资源资源简介：

2014～2016年高考数学理科汇编详解：第九章平面解析几何(6份)第二节圆与方程及直线与圆的位置关系A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·全国Ⅱ,4)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1,则a＝()A.－43B.－34C.3D.22.(2015·广东,5)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是()A.2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0B.2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C.2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D.2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝03.(2015·新课标全国Ⅱ,7)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M、N两点,则|MN|＝()A.26B.8C.46D.104.(2015·重庆,8)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴,过点A(－4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|＝()A.2B.42C.6D.2105.(2015·山东,9)一条光线从点(－2,－3)射出,经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.－53或－35B.－32或－23C.－54或－45D.－43或－346.(2014·江西,9)在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切,则圆C面积的最小值为()A.45πB.34πC.(6－25)πD.54π7.(2016·全国Ⅲ,16)已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A,B两点,过A,B分别做l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|＝23,则|CD|＝________.8.(2016·江苏,18)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x＝6上,求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点,且BC＝OA,求直线l的方程；(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q,使得TA→＋TP→＝TQ→,求实数t的取值范围.9.(2015·新课标全国Ⅰ,14)一个圆经过椭圆x216＋y24＝1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为________.10.(2015·江苏,10)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________.11.(2015·广东,20)已知过原点的动直线l与圆C1:x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k,使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在,求出k的取值范围；若不存在,说明理由.12.(2014·陕西,12)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称,则圆C的标准方程为____________.13.(2014·湖北,12)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧,则a2＋b2＝____________.14.(2014·重庆,13)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a＝________.15.(2014·江苏,9)在平面直角坐标系xOy中,直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________.16.(2014·新课标全国Ⅱ,16)设点M(x0,1),若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N,使得∠OMN＝45°,则x0的取值范围是________.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·河南商丘模拟)已知圆C：(x＋1)2＋y2＝r2与抛物线D：y2＝16x的准线交于A,B两点,且|AB|＝8,则圆C的面积为()A.5πB.9πC.16πD.25π2.(2016·陕西宝鸡模拟)若过点A(0,－1)的直线l与圆x2＋(y－3)2＝4的圆心的距离记为d,则d的取值范围为()A.[0,4]B.[0,3]C.[0,2]D.[0,1]3.(2016·金华十校联考)已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点,PA,PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是()A.2B.22C.3D.234.(2015·河北唐山模拟)点P(4,－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x－2)2＋(y＋1)2＝1B.(x－2)2＋(y＋1)2＝4C.(x＋4)4＋(y－2)2＝4D.(x＋2)2＋(y－1)2＝15.(2015·河南信阳模拟)原点必位于圆：x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(a>1)的()A.内部B.圆周上C.外部D.均有可能6.(2016·安徽安庆二模)若抛物线y2＝6x的准线被圆心为(－2,1)的圆截得的弦长等于3,则该圆的半径为________.7.(2016·云南昆明统考)已知f(x)＝x3＋ax－2b,如果f(x)的图象在切点P(1,－2)处的切线与圆(x－2)2＋(y＋4)2＝5相切,那么3a＋2b＝________.答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.A[由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圆心坐标为(1,4),由点到直线的距离公式得d＝|1×a＋4－1|1＋a2＝1,解之得a＝－43.]2.D[设所求切线方程为2x＋y＋c＝0,依题有|0＋0＋c|22＋12＝5,解得c＝±5,所以所求切线的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0,故选D.]3.C[由已知,得AB→＝(3,-1),BC→＝(-3,-9),则AB→·BC→＝3×(-3)＋(-1)×(-9)＝0,所以AB→⊥BC→,即AB⊥BC,故过三点A、B、C的圆以AC为直径,得其方程为(x-1)2＋(y+2)2＝25,令x＝0得(y＋2)2＝24,解得y1＝－2－26,y2＝－2＋26,所以|MN|＝|y1－y2|＝46,选C.]4.C[圆C的标准方程为(x-2)2＋(y-1)2＝4,圆心为C(2,1),半径为r＝2,因此2＋a×1-1＝0,a＝-1,即A(-4,-1),|AB|＝|AC|2－r2＝（－4－2）2＋（－1－1）2－4＝6,选C.]5.D[圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为(-3,2),半径r＝1.(-2,-3)关于y轴的对称点为(2,-3).如图所示,反射光线一定过点(2,-3)且斜率k存在,∴反射光线所在直线方程为y＋3＝k(x-2),即kx-y-2k－3＝0.∵反射光线与已知圆相切,∴|－3k－2－2k－3|k2＋（－1）2＝1,整理得12k2＋25k＋12＝0,解得k＝－34或k＝－43.]6.A[由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O,要使圆C的面积最小,只需圆C的半径或直径最小.又圆C与直线2x＋y－4＝0相切,所以由平面几何知识,知圆的直径的最小值为点O到直线2x＋y－4＝0的距离,此时2r＝45,得r＝25,圆C的面积的最小值为S＝πr2＝45π.]7.4[设AB的中点为M,由题意知,圆的半径R＝23,AB＝23,所以OM＝3,解得m＝－33,由x－3y＋6＝0，x2＋y2＝12解得A(－3,3),B(0,23),则AC的直线方程为y－3＝－3(x＋3),BD的直线方程为y－23＝－3x,令y＝0,解得C(－2,0),D(2,0),所以|CD|＝4.]8.解(1)圆M的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝25,圆心M(6,7),半径r＝5,由题意,设圆N的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b＞0).且（6－6）2＋（b－7）2＝b＋5.解得b＝1,∴圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.(2)∵kOA＝2,∴可设l的方程为y＝2x＋m,即2x－y＋m＝0.又BC＝OA＝22＋42＝25.由题意,圆M的圆心M(6,7)到直线l的距离为d＝52－BC22＝25－5＝25.即|2×6－7＋m|22＋（－1）2＝25,解得m＝5或m＝－15.∴直线l的方程为y＝2x＋5或y＝2x－15.(3)由TA→＋TP→＝TQ→,则四边形AQPT为平行四边形,又∵P、Q为圆M上的两点,∴|PQ|≤2r＝10.∴|TA|＝|PQ|≤10,即（t－2）2＋42≤10,解得2－221≤t≤2＋221.故所求t的范围为[2－221,2＋221].9.x－322＋y2＝254[由题意知圆过(4,0),(0,2),(0,－2)三点,(4,0),(0,－2)两点的垂直平分线方程为y＋1＝－2(x－2),令y＝0,解得x＝32,圆心为32，0,半径为52.故圆的标准方程为x－322＋y2＝254.]10.(x－1)2＋y2＝2[直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2,－1),由题意,得半径最大的圆的半径r＝（1－2）2＋（0＋1）2＝2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.]11.解(1)圆C1的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.∴圆C1的圆心坐标为(3,0).(2)设动直线l的方程为y＝kx.联立（x－3）2＋y2＝4，y＝kx?(k2＋1)x2－6x＋5＝0,则Δ＝36－4(k2＋1)×5>0?k2<45.设A,B两点坐标为(x1,y1),(x2,y2),则x1＋x2＝6k2＋1.?AB中点M的轨迹C的参数方程为x＝3k2＋1，y＝3kk2＋1，－255<k<255，即轨迹C的方程为x－322＋y2＝94,53<x≤3.(3)联立x2－3x＋y2＝0，y＝k（x－4）?(1＋k2)x2－(3＋8k)x＋16k2＝0.令Δ＝(3＋8k)2－4(1＋k2)16k2＝0?k＝±34.又∵轨迹C(即圆弧)的端点53，±253与点(4,0)决定的直线斜率为±257.∴当直线y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点时,k的取值范围为－257，257∪－34，34.12.x2＋(y－1)2＝1[因为点(1,0)关于直线y＝x对称点的坐标为(0,1),即圆心C为(0,1),又半径为1,∴圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.]13.2[由题意得,直线l1截圆所得的劣弧长为π2,则圆心到直线l1的距离为22,即|a|2＝22?a2＝1,同理可得b2＝1,则a2＋b2＝2.]14.4±15[依题意,圆C的半径是2,圆心C(1,a)到直线ax＋y－2＝0的距离等于32×2＝3,于是有|1·a＋a－2|a2＋1＝3,即a2－8a＋1＝0,解得a＝4±15.]15.2555[因为圆心(2,－1)到直线x＋2y－3＝0的距离d＝|2－2－3|5＝35,所以直线x＋2y－3＝0被圆截得的弦长为24－95＝2555.]16.[－1,1][由题意可知M在直线y＝1上运动,设直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切于点P(0,1).当x0＝0即点M与点P重合时,显然圆上存在点N(±1,0)符合要求；当x0≠0时,过M作圆的切线,切点之一为点P,此时对于圆上任意一点N,都有∠OMN≤∠OMP,故要存在∠OMN＝45°,只需∠OMP≥45°.特别地,当∠OMP＝45°时,有x0＝±1.结合图形可知,符合条件的x0的取值范围为[－1,1].]B组两年模拟精选(2016～2015年)1.D[抛物线的准线方程为x＝－4,而圆心坐标为(－1,0),所以圆心到直线的距离为3,所以圆的半径为5,故圆面积为25π.]2.A[设圆心为B,则B(0,3),圆心B到直线l的距离d的最大值为|AB|＝4,最小值为0(此时直线l过圆心),故选A.]3.C[圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1,圆心为C(1,1),半径为r＝1,根据对称性可知,四边形PACB的面积为2S△APC＝2×12|PA|r＝|PA|＝|PC|2－r2,要使四边形PACB的面积最小,则只需|PC|最小,最小时为圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝|3－4＋11|32＋（－4）2＝105＝2.