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2014～2016年高考数学理科汇编详解：第十章计数原理、概率与统计第二节二项式定理及其应用A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·四川，2)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为()A.-15x4B.15x4C.-20ix4D.20ix42.(2015·新课标全国Ⅰ，10)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.603.(2015·湖南，6)已知x－ax5的展开式中含的项的系数为30，则a＝()A.3B.－3C.6D.－64.(2015·陕西，4)二项式(x＋1)n(n∈N＋)的展开式中x2的系数为15，则n＝()A.4B.5C.6D.75.(2014·湖北，2)若二项式2x＋ax7的展开式中1x3的系数是84，则实数a＝()A.2B.54C.1D.246.(2014·浙江，5)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝()A.45B.60C.120D.2107.(2014·四川，2)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为()A.30B.20C.15D.108.(2014·湖南，4)12x－2y5的展开式中x2y3的系数是()A.－20B.－5C.5D.209.(2016·全国Ⅰ，14)(2x＋x)5的展开式中，x3的系数是______________(用数字填写答案).10.(2016·北京，10)在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为________.11.(2015·北京，9)在(2＋x)5的展开式中，x3的系数为________(用数字作答).12.(2015·天津，12)在x－14x6的展开式中，x2的系数为________.13.(2014·新课标全国Ⅰ，13)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________(用数字填写答案).14.(2014·新课标全国Ⅱ，13)(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________(用数字作答).15.(2014·安徽，13)设a≠0，n是大于1的自然数，1＋xan的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如图所示，则a＝________.16.(2014·山东，14)若ax2＋bx6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________.17.(2014·大纲全国，13)xy－yx8的展开式中x2y2的系数为________(用数字作答).B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·湖北天门模拟)在ax6＋bx4的二项展开式中，如果x3的系数为20，那么ab3＝()A.20B.15C.10D.52.(2015·安徽江南十校模拟)在二项式x3－1xn(n∈N*)的展开式中，常数项为28，则n的值为()A.12B.8C.6D.43.(2015·东北三省三校模拟)设二项式x－12n(n∈N*)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an、bn，则a1＋a2＋…＋anb1＋b2＋…＋bn＝()A.2n－1＋3B.2(2n－1＋1)C.2n＋1D.14.(2016·南京模拟)在x＋13x24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有()A.3项B.4项C.5项D.6项5.(2016·河南郑州模拟)已知(1＋ax)(1＋x)2的展开式中x2的系数为5，则a＝________.6.(2016·安徽安庆二模)将x＋4x－43展开后，常数项是________.7.(2016·天津南开中学模拟)已知a＝，则二项式ax－1x6的展开式中，含x2项的系数是________.8.(2015·安徽皖南八校三联)x＋12xn的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为________.9(2015·广东肇庆模拟)在1x－3n(n∈N*)的展开式中，所有项的系数和为－32，则1x的系数等于________.答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.A[由题可知，含x4的项为C26x4i2＝－15x4.选A.]2.C[Tk＋1＝Ck5(x2＋x)5－kyk，∴k＝2.∴C25(x2＋x)3y2的第r＋1项为C25Cr3x2(3－r)xry2，∴2(3－r)＋r＝5，解得r＝1，∴x5y2的系数为C25C13＝30.]3.D[x－ax5的展开式通项Tr＋1＝Cr5x5－r2(－1)rar·x－r2＝(－1)rarCr5x52－r，令52－r＝32，则r＝1，∴T2＝－aC15x，∴－aC15＝30，∴a＝－6，故选D.]4.C[由题意易得：Cn－2n＝15，Cn－2n＝C2n＝15，即n（n－1）2＝15，解得n＝6.]5.C[Tr＋1＝Cr7·(2x)7－r·axr＝27－rCr7ar·1x2r－7.令2r－7＝3，则r＝5.由22·C57a5＝84得a＝1，故选C.]6.C[在(1＋x)6的展开式中，xm的系数为Cm6，在(1＋y)4的展开式中，yn的系数为Cn4，故f(m，n)＝Cm6·Cn4.从而f(3，0)＝C36＝20，f(2，1)＝C26·C14＝60,f(1，2)＝C16·C24＝36,f(0，3)＝C34＝4，故选C.]7.C[只需求(1＋x)6的展开式中含x2项的系数即可,而含x2项的系数为C26＝15，故选C.]8.A[展开式的通项为Tk＋1＝Ck5(12x)5－k·(－2y)k＝(－1)k·22k－5Ck5x5－k·yk，令5－k＝2，得k＝3.则展开式中x2y3的系数为(－1)3·22×3－5C35＝－20，故选A.]9.10[(2x＋x)5展开式的通项公式Tk＋1＝Ck5(2x)5－k(x)k＝Ck525－kx5－k2，k∈{0,1,2,3,4,5}，令5－k2＝3解得k＝4，得T5＝C4525－4x5－42＝10x3，∴x3的系数是10.]10.60[展开式的通项Tr＋1＝Cr6·16－r·(－2x)r＝Cr6(－2x)r.令r＝2得T3＝C26·4x2＝60x2，即x2的系数为60.]11.40[展开式通项为：Tr＋1＝Cr525－rxr，∴当r＝3时，系数为C35·25－3＝40.]12.1516[x－14x6的展开式的通项Tr＋1＝Cr6x6－r－14xr＝Cr6－14rx6－2r；当6－2r＝2时，r＝2，所以x2的系数为C26－142＝1516.]13.－20[由二项展开式公式可知，含x2y7的项可表示为x·C78xy7－y·C68x2y6，故(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为C78－C68＝C18－C28＝8－28＝－20.]14.12[Tr＋1＝Cr10x10－rar,令10－r＝7,得r＝3,∴C310a3＝15，即10×9×83×2×1a3＝15,∴a3＝18，∴a＝12.]15.3[根据题意知a0＝1，a1＝3，a2＝4，结合二项式定理得C1n·1a＝3，C2n·1a2＝4，即n－1＝83a，n＝3a，解得a＝3.]16.2[Tr＋1＝Cr6(ax2)6－rbxr＝Cr6a6－rbrx12－3r，令12－3r＝3，则r＝3.∴C36a3b3＝20，即ab＝1.∴a2＋b2≥2ab＝2，即a2＋b2的最小值为2.]17.70[Tr＋1＝Cr8·xy8－r·－yxr＝(－1)r·Cr8·x16－3r2·y3r－82，令16－3r2＝2，3r－82＝2，得r＝4.所以展开式中x2y2的系数为(－1)4·C48＝70.]B组两年模拟精选(2016～2015年)1.D[Tr＋1＝Cr4a4－rbrx24－7r，令24－7r＝3，得r＝3，则4ab3＝20，∴ab3＝5.]2.B[展开式中第r＋1项是Crn(x3)n－r·－1xr＝Crnx3n－4r(－1)r＝28，则3n－4r＝0，（－1）r＝1，Crn＝28，∴n＝8，r＝6.]3.C[由题意知an＝2n成等比数列,令x＝1则bn＝12n也成等比数列,所以a1＋a2＋…＋anb1＋b2＋…＋bn＝2n＋1，故选C.]4.C[Tr＋1＝Cr24(x)24－r13xr＝Cr24x12－5r6,故当r＝0,6,12,18,24时,幂指数为整数,共5项.]5.2[∵(1＋ax)(1＋x)2＝(1＋ax)(1＋2x＋x2)＝ax3＋(1＋2a)x2＋(a＋2)x＋1，∵展开式中x2的系数为5，∴1＋2a＝5，解得a＝2.]6.-160[x＋4x－43＝x－2x6，展开后的通项为Ck6(x)6－k－2xk＝(－2)kCk6(x)6－2k，令6－2k＝0，得k＝3，故常数项为C36(－2)3＝－160.]7.-192[a＝=2，则ax－1x6＝2x－1x6，展开式的通项为Tr＋1＝Cr6(2x)6－r·(－1)r(x)－r＝(－1)rCr6·26－r·x3－r，令3－r＝2，得r＝1.故含x2项的系数是(－1)1·C16·26－1＝－192.]8.212[由已知条件第五项和第六项的二项式系数最大，得n＝9，则x＋12x9的展开式中第四项T4＝C39(x)612x3＝212.]9.-270[(2)在1x－3n中，令x＝1，可得(－2)n＝－32，则n＝5，1x－35的展开式的通项为Tr＋1＝Cr51x5－r(－3)r，令5－r＝2，得r＝3，则令1x的项为T4＝C351x2(－3)3＝－270·1x，故1x系数为－270.]第六节离散型随机变量的分布列、均值与方差A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2014·浙江，9)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1,2)个球放入甲盒中.(a)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1,2)；(b)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i＝1，2).则()A.p1>p2，E(ξ1)<E(ξ2)B.p1<p2，E(ξ1)>E(ξ2)C.p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2)D.p1<p2，E(ξ1)<E(ξ2)2.(2016·全国Ⅰ，19)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？3.(2016·全国Ⅱ，18)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥5概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05(1)求续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.4.(2016·山东，19)甲、乙两人组成"星队"参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则"星队"得3分；如果只有一个人猜对，则"星队"得1分；如果两人都没猜对，则"星队"得0分.已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设"星队"参加两轮活动，求：(1)"星队"至少猜对3个成语的概率；(2)"星队"两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X).5.(2015·安徽，17)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望).6.(2015·福建，16)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望.7.(2015·重庆，17)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望.8.(2015·天津，16)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件"选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会"，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.9.(2015·山东，19)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为"三位递增数"(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的"三位递增数"中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的"三位递增数"的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分.(1)写出所有个位数字是5的"三位递增数"；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X).10.