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2016年高考数学理试题分类汇编详解版：导数及其应用2016年高考数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、（2016年四川高考）设直线l1，l2分别是函数f(x)=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（A）(0,1)（B）(0,2)（C）(0,+∞)（D）(1,+∞)【答案】A2、（2016年全国I高考）函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图像大致为【答案】D二、填空题1、（2016年全国II高考）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．【答案】2、（2016年全国III高考）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_______________。【答案】三、解答题1、（2016年北京高考）设函数，曲线在点处的切线方程为，（1）求，的值；（2）求的单调区间.【解析】（I）∴∵曲线在点处的切线方程为∴，即①②由①②解得：，（II）由（I）可知：， 令，∴

极小值 
∴的最小值是∴的最小值为即对恒成立∴在上单调递增，无减区间.2、（2016年山东高考）已知.（I）讨论的单调性；（II）当时，证明对于任意的成立.【解析】(Ⅰ)求导数当时，，，单调递增，，，单调递减；当时，（1） 当时，，或，，单调递增，，，单调递减；(2)当时，，，，单调递增，(3)当时，，或，，单调递增，，，单调递减；(Ⅱ)当时，，于是，，令，，，于是，，的最小值为；又设，，因为，，所以必有，使得，且时，，单调递增；时，，单调递减；又，，所以的最小值为．所以．即对于任意的成立．3、（2016年四川高考）设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a∈R.（I）讨论f(x)的单调性；（II）确定a的所有可能取值，使得f(x)＞-e1-x+在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。【解析】（I）由题意，①当时，，，在上单调递减.②当时，，当时，；  当时，.  故在上单调递减，在上单调递增.（II）原不等式等价于在上恒成立.一方面，令，只需在上恒大于0即可.又∵，故在处必大于等于0.令，，可得.另一方面，当时，∵故，又，故在时恒大于0.∴当时，在单调递增.∴，故也在单调递增.∴，即在上恒大于0.综上，.4、（2016年天津高考）设函数,，其中(I)求的单调区间；(II)若存在极值点，且，其中，求证：；（Ⅲ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.【解析】（1）  ①，单调递增；②，在单调递增，在单调递减，在单调递增（2）由得∴（3）欲证在区间上的最大值不小于，只需证在区间上存在，使得即可①当时，在上单调递减递减，成立当时，∵∴若时，，成立当时，，所以，在区间上的最大值不小于成立5、（2016年全国I高考）已知函数有两个零点.（I）求a的取值范围；（II）设x1，x2是的两个零点，证明：+x2<2.解：⑴ 由已知得：① 若，那么，只有唯一的零点，不合题意；② 若，那么，所以当时，，单调递增当时，，单调递减即：

↓ 极小值 ↑故在上至多一个零点，在上至多一个零点由于，，则，根据零点存在性定理，在上有且仅有一个零点．而当时，，，故则的两根，，，因为，故当或时，因此，当且时，又，根据零点存在性定理，在有且只有一个零点．此时，在上有且只有两个零点，满足题意．③ 若，则，当时，，，即，单调递增；当时，，，即，单调递减；当时，，，即，单调递增．即：
+ 0 - 0 +↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑而极大值故当时，在处取到最大值，那么恒成立，即无解而当时，单调递增，至多一个零点此时在上至多一个零点，不合题意．④ 若，那么当时，，，即，单调递增当时，，，即，单调递增又在处有意义，故在上单调递增，此时至多一个零点，不合题意．⑤ 若，则当时，，，即，单调递增当时，，，即，单调递减当时，，，即，单调递增即：
+ 0 - 0 +↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑故当时，在处取到最大值，那么恒成立，即无解当时，单调递增，至多一个零点此时在上至多一个零点，不合题意．综上所述，当且仅当时符合题意，即的取值范围为．⑵ 由已知得：，不难发现，，故可整理得：设，则那么，当时，，单调递减；当时，，单调递增．设，构造代数式：设，则，故单调递增，有．因此，对于任意的，．由可知、不可能在的同一个单调区间上，不妨设，则必有令，则有而，，在上单调递增，因此：整理得：．6、（2016年全国II高考）(Ⅰ)讨论函数的单调性，并证明当时，；(Ⅱ)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域．【解析】⑴证明：∵当时，∴在上单调递增∴时，∴⑵由(1)知，当时，的值域为，只有一解．使得，当时，单调减；当时，单调增记，在时，，∴单调递增∴．7、（2016年全国III高考）设函数，其中，记的最大值为．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求；（Ⅲ）证明．解析：（Ⅰ）．（Ⅱ）当时，因此，．………4分当时，将变形为．令，则是在上的最大值，，，且当时，取得极小值，极小值为．令，解得（舍去），．8、（2016年浙江高考）已知，函数F（x）=min{2|x?1|，x2?2ax+4a?2}，其中min{p，q}=（I）求使得等式F（x）=x2?2ax+4a?2成立的x的取值范围；（II）（i）求F（x）的最小值m（a）；（ii）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.（II）（i）设函数，，则，，所以，由的定义知，即．（ii）当时，，当时，．所以，．9、(2016江苏)已知函数.（1） 设a=2,b=.① 求方程=2的根;②若对任意,不等式恒成立，求实数m的最大值；（2）若，函数有且只有1个零点，求ab的值.解：（1）因为，所以.①方程，即，亦即，所以，于是，解得.②由条件知.因为对于恒成立，且，所以对于恒成立.而，且，所以，故实数的最大值为4.（2）因为函数只有1个零点，而，所以0是函数的唯一零点.因为，又由知，所以有唯一解.令，则，从而对任意，，所以是上的单调增函数，于是当，；当时，.因而函数在上是单调减函数，在上是单调增函数.下证.若，则，于是，又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为.因为，所以，又，所以与"0是函数的唯一零点"矛盾.若，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾.因此，.于是，故，所以.