所以四边形PACB面积的最小值为|PC|2min－r2＝4－1＝3.]4.A[设圆上任意一点为(x1,y1),中点为(x,y),则x＝x1＋42，y＝y1－22，x1＝2x－4，y1＝2y＋2，代入x21＋y21＝4得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4,化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.]5.C[把原点坐标代入圆的方程得到(a－1)2>0(a>1),所以点在圆外,故选C.]6.1[抛物线y2＝6x的准线方程为x＝－32,圆心到其距离等于－32－(－2)＝12,又弦长等于3,所以该圆的半径为122＋322＝1.]7.－7[由题意得f(1)＝－2?a－2b＝－3,又∵f′(x)＝3x2＋a,∴f(x)的图象在点P(1,－2)处的切线方程为y＋2＝(3＋a)(x－1),即(3＋a)x－y－a－5＝0,∴|（3＋a）×2＋4－a－5|（3＋a）2＋（－1）2＝5?a＝－52,∴b＝14,∴3a＋2b＝－7.]第六节直线与圆锥曲线的位置关系A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·重庆,10)设双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0,b＞0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D,若D到直线BC的距离小于a＋a2＋b2,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A.(－1,0)∪(0,1)B.(－∞,－1)∪(1,＋∞)C.(－2,0)∪(0,2)D.(－∞,－2)∪(2,＋∞)2.(2014·辽宁,10)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为()A.12B.23C.34D.433.(2014·新课标全国Ⅱ,10)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为()A.334B.938C.6332D.944.(2014·福建,9)设P,Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆x210＋y2＝1上的点,则P,Q两点间的最大距离是()A.52B.46＋2C.7＋2D.625.(2014·湖北,9)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2＝π3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A.433B.233C.3D.26.(2014·四川,10)已知F为抛物线y2＝x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OA→·OB→＝2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()A.2B.3C.1728D.107.(2016·全国Ⅲ,20)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明：AR∥FQ；(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.8.(2016·全国Ⅰ,20)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|＋|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.9.(2016·北京,19)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值.10.(2016·江苏,22)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l：x－y－2＝0,抛物线C：y2＝2px(p＞0).(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p,－p)；②求p的取值范围.11.(2016·山东,21)平面直角坐标系xOy中,椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率是32,抛物线E：x2＝2y的焦点F是C的一个顶点.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线l与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.①求证：点M在定直线上；②直线l与y轴交于点G,记△PFG的面积为S1,△PDM的面积为S2,求S1S2的最大值及取得最大值时点P的坐标.12.(2015·山东,15)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为________.13.(2015·浙江,19)已知椭圆x22＋y2＝1上两个不同的点A,B关于直线y＝mx＋12对称.(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).14.(2015·江苏,18)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22,且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC＝2AB,求直线AB的方程.15.(2015·天津,19)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c,0),离心率为33,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2＋y2＝b24截得的线段的长为c,|FM|＝433.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于2,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.16.(2015·四川,20)如图,椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率是22,过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A,B两点,当直线l平行于x轴时,直线l被椭圆E截得的线段长为22.(1)求椭圆E的方程；(2)在平面直角坐标系xOy中,是否存在与点P不同的定点Q,使得|QA||QB|＝|PA||PB|恒成立？若存在,求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由.17.(2015·山东,20)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32,左、右焦点分别是F1,F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：x24a2＋y24b2＝1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.(ⅰ)求|OQ||OP|的值；(ⅱ)求△ABQ面积的最大值.18.(2015·湖南,20)已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为26.(1)求C2的方程；(2)过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且AC→与BD→同向.①若|AC|＝|BD|,求直线l的斜率；②设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明：直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.19.(2014·北京,19)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y＝2上,且OA⊥OB,试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系,并证明你的结论.20.(2014·山东,21)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.(1)求C的方程；(2)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E.(ⅰ)证明直线AE过定点,并求出定点坐标；(ⅱ)△ABE的面积是否存在最小值？若存在,请求出最小值；若不存在,请说明理由.21.(2014·广东,20)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个焦点为(5,0),离心率为53.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.22.(2014·湖北,21)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2,1),求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.23.(2014·安徽,19)如图,已知两条抛物线E1：y2＝2p1x(p1>0)和E2：y2＝2p2x(p2>0),过原点O的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点.(1)证明：A1B1∥A2B2；(2)过O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点.记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2,求S1S2的值.24.(2014·四川,20)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x＝－3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.(ⅰ)证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；(ⅱ)当|TF||PQ|最小时,求点T的坐标.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·河北张家口模拟)设F为抛物线y2＝4x的焦点,A、B、C为该抛物线上三点,若FA→＋FB→＋FC→＝0,则|FA→|＋|FB→|＋|FC→|等于()A.9B.6C.4D.32.(2016·山东日照下学期第一次模拟)已知抛物线y2＝8x的准线与双曲线x2a2－y216＝1相交于A,B两点,点F为抛物线的焦点,△ABF为直角三角形,则双曲线的离心率为()A.3B.2C.6D.33.(2016·嘉兴一模)经过椭圆x22＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则OA→·OB→等于()A.-3B.-13C.-13或-3D.±134.(2015·合肥模拟)如图所示,A是圆O内一定点,B是圆周上一个动点,AB的中垂线CD与OB交于E,则点E的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线5.(2016·山东枣庄模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0,b＞0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相交,则双曲线C的离心率的取值范围是________.6.(2015·广西南宁三模)已知椭圆以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴,以抛物线y2＝16x的焦点为其中一个焦点,以双曲线x216－y29＝1的焦点为顶点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若E,F是椭圆上关于原点对称的两点,则当直线PE,PF的斜率都存在,并记为kPE,kPF时,kPE·kPF是否为定值？若是,求出这个定值；若不是,请说明理由.7.(2015·泉州质检)若抛物线y＝ax2－1上恒有关于直线x＋y＝0对称的相异的两点A,B,则a的取值范围是________.8.(2015·济宁模拟)已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为12,其中一个顶点是抛物线x2＝－43y的焦点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点P(2,1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M,求直线l的方程和点M的坐标.答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.A[由题意A(a,0),Bc，b2a,Cc，－b2a,由双曲线的对称性知D在x轴上,设D(x,0),由BD⊥AC得b2a－0c－x·b2aa－c＝－1,解得c－x＝b4a2（c－a）,所以c－x＝b4a2（c－a）＜a＋a2＋b2＝a＋c,所以b4a2＜c2－a2＝b2?b2a2＜1?0＜ba＜1,因此渐近线的斜率取值范围是(－1,0)∪(0,1),选A.]2.D[∵A(－2,3)在抛物线y2＝2px的准线上,∴－p2＝－2,∴p＝4,∴y2＝8x,设直线AB的方程为x＝k(y－3)－2①,将①与y2＝8x联立,即x＝k（y－3）－2y2＝8x,得y2－8ky＋24k＋16＝0②,则Δ＝(－8k)2－4(24k＋16)＝0,即2k2－3k－2＝0,解得k＝2或k=-12(舍去),将k＝2代入①②解得x＝8y＝8,即B(8,8),又F(2,0),∴kBF＝8－08－2＝43,故选D.]3.D[易知直线AB的方程为y＝33(x－34),与y2＝3x联立并消去x得4y2－123y－9＝0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1＋y2＝33,y1y2＝－94.S△OAB＝12|OF|·|y1－y2|＝12×34（y1＋y2）2－4y1y2＝3827＋9＝94.