(2015·湖南，18)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望.11.(2014·天津，16)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.12.(2014·四川，17)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.13.(2014·山东，18)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情况记0分.对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为12，在D上的概率为13；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为15，在D上的概率为35.假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响.求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望.14.(2014·重庆，18)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望.(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数.)15.(2014·江西，21)随机将1,2，…，2n(n∈N*，n≥2)这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数.A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2，记ξ＝a2－a1，η＝b2－b1.(1)当n＝3时，求ξ的分布列和数学期望；(2)令C表示事件"ξ与η的取值恰好相等"，求事件C发生的概率P(C)；(3)对(2)中的事件C，C表示C的对立事件，判断P(C)和P(C)的大小关系，并说明理由.16.(2014·安徽，17)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23,乙获胜的概率为13,各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望).17.(2014·福建，18)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：(ⅰ)顾客所获的奖励额为60元的概率；(ⅱ)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.18.(2014·辽宁，18)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X).B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·广东茂名模拟)若离散型随机变量X的分布列为X 0 1P a2a22
则X的数学期望E(X)＝()A.2B.2或12C.12D.12.(2016·山东滨州模拟)设ξ是离散型随机变量，P(ξ＝x1)＝23，P(ξ＝x2)＝13，且x1<x2，又已知E(ξ)＝43，D(ξ)＝29，则x1＋x2的值为()A.53B.73C.3D.1133.(2015·安徽芜湖一模)若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为()A.3·2－2B.2－4C.3·2－10D.2－84.(2015·福建福州调研)已知随机变量ξ和η，其中η＝4ξ－2，且E(η)＝7，若ξ的分布列如下表，则n的值为()ξ 1 2 3 4P 14m n 112
A.13B.14C.16D.185.(2016·豫南九校模拟)甲，乙，丙三名音乐爱好者参加某电视台举办的演唱技能海选活动，在本次海选中有合格和不合格两个等级，若海选合格记1分，海选不合格记0分，假设甲，乙，丙海选合格的概率分别为23，34，12，他们海选合格，不合格是相互独立的.(1)求在这次海选中，这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率；(2)记在这一次海选中，甲，乙，丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ.6.(2015·甘肃兰州市诊断考试)为迎接2015年在兰州举行的"中国兰州国际马拉松赛",某单位在推介晚会中进行嘉宾现场抽奖活动.抽奖盒中装有大小相同的6个小球，分别印有"兰州马拉松"和"绿色金城行"两种标志,摇匀后，规定参加者每次从盒中同时抽取两个小球(登记后放回并摇匀),若抽到的两个小球都印有"兰州马拉松"即可中奖,并停止抽奖,否则继续，但每位嘉宾最多抽取3次.已知从盒中抽取两个小球不都是"绿色金城行"标志的概率为45.(1)求盒中印有"兰州马拉松"标志的小球个数；(2)用η表示某位嘉宾抽奖的次数，求η的分布列和期望.7.(2016·河南省邵阳检测)某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.把符合条件的1000名志愿者按年龄分组：第1组[20，25)，第2组[25，30)、第3组[30，35)、第4组[35，40)、第5组[40，45)，得到的频率分布直方图如图所示.(1)若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取12名志愿者参加广场的宣传活动,应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？(2)在(1)的条件下，该市决定在这12名志愿者中随机抽取3名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率；(3)在(2)的条件下，若ξ表示抽出的3名志愿者中第3组的人数，求ξ的分布列和数学期望.8.(2015·黑龙江齐齐哈尔市三模)为帮助台湾抗击登革热疫情，我国一家医药研究所，从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗"登革热病毒"的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为12、13.现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物.如果试用中，甲种抗病毒药物的治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为"甲类组".(1)求一个试用组为"甲类组"的概率；(2)观察3个试用组,用X表示这3个试用组中"甲类组"的个数,求X的分布列和数学期望.答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.A[法一(特值法)取m＝n＝3进行计算、比较即可.法二(标准解法)从乙盒中取1个球时,取出的红球的个数记为ξ,则ξ的所有可能取值为0,1,则P(ξ＝0)＝nm＋n＝P(ξ1＝1),P(ξ＝1)＝mm＋n＝P(ξ1＝2),所以E(ξ1)＝1·P(ξ1＝1)＋2·P(ξ1＝2)＝mm＋n＋1,所以p1＝E（ξ1）2＝2m＋n2（m＋n）；从乙盒中取2个球时，取出的红球的个数记为η，则η的所有可能取值为0,1,2，则P(η＝0)＝C2nC2m＋n＝P(ξ2＝1),P(η＝1)＝C1nC1mC2m＋n＝P(ξ2＝2),P(η＝2)＝C2mC2m＋n＝P(ξ2＝3),所以E(ξ2)＝1·P(ξ2＝1)＋2P(ξ2＝2)＋3P(ξ2＝3)＝2mm＋n＋1,所以p2＝E（ξ2）3＝3m＋n3（m＋n），所以p1>p2，E(ξ1)<E(ξ2)，故选A.]2.解(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04；所以X的分布列为X 16 17 18 19 20 21 22P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).当n＝19时，EY＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4040.当n＝20时，EY＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080.可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.3.解(1)设A表示事件："续保人本年度的保费高于基本保费"，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.(2)设B表示事件："续保人本年度的保费比基本保费高出60%"，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15.又P(AB)＝P(B)，故P(B|A)＝P（AB）P（A）＝P（B）P（A）＝0.150.55＝311.因此所求概率为311.(3)记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2aP 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05E(X)＝0.85a×0.30＋a×0.15＋1.25a×0.20＋1.5a×0.20＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.4.解(1)记事件A："甲第一轮猜对"，记事件B："乙第一轮猜对"，记事件C："甲第二轮猜对"，记事件D："乙第二轮猜对"，记事件E："'星队'至少猜对3个成语".由题意，E＝ABCD＋A－BCD＋AB－CD＋ABC－D＋ABCD－.由事件的独立性与互斥性，P(E)＝P(ABCD)＋P(A－BCD)＋P(AB－CD)＋P(ABC－D)＋P(ABCD－)＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A－)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B－)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C－)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D－)＝34×23×34×23＋2×14×23×34×23＋34×13×34×23＝23.所以"星队"至少猜对3个成语的概率为23.(2)由题意，随机变量X可能的取值为0，1，2，3，4，6.由事件的独立性与互斥性，得P(X＝0)＝14×13×14×13＝1144，P(X＝1)＝2×34×13×14×13＋14×23×14×13＝10144＝572，P(X＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，P(X＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112，P(X＝4)＝2×34×23×34×13＋34×23×14×23＝60144＝512.P(X＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14.可得随机变量X的分布列为x 0 1 2 3 4 6P 11445722514411251214
所以数学期望EX＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236.5.解(1)记"第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品"为事件A.P(A)＝A12A13A25＝310.(2)X的可能取值为200，300，400.P(X＝200)＝A22A25＝110，P(X＝300)＝A33＋C12C13A22A35＝310，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－110－310＝610.故X的分布列为X 200 300 400P 110310610
E(X)＝200×110＋300×310＋400×610＝350.6.解(1)设"当天小王的该银行卡被锁定"的事件为A，则P(A)＝56×45×34＝12.(2)依题意得，X所有可能的取值是1，2，3.又P(X＝1)＝16，P(X＝2)＝56×15＝16，P(X＝3)＝56×45×1＝23.所以X的分布列为X 1 2 3P 161623
所以E(X)＝1×16＋2×16＋3×23＝52.7.解(1)令A表示事件"三种粽子各取到1个",则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝C12C13C15C310＝14.(2)X的所有可能值为0,1,2,且P(X＝0)＝C38C310＝715，P(X＝1)＝C12C28C310＝715，P(X＝2)＝C22C18C310＝115.综上知，X的分布列为X 0 1 2P 715715115
故E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35(个).8.解(1)由已知，有P(A)＝C22C23＋C23C23C48＝635.所以，事件A发生的概率为635.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X＝k)＝Ck5C4－k3C48(k＝1,2,3,4).所以随机变量X的分布列为X 1 2 3 4P 1143737114
