CEB∽△CBA∴，即，∴BE＝…………………………（1分）①当AE＝AB时，，即，解得（经检验是原方程的根且符合题意，负值舍去）∴AC＝……………………………………………………………………………（1分）②当AE＝BE时，，解得（经检验是原方程的根且符合题意，负值舍去）∴AC＝……………………………………………………………………………（1分）③当AB＝BE时，，解得（经检验不合题意，舍去）……………（1分）∴AC的长为或．闵行区25．解：（1）过点E作EH⊥AB于点H，∵∠EDF=90°，∠EDA=∠FDB，∴∠EDA=∠FDB=45°．………………（1分）在Rt△EHD中，设DH=EH=a，在Rt△AEH中和Rt△ABC中，tan∠A=，∴AH=．…………………………………………………………………（1分）∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴．∵CD是斜边上中线，∴CD=．∵AH+HD=AD，∴，解得．……………………………（1分）∴AE==．……………………………………………………………（1分）（2）分别过点E、F作AB的垂线垂足为H、M，∵CE=x，CF=y，∴AE=4x，CF=3y．在Rt△AEH中，，．………………………（1分）同理Rt△BFM中，，．…………………（1分）∴，．………………………………………（1分）Rt△FHD和Rt△FMD中，∵∠EDA=∠FDB，∴tan∠EDA=tan∠FDB．……………（1分）即：化简得．……………………………………………………（1分）函数定义域为．…………………………………………………（1分）（3）（i）当CG=CF时，过点G作GN⊥BC于点N，CF=CG=y，Rt△HCG中，cos∠DCB=，sin∠DCB=，∴CN=，GN=．∴FN=．∵GN∥AC，∴．………………………………………………………（2分）（ii）当CF=GF时，过点G作GP⊥BC于点P，CF=y，∵cos∠DCB=，∴Rt△PCG中，cos∠DCB=，sin∠DCB=，∴CP=，GP=，∴FP=，∵GP∥AC，∴．…………………………………………………（2分）（iii）CG=CF的情况不存在．∴综上所述，的值为或．浦东新区25．解：（1）∵ED=BD，∴∠B=∠BED．………………………………（1分）∵∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°．∵EF⊥AB，∴∠BEF=90°．∴∠BED+∠GEF=90°．∴∠A=∠GEF．………………………………（1分）∵∠G是公共角，……………………………（1分）∴△EFG∽△AEG．…………………………（1分）（2）作EH⊥AF于点H．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，∴．∴在Rt△AEF中，∠AEF=90°，．∵△EFG∽△AEG，∴．……………………………………………（1分）∵FG=x，∴EG=2x，AG=4x．∴AF=3x．……………………………………………………………（1分）∵EH⊥AF，∴∠AHE=∠EHF=90°．∴∠EFA+∠FEH=90°．∵∠AEF=90°，∴∠A+∠EFA=90°．∴∠A=∠FEH．∴tanA=tan∠FEH．∴在Rt△EHF中，∠EHF=90°，．∴EH=2HF．∵在Rt△AEH中，∠AHE=90°，．∴AH=2EH．∴AH=4HF．∴AF=5HF．∴HF=．∴．…………………………………………………………（1分）∴．………………………………（1分）定义域：（）．……………………………………………（1分）（3）当△EFD为等腰三角形时，FG的长度是：．……（5分）普陀区25．解：（1）④和⑤． （2分+2分）（2）过点作⊥，交于点，交于点．在Rt△中，∵，，∴． （1分）∵∥，∴△∽△． （1分）∵⊥，⊥，∴． （1分）得，∴（≤＜）． （1分+1分）（3）∵，又∵△与△相似，但面积不相等，∴只可能． （1分）则．可得或．得或．解得或． （2分+2分）所以正方形的边长是或．青浦区25．解：（1）延长PQ交BC延长线于点E．设PD=x．∵∠PBC＝∠BPQ，∴EB=EP．…………………………………………………………………………………（1分）∵四边形ABCD是正方形，∴AD//BC，∴PD∶CE=QD∶QC=PQ∶QE，∵QD＝QC，∴PD＝CE，PQ＝QE．……………………………………………………（1分）∴BE＝EP=x+2，∴QP＝．……………………………………………………（1分）在Rt△PDQ中，∵，∴，解得．……（1分）∴，∴．………………………………（1分）（2）过点B作BH⊥PQ，垂足为点H，联结BQ．