故选D.]4.D[设圆的圆心为C,则C(0,6),半径为r＝2,点C到椭圆上的点Q(10cosα,sinα)的距离|CQ|＝（10cosα）2＋（sinα－6）2＝46－9sin2α－12sinα＝50－9（sinα＋23）2≤50＝52,当且仅当sinα＝－23时取等号,所以|PQ|≤|CQ|＋r＝52＋2＝62,即P,Q两点间的最大距离是62,故选D.]5.A[假定焦点在x轴上,点P在第一象限,F1,F2分别在左、右焦点.设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0),双曲线的方程为x2m2－y2n2＝1(m>0,n>0),它们的离心率分别为e1,e2,则|PF1|＝a＋m,|PF2|＝a－m,在△PF1F2中,4c2＝(a＋m)2＋(a－m)2－2(a＋m)(a－m)cosπ3?a2＋3m2＝4c2?ac2＋3mc2＝4,则ac2＋3mc21＋13≥ac＋mc2?1e1＋1e2＝ac＋mc≤433,当且仅当a＝3m时,等号成立,故选A.]6.B[设点A(x1,y1),B(x2,y2)(不妨假设y1>0,y2<0),直线AB的方程为x＝ty＋m,且直线AB与x轴的交点为M(m,0).由x＝ty＋my2＝x消去x,得y2－ty－m＝0,所以y1y2＝－m.又OA→·OB→＝2,所以x1x2＋y1y2＝2,(y1y2)2＋y1y2－2＝0,因为点A、B在抛物线上且位于x轴的两侧,所以y1y2＝－2,故m＝2.又F(14,0),于是S△ABO＋S△AFO＝12×2×(y1－y2)＋12×14×y1＝98y1＋2y1≥298y1×2y1＝3,当且仅当98y1＝2y1,即y1＝43时取"＝",所以△ABO与△AFO面积之和的最小值是3.]7.解由题设F12，0,设l1：y＝a,l2：y＝b,则ab≠0,且Aa22，a,Bb22，b,P－12，a,Q－12，b,R－12，a＋b2.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.(1)证明由于F在线段AB上,故1＋ab＝0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1＝a－b1＋a2＝a－ba2－ab＝1a＝－aba＝－b＝k2.所以AR∥FQ.(2)设过AB的直线为l,设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF＝12|b－a||FD|＝12|b－a|x1－12,S△PQF＝|a－b|2.由题设可得|b－a|x1－12＝|a－b|2,所以x1＝1,x1＝0(舍去).设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由kAB＝kDE可得2a＋b＝yx－1(x≠1).而a＋b2＝y,所以y2＝x－1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2＝x－1.8.(1)证明因为|AD|＝|AC|,EB∥AC,故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC,所以|EB|＝|ED|,故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16,从而|AD|＝4,所以|EA|＋|EB|＝4.由题设得A(－1,0),B(1,0),|AB|＝2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为:x24＋y23＝1(y≠0).(2)解当l与x轴不垂直时,设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).由y＝k（x－1），x24＋y23＝1得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.则x1＋x2＝8k24k2＋3,x1x2＝4k2－124k2＋3,所以|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝12（k2＋1）4k2＋3.过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－1k(x－1),A到m的距离为2k2＋1,所以|PQ|＝242－2k2＋12＝44k2＋3k2＋1.故四边形MPNQ的面积S＝12|MN||PQ|＝121＋14k2＋3.可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,83).当l与x轴垂直时,其方程为x＝1,|MN|＝3,|PQ|＝8,四边形MPNQ的面积为12.综上,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,83).9.(1)解由已知ca＝32,12ab＝1.又a2＝b2＋c2,解得a＝2,b＝1,c＝3.∴椭圆方程为x24＋y2＝1.(2)证明由(1)知,A(2,0),B(0,1).设椭圆上一点P(x0,y0),则x204＋y0＝1.当x0≠0时,直线PA方程为y＝y0x0－2(x－2),令x＝0得yM＝－2y0x0－2.从而|BM|＝|1－yM|＝1＋2y0x0－2.直线PB方程为y＝y0－1x0x＋1.令y＝0得xN＝－x0y0－1.∴|AN|＝|2－xN|＝2＋x0y0－1.∴|AN|·|BM|＝2＋x0y0－1·1＋2y0x0－2＝x0＋2y0－2x0－2·x0＋2y0－2y0－1＝x20＋4y20＋4x0y0－4x0－8y0＋4x0y0－x0－2y0＋2＝4x0y0－4x0－8y0＋8x0y0－x0－2y0＋2＝4.当x0＝0时,y0＝－1,|BM|＝2,|AN|＝2,所以|AN|·|BM|＝4.故|AN|·|BM|为定值.10.(1)解∵l：x－y－2＝0,∴l与x轴的交点坐标为(2,0).即抛物线的焦点为(2,0),∴p2＝2,p＝4.∴抛物线C的方程为y2＝8x.(2)①证明设点P(x1,y1),Q(x2,y2).则y21＝2px1，y22＝2px2，则x1＝y212p，x2＝y222p，∴kPQ＝y1－y2y212p－y222p＝2py1＋y2,又∵P、Q关于l对称.∴kPQ＝－1,即y1＋y2＝－2p,∴y1＋y22＝－p,又∵PQ的中点一定在l上,∴x1＋x22＝y1＋y22＋2＝2－p.∴线段PQ的中点坐标为(2－p,－p).②解∵PQ的中点为(2－p,－p),∴y1＋y2＝－2p，x1＋x2＝y21＋y222p＝4－2p，即y1＋y2＝－2p，y21＋y22＝8p－4p2，∴y1＋y2＝－2p，y1y2＝4p2－4p，即关于y的方程y2＋2py＋4p2－4p＝0,有两个不等实根.∴Δ＞0.即(2p)2－4(4p2－4p)＞0,解得0＜p＜43,故所求p的范围为0，43.11.(1)解由题意知a2－b2a＝32,可得a2＝4b2,因为抛物线E的焦点F0，12,所以b＝12,a＝1,所以椭圆C的方程为x2＋4y2＝1.(2)①证明设Pm，m22(m>0),由x2＝2y,可得y′＝x,所以直线l的斜率为m,因此直线l的方程为y－m22＝m(x－m).即y＝mx－m22.设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).联立方程x2＋4y2＝1，y＝mx－m22，得(4m2＋1)x2－4m3x＋m4－1＝0.由Δ>0,得0<m<2＋5(或0<m2<2＋5).(*)且x1＋x2＝4m34m2＋1,因此x0＝2m34m2＋1,将其代入y＝mx－m22,得y0＝－m22（4m2＋1）,因为y0x0＝－14m.所以直线OD方程为y＝－14mx,联立方程y＝－14mx，x＝m，得点M的纵坐标yM＝－14,所以点M在定直线y＝－14上.②解由①知直线l的方程为y＝mx－m22,令x＝0,得y＝－m22,所以G0，－m22,又Pm，m22,F0，12,D2m34m2＋1，－m22（4m2＋1）,所以S1＝12·|GF|·m＝（m2＋1）m4,S2＝12·|PM|·|m－x0|＝12×2m2＋14×2m3＋m4m2＋1＝m（2m2＋1）28（4m2＋1）.所以S1S2＝2（4m2＋1）（m2＋1）（2m2＋1）2.设t＝2m2＋1,则S1S2＝（2t－1）（t＋1）t2＝2t2＋t－1t2＝－1t2＋1t＋2,当1t＝12,即t＝2时,S1S2取到最大值94,此时m＝22,满足(*)式,所以P点坐标为22，14.因此S1S2的最大值为94,此时点P的坐标为22，14.12.32[由题意,不妨设直线OA的方程为y＝bax,直线OB的方程为y＝－bax.由y＝bax，x2＝2py，得x2＝2p·bax,∴x＝2pba,y＝2pb2a2,∴A2pba，2pb2a2.设抛物线C2的焦点为F,则F0，p2,∴kAF＝2pb2a2－p22pba.∵△OAB的垂心为F,∴AF⊥OB,∴kAF·kOB＝－1,∴2pb2a2－p22pba·－ba＝－1,∴b2a2＝54.设C1的离心率为e,则e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋54＝94.∴e＝32.]13.解(1)由题意知m≠0,可设直线AB的方程为y＝－1mx＋b.由x22＋y2＝1，y＝－1mx＋b，消去y,得12＋1m2x2－2bmx＋b2－1＝0.因为直线y＝－1mx＋b与椭圆x22＋y2＝1有两个不同的交点,所以Δ＝－2b2＋2＋4m2＞0,①将AB中点M2mbm2＋2，m2bm2＋2代入直线方程y＝mx＋12解得b＝－m2＋22m2②由①②得m＜－63或m＞63.(2)令t＝1m∈－62，0∪0，62,则|AB|＝t2＋1·－2t4＋2t2＋32t2＋12.且O到直线AB的距离为d＝t2＋12t2＋1.设△AOB的面积为S(t),所以S(t)＝12|AB|·d＝12－2t2－122＋2≤22.当且仅当t2＝12时,等号成立.故△AOB面积的最大值为22.14.解(1)由题意,得ca＝22且c＋a2c＝3,解得a＝2,c＝1,则b＝1,所以椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.(2)当AB⊥x轴时,AB＝2,又CP＝3,不合题意.当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y＝k(x－1),A(x1,y1),B(x2,y2),将AB的方程代入椭圆方程,得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0,则x1,2＝2k2±2（1＋k2）1＋2k2,C的坐标为2k21＋2k2，－k1＋2k2,且AB＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2＝（1＋k2）（x2－x1）2＝22（1＋k2）1＋2k2.若k＝0,则线段AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意.从而k≠0,故直线PC的方程为y＋k1＋2k2＝－1kx－2k21＋2k2,则P点的坐标为－2，5k2＋2k（1＋2k2）,从而PC＝2（3k2＋1）1＋k2|k|（1＋2k2）.因为PC＝2AB,所以2（3k2＋1）1＋k2|k|（1＋2k2）＝42（1＋k2）1＋2k2,解得k＝±1.此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.15.解(1)由已知有c2a2＝13,又由a2＝b2＋c2,可得a2＝3c2,b2＝2c2.设直线FM的斜率为k(k＞0),F(－c,0),则直线FM的方程为y＝k(x＋c).由已知,有kck2＋12＋c22＝b22,解得k＝33.(2)由(1)得椭圆方程为x23c2＋y22c2＝1,直线FM的方程为y＝33(x＋c),两个方程联立,消去y,整理得3x2＋2cx－5c2＝0,解得x＝－53c,或x＝c.因为点M在第一象限,可得M的坐标为c，233c.由|FM|＝（c＋c）2＋233c－02＝433.解得c＝1,所以椭圆的方程为x23＋y22＝1.(3)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,得t＝yx＋1,即y＝t(x＋1)(x≠－1),与椭圆方程联立.y＝t（x＋1），x23＋y22＝1，消去y,整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6,又由已知,得t＝6－2x23（x＋1）2＞2,解得－32＜x＜－1,或－1＜x＜0.设直线OP的斜率为m,得m＝yx,即y＝mx(x≠0),与椭圆方程联立,整理得m2＝2x2－23.①当x∈－32，－1时,有y＝t(x＋1)＜0,因此m＞0,于是m＝2x2－23,得m∈23，233.②当x∈(－1,0)时,有y＝t(x＋1)＞0.因此m＜0,于是m＝－2x2－23,得m∈－∞，－233.综上,直线OP的斜率的取值范围是－∞，－233∪23，233.16.解(1)由已知,点(2,1)在椭圆E上,因此2a2＋1b2＝1，a2－b2＝c2，ca＝22，解得a＝2,b＝2,所以椭圆E方程为x24＋y22＝1.(2)当直线l与x轴平行时,设直线l与椭圆相交于C、D两点,如果存在定点Q满足条件,则有|QC||QD|＝|PC||PD|＝1,即|QC|＝|QD|,所以Q点在y轴上,可设Q点的坐标为(0,y0),当直线l与x轴垂直时,设直线l与椭圆相交于M,N两点,则M,N的坐标分别为(0,2),(0,－2),由|QM||QN|＝|PM||PN|,有|y0－2||y0＋2|＝2－12＋1,解得y0＝1,或y0＝2,所以,若存在不同于点P的定点Q满足条件,则Q点坐标只可能为(0,2),下面证明：对任意直线l,均有|QA||QB|＝|PA||PB|,当直线l的斜率不存在时,由上可知,结论成立,当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y＝kx＋1,A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),联立x24＋y22＝1，y＝kx＋1，得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0,其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0,所以x1＋x2＝－4k2k2＋1,x1x2＝－22k2＋1,因此1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝2k,易知,点B关于y轴对称的点B′的坐标为(－x2,y2),又kQA＝y1－2x1＝kx1－1x1＝k－1x1,kQB′＝y2－2－x2＝kx2－1－x2＝－k＋1x2＝k－1x1,所以kQA＝kQB′,即Q,A,B′三点共线,所以|QA||QB|＝|QA||QB′|＝|x1||x2|＝|PA||PB|,故存在与P不同的定点Q(0,2),使得|QA||QB|＝|PA||PB|恒成立.17.