随机变量X的数学期望E(X)＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52.9.解(1)个位数是5的"三位递增数"有125，135，145，235，245，345；(2)由题意知，全部"三位递增数"的个数为C39＝84，随机变量X的取值为：0，－1，1，因此P(X＝0)＝C38C39＝23，P(X＝-1)＝C24C39＝114，P(X＝1)＝1－114－23＝1142，所以X的分布列为X 0 －1 1P 231141142
则E(X)＝0×23＋(－1)×114＋1×1142＝421.10.解(1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}.由题意，A1与A2相互独立，A1A2与A1A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1A2＋A1A2，C＝B1＋B2.因为P(A1)＝410＝25，P(A2)＝510＝12，所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝25×12＝15，P(B2)＝P(A1A2＋A1A2)＝P(A1A2)＋P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A2)＝P(A1)(1－P(A2))＋(1－P(A1))P(A2)＝25×1－12＋1－25×12＝12.故所求概率为P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝15＋12＝710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X～B3，15.于是P(X＝0)＝C03150453＝64125，P(X＝1)＝C13151452＝48125，P(X＝2)＝C23152451＝12125，P(X＝3)＝C33153450＝1125.故X的分布列为X 0 1 2 3P 6412548125121251125
X的数学期望为E(X)＝3×15＝35.11.解(1)设"选出的3名同学是来自互不相同的学院"为事件A，则P(A)＝C13·C27＋C03·C37C310＝4960.所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X的所有可能值为0，1，2，3.P(X＝k)＝Ck4·C3－k6C310(k＝0，1，2，3).所以，随机变量X的分布列是X 0 1 2 3P 1612310130
随机变量X的数学期望E(X)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.12.解(1)X可能的取值为：10，20，100，－200.根据题意，有P(X＝10)＝C13×121×1－122＝38，P(X＝20)＝C23×122×1－121＝38，P(X＝100)＝C33×123×1－120＝18，P(X＝－200)＝C03×120×1－123＝18.所以X的分布列为X 10 20 100 －200P 38381818
(2)设"第i盘游戏没有出现音乐"为事件Ai(i＝1，2，3)，则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝18.所以，"三盘游戏中至少有一次出现音乐"的概率为1－P(A1A2A3)＝1－183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(3)X的数学期望为E(X)＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54.这表明，获得分数X的均值为负，因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大.13.解(1)记Ai为事件"小明对落点在A上的来球回球的得分为i分"(i＝0,1,3)，则P(A3)＝12，P(A1)＝13，P(A0)＝1－12－13＝16；记Bi为事件"小明对落点在B上的来球回球的得分为i分"(i＝0，1，3)，则P(B3)＝15，P(B1)＝35，P(B0)＝1－15－35＝15.记D为事件"小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上".由题意，D＝A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3，由事件的独立性和互斥性，P(D)＝P(A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3)＝P(A3B0)＋P(A1B0)＋P(A0B1)＋P(A0B3)＝P(A3)P(B0)＋P(A1)P(B0)＋P(A0)P(B1)＋P(A0)P(B3)＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15＝310，所以小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率为310.(2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，4，6，由事件的独立性和互斥性，得P(ξ＝0)＝P(A0B0)＝16×15＝130，P(ξ＝1)＝P(A1B0＋A0B1)＝P(A1B0)＋P(A0B1)＝13×15＋16×35＝16，P(ξ＝2)＝P(A1B1)＝13×35＝15，P(ξ＝3)＝P(A3B0＋A0B3)＝P(A3B0)＋P(A0B3)＝12×15＋16×15＝215，P(ξ＝4)＝P(A3B1＋A1B3)＝P(A3B1)＋P(A1B3)＝12×35＋13×15＝1130，P(ξ＝6)＝P(A3B3)＝12×15＝110.可得随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3 4 6P 13016152151130110
所以数学期望E(ξ)＝0×130＋1×16＋2×15＋3×215＋4×1130＋6×110＝9130.14.解(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为p＝C34＋C33C39＝584.(2)X的所有可能值为1,2,3,且P(X＝1)＝C24C15＋C34C39＝1742，P(X＝2)＝C13C14C12＋C23C16＋C33C39＝4384，P(X＝3)＝C22C17C39＝112，故X的分布列为X 1 2 3P 17424384112
从而E(X)＝1×1742＋2×4384＋3×112＝4728.15.解(1)当n＝3时，ξ的所有可能取值为2，3，4，5.将6个正整数平均分成A，B两组，不同的分组方法共有C36＝20种，所以ξ的分布列为ξ 2 3 4 5P 1531031015
E(ξ)＝2×15＋3×310＋4×310＋5×15＝72.(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为：n－1，n，n＋1，…，2n－2.又ξ和η恰好相等且等于n－1时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于n时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于n＋k(k＝1，2，…，n－2)(n≥3)时，不同的分组方法有2Ck2k种；所以当n＝2时，P(C)＝46＝23，当n≥3时，P(C)＝.(3)由(2)知当n＝2时，P()＝13，因此P(C)>P().而当n≥3时，P(C)<P()，理由如下：P(C)<P()等价于<.①用数学归纳法来证明：1°当n=3时，①式左边=4（2+）=4（2+2）=16，①右边==20，所以①式成立.2°假设n=m(m≥3)时①式成立，那么，当n=m+1时，左边=＝（2m）！m！m！＋4·（2m－2）！（m－1）！（m－1）！＝（m＋1）2（2m）（2m－2）！（4m－1）（m＋1）！（m＋1）！<（m＋1）2（2m）（2m－2）！（4m）（m＋1）！（m＋1）！＝Cm＋12（m＋1）·2（m＋1）m（2m＋1）（2m－1）<Cm＋12（m＋1）＝右边.即当n＝m＋1时①式也成立.综合1°，2°得：对于n≥3的所有正整数，都有P(C)<P()成立.16.解用A表示"甲在4局以内(含4局)赢得比赛"，Ak表示"第k局甲获胜"，Bk表示"第k局乙获胜"，则P(Ak)＝23，P(Bk)＝13，k＝1，2，3，4，5.(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4)＝232＋13×232＋23×13×232＝5681.(2)X的可能取值为2，3，4，5.P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝59，P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)·P(B3)＝29，P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)·P(A2)P(B3)P(B4)＝1081，P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝881.故X的分布列为X 2 3 4 5P 59291081881
E(X)＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.17.解(1)设顾客所获的奖励额为X.(ⅰ)依题意，得P(X＝60)＝C11C13C24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.(ⅱ)依题意，得X的所有可能取值为20，60.P(X＝60)＝12，P(X＝20)＝C23C24＝12，即X的分布列为X 20 60P 1212
所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)＝20×12＋60×12＝40(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X1 20 60 100P 162316
X1的期望为E(X1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60，X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝16003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X2 40 60 80P 162316
X2的期望为E(X2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60，X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.18.解(1)设A1表示事件"日销售量不低于100个"，A2表示事件"日销售量低于50个"，B表示事件"在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个"，因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为P(X＝0)＝C03·(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216.分布列为X 0 1 2 3P 0.064 0.288 0.432 0.216因为X～B(3，0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.C[因为分布列中概率和为1，所以a2＋a22＝1，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2(舍去)或a＝1，所以E(X)＝12.故选C.]2.C[由E(ξ)＝43，D(ξ)＝29，得23x1＋13x2＝43，x1－432·23＋x2－432·13＝29，解得x1＝53，x2＝23或x1＝1，x2＝2，由于x1<x2，∴x1＝1，x2＝2，∴x1＋x2＝3.]3.C[E(X)＝np＝6,D(X)＝np(1－p)＝3,∴p＝12,n＝12,则P(X＝1)＝C112·12·1211＝3·2－10.]4.A[η＝4ξ－2?E(η)＝4E(ξ)－2?7＝4·E(ξ)－2＝7?E(ξ)＝94?94＝1×14＋2×m＋3×n＋4×112，又14＋m＋n＋112＝1，联立求解可得n＝13，应选A.]5.解(1)记"甲海选合格"为事件A，"乙海选合格"为事件B，"丙海选合格"为事件C，"甲，乙，丙至少有一名海选合格"为事件E，则P(E)＝1－P(A－B－C－)＝1－13×14×12＝2324.(2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3.P(ξ＝0)＝P(A－B－C－)＝124，P(ξ＝1)P(AB－C－)＋P(A－BC－)＋P(A－B－C)＝624，P(ξ＝2)P(ABC－)＋P(AB－C)＋P(A－BC)＝1124，P(ξ＝3)＝P(ABC)＝624.∴ξ的分布列为ξ 0 1 2 3P 1246241124624