……………………………………（1分）∵AD//BC，∴∠CBP＝∠APB，∵∠PBC＝∠BPQ，∴∠APB＝∠HPB，……………（1分）∵∠A＝∠PHB＝90°，∴BH=AB=2，∵PB=PB，∴Rt△PABRt△PHB，∴AP=PH=x．……………………………………………………………………………（1分）∵BC=BH=2，BQ=BQ，∠C＝∠BHQ＝90°，∴Rt△BHQRt△BCQ，∴QH=QC=y，……………………………………………（1分）在Rt△PDQ中，∵，∴，∴．……………………………………………………………………………（1分）（3）存在，∠PBQ＝45°．……………………………………………………………（1分）由（2）可得，，，………………………………（2分）∴．…………………………………………（1分）松江区25.（1）解：过点D作DH⊥BC∵,CD平分∴DH∥AC,DH=CH……………………1分令DH=x∴……………………………1分…………………………………1分∴………………………1分(2)，CD平分∴∠BCD=45°∵∠PAB=45°∴∠BCD=∠PAB又∠ADP=∠CDB∴△ADP∽△CDB……………………………………1∴,即……………1由（1）得∵，AC=1，BC=2∴，……………………………………1∴，∴……………………………………………1分∴………………1(3)∵，M为边AB的中点，∴①当CP1=CM时，……………1②当MP2=MC时, ∴P2M=AM=BM∴∠MAP2=∠MP2A,∠MBP2=∠MP2B∴∠MAP2+∠MP2A+∠MBP2+∠MP2B=2(∠MP2A+MP2B)=180°∴∠AP2B=90°过点P2分别作CA、CB垂线，垂足为N，H∴∠ANP2=∠BHP2=90°∵,CD平分∴P2N=P2H,CN=CH，∠NP2H=90°，∴∠AP2N=∠BP2H；∴△P2NA≌△P2HB∴AN=BH∴令AN=x∴1+x=2-x∴……………………………1∴∴……………………1③当P3C=P3M时△CP3M∽△CMP3……………………1分∴∴∴…………………1分徐汇区25．（1）∵∠A=90°，AD=2，AB=4，∴．∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBM，∵，∴∴………………………………………………………（2分）∴，即BD⊥DM.…………………………………（1分）（2）过点D作DE⊥BC，在中，∠DEC=90°，DE=AB=4，BE=AD=2，BC=5，EC=3，∴∵BC=CD=5，∴∠DBC=∠BDC，………………………………………（1分）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBM，∵∠MDN=∠BDC，∴∠DBC=∠MDN∵∠DMN=∠BMD，∴．………………………………………（2分）∴．∵，∴∴．…………………………………………………………（3分）（3）由（2）当是等腰三角形时，也是等腰三角形……………（1分）此时BN的长分别为0，1，．………………………………………（3分）杨浦区25．（本题满分14分，第（1）、（2）小题各6分，第（3）小题2分）解：（1）∵△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，∴△AME≌△PME.∴∠AEM=∠PEM，AE=PE.∵ABCD是矩形，∴AB⊥BC.∵EP⊥BC，∴AB//EP.∴∠AME=∠PEM.∴∠AEM=∠AME.∴AM=AE.---------------------（2分）∵ABCD是矩形，∴AB//DC.∴.∴CN=CE.------------------（1分）设CN=CE=x.∵ABCD是矩形，AB=4，BC=3，∴AC=5.∴PE=AE=5-x.∵EP⊥BC，∴.∴.---------------------（1分）∴，即.------------------------------------------------------（2分）（2）∵△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，∴△AME≌△PME.∴AE=PE，AM=PM.∵EP⊥AC，∴.∴.∵AC=5，∴，.∴.---------------------（2分）∵EP⊥AC，∴.∴.--------------------------------------（2分）在Rt△PMB中，∵，AM=PM.∴.∴.--------------------------------------（2分）（3）,当CP最大时MN=.--------------------------------------------------（2分）