解(1)由题意知2a＝4,则a＝2,又ca＝32,a2－c2＝b2,可得b＝1,所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)由(1)知椭圆E的方程为x216＋y24＝1.(ⅰ)设P(x0,y0),|OQ||OP|＝λ,由题意知Q(－λx0,－λy0).因为x204＋y20＝1,又（－λx0）216＋（－λy0）24＝1,即λ24x204＋y20＝1,所以λ＝2,即|OQ||OP|＝2.(ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2).将y＝kx＋m代入椭圆E的方程,可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0,由Δ＞0,可得m2＜4＋16k2,①则有x1＋x2＝－8km1＋4k2,x1x2＝4m2－161＋4k2.所以|x1－x2|＝416k2＋4－m21＋4k2.因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0,m),所以△OAB的面积S＝12|m||x1－x2|＝216k2＋4－m2|m|1＋4k2＝2（16k2＋4－m2）m21＋4k2＝24－m21＋4k2m21＋4k2.设m21＋4k2＝t,将y＝kx＋m代入椭圆C的方程,可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0,由Δ≥0,可得m2≤1＋4k2.②由①②可知0＜t≤1,因此S＝2（4－t）t＝2－t2＋4t,故S≤23,当且仅当t＝1,即m2＝1＋4k2时取得最大值23.由(ⅰ)知,△ABQ面积为3S,所在△ABQ面积的最大值为63.18.解(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0,1).因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2－b2＝1.①又C1与C2的公共弦的长为26,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x2＝4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为±6，32,所以94a2＋6b2＝1.②联立①,②得a2＝9,b2＝8.故C2的方程为y29＋x28＝1.(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).①因AC→与BD→同向,且|AC|＝|BD|,所以AC→＝BD→,从而x3－x1＝x4－x2,即x1－x2＝x3－x4,于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③设直线l的斜率为k,则l的方程为y＝kx＋1.由y＝kx＋1，x2＝4y得x2－4kx－4＝0.而x1,x2是这个方程的两根,所以x1＋x2＝4k,x1x2＝－4.④由y＝kx＋1，x28＋y29＝1得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0.而x3,x4是这个方程的两根,所以x3＋x4＝－16k9＋8k2,x3x4＝－649＋8k2,⑤将④,⑤代入③,得16(k2＋1)＝162k2（9＋8k2）2＋4×649＋8k2,即16(k2＋1)＝162×9（k2＋1）（9＋8k2）2,所以(9＋8k2)2＝16×9,解得k＝±64,即直线l的斜率为±64.(ⅱ)由x2＝4y得y′＝x2,所以C1在点A处的切线方程为y－y1＝x12(x－x1),即y＝x1x2－x214.令y＝0得x＝x12,即Mx12，0,所以|FM→|＝x12，－1.而|FA→|＝(x1,y1－1),于是FA→·FM→＝x212－y1＋1＝x214＋1＞0,因此∠AFM是锐角,从而∠MFD＝180°－∠AFM是钝角.故直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.19.解(1)由题意,椭圆C的标准方程为x24＋y22＝1.所以a2＝4,b2＝2,从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2,c＝2.故椭圆C的离心率e＝ca＝22.(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切.证明如下：设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x0≠0.因为OA⊥OB,所以OA→·OB→＝0,即tx0＋2y0＝0,解得t＝－2y0x0.当x0＝t时,y0＝－t22,代入椭圆C的方程,得t＝±2,故直线AB的方程为x＝±2.圆心O到直线AB的距离d＝2.此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切.当x0≠t时,直线AB的方程为y－2＝y0－2x0－t(x－t),即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0.圆心O到直线AB的距离d＝|2x0－ty0|（y0－2）2＋（x0－t）2.又x20＋2y20＝4,t＝－2y0x0,故d＝|2x0＋2y20x0|x20＋y20＋4y20x20＋4＝4＋x20x0x40＋8x20＋162x20＝2.此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切.20.解(1)由题意知Fp2，0.设D(t,0)(t>0),则FD的中点为p＋2t4，0.因为|FA|＝|FD|,由抛物线的定义知3＋p2＝|t－p2|,解得t＝3＋p或t＝－3(舍去).由p＋2t4＝3,解得p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)(ⅰ)由(1)知F(1,0),设A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0),因为|FA|＝|FD|,则|xD－1|＝x0＋1,由xD>0得xD＝x0＋2,故D(x0＋2,0).故直线AB的斜率kAB＝－y02.因为直线l1和直线AB平行,设直线l1的方程为y＝－y02x＋b,代入抛物线方程得y2＋8y0y－8by0＝0,由题意Δ＝64y20＋32by0＝0,得b＝－2y0.设E(xE,yE),则yE＝－4y0,xE＝4y20.当y20≠4时,kAE＝yE－y0xE－x0＝－4y0＋y04y20－y204＝4y0y20－4,可得直线AE的方程为y－y0＝4y0y20－4(x－x0),由y20＝4x0,整理可得y＝4y0y20－4(x－1),直线AE恒过点F(1,0).当y20＝4时,直线AE的方程为x＝1,过点F(1,0),所以直线AE过定点F(1,0).(ⅱ)由(ⅰ)知直线AE过焦点F(1,0),所以|AE|＝|AF|＋|FE|＝(x0＋1)＋1x0＋1＝x0＋1x0＋2.设直线AE的方程为x＝my＋1,因为点A(x0,y0)在直线AE上,故m＝x0－1y0.设B(x1,y1).直线AB的方程为y－y0＝－y02(x－x0),由于y0≠0,可得x＝－2y0y＋2＋x0,代入抛物线方程得y2＋8y0y－8－4x0＝0.所以y0＋y1＝－8y0,可求得y1＝－y0－8y0,x1＝4x0＋x0＋4.所以点B到直线AE的距离为d＝4x0＋x0＋4＋my0＋8y0－11＋m2＝4（x0＋1）x0＝4x0＋1x0.则△ABE的面积S＝12×4x0＋1x0x0＋1x0＋2≥16,当且仅当1x0＝x0,即x0＝1时等号成立.所以△ABE的面积的最小值为16.21.解(1)由题意知c＝5,e＝ca＝53,∴a＝3,b2＝a2－c2＝4,故椭圆C的标准方程为x29＋y24＝1.(2)设两切线为l1,l2,①当l1⊥x轴或l1∥x轴时,l2∥x轴或l2⊥x轴,可知P(±3,±2)；②当l1与x轴不垂直且不平行时,x0≠±3,设l1的斜率为k,则k≠0,则l2的斜率为－1k,l1的方程为y－y0＝k(x－x0),与x29＋y24＝1联立,整理得(9k2＋4)x2＋18(y0－kx0)kx＋9(y0－kx0)2－36＝0,∵直线与椭圆相切,∴Δ＝0,得9(y0－kx0)2k2－(9k2＋4)[(y0－kx0)2－4]＝0,∴－36k2＋4[(y0－kx0)2－4]＝0,∴(x20－9)k2－2x0y0k＋y20－4＝0,∴k是方程(x20－9)x2－2x0y0x＋y20－4＝0的一个根,同理－1k是方程(x20－9)x2－2x0y0x＋y20－4＝0的另一个根,∴k·－1k＝y20－4x20－9,得x20＋y20＝13,其中x0≠±3,∴点P的轨迹方程为x2＋y2＝13(x≠±3),检验P(±3,±2)满足上式.综上：点P的轨迹方程为x2＋y2＝13.22.解(1)设点M(x,y),依题意得|MF|＝|x|＋1,即（x－1）2＋y2＝|x|＋1,化简整理得y2＝2(|x|＋x).故点M的轨迹C的方程为y2＝4x，x≥0，0，x<0.(2)在点M的轨迹C中,记C1：y2＝4x,C2：y＝0(x<0).依题意,可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2).由方程组y－1＝k（x＋2），y2＝4x，可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①(a)当k＝0时,此时y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程,得x＝14.故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点14，1.(b)当k≠0时,方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1).②设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由y－1＝k(x＋2),令y＝0,得x0＝－2k＋1k.③(ⅰ)若Δ<0，x0<0，由②③解得k<－1,或k>12.即当k∈(－∞,－1)∪12，＋∞时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.(ⅱ)若Δ＝0，x0<0，或Δ>0，x0≥0,由②③解得k∈－1，12,或k∈－12，0.即当k∈－1，12时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点.当k∈－12，0时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.故当k∈－12，0∪－1，12时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.(ⅲ)若Δ>0，x0<0，由②③解得－1<k<－12,或0<k<12.即当k∈－1，－12∪0，12时,直线l与C1有两个公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.综合(1)(2)可知,当k∈(－∞,－1)∪12，＋∞∪{0}时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当k∈－12，0∪－1，12时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k∈－1，－12∪0，12,直线l与轨迹C恰好有三个公共点.23.(1)证明设直线l1,l2的方程分别为y＝k1x,y＝k2x(k1,k2≠0),则由y＝k1x，y2＝2p1x，得A12p1k21，2p1k1,由y＝k1x，y2＝2p2x，得A22p2k21，2p2k1.同理可得B12p1k22，2p1k2,B22p2k22，2p2k2.所以A1B1→＝2p1k22－2p1k21，2p1k2－2p1k1＝2p11k22－1k21，1k2－1k1,A2B2→＝2p2k22－2p2k21，2p2k2－2p2k1＝2p21k22－1k21，1k2－1k1.故A1B1→＝p1p2A2B2→,所以A1B1∥A2B2.(2)解由(1)知A1B1∥A2B2,同理可得B1C1∥B2C2,C1A1∥C2A2.所以△A1B1C1∽△A2B2C2.因此S1S2＝(|A1B1→||A2B2→|)2.又由(1)中的A1B1→＝p1p2A2B2→知|A1B1→||A2B2→|＝p1p2.故S1S2＝p21p22.24.解(1)由已知可得a2＋b2＝2b，2c＝2a2－b2＝4，解得a2＝6,b2＝2,所以椭圆C的标准方程是x26＋y22＝1.(2)(ⅰ)证明由(1)可得,F的坐标是(－2,0),设T点的坐标为(－3,m),则直线TF的斜率kTF＝m－0－3－（－2）＝－m.当m≠0时,直线PQ的斜率kPQ＝1m,直线PQ的方程是x＝my－2.当m＝0时,直线PQ的方程是x＝－2,也符合x＝my－2的形式.设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得x＝my－2，x26＋y22＝1，消去x,得(m2＋3)y2－4my－2＝0,其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.所以y1＋y2＝4mm2＋3,y1y2＝－2m2＋3,x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝－12m2＋3.所以PQ的中点M的坐标为－6m2＋3，2mm2＋3,所以直线OM的斜率kOM＝－m3.又直线OT的斜率kOT＝－m3,所以点M在直线OT上,因此OT平分线段PQ.