∴Eξ＝0×124＋1×624＋2×1124＋3×624＝2312.6.解(1)设印有"绿色金城行"的球有n个，同时抽两球不都是"绿色金城行"标志为事件A，则同时抽取两球都是"绿色金城行"标志的概率是P(A－)＝C2nC26，由对立事件的概率：P(A)＝1－P(A－)＝45.即P(A－)＝C2nC26＝15，解得n＝3.(2)由已知，两种球各三个，η可能取值分别为1，2，3，P(η＝1)＝C23C26＝15，P(η＝2)＝C23C26·C23C26＋C13C13C26·C23C26＝425，P(η＝3)＝1－P(η＝1)－P(η＝2)＝1625.或P（η＝3）＝C23C26·C23C26＋C23C26·C13C13C26＋C13C13C26·C23C26＋C13c13C26·C13C13C26＝1625则η的分布列为η 1 2 3P 154251625
所以E(η)＝1×15＋2×425＋3×1625＝6125.7.解(1)由题意可知，第3组的人数为0.06×5×1000＝300，第4组的人数为0.04×5×1000＝200，第5组的人数为0.02×5×1000＝100，第3、4、5组共600名志愿者，故由分层抽样的特点可知每组抽取的人数为：第3组12600×300＝6，第4组12600×200＝4，第5组12600×100＝2，所以第3、4、5组分别抽取6人，4人，2人.(2)从12名志愿者中抽取3名共有C312＝220种可能，第4组至少有一位志愿者被抽中有C312－C38＝164种可能，所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为P＝164220＝4155.(3)ξ的可能取值为：0,1,2,3,且P(ξ＝0)＝C06C36C312＝20220，P(ξ＝1)＝C16C26C312＝90220，p(ξ＝2)＝C26C16C312＝90220，P(ξ＝3)＝C36C06C312＝20220.所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3P 20220902209022020220
E(ξ)＝0×20220＋1×90220＋2×90220＋3×20220＝3322.8.解(1)设Ai表示事件"一个试用组中，服用甲种抗病毒药物有效的有i人"，i＝0，1，2，Bi表示事件"一个试用组中，服用乙种抗病毒药物有效的有i人"i＝0，1，2，依题意有P(A1)＝2×12×12＝12，P(A2)＝12×12＝14，P(B0)＝23×23＝49，P(B1)＝2×13×23＝49，所求的概率为：P＝P(B0A1)＋P(B0A2)＋P(B1A2)＝49.(2)X的可能的值为0，1，2，3.P(X＝k)＝Ck349k593－k(k＝0，1，2，3)其分布列为X 0 1 2 3P 1257291002438024364729
∵X～B3，49，∴数学期望E(η)＝43.第七节统计与统计案例A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·全国Ⅲ，4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃。下面叙述不正确的是()A.各月的平均最低气温都在0℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20℃的月份有5个2.(2016·山东，3)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A.56B.60C.120D.1403.(2015·陕西，2)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为()A.167B.137C.123D.934.(2015·安徽，6)若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为()A.8B.15C.16D.325.(2015·重庆，3)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是()A.19B.20C.21.5D.236.(2015·新课标全国Ⅱ，31)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图.以下结论不正确的是()A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关7.(2015·福建，4)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9支出y(万元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8根据上表可得回归直线方程y^＝b^x＋a^，其中b^＝0.76，a^＝y－b^x.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元8.(2014·重庆，3)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x－＝3，y＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A.y^＝0.4x＋2.3B.y^＝2x－2.4C.y^＝－2x＋9.5D.y^＝－0.3x＋4.49.(2014·湖北，4)根据如下样本数据x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0得到的回归方程为y^＝bx＋a，则()A.a>0，b>0B.a>0，b<0C.a<0，b>0D.a<0，b<010.(2014·山东，7)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()A.6B.8C.12D.1811.(2014·陕西，9)设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为()A.1＋a,4B.1＋a,4＋aC.1,4D.1,4＋a12.(2014·湖南，2)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()A.p1＝p2<p3B.p2＝p3<p1C.p1＝p3<p2D.p1＝p2＝p313.(2014·广东，6)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A.200,20B.100,20C.200,10D.100,1014.(2016·全国Ⅲ，18)如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图：(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.15.(2016·北京，16)A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：(1)试估计C班的学生人数；(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取1人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；(3)再从A,B,C三个班中各任取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位：小时).这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小(结论不要求证明).16.(2015·江苏，2)已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为________.17.(2015·湖南，12)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________.18.(2015·新课标全国Ⅱ，18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分满意度等级 不满意 满意 非常满意记事件C："A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级".假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率.19.(2015·新课标全国Ⅰ，19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xywi＝18(xi－x)2i＝18(wi－w)2i＝18(xi－x)·(yi－y)i＝18(wi－w)·(yi－y)
46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中wi＝xi，w＝18i＝18wi.(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β^＝i＝1nui－uvi－vi＝1nui－u2，α^＝v－β^u.20.(2014·天津，9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生.21.(2014·江苏，6)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100cm.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·河南郑州模拟)已知甲,乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同,平均数也相同,则图中的m、n的比值mn＝()A.1B.13C.18D.382.(2016·山东济宁模拟)在一组样本数据的频率分布直方图中，共有5个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他4个小长方形的面积和的25，且样本容量为280，则中间一组的频数为()A.56B.80C.112D.1203.(2016·陕西质检)一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，若样本中数据在[20，60)内的频率为0.8，则样本中在[40，60)内的数据个数为()A.15B.16C.17D.194.(2016·四川成都第二次诊断)某校高三(1)班在某次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间[100，128]内，将该班所有同学的考试分数分为七个组[100，104)，[104，108)，[108，112)，[112，116)，[116，120)，[120，124)，[124，128]，绘制出频率分布直方图如图所示，已知分数低于112分的人有18人，则分数不低于120分的人数为()A.10B.12C.20D.405.(2014·枣庄模拟)通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毽子，得到如下的列联表： 男 女 总计爱好 10 40 50不爱好 20 30 50总计 30 70 100附表：P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025k0 2.706 3.841 5.024随机变量K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）经计算，统计量K2的观测值k0≈4.762，参照附表，得到的正确结论是()A.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为"爱好该项运动与性别有关"B.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为"爱好该项运动与性别无关"C.有97.5%以上的把握认为"爱好该项运动与性别有关"D.有97.5%以上的把握认为"爱好该项运动与性别无关"6.(2016·豫南九校模拟)淘宝网站对购物情况做了一项调查，收回的有效问卷共500000份，其中购买下列四种商品的人数统计为：服饰鞋帽198000人；家居用品94000人，化妆品116000人；家用电器92000人.为了解消费者对商品的满意度，淘宝网站用分层抽样的方法从中选出部分问卷进行调查，已知在购买"化妆品"这一类中抽取了116份，则在购买"家居用品"这一类中取抽取的问卷份数为()A.92B.94C.116D.1187.(2015·安徽宿州模拟)某种商品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为y^＝6.5x＋17.5，则表中的m的值为()x 2 4 5 6 8y 30 40 m 50 70A.45B.50C.55D.608.(2015·山东青岛二模)高三(3)班共有学生56人，座号分别为1，2，3，…，56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本.已知3号，17号，45号同学在样本中，那么样本中另外一个同学的座号是()A.30B.31C.32D.339.(2016·四川雅安模拟)某次测量发现一组数据(xi，yi)具有较强的相关性，并计算得＝x＋1，其中数据(1，y1)因书写不清楚，只记得y1是[0，3]上的一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率为________.(残差＝真实值－预测值).10.(2016·广东惠州模拟)某单位为了了解用电量y(度)与当天平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的当天平均气温与用电量(如下表)，运用最小二乘法得线性回归方程为＝－2x＋a，则a＝________.当天平均气温x(℃) 18 13 10 －1用电量y(度) 25 35 37 6311.(2016·河北沧州模拟)为备战2016年奥运会，甲、乙两位射击选手进行了强化训练.现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：8.3，9.0，7.9，7.8，9.4，8.9，8.4，8.3；乙：9.2，9.5，8.0，7.5，8.2，8.1，9.0，8.5.(1)画出甲、乙两位选手成绩的茎叶图；(2)现要从中选派一人参加奥运会封闭集训，从统计学角度，你认为派哪位选手参加合理？简单说明理由；(3)若将频率视为概率，对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩中不低于8.5分的次数为X，求X的分布列及均值E(X)、方差D(X).12.(2015·宁夏银川一模)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期 昼夜温差x(℃) 就诊人数y(个)1月10日 10 222月10日 11 253月10日 13 294月10日 12 265月10日 8 166月10日 6 12该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程＝bx＋a；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.D[由题意知，平均最高气温高于20℃的有六月，七月，八月，故选D.]2.D[设所求人数为N，则N＝2.5×(0.16＋0.08＋0.04)×200＝140，故选D.]3.B[由题干扇形统计图可得该校女教师人数为:110×70%+150×(1-60%)＝137.故选B.]4.C[法一由题意知，x1＋x2＋…＋x10＝10x，s1＝110[（x1－x）2＋（x2－x）2＋…＋（x10－x）2]，则y＝1n[(2x1－1)＋(2x2－1)＋…＋(2x10－1)]＝1n[2(x1＋x2＋…＋x10)－n]＝2x－1，所以S2＝110[（2x1－1－y）2＋（2x2－1－y）2＋…＋（2x10－1－y）2]＝410[（x1－x）2＋（x2－x）2＋…＋（x10－x）2]＝2s1，故选C.法二由方差的性质可得.]5.B[从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B.]6.D[从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A选项正确；2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B选项正确；虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即C选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D选项错误，故选D.]7.B[回归直线一定过样本点中心(10，8)，∵＝0.76，∴a^＝0.4，由＝0.76x＋0.4得当x＝15万元时，＝11.8万元.故选B.]8.A[由变量x与y正相关知C、D均错，又回归直线经过样本中心(3，3.5)，代入验证得A正确，B错误.故选A.]9.B[把样本数据中的x，y分别当作点的横、纵坐标，在平面直角坐标系xOy中作出散点图，由图可知b<0，a>0.故选B.]10.C[由题图可知，第一组和第二组的频率之和为(0.24＋0.16)×1＝0.40,故该试验共选取的志愿者有200.40＝50人.所以第三组共有50×0.36＝18人,其中有疗效的人数为18-6＝12.]11.A[∵x1，x2，…，x10的均值x＝1，方差s21＝4，且yi＝xi＋a(i＝1，2，…，10)，∴y1，y2，…,y10的均值y＝110(y1+y2+…+y10)＝110(x1+x2+…+x10+10a)＝110(x1+x2+…+x10)+a＝x+a＝1+a，其方差s22＝110[(y1-y)2+(y2-y)2+…+(y10-y)2]＝110[(x1-1)2＋(x2-1)2＋…＋(x10-1)2]＝s21＝4.故选A.]12.D[因为采取简单随机抽样、系统抽样和分层抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率相等，故选D.]13.A[由题图可知，样本容量等于(3500＋4500＋2000)×2%＝200；抽取的高中生近视人数为2000×2%×50%＝20，故选A.]14.解（1）由折线图中数据和附注中参考数据得r≈2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.(2)由y－＝9.327≈1.331及(1)得＝2.8928≈0.103，a^＝y－－b^t－≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y关于t的回归方程为y^＝0.92＋0.10t.将2016年对应的t＝9代入回归方程得y^＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨.15.解(1)C班学生人数约为100×85＋7＋8＝100×820＝40(人).(2)设事件Ai为"甲是现有样本中A班的第i个人"，i＝1，2，…，5.事件Cj为"乙是现有样本中C班的第j个人"，j＝1，2，…，8.由题意可知P(Ai)＝15，i＝1，2，…，5；P(Cj)＝18，j＝1，2，…，8.P(AiCj)＝P(Ai)P(Cj)＝15×18＝140，j＝1，2，…，5，j＝1，2，…，8.设事件E为"该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长"，由题意知，E＝A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.因此P(E)＝P(A1C1)＋P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(A2C2)＋P(A2C3)＋P(A3C1)＋P(A3C2)＋P(A3C3)＋P(A4C1)＋P(A4C2)＋P(A4C3)＋P(A5C1)＋P(A5C2)＋P(A5C3)＋P(A5C4)＝15×140＝38.(3)μ1＜μ0.16.6[这组数据的平均数为16(4＋6＋5＋8＋7＋6)＝6.]17.4[由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，落在区间[139，151]的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名.]18.解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.(2)记CA1表示事件："A地区用户的满意度等级为满意或非常满意"；记CA2表示事件："A地区用户的满意度等级为非常满意"；记CB1表示事件："B地区用户的满意度等级为不满意"；记CB2表示事件："B地区用户的满意度等级为满意"；则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，C＝CB1CA1∪CB2CA2.P(C)＝P(CB1CA1∪CB2CA2)＝P(CB1CA1)＋P(CB2CA2)＝P(CB1)P(CA1)＋P(CB2)P(CA2).由所给数据得CA1，CA2，CB1，CB2发生的频率分别为1620，420，1020，820，故P(CA1)＝1620，P(CA2)＝420，P(CB1)＝1020，P(CB2)＝820，P(C)＝1020×1620＋820×420＝0.48.19.解(1)由散点图可以判断,y＝c+dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(2)令w＝x，先建立y关于w的线性回归方程，由于d^＝i＝18wi－wyi－yi＝18wi－w2＝108.81.6＝68，c^＝y－d^w＝563－68×6.8＝100.6，所以y关于w的线性回归方程为y^＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为y^＝100.6＋68x.(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值y^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z的预报值z^＝576.6×0.2－49＝66.32.②根据(2)的结果知，年利润z的预报值z^＝0.2(100.6＋68x)－x＝－x＋13.6x＋20.12.所以当x＝13.62＝6.8，即x＝46.24时，z^取得最大值.故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.20.60[420×300＝60(名).]21.24[60×(0.015＋0.025)×10＝24.]B组两年模拟精选(2016～2015年)1.D[根据茎叶图，得乙组的中位数是33，甲组的中位数也是33，即m＝3，又甲＝13(27＋39＋33)＝33，所以乙＝14(20＋n＋32＋34＋38)＝33，解得n＝8，所以mn＝38.]2.B[易知中间小长形对应的频率为27,又样本容量为280,所以该组的频数为280×27＝80,故选B.]3.A[由题意知，样本中在[40，60)内的数据个数为30×0.8－4－5＝15，故选A.]4.A[分数低于112分的人对应的频率/组距为0.09，分数不低于120分的人数对应的频率/组距为0.05，故其人数为180.09×0.05＝10人.]5.A[根据题意得k0≈4.762>3.841，故应该有95%的把握认为"爱好该运动与性别有关".6.B[在购买"化妆品"这一类中抽取了116份，设在购买"家居用品"这一类中应抽取的问卷份数为x，则116116000＝x94000，解得x＝94，故选B.]7.D[因为线性回归方程为＝6.5x＋17.5恒过样本中心点，而＝5，∴＝50，则m＝60，故选D.]8.B[样本间隔为56÷4＝14，则另外一个同学座号为14＋17＝31，故选B.9.23[由题意得y1的预测值为1＋1＝2，要满足题意，则1≤y1≤3，由几何概型得所求概率P＝3－13＝23.]10.60[＝18＋13＋10－14＝10，＝25＋35＋37＋634＝40，所以样本点的中心,为(10,40).因为回归直线经过样本点的中心,所以40＝-2×10＋a,解得a＝60.]11.解(1)甲、乙两位选手成绩的茎叶图如图：(2)因为甲＝乙＝8.5，又s2甲＝0.27，s2乙＝0.405，得s2甲<s2乙，所以选派甲合适.(3)依题意得，乙不低于8.5分的频率为12，X的可能取值为0，1，2，3.则X～B3，12，∴P(X＝k)＝Ck312k1－123－k＝Ck3123，k＝0，1，2，3.所以X的分布列为X 0 1 2 3P 18383818
∴E(X)＝np＝3×12＝32，D(X)＝np(1－p)＝3×12×1－12＝34.12.解(1)设抽到相邻两个月的数据为事件A.试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，∴P(A)＝515＝13.(2)由数据求得x－＝11，y－＝24，由公式求得＝187，∴＝y－－x－＝－307，∴y关于x的线性回归方程为＝187x－307.(3)当x＝10时，＝1507，1507－22＜2；同样，当x＝6时，＝787，787－12＜2.∴该小组所得线性回归方程是理想的.第三节随机事件及其概率A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·广东，4)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为()A.1B.1121C.1021D.5212.(2014·新课标全国Ⅰ，5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.18B.58C.38D.78B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·豫南九校联考)在1，2，3，4，5，6，7，8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的概率为()A.956B.928C.914D.592.(2016·陕西西安一模)周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估计做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估计做对第二道题的概率为()A.0.80B.0.75C.0.60D.0.483.(2015·江西八校联考)甲袋中有3个白球5个黑球，乙袋中有4个白球6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋，则甲袋中白球没有减少的概率为()A.3544B.2544C.3744D.5444.(2015·广州调考)从存放号码分别为1，2，3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10取到次数 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9则取到号码为奇数的频率是()A.0.53B.0.5C.0.47D.0.375.(2016·云南师大附中适应性测试四)两所学校分别有2名、3名学生获奖，这5名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是________.6.(2016·陕西质检)从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张.