(ⅱ)由(ⅰ)可得,|TF|＝m2＋1,|PQ|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝（m2＋1）[（y1＋y2）2－4y1y2]＝（m2＋1）4mm2＋32－4·－2m2＋3＝24（m2＋1）m2＋3所以|TF||PQ|＝124·（m2＋3）2m2＋1＝124·m2＋1＋4m2＋1＋4≥124·（4＋4）＝33.当且仅当m2＋1＝4m2＋1,即m＝±1时,等号成立,此时|TF||PQ|取得最小值.所以当|TF||PQ|最小时,T点的坐标是(－3,1)或(－3,－1).B组两年模拟精选(2016～2015年)1.B[设A、B、C三点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3).由题意知F(1,0),∵FA→＋FB→＋FC→＝0,∴x1+x2+x3＝3.根据抛物线定义,有|FA→|＋|FB→|＋|FC→|＝x1+1+x2+1+x3+1=3+3=6.故选B.]2.A[抛物线的准线为x＝－2,代入双曲线方程得y＝±4a4－a2,不妨设A－2，4a4－a2,∵△ABF是等腰直角三角形,4a4－a2＝p＝4,求得a＝2,∴双曲线的离心率e＝ca＝a2＋16a＝182＝3.]3.B[依题意,当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y－0＝tan45°(x－1),即y＝x－1,代入椭圆方程x22＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0,解得x＝0或x＝43,所以两个交点坐标分别为(0,－1),43，13,∴OA→·OB→＝－13,同理,直线l经过椭圆的左焦点时,也可得OA→·OB→＝－13.]4.B[由题意知,|EA|＋|EO|＝|EB|＋|EO|＝r(r为圆的半径)且r>|OA|,故E的轨迹为以O,A为焦点的椭圆,故选B.]5.1，233[双曲线渐近线为bx±ay＝0,其与圆相交,则圆心到渐近线的距离小于半径,即2ba2＋b2＜1,∴3b2＜a2,∴c2＝a2＋b2＜43a2,∴e＝ca＜233.又e＞1,∴1＜e＜233.]6.解(1)由抛物线y2＝16x的焦点为(4,0)可得c＝4.可设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0).∵双曲线x216－y29＝1的焦点为(±5,0).∴由题意知a＝5,b2＝a2－b2＝25－16＝9.故椭圆标准方程为x225＋y29＝1.(2)kPE·kPF为定值,该定值为－925.理由：E,F是椭圆上关于原点对称的两点.设E(m,n),则F(－m,－n),又设P点坐标为(x,y).则m225＋n29＝1,x225＋y29＝1.两式相减可得x2－m225＋y2－n29＝0,即y2－n2x2－m2＝－925.(由题意知x2－m2≠0).又kPE＝y－nx－m,kPF＝y＋nx＋m,则kPE·kPF＝y2－n2x2－m2＝－925.∴kPE·kPF为定值,且为－925.7.34，＋∞[设抛物线上的两点为A(x1,y1),B(x2,y2),AB的方程为y＝x＋b,代入抛物线方程y＝ax2－1,得ax2－x－(b＋1)＝0,则x1＋x2＝1a.设AB的中点为M(x0,y0),则x0＝12a,y0＝x0＋b＝12a＋b.由于M(x0,y0)在直线x＋y＝0上,故x0＋y0＝0,由此得b＝－1a,此时ax2－x－(b＋1)＝0变为ax2－x－－1a＋1＝0.由Δ＝1＋4a－1a＋1>0,解得a>34.]8.解(1)设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0),由题意,得b＝3.又ca＝12,解得a＝2,c＝1,故椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)因为过点P(2,1)的直线l与椭圆在第一象限相切,所以l的斜率存在,故可设直线l的方程为y＝k(x－2)＋1.由x24＋y23＝1，y＝k（x－2）＋1，得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0.①因为直线l与椭圆相切,所以Δ＝[－8k(2k－1)]2－4(3＋4k2)(16k2－16k－8)＝0.整理,得32(6k＋3)＝0,解得k＝－12.所以直线l的方程为y＝－12(x－2)＋1＝－12x＋2.将k＝－12代入①式,可以解得M点的横坐标为1,故切点M的坐标为1，32.第三节椭圆及其性质A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·浙江，7)已知椭圆C1：x2m2＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：x2n2－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()A.m＞n且e1e2＞1B.m＞n且e1e2＜1C.m＜n且e1e2＞1D.m＜n且e1e2＜12.(2016·全国Ⅲ，11)已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A.13B.12C.23D.343.(2014·大纲全国，6)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为43，则C的方程为()A.x23＋y22＝1B.x23＋y2＝1C.x212＋y28＝1D.x212＋y24＝14.(2016·江苏，10)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝b2与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________.5.(2016·全国Ⅱ，20)已知椭圆E：x2t＋y23＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围.6.(2016·四川，20)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：y＝－x＋3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；(2)设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|，并求λ的值.7.(2015·重庆，21)如图，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|＝2＋2，|PF2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.8.(2015·福建，18)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)过点(0，2)，且离心率e＝22.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l：x＝my－1(m∈R)交椭圆E于A，B两点，判断点G－94，0与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.9.(2015·陕西，20)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝52的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程.10.(2015·北京，19)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，点P(0,1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由.11.(2014·辽宁，15)已知椭圆C：x29＋y24＝1，点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________.12.(2014·安徽，14)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点.若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________.13.(2014·江西，15)过点M(1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·青岛模拟)已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋3y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()A.32B.26C.27D.72.(2016·安徽安庆模拟)已知椭圆mx2＋4y2＝1的离心率为22，则实数m等于()A.2B.2或83C.2或6D.2或83.(2015·黄冈质检)F1，F2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交椭圆于点P，且∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为()A.33B.22C.12D.324.(2015·武汉模拟)已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是()A.x216＋y27＝1B.x216＋y27＝1或x27＋y216＝1C.x216＋y225＝1D.x216＋y225＝1或x225＋y216＝15.(2016·云南师范大学附属中学第七次月考)已知点P(x，y)在椭圆x264＋y239＝1，若定点A(5，0)，动点M满足|AM→|＝1，且PM→·AM→＝0，则|PM→|的最小值是______.6.(2016·福建四地六校第三次联考)已知椭圆的中心在原点，，焦点在x轴上，离心率为32，且经过点M(4，1)，直线l：y＝x＋m交椭圆于不同的两点A、B.(1)求椭圆的方程；(2)求m的取值范围；(3)若直线l不过点M，求证：直线MA、MB的斜率互为相反数.答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.A[由题意可得：m2－1＝n2＋1，即m2＝n2＋2，又∵m＞0，n＞0，故m＞n.又∵e21·e22＝m2－1m2·n2＋1n2＝n2＋1n2＋2·n2＋1n2＝n4＋2n2＋1n4＋2n2＝1＋1n4＋2n2＞1，∴e1·e2＞1.]2.A[设M(－c，m)，则E0，ama－c，OE的中点为D，则D0，am2（a－c），又B，D，M三点共线，所以m2（a－c）＝ma＋c，a＝3c，e＝13.]3.A[由椭圆的性质知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，∴△AF1B的周长＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝43，∴a＝3.又e＝33，∴c＝1.∴b2＝a2－c2＝2，∴椭圆的方程为x23＋y22＝1，故选A.]4.63[联立方程组x2a2＋y2b2＝1，y＝b2，解得B、C两点坐标为B－32a，b2,C32a，b2,又F(c,0),则FB→＝－32a－c，b2，FC→＝3a2－c，b2，又由∠BFC＝90°，可得FB→·FC→＝0，代入坐标可得：c2－34a2＋b24＝0①，又因为b2＝a2－c2.代入①式可化简为c2a2＝23，则椭圆离心率为e＝ca＝23＝63.5.解(1)设M(x1，y1)，则由题意知y1>0.当t＝4时，E的方程为x24＋y23＝1,A(-2,0).由|AM|＝|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为π4.因此直线AM的方程为y＝x＋2.将x＝y－2代入x24＋y23＝1得7y2－12y＝0，解得y＝0或y＝127，所以y1＝127.因此△AMN的面积S△AMN＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意t>3，k>0，A(－t，0)，将直线AM的方程y＝k(x＋t)代入x2t＋y23＝1得(3＋tk2)x2＋2t·tk2x＋t2k2－3t＝0.由x1·(－t)＝t2k2－3t3＋tk2得x1＝t（3－tk2）3＋tk2，故|AM|＝|x1＋t|1＋k2＝6t（1＋k2）3＋tk2.由题设，直线AN的方程为y＝－1k(x＋t)，故同理可得|AN|＝6kt（1＋k2）3k2＋t.由2|AM|＝|AN|得23＋tk2＝k3k2＋t，即(k3－2)t＝3k(2k－1)，当k＝32时上式不成立，因此t＝3k（2k－1）k3－2.t>3等价于k3－2k2＋k－2k3－2＝（k－2）（k2＋1）k3－2<0，即k－2k3－2<0.由此得k－2>0，k3－2<0，或k－2<0，k3－2>0，解得32<k<2.因此k的取值范围是(32，2).6.(1)解由已知，a＝2b，则椭圆E的方程为x22b2＋y2b2＝1.由方程组x22b2＋y2b2＝1，y＝－x＋3，得3x2－12x＋(18－2b2)＝0.①方程①的判别式为Δ＝24(b2－3)，由Δ＝0，得b2＝3，此时方程①的解为x＝2，所以椭圆E的方程为x26＋y23＝1.点T的坐标为(2，1).(2)证明由已知可设直线l′的方程为y＝12x＋m(m≠0)，由方程组y＝12x＋m，y＝－x＋3，可得x＝2－2m3，y＝1＋2m3.所以P点坐标为2－2m3，1＋2m3.|PT|2＝89m2.设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).由方程组x26＋y23＝1，y＝12x＋m，可得3x2＋4mx＋(4m2－12)＝0.②方程②的判别式为Δ＝16(9－2m2)，由Δ>0，解得－322<m<322.由②得x1＋x2＝－4m3，x1x2＝4m2－123.所以|PA|＝2－2m3－x12＋1＋2m3－y12＝522－2m3－x1，同理|PB|＝522－2m3－x2.所以|PA|·|PB|＝542－2m3－x12－2m3－x2＝542－2m32－2－2m3（x1＋x2）＋x1x2＝542－2m32－2－2m3－4m3＋4m2－123＝109m2.