事件A为"抽得红桃K"，事件B为"抽得黑桃"，则概率P(A∪B)＝________(结果用最简分数表示).7.(2015·温州五校模拟)现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为________.答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.C[从袋中任取2个球共有C215＝105种取法，其中恰好1个白球1个红球共有C110C15＝50种取法，所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为50105＝1021.]2.D[由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种情况，而4位同学都选周六有1种情况，4位同学都选周日有1种情况，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为P＝24－1－124＝1416＝78，故选D.]B组两年模拟精选(2016～2015年)1.B[分析可知，要满足题意，则抽取的除5以外的四个数字中，有两个比5小，有两个比5大，故所求概率P＝C24·C23C58＝928.]2.B[设事件Ai(i＝1，2)表示"做对第i道题"，A1，A2相互独立，由已知得P(A1)＝0.8，P(A1A2)＝0.6，∴P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝0.8·P(A2)＝0.6，解得P(A2)＝0.60.8＝0.75.故选B.]3.A[若先从甲袋中取出的是白球，则满足题意的概率为P1＝38×511＝1588；若先从甲袋中取出的是黑球，则满足题意的概率为P2＝58，易知这两种情况不可能同时发生，故所求概率为P＝P1＋P2＝1588＋58＝3544.]4.A[取到卡片的号码为奇数的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为53100＝0.53，故选A.]5.15[由题意知，所求概率P＝A22·A33·A22A55＝15.]6.726[∵P(A)＝152，P(B)＝1352，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝152＋1352＝1452＝726.]7.35[记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E，则A、B、C、D、E互斥，取到理科书的概率为事件B、D、E概率的和.∴P(B∪D∪E)＝P(B)＋P(D)＋P(E)＝15＋15＋15＝35.]第四节古典概型与几何概型A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·全国Ⅰ，4)某公司的班车在7：00,8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.13B.12C.23D.342.(2016·全国Ⅱ，10)从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn3.(2015·陕西，11)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为()A.34＋12πB.14－12πC.12－1πD.12＋1π4.(2014·陕西，6)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A.15B.25C.35D.455.(2014·湖北，7)由不等式组x≤0，y≥0，y－x－2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组x＋y≤1，x＋y≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为()A.18B.14C.34D.786.(2016·江苏，7)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________.7.(2016·山东，14)在[－1，1]上随机地取一个数k，则事件"直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交"发生的概率为________.8.(2015·江苏，5)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.9.(2015·福建，13)如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x2，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________.10.(2014·福建，14)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为______.11.(2014·江苏，4)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________.12.(2014·广东，11)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________.13.(2014·江西，12)10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________.14.(2015·北京，16)A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A组：10,11,12,13,14,15,16B组：12,13,15,16,17,14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙.(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；(2)如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(3)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·广西南宁适应性测试)某高校要从6名短跑运动员中选出4人参加全省大学生运动会中的4×100m接力赛，其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则甲跑第二棒的概率为()A.415B.215C.421D.152.(2016·湖北八校联考)设不等式组x＋y≤2，x－y≥－2，y≥0所表示的区域为M，函数y＝1－x2的图象与x轴所围成的区域为N，向M内随机投一个点，则该点落在N内的概率为()A.2πB.π4C.π8D.π163.(2015·广州模拟)在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，使△ABD为钝角三角形的概率为()A.16B.13C.12 D.234.(2015·广东佛山模拟)某校高三年级学生会主席团共有5名同学组成，其中有3名同学来自同一班级，另外两名同学来自另两个不同班级.现从中随机选出两名同学参加会议，则两名选出的同学来自不同班级的概率为()A.0.35B.0.4C.0.6D.0.75.(2016·北京西城模拟)已知函数f(x)＝lnxx，导函数为f′(x)，在区间[2，3]上任取一点x0，使得f′(x0)>0的概率为________.答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.B[如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P＝10＋1040＝12，故选B.]2.C[由题意得：(xi，yi)(i＝1，2，…，n)在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知π41＝mn，∴π＝4mn，故选C.]3.B[由|z|≤1可得(x－1)2＋y2≤1，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y≥x的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为：P＝14π×12－12×12π×12＝π4－12π＝14－12π.]4.C[从这5个点中任取2个，有C25＝10种取法，满足两点间的距离不小于正方形边长的取法有C24＝6种，因此所求概率P＝610＝35.故选C.]5.D[由题意作图，如图所示，Ω1的面积为12×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－12×22×22＝74，则所求的概率P＝742＝78.选D.]6.56[基本事件共有36个.如下：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，其中满足点数之和小于10的有30个.故所求概率为P＝3036＝56.]7.34[由已知得，圆心(5，0)到直线y＝kx的距离小于半径，∴|5k|k2＋1<3，解得－34<k<34，由几何概型得P＝34－－341－（－1）＝34.]8.56[这两只球颜色相同的概率为16，故两只球颜色不同的概率为1－16＝56.]9.512[由几何概型的概率公式：P＝1－∫21x2dx4＝512.]10.2e2[因为函数y＝ex与函数y＝lnx互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，又因为函数y＝ex与直线y＝e的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e×1－∫10exdx)＝2e－2ex10＝2e－(2e－2)＝2，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率P＝S阴影S正方形＝2e2.]11.13[从1，2，3，6中随机取2个数，共有6种不同的取法，其中所取2个数的乘积是6的有1，6和2，3，共2种，故所求概率是26＝13.]12.16[十个数中任取七个不同的数共有C710种情况，七个数的中位数为6，那么6只有处在中间位置，有C36种情况，于是所求概率P＝C36C710＝16.]13.12[从10件产品中任取4件共有C410＝210种不同的取法，因为10件产品中有7件正品、3件次品，所以从中任取4件恰好取到1件次品共有C13C37＝105种不同的取法，故所求的概率为P＝105210＝12.]14.解设事件Ai为"甲是A组的第i个人",事件Bi为"乙是B组的第i个人",i＝1,2,…,7.由题意可知P(Ai)＝P(Bi)＝17，i＝1，2，…，7.(1)由题意知，事件"甲的康复时间不少于14天"等价于"甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人"，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5∪A6∪A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝37.(2)设事件C为"甲的康复时间比乙的康复时间长".由题意知，C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝1049.(3)a＝11或a＝18.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.C[从6名短跑运动员中任选4人参加4×100m接力赛，其中甲不跑第一棒且乙不跑第四棒的方法共有A46－2A35＋A24＝252种，在这252种方法中甲跑第二棒的方法共有C14·A24＝48(种)，因此所求的概率为48252＝421，选C.]2.B[如图，不等式组x＋y≤2，x－y≥－2，y≥0表示的区域M为△ABC及其内部，函数y＝1－x2的图象与x轴所围成的区域N为阴影部分，易知区域M的面积为2，区域N的面积为π2，由几何概型的概率公式知所求概率为π22＝π4.]3.C[如图，过点A作AH⊥BC，垂足为H，则在Rt△AHB中，BH＝AB·cos60°＝2cos60°＝1；过点A作AM⊥AB，交BC于点M，则在Rt△ABM中，BM＝ABcos60°＝4，故MC＝BC－BM＝2.由图可知，要使△ABD为钝角三角形，则点D只能在线段BH或线段MC上选取，故所求事件的概率P＝1＋26＝12，故选C.]4.D[来自同一班级的3名同学用1，2，3表示，来自另两个不同班级2名同学用A，B表示，从中随机选出两名同学参加会议，共有12，13，1A，1B，23，2A，2B，3A，3B，AB共10种，这两名选出的同学来自不同班级，共有1A，1B，2A，2B，3A，3B、AB共7种，故这两名选出的同学来自不同班级概率P＝710＝0.7.]5.e－2[由已知得f′(x)＝1－lnxx2，x∈[2，3]，故f′(x)>0?1－lnxx2>0，解得2<x<e，故由几何概型可得所求事件的概率为e－23－2＝e－2.]A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·新课标全国Ⅰ，4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.3122.(2015·湖南，7)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544.A.2386B.2718C.3413D.47723.(2015·山东，8)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2),则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%,P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%4.(2014·新课标全国Ⅱ，5)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0.8B.0.75C.0.6D.0.455.(2016·四川，12)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________.6.(2014·陕西，19)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg) 300 500概率 0.5 0.5作物市场价格(元/kg) 6 10概率 0.4 0.6(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.7.(2014·新课标全国Ⅰ，18)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.(ⅰ)利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；(ⅱ)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用(ⅰ)的结果，求E(X).附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.9544.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·济南模拟)位于直角坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为13，向右移动的概率为23，则质点P移动五次后位于点(1，0)的概率是()A.4243B.8243C.40243D.802432.(2016·湖南常德3月模拟)已知3件次品和2件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则第一次测出的是次品且第二次测出的是正品的概率为()A.16B.310C.35D.563.(2016·广东汕头4月模拟)已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为()A.0.85B.0.8192C.0.8D.0.754.(2016·云南师范大学附属中学第七次月考)设随机变量ξ服从正态分布N(4，3)，若P(ξ＜a－5)＝P(ξ＞a＋1)，则实数a等于()A.4B.5C.6D.75.(2015·河南郑州三模)某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N(105，102)，已知P(95≤ξ≤105)＝0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为()A.10B.9C.8D.76.(2015·福建福州模拟)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是()A.0，712B.712，1C.0，12D.12，17.(2016·山东青岛模拟)某班有50名同学，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N(110，102)，已知P(100≤ξ≤110)＝0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上有________人.8.(2016·贵州安顺模拟)由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从湖口中学随机抽取16名学生，经校医用视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：(1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若视力测试结果不低于5.0则称为"好视力"，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是"好视力"的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到"好视力"学生的人数，求ξ的分布列及数学期望.9.(2016·广西南宁模拟)某射击运动员向一目标射击，该目标分为3个不同部分，第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6，击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比.(1)若射击4次，每次击中目标的概率为0.5且相互独立，设ξ表示目标被击中的次数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；(2)若射击2次均击中目标，A表示"两次击中的部分不同"，求事件A发生的概率.10.(2015·广州模拟)已知随机变量X服从正态分布N(2,1).若P(1≤X≤3)＝0.6826,则P(X＞3)等于________.答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.A[该同学通过测试的概率为p＝0.6×0.6＋C12×0.4×0.62＝0.648.]2.C[由X～N(0，1)知，P(－1＜X≤1)＝0.6826，∴P(0≤X≤1)＝12×0.6826＝0.3413，故S≈0.3413.∴落在阴影部分中点的个数x估计值为x10000＝S1(古典概型)，∴x＝10000×0.3413＝3413，故选C.]3.B[由题意,知P(3＜ξ＜6)＝P(-6＜ξ＜6)-P(-3＜ξ＜3)2＝95.44%－68.26%2＝13.59%.]4.A[由条件概率可得所求概率为0.60.75＝0.8，故选A.]5.32[由题可知,在一次试验中,试验成功(即至少有一枚硬币正面向上)的概率为P＝1－12×12＝34,∵2次独立试验成功次数X满足二项分布X～B2，34,则E(X)＝2×34＝32.]6.解(1)设A表示事件"作物产量为300kg"，B表示事件"作物市场价格为6元/kg"，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，因为利润＝产量×市场价格－成本，所以X所有可能的取值为500×10－1000＝4000，500×6－1000＝2000，300×10－1000＝2000，300×6－1000＝800.P(X＝4000)＝P(A)P(B)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P(X＝2000)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，所以X的分布列为X 4000 2000 800P 0.3 0.5 0.2(2)设Ci表示事件"第i季利润不少于2000元"(i＝1，2，3)，由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，P(Ci)＝P(X＝4000)＋P(X＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1，2，3)，3季的利润均不少于2000元的概率为P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；3季中有2季的利润不少于2000元的概率为P(C1C2C3)+P(C1C2C3)+P(C1C2C3)=3×0.82×0.2＝0.384，所以,这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.7.解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x－＝170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(-30)2×0.02＋(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08＋302×0.02＝150.(2)(ⅰ)由(1)知，Z～N(200，150),从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.6826.(ⅱ)由(ⅰ)知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.6826，依题意知X～B(100，0.6826)，所以E(X)＝100×0.6826＝68.26.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.D[依题意得，质点P移动五次后位于点(1，0)，则这五次移动中必有某两次向左移动，另三次向右移动，因此所求的概率等于C25·132·233＝80243.]2.B[第一测出是次品的概率为35，第二次测出是正品的概率为24＝12，所以第一次测出的是次品且第二次测出的是正品的概率为：35×12＝310.]3.B[P＝C340.83·0.2＋C440.84＝0.8192，故选B.]4.C[根据正态分布(4，3)的曲线的对称性有a－5＋a＋12＝4，得a＝6.]5.B[∵数学成绩ξ服从正态分布N(105，102)，∴数学成绩ξ的正态曲线关于x＝105对称，∵P(95≤ξ≤105)＝0.32，∴P(ξ＞115)＝12×(1－0.32×2)＝0.18.∴该班数学成绩在115分以上的人数为0.18×50＝9.故选B.]6.C[由已知条件可得P(X＝1)＝p,P(X＝2)＝(1-p)p,P(X＝3)＝(1-p)2p＋(1-p)3＝(1－p)2，则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>1.75，解得p>52或p<12，又由p∈(0，1)，可得p∈0，12，故应选C.]7.8[数学成绩ξ的正态曲线关于直线x＝110对称，∵P(100≤ξ≤110)＝0.34.∴P(ξ≥120)＝P(ξ≤100)＝12×(1－0.34×2)＝0.16.数学成绩在120分以上的人数为0.16×50＝8.]8.解(1)众数：4.6和4.7；中位数：4.75.(2)设Ai表示所取3人中有i个人是"好视力"，至多有1人是"好视力"记为事件A，则P(A)＝P(A0)＋P(A1)＝C312C316＋C14C212C316＝121140.(3)一个人是"好视力"的概率为14，ξ的可能取值为0、1、2、3.P(ξ＝0)＝343＝2764，P(ξ＝1)＝C1314×342＝2764，P(ξ＝2)＝C23142×34＝964，P(ξ＝3)＝143＝164.ξ的分布列为ξ 0 1 2 3P 27642764964164
E(ξ)＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝0.75.9.解(1)由题意知ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,且P(ξ＝k)＝Ck4124,k＝0,1,2,3,4.则P(ξ＝0)＝116，P(ξ＝1)＝14，P(ξ＝2)＝38，P(ξ＝3)＝14，P(ξ＝4)＝116，∴ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 4P 116143814116