故存在常数λ＝45，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|.7.解(1)由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a＝2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，因此2c＝|F1F2|＝|PF1|2＋|PF2|2＝（2＋2）2＋（2－2）2＝23，即c＝3，即c＝3，从而b＝a2－c2＝1.故所求椭圆的标准方程为x24＋y2＝1.(2)法一如图设点P(x0，y0)在椭圆上，且PF1⊥PF2，则x20a2＋y20b2＝1，x20＋y20＝c2，求得x0＝±aca2－2b2，y0＝±b2c.由|PF1|＝|PQ|＞|PF2|得x0＞0，从而|PF1|2＝aa2－2b2c＋c2＋b4c2＝2(a2－b2)＋2aa2－2b2＝(a＋a2－2b2)2.由椭圆的定义,|PF1|＋|PF2|＝2a,|QF1|＋|QF2|＝2a,从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|,有|QF1|＝4a－2|PF1|.又由PF1⊥PF2，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝2|PF1|，因此，(2＋2)|PF1|＝4a，即(2＋2)(a＋a2－2b2)＝4a，于是(2＋2)(1＋2e2－1)＝4，解得e＝121＋42＋2－12＝6－3.法二如图，由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|.又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝2|PF1|，因此，4a－2|PF1|＝2|PF1|，得|PF1|＝2(2－2)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－2)a＝2(2－1)a.由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，因此e＝ca＝|PF1|2＋|PF2|22a＝（2－2）2＋（2－1）2＝9－62＝6－3.8.解法一(1)由已知得，b＝2，ca＝22，a2＝b2＋c2.解得a＝2，b＝2，c＝2.所以椭圆E的方程为x24＋y22＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为H(x0，y0).x＝my－1，x24＋y22＝1得(m2＋2)y2－2my－3＝0.所以y1＋y2＝2mm2＋2，y1y2＝－3m2＋2，从而y0＝mm2＋2.所以|GH|2＝x0＋942＋y20＝my0＋542＋y20＝(m2＋1)y20＋52my0＋2516.|AB|24＝（x1－x2）2＋（y1－y2）24＝（1＋m2）（y1－y2）24＝（1＋m2）[（y1＋y2）2－4y1y2]4＝(1＋m2)(y20－y1y2)，故|GH|2－|AB|24＝52my0＋(1＋m2)y1y2＋2516＝5m22（m2＋2）－3（1＋m2）m2＋2＋2516＝17m2＋216（m2＋2）＞0，所以|GH|＞|AB|2.故点G－94，0在以AB为直径的圆外.法二(1)同法一.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则GA→＝x1＋94，y1，GB→＝x2＋94，y2.由x＝my－1，x24＋y22＝1得(m2＋2)y2－2my－3＝0，所以y1＋y2＝2mm2＋2，y1y2＝－3m2＋2，从而GA→·GB→＝x1＋94x2＋94＋y1y2＝my1＋54my2＋54＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋54m(y1＋y2)＋2516＝－3（m2＋1）m2＋2＋52m2m2＋2＋2516＝17m2＋216（m2＋2）＞0，所以cos〈GA→，GB→〉＞0.又GA→，GB→不共线，所以∠AGB为锐角.故点G－94，0在以AB为直径的圆外.9.解(1)过点(c，0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，则原点O到该直线的距离d＝bcb2＋c2＝bca,由d＝12c,得a＝2b＝2a2－c2,解得离心率ca＝32.(2)法一由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①依题意，圆心M(－2，1)是线段AB的中点，且|AB|＝10，易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y＝k(x＋2)＋1,代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－8k（2k＋1）1＋4k2，x1x2＝4（2k＋1）2－4b21＋4k2，由x1＋x2＝－4，得－8k（2k＋1）1＋4k2＝－4，解得k＝12，从而x1x2＝8－2b2，于是|AB|＝1＋122|x1－x2|＝52（x1＋x2）2－4x1x2＝10（b2－2），由|AB|＝10，得10（b2－2）＝10，解得b2＝3，故椭圆E的方程为x212＋y23＝1.法二由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2，②依题意，点A，B关于圆心M(－2，1)对称，且|AB|＝10，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21＋4y21＝4b2，x22＋4y22＝4b2，两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0，易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2，所以AB的斜率kAB＝y1－y2x1－x2＝12，因此直线AB的方程为y＝12(x＋2)＋1，代入②得x2＋4x＋8－2b2＝0，所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2，于是|AB|＝1＋122|x1－x2|＝52（x1＋x2）2－4x1x2＝10（b2－2）.由|AB|＝10，得10（b2－2）＝10，解得b2＝3，故椭圆E的方程为x212＋y23＝1.10.解(1)由题意得b＝1，ca＝22，a2＝b2＋c2解得a2＝2，故椭圆C的方程为x22＋y2＝1.设M(xM，0).因为m≠0，所以－1＜n＜1.直线PA的方程为y－1＝n－1mx.所以xM＝m1－n，即Mm1－n，0.(2)因为点B与点A关于x轴对称，所以B(m，－n).设N(xN，0)，则xN＝m1＋n."存在点Q(0，yQ)使得∠OQM＝∠ONQ"，等价于"存在点Q(0，yQ)使得|OM||OQ|＝|OQ||ON|"，即yQ满足y2Q＝|xM||xN|.因为xM＝m1－n，xN＝m1＋n，m22＋n2＝1.所以y2Q＝|xM||xN|＝m21－n2＝2.所以yQ＝2或yQ＝－2.故在y轴上存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ，点Q的坐标为(0，2)或(0，－2).11.12[设MN交椭圆于点P，连接F1P和F2P(其中F1、F2是椭圆C的左、右焦点)，利用中位线定理可得|AN|＋|BN|＝2|F1P|＋2|F2P|＝2×2a＝4a＝12.]12.x2＋3y22＝1[设点A在点B上方，F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝1－b2，则可设A(c，b2)，B(x0，y0)，由|AF1|＝3|F1B|，可得AF1→＝3F1B→，故－2c＝3（x0＋c），－b2＝3y0，即x0＝－53c，y0＝－13b2，代入椭圆方程可得25（1－b2）9＋19b2＝1，得b2＝23，故椭圆方程为x2＋3y22＝1.]13.22[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程相减得（x1－x2）（x1＋x2）a2＋（y1－y2）（y1＋y2）b2＝0，根据题意有x1＋x2＝2×1＝2，y1＋y2＝2×1＝2，且y1－y2x1－x2＝－12，所以2a2＋2b2×－12＝0，得a2＝2b2，所以a2＝2(a2－c2)，整理得a2＝2c2得ca＝22，所以e＝22.]B组两年模拟精选(2016～2015年)1.C[根据题意设椭圆方程为x2b2＋4＋y2b2＝1(b>0)，则将x＝－3y－4代入椭圆方程，得4(b2＋1)y2＋83b2y－b4＋12b2＝0，∵椭圆与直线x＋3y＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(83b2)2－4×4(b2＋1)(－b4＋12b2)＝0，即(b2＋4)·(b2－3)＝0，∴b2＝3.长轴长为2b2＋4＝27.]2.D[显然m＞0且m≠4,当0＜m＜4时,椭圆长轴在x轴上,则1m－141m＝22,解得m＝2;当m＞4时,椭圆长轴在y轴上,则14－1m14＝22，解得m＝8.]3.A[不妨设|PF2|＝1,则|PF1|＝2,|F1F2|＝2c＝3,由椭圆的定义得2a＝3,因此e＝ca＝2c2a＝33.]4.B[∵a＝4,e＝34,∴c＝3.∴b2＝a2－c2＝16－9＝7.∴椭圆的标准方程是x216＋y27＝1或x27＋y216＝1.]5.22[由|AM→|＝1可知点M的轨迹为以点A为圆心,1为半径的圆,过点P作该圆的切线，则|PA|2＝|PM|2＋|AM|2;得|PM|＝|PA|2－1,∴要使得|PM→|的值最小,而|PA→|的最小值为a－c＝3，此时|PM→|＝22.]6.(1)解设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，因为e＝32，所以a2＝4b2，又因为M(4，1)在椭圆上，所以16a2＋1b2＝1，解得b2＝5，a2＝20，故椭圆方程为x220＋y25＝1.(2)解将y＝x＋m代入x220＋y25＝1并整理得5x2＋8mx＋4m2－20＝0，Δ＝(8m)2－20(4m2－20)＞0，解得－5＜m＜5.(3)证明设直线MA，MB的斜率分别为k1和k2，只要证明k1＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－8m5，x1x2＝4m2－205.k1＋k2＝y1－1x1－4＋y2－1x2－4＝（y1－1）（x2－4）＋（y2－1）（x1－4）（x1－4）（x2－4）分子＝(x1＋m－1)(x2－4)＋(x2＋m－1)(x1－4)＝2x1x2＋(m－5)(x1＋x2)－8(m－1)＝2（4m2－20）5－8m（m－5）5－8(m－1)＝0，所以直线MA、MB的斜率互为相反数.第四节双曲线A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·全国Ⅰ，5)已知方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A.(－1，3)B.(－1，3)C.(0，3)D.(0，3)2.(2016·全国Ⅱ，11)已知F1，F2是双曲线E：x2a2－y2b2＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝13，则E的离心率为()A.2B.32C.3D.23.(2015·福建，3)若双曲线E：x29－y216＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于()A.11B.9C.5D.34.(2015·安徽，4)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是()A.x2－y24＝1B.x24－y2＝1C.y24－x2＝1D.y2－x24＝15.(2015·广东，7)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的离心率e＝54，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为()A.x24－y23＝1B.x216－y29＝1C.x29－y216＝1D.x23－y24＝16.(2015·四川，5)过双曲线x2－y23＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝()A.433B.23C.6D.437.(2015·新课标全国Ⅱ，11)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()A.5B.2C.3D.28.(2015·新课标全国Ⅰ，5)已知M(x0，y0)是双曲线C：x22－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若MF1→·MF2→<0，则y0的取值范围是()A.－33，33B.－36，36C.－223，223D.－233，2339.(2014·天津，5)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.x25－y220＝1B.x220－y25＝1C.3x225－3y2100＝1D.3x2100－3y225＝110.(2014·广东，4)若实数k满足0<k<9，则曲线x225－y29－k＝1与曲线x225－k－y29＝1的()A.离心率相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.焦距相等11.(2014·新课标全国Ⅰ，4)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A.3B.3C.3mD.3m12.(2014·重庆，8)设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝94ab，则该双曲线的离心率为()A.43B.53C.94D.313.(2014·山东，10)已知a>b>0，椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1，C1与C2的离心率之积为32，则C2的渐近线方程为()A.x±2y＝0B.2x±y＝0C.x±2y＝0D.2x±y＝014.(2014·大纲全国，9)已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上.若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝()A.14B.13C.24D.2315.(2016·山东，13)已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________.16.(2015·浙江，9)双曲线x22－y2＝1的焦距是______，渐近线方程是______.17.(2015·北京，10)已知双曲线x2a2－y2＝1(a＞0)的一条渐近线为3x＋y＝0，则a＝________.18.(2015·湖南，13)设F是双曲线C：x2a2－y2b2＝1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________.19.(2015·江苏，12)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点.若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________.20.(2014·浙江，16)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________.21.(2014·江西，20)如图，已知双曲线C：x2a2－y2＝1(a>0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点).(1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：x0xa2－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝32相交于点N.证明：当点P在C上移动时，|MF||NF|恒为定值，并求此定值.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·山东青岛模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：x＋2y＋5＝0，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.x220－y25＝1B.x25－y220＝1C.3x225－3y2100＝1D.x2100－y225＝12.(2015·河南开封模拟)已知a>b>0，椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1，C1与C2的离心率之积为32，则C1、C2的离心率分别为()A.12，3B.22，62C.64，2D.14，233.(2015·青岛一中月考)已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－y24＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则()A.a2＝132B.a2＝13C.b2＝12D.b2＝24.(2015·河北石家庄一模)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F恰好是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则该双曲线的离心率为()A.2B.3C.1＋2D.1＋35.(2016·山东日照模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，其右顶点是A，若双曲线C右支上存在两点B，D，使△ABD为正三角形，则双曲线C的离心率e的取值范围是________.6.(2016·四川成都模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为2x＋3y＝0，则双曲线的离心率是________.7.(2016·豫晋冀三省调研)已知双曲线C的中心在原点，且左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为底边作正三角形，若双曲线C与该正三角形两腰的交点恰为两腰的中点，则双曲线C的离心率为________.8.(2016·广东茂名模拟)已知抛物线y2＝4x与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F，O是坐标原点，点A、B是两曲线的交点，若(OA→＋OB→)·AF→＝0，则双曲线的实轴长为________.9.(2016·湖南常德3月模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左顶点为M，右焦点为F，过F的直线l与双曲线交于A，B两点，且满足：MA→＋MB→＝2MF→，MA→·MB→＝0，则该双曲线的离心率是________.10.(2016·重庆万州模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10).点M(3，m)在双曲线上.(1)求双曲线方程；(2)求证：MF1→·MF2→＝0；(3)求△F1MF2的面积.答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.A[∵方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，由双曲线性质，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－1<n<3，故选A.]2.A[离心率e＝F1F2MF2－MF1，由正弦定理得e＝F1F2MF2－MF1＝sinMsinF1－sinF2＝2231－13＝2.故选A.]3.B[由双曲线定义||PF2|－|PF1||＝2a,∵|PF1|＝3,∴P在左支上,∵a＝3,∴|PF2|－|PF1|＝6，∴|PF2|＝9，故选B.]4.C[由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上，不合题意；C、D项双曲线焦点均在y轴上，但D项渐近线为y＝±12x，只有C符合，故选C.]5.B[因为所求双曲线的右焦点为F2(5，0)且离心率为e＝ca＝54，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线方程为x216－y29＝1，故选B.]6.D[焦点F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x2－y23＝0，将x＝2代入渐近线方程得y2＝12，y＝±23，∴|AB|＝23－(－23)＝43.选D.]7.D[如图，设双曲线E的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0),则|AB|＝2a,由双曲线的对称性,可设点M(x1，y1)在第一象限内,过M作MN⊥x轴于点N(x1，0)，∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin60°＝3a，x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos60°＝2a.将点M(x1，y1)的坐标代入x2a2－y2b2＝1，可得a2＝b2，∴e＝ca＝a2＋b2a2＝2，选D.]8.A[由题意知M在双曲线C：x22－y2＝1上，又在x2＋y2＝3内部，由x22－y2＝1，x2＋y2＝3，得y＝±33，所以－33<y0<33.]9.A[由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y＝bax与直线y＝2x＋10平行，所以ba＝2且左焦点为(-5,0),所以a2＋b2＝c2＝25,解得a2＝5,b2＝20,故双曲线方程为x25－y220＝1.选A.]10.D[由0<k<9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上，由25＋9－k＝25－k＋9，得两双曲线的焦距相等，选D.]11.A[∵双曲线的方程为x23m－y23＝1，焦点F到一条渐近线的距离为3.]12.B[由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||＝2a,又|PF1|＋|PF2|＝3b,所以(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|-|PF2|)2＝9b2-4a2,即4|PF1|·|PF2|＝9b2－4a2，又4|PF1|·|PF2|＝9ab，因此9b2－4a2＝9ab，即9ba2-9ba－4＝0,则3ba＋13ba－4＝0，解得ba＝43ba＝－13舍去，则双曲线的离心率e＝1＋ba2＝53.]13.A[椭圆C1的离心率为a2－b2a,双曲线C2的离心率为a2＋b2a，所以a2－b2a·a2＋b2a＝32，所以a4－b4＝34a4，即a4＝4b4，所以a＝2b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±12x，即x±2y＝0.]14.A[由双曲线的定义知|AF1|－|AF2|＝2a，又|AF1|＝2|AF2|，∴|AF1|＝4a，|AF2|＝2a.∵e＝ca＝2，∴c＝2a，∴|F1F2|＝4a.∴cos∠AF2F1＝|AF2|2＋|F1F2|2－|AF1|22|AF2|·|F1F2|＝（2a）2＋（4a）2－（4a）22×2a×4a＝14，故选A.]15.2[由已知得|AB|＝2b2a,|BC|＝2c,∴2×2b2a＝3×2c,又∵b2＝c2-a2,整理得：2c2-3ac-2a2=0，两边同除以a2得2ca2－3ca－2＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去).]16.23y＝±22x[由双曲线方程得a2＝2，b2＝1，∴c2＝3，∴焦距为23，渐近线方程为y＝±22x.]17.33[双曲线渐近线方程为y＝±bax，∴ba＝3，又b＝1，∴a＝33.]18.5[不妨设F(c，0)，则由条件知P(－c，±2b)，代入x2a2－y2b2＝1得c2a2＝5，∴e＝5.]19.22[双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线的距离d＝|1－0|12＋12＝22.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤22，故c的最大值为22.]20.52[联立直线方程与双曲线渐近线方程y＝±bax可解得交点为am3b－a，bm3b－a，－am3b＋a，bm3b＋a，而kAB＝13，由|PA|＝|PB|，可得AB的中点与点P连线的斜率为－3，即bm3b－a＋bm3b＋a2－0am3b－a＋－am3b＋a2－m＝－3，化简得4b2＝a2，所以e＝52.]21.(1)解设F(c，0)，因为b＝1，所以c＝a2＋1，直线OB的方程为y＝－1ax，直线BF的方程为y＝1a(x－c)，解得Bc2，－c2a.又直线OA的方程为y＝1ax，则Ac，ca，kAB＝ca－－c2ac－c2＝3a.又因为AB⊥OB，所以3a·－1a＝－1，解得a2＝3，故双曲线C的方程为x23－y2＝1.(2)证明由(1)知a＝3，则直线l的方程为x0x3－y0y＝1(y0≠0)，即y＝x0x－33y0.因为直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为M2，2x0－33y0；直线l与直线x＝32的交点为N32，32x0－33y0.则|MF|2|NF|2＝（2x0－3）2（3y0）214＋32x0－32（3y0）2＝（2x0－3）29y204＋94（x0－2）2＝43·（2x0－3）23y20＋3（x0－2）2，因为P(x0，y0)是C上一点，则x203－y20＝1，代入上式得|MF|2|NF|2＝43·（2x0－3）2x20－3＋3（x0－2）2＝43·（2x0－3）24x20－12x0＋9＝43，所求定值为|MF||NF|＝23＝233.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.A[由题意知：ba＝12,c＝5,所以a2＝20,b2＝5,则双曲线的方程为x220－y25＝1,故选A.]2.B[由题意知，a2－b2a·a2＋b2a＝32，所以a2＝2b2，则C1、C2的离心率分别为e1＝22，e2＝62，故选B.]3.C[由题意知,a2＝b2＋5,因此椭圆方程为(a2－5)x2＋a2y2＋5a2－a4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y＝2x,联立方程消去y,得(5a2－5)x2＋5a2－a4＝0,∴直线截椭圆的弦长d＝5×2a4－5a25a2－5＝23a，解得a2＝112，b2＝12.4.C[因为两曲线的交点的连线过点F，所以两曲线的交点坐标为p2，±p，代入双曲线方程可得p22a2－p2b2＝1，因为p2＝c，所以c4－6a2c2＋a4＝0所以e4－6e2＋1＝0，又e＞1，解得e＝1＋2，故选C.]5.1＜e＜233[双曲线c的渐近线方程为y＝±bax,要使△ABD为正三角形,则只需过右顶点A,且斜率为33的直线与双曲线有两个不同的交点,即只需该直线的斜率大于渐近线y＝bax的斜率.∴33＞ba，∴b＜33a.即b2＜13a2，则c2＜a2＋13a2，即c＜233a，则e＜233，又e＞1，所以1＜e＜233.]6.133[由渐近线方程可设a＝3k,b＝2k,(k＞0),∴c＝13k，双曲线离心率为e＝ca＝133.]7.3＋1[设以F1F2为底边的正三角形与双曲线C的右支交于点M，连接MF1，则在Rt△MF1F2中，有|F1F2|＝2c，|MF1|＝3c，|MF2|＝c，由双曲线的定义知|MF1|－|MF2|＝2a，即3c－c＝2a，所以双曲线C的离心率e＝ca＝23－1＝3＋1.]8.22－2[抛物线y2＝4x与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同的焦点F(1，0)，由(OA→＋OB→)·AF→＝0知AF⊥x轴，不妨设A点在第一象限，则A点坐标为(1，2).设双曲线的左焦点为F′，则|FF′|＝2.由勾股定理得|AF′|＝22.