数学期望E(ξ)＝0×116＋1×14＋2×38＋3×14＋4×116＝2.(2)设Ai表示事件"第一次击中目标时，击中第i部分".Bi表示事件"第二次击中目标时，击中第i部分".其中i＝1，2，3.则P(A1)＝P(B1)＝0.1，P(A2)＝P(B2)＝0.3，P(A3)＝P(B3)＝0.6.∵A＝A1B2＋A1B3＋A2B1＋A2B3＋A3B1＋A3B2，∴P(A)＝P(A1B2)＋P(A1B3)＋P(A2B1)＋P(A2B3)＋P(A3B1)＋P(A3B2)＝P(A1)P(B2)＋P(A1)P(B3)＋P(A2)P(B1)＋P(A2)P(B3)＋P(A3)P(B1)＋P(A3)P(B2)＝0.1×0.3＋0.1×0.6＋0.3×0.1＋0.3×0.6＋0.6×0.1＋0.6×0.3＝0.54.即事件A发生的概率为0.54.10.0.1587[因为随机变量X服从正态分布N(2,1),所以P(X＞3)＝P(X＜1),因为P(X＜1)＋P(1≤X≤3)＋P(X＞3)＝1,所以P(X＞3)＝12(1－0.6826)＝0.1587.]第一节排列与组合A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·全国Ⅱ，5)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.92.(2016·全国Ⅲ，12)定义"规范01数列"{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数.若m＝4，则不同的"规范01数列"共有()A.18个B.16个C.14个D.12个3.(2016·四川，4)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A.24B.48C.60D.724.(2016·北京，8)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多5.(2015·四川，6)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个6.(2014·大纲全国，5)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A.60种B.70种C.75种D.150种7.(2014·辽宁，6)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.248.(2014·四川，6)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种9.(2014·重庆，9)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.16810.(2014·安徽，8)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有()A.24对B.30对C.48对D.60对11.(2014·福建，10)用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球.由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如："1"表示一个球都不取、"a"表示取出一个红球、而"ab"则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A.(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5B.(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5C.(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)D.(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)12.(2014·广东，8)设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件"1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3"的元素个数为()A.60B.90C.120D.13013.(2015·广东，12)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言(用数字作答).14.(2014·北京，13)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.15.(2014·浙江，14)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答).B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·山东济宁模拟)某中学高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现从中任选3人，要求这三人不能全是同一个班的同学，且在三班至多选1人，则不同选法的种数为()A.484B.472C.252D.2322.(2016·四川成都第二次诊断)某微信群中甲，乙，丙，丁，戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，4个红包中有两个2元，两个3元(金额相同视为相同红包)，则甲乙两人都抢到红包的情况有()A.36种B.24种C.18种D.9种3.(2015·河南信阳模拟)某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有()A.36种B.30种C.24种D.6种4.(2015·河南郑州二模)某校开设A类选修课2门；B类选修课3门，一位同学从中选3门，若要求两类课程中至少选一门，则不同的选法共有()A.3种B.6种C.9种D.18种5.(2016·山东枣庄4月模拟)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地摆成一排，则同一科目的书均不相邻的摆法有________种(用数字作答)6.(2016·广东肇庆模拟)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有________种(用数字作答).7.(2016·河北石家庄一模)将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为________(用数字作答).8.(2015·衡水模拟)20个不加区别的小球放入1号，2号，3号的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________.答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.B[从E点到F点的最短路径有6种，从F点到G点的最短路径有3种，所以从E点到G点的最短路径为6×3＝18种，故选B.]2.C[第一位为0，最后一位为1，中间3个0，3个1，三个1在一起时为000111，001110；只有2个1相邻时，共A24种，其中110100；110010；110001，101100不符合题意，三个1都不在一起时有C34种，共2＋8＋4＝14.]3.D[由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；分为两步：先从1，3，5三个数中选一个作为个位数有C13，再将剩下的4个数字排列得到A44，则满足条件的五位数有C13·A44＝72.选D.]4.B[取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1个；②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1个；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1个；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1个；因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多.③和④的情况随机，③和④对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响，①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上选B.]5.B[由题意,首位数字只能是4,5,若万位是5,则有3×A34＝72个；若万位是4，则有2×A34个＝48个，故40000大的偶数共有72＋48＝120个.选B.]6.C[从中选出2名男医生的选法有C26＝15种，从中选出1名女医生的选法有C15＝5种，所以不同的选法共有15×5＝75种，故选C.]7.D[3人中每两人之间恰有一个空座位，有A33×2＝12种坐法，3人中某两人之间有两个空座位，有A33×A22＝12种坐法，所以共有12＋12＝24种坐法.]8.B[当最左端排甲时，不同的排法共有A55种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有C14A44种.故不同的排法共有A55＋C14A44＝9×24＝216种.]9.B[依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A33A34＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A22A22A33＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B.]10.C[法一直接法：如图，在上底面中选B1D1，四个侧面中的面对角线都与它成60°，共8对，同样A1C1对应的也有8对，下底面也有16对，这共有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对.所以全部共有48对.法二间接法：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为60°，所以成角为60°的共有C212－12－6＝48.]11.A[分三步：第一步,5个无区别的红球可能取出0个,1个,…,5个,则有(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)种不同的取法；第二步，5个无区别的蓝球都取出或都不取出，则有(1＋b5)种不同取法；第三步，5个有区别的黑球看作5个不同色，从5个不同色的黑球中任取0个，1个，…，5个，有(1＋c)5种不同的取法，所以所求的取法种数为(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5，故选A.]12.D[易知|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1或2或3，下面分三种情况讨论.其一：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取一个让其等于1或－1，其余等于0，于是有C15C12＝10种情况；其二：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝2，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取两个让其都等于1或都等于－1或一个等于1、另一个等于－1，其余等于0，于是有2C25＋C25C12＝40种情况；其三：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝3，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取三个让其都等于1或都等于－1或两个等于1、另一个等于－1或两个等于－1、另一个等于1，其余等于0，于是有2C35＋C35C13＋C35C23＝80种情况.由于10＋40＋80＝130，故答案为D.]13.1560[依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝1560条毕业留言.]14.36[将A、B捆绑在一起，有A22种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A44种摆法，共有A22A44＝48种摆法，而A、B、C3件在一起，且A、B相邻，A、C相邻有CAB、BAC两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A33＝12种摆法，故A、B相邻，A、C不相邻的摆法有48－12＝36种.]15.60[分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为C23C11A24＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A34＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60(种).]B组两年模拟精选(2016～2015年)1.B[若三班有1人入选，则另两人从三班以外的12人中选取，共有C14C212＝264种选法.若三班没有人入选，则要从三班以外的12人中选3人，又这3人不能全来自同一个班，故有C312－3C34＝208种选法.故总共有264＋208＝472种不同的选法.]2.C[甲乙两人都抢到红包有三种情况：(1)都抢到2元红包,有C23＝3种；(2)都抢到3元红包，有C23＝3种；(3)一个抢到2元,一个抢到3元,有C12A23＝12种,故总共有18种情况.]3.B[从4人中选出两个人作为一个元素有C24种方法，同其他两个元素在三个位置上排列C24A33＝36，其中有不符合条件的，即学生甲，乙同时参加同一学科竞赛有A33种结果，∴不同的参赛方案共有36－6＝30，故选B.]4.C[可分以下两种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C12C22种不同选法；②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C22C13种不同选法.∴根据分类计算原理知不同的选法共有：C12C23＋C22C13＝6＋3＝9种.故选C.]5.48[根据题意，分2步进行分析：①将5本书进行全排列，有A55＝120种情况.②其中语文书相邻的情况有A22A44＝48种，数学书相邻的情况有A22A44＝48种，语文书，数学书同时相邻的情况有A22A22A33＝24种，则同一科目的书均不相邻的摆法有120－48－48＋24＝48种.]6.10[两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C24＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C14＝4种方法，所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种).]7.8[甲、乙不能分在同一个班，则不同的分组有甲单独一组，只有1种；甲和丙或丁两人一组，有2种；甲、丙、丁一组，只有1种.然后再把分成的两组分到不同班级里，则共有(1＋2＋1)A22＝8(种).]8.120[解析先在编号为2，3的盒内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共有C216＝120种方法.]