由双曲线定义知2a＝|AF′|－|AF|＝22－2.]9.2[因为MA→＋MB→＝2MF→,所以F为AB的中点,所以AB⊥x轴,即|AB|＝2b2a,又MA→·MB→＝0,所以MA⊥MB,所以|MF|＝b2a,所以a＋c＝b2a,即c2－ac－2a2＝0,所以e2－e－2＝0.解得e＝2.]10.(1)解∵e＝2，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0).∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明由(1)可知，在双曲线中a＝b＝6，∴c＝23，∴F1(－23，0)，F2(23，0).∴kMF1＝m3＋23，kMF2＝m3－23，又∵点M(3，m)在双曲线上,∴9－m2＝6,m2＝3.∴kMF1·kMF2＝m3＋23×m3－23＝－m23＝－1.∴MF1⊥MF2.∴MF1→·MF2→＝0.(3)解由(2)知MF1⊥MF2，∴△MF1F2为直角三角形.又F1(－23，0)，F2(23，0)，m＝±3，M(3，3)或(3，－3)，由两点间距离公式得|MF1|＝（－23－3）2＋（0－3）2＝24＋123，|MF2|＝（23－3）2＋（0－3）2＝24－123，S△F1MF2＝12|MF1||MF2|＝12×24＋123·24－123＝12×12＝6.即△F1MF2的面积为6.第五节抛物线及其性质A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·全国Ⅰ，10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.82.(2015·天津，6)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝47x的准线上，则双曲线的方程为()A.x221－y228＝1B.x228－y221＝1C.x23－y24＝1D.x24－y23＝13.(2015·浙江，5)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是()A.|BF|－1|AF|－1B.|BF|2－1|AF|2－1C.|BF|＋1|AF|＋1D.|BF|2＋1|AF|2＋14.(2016·浙江，9)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________.5.(2015·陕西，14)若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________.6.(2014·湖南，15)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a<b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p>0)经过C，F两点，则ba＝________.7.(2014·上海，3)若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆x29＋y25＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为______________.8.(2014·大纲全国，21)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝54|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程.9.(2015·新课标全国Ⅰ，20)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝x24与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·安庆二模)在同一坐标系下，下列曲线中，右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合的是()A.5x23＋5y22＝1B.x29＋y25＝1C.x23－y22＝1D.5x23－5y22＝12.(2015·杭州模拟)若点A的坐标是(3，2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使得|PA|＋|PF|取得最小值，则P点的坐标是()A.(1，2)B.(2，1)C.(2，2) D.(0，1)3.(2016·陕西西安模拟)已知抛物线y2＝8x的焦点与双曲线x2a2－y2＝1的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为()A.4155B.233C.3D.34.(2015·南京模拟)已知M是y＝14x2上一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值为()A.2B.4C.8D.105.(2015·滨州模拟)若抛物线y2＝8x的焦点是F，准线是l，则经过点F，M(3，3)且与l相切的圆共有()A.0个B.1个C.2个D.4个6.(2016·河南洛阳模拟)已知点M是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，F为抛物线的焦点，若以|MF|为直径作圆，则这个圆与y轴的关系是________.7.(2016·河南洛阳统考)已知F1、F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a＞0)的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的准线方程为________.8.(2016·安徽淮南模拟)已知抛物线y2＝4ax(a>0)的焦点为A，以B(a＋4，0)为圆心，|AB|长为半径画圆，在x轴上方交抛物线于M、N不同的两点，若P为MN的中点.(1)求a的取值范围；(2)求|AM|＋|AN|的值.9.(2016·临川一中期中考试)在直角坐标xOy平面内，已知点F(1，0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且QP→·QF→＝FP→·FQ→.(1)求动点P的轨迹Γ的方程；(2)过点F的直线交轨迹Γ于A，B两点，交直线l于点M，已知MA→＝λ1AF→，MB→＝λ2BF→，试判断λ1＋λ2是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.B[不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，则圆的方程可设为x2＋y2＝r2(r>0),如图，又可设A(x0，22)，D－p2，5，点A(x0，22)在抛物线y2＝2px上，∴8＝2px0，①点A(x0，22)在圆x2＋y2＝r2上，∴x20＋8＝r2，②点D－p2，5在圆x2＋y2＝r2上，∴5＋p22＝r2，③联立①②③，解得p＝4，即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B.]2.D[双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±bax，又渐近线过点(2，3)，所以2ba＝3，即2b＝3a，①抛物线y2＝47x的准线方程为x＝－7，由已知，得a2＋b2＝7，即a2＋b2＝7②，联立①②解得a2＝4，b2＝3，所求双曲线的方程为x24－y23＝1，选D.]3.A[由图象知S△BCFS△ACF＝|BC||AC|＝xBxA，由抛物线的性质知|BF|＝xB＋1，|AF|＝xA＋1，∴xB＝|BF|-1，xA＝|AF|－1，∴S△BCFS△ACF＝|BF|－1|AF|－1.故选A.]4.9[抛物线y2＝4x的焦点F(1,0).准线为x＝-1,由M到焦点的距离为10,可知M到准线x＝-1的距离也为10,故M的横坐标满足xM＋1＝10,解得xM＝9,所以点M到y轴的距离为9.]5.22[由于双曲线x2－y2＝1的焦点为(±2，0)，故应有p2＝2，p＝22.]6.1＋2[由正方形的定义可知BC＝CD，结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，所以|AD|＝p＝a，Dp2，0，Fp2＋b，b，将点F的坐标代入抛物线的方程得b2＝2pp2＋b＝a2＋2ab，变形得ba2－2ba－1＝0，解得ba＝1＋2或ba＝1－2(舍去)，所以ba＝1＋2.]7.x＝-2[∵c2＝9-5＝4,∴c＝2.∴椭圆x29＋y25＝1的右焦点为(2，0),∴p2＝2,即p＝4.∴抛物线的准线方程为x＝-2.]8.解(1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px得x0＝8p.所以|PQ|＝8p，|QF|＝p2＋x0＝p2＋8p.由题设得p2＋8p＝54×8p，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以C的方程为y2＝4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0).代入y2＝4x得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.故AB的中点为D(2m2＋1，2m)，|AB|＝m2＋1|y1－y2|＝4(m2＋1).又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－1my＋2m2＋3.将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋4my－4(2m2＋3)＝0.设M(x3，y3)、N(x4，y4)，则y3＋y4＝－4m，y3y4＝－4(2m2＋3).故MN的中点为E2m2＋2m2＋3，－2m，|MN|＝1＋1m2|y3－y4|＝4（m2＋1）2m2＋1m2.由于MN垂直平分AB，故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝12|MN|，从而14|AB|2＋|DE|2＝14|MN|2，即4(m2＋1)2＋2m＋2m2＋2m2＋22＝4（m2＋1）2（2m2＋1）m4.化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.9.解(1)由题设可得M(2a，a)，N(－2a，a)，或M(－2a，a)，N(2a，a).又y′＝x2,故y＝x24在x＝2a处的导数值为a,C在点(2a，a)处的切线方程为y-a＝a(x-2a)，即ax-y-a＝0.y＝x24在x＝-2a处的导数值为-a,C在点(-2a，a)处的切线方程为y-a＝-a(x＋2a),即ax＋y＋a＝0.故所求切线方程为ax－y－a＝0和ax＋y＋a＝0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0.故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.从而k1＋k2＝y1－bx1＋y2－bx2＝2kx1x2＋（a－b）（x1＋x2）x1x2＝k（a＋b）a.当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点p(0，－a)符合题意.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.D[抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，右焦点与其重合的为D项.]2.C[易知点A(3，2)在抛物线y2＝2x的内部，由抛物线定义可知|PF|与P到准线x＝－12的距离相等，则|PA|＋|PF|最小时，P点应为过A作准线的垂线与抛物线的交点，故P的纵坐标为2，横坐标为2，故选C.]3.B[抛物线的焦点坐标为(2，0)，在双曲线中，c＝2，a2＝4－1＝3，∴e＝ca＝23＝233.故选B.]4.B[抛物线x2＝4y的准线为y＝-1,圆心到y＝-1的距离d＝5,(|MA|＋|MF|)min＝5-r＝5-1=4.]5.B[由题意得F(2，0)，l：x＝－2，线段MF的垂直平分线方程为y－32＝－3－23－0x－52，则x＋3y－7＝0，设圆的圆心坐标为(a，b)，则圆心在x＋3y－7＝0上，故a＋3b－7＝0，a＝7－3b，由题意得|a－(－2)|＝（a－2）2＋b2，即b2＝8a＝8(7－3b)，即b2＋24b－56＝0.又b>0，故此方程只有一个根，于是满足题意的圆只有一个.]6.相切[如图,由MF的中点A作准线l的垂线AE，交准线l于点E，交y轴于点B；由点M作准线l的垂线MD，垂足为D，交y轴于点C，则|MD|＝|MF|，|ON|＝|OF|，∴|AB|＝|OF|＋|CM|2＝|ON|＋|CM|2＝|DM|2＝|MF|2,∴这个圆与y轴相切.]7.x＝-2[将双曲线方程化为标准方程得x2a2－y23a2＝1,抛物线的准线为x＝－2a,联立x2a2－y23a2＝1，y2＝8ax?x＝3a，即点P的横坐标为3a.而由|PF1|＋|PF2|＝12，|PF1|－|PF2|＝2a?|PF2|＝6－a，∴|PF2|＝3a＋2a＝6－a，得a＝1，∴抛物线的准线方程为x＝－2.]8.解(1)由题意知抛物线的焦点坐标为A(a,0),则|AB|＝4,圆的方程为[x－(a＋4)]2＋y2＝16，将y2＝4ax(a>0)代入上式，得x2＋2(a－4)x＋8a＋a2＝0，∴Δ＝4(a－4)2－4(8a＋a2)>0，解得0<a<1，即a∈(0，1).(2)∵A为焦点，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，根据(1)中的x2＋2(a－4)x＋8a＋a2＝0，得x1＋x2＝8－2a，∴|AM|＋|AN|＝(x1＋a)＋(x2＋a)＝x1＋x2＋2a＝8－2a＋2a＝8.9.解(1)设P(x，y)，则Q(－1，y)，F(1，0)，由QP→·QF→＝FP→·FQ→得y2＝4x.(2)设F过的直线为x＝ty＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M－1，－2t由x＝ty＋1，y2＝4x，得y2－4ty－4＝0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，又MA→＝λ1AF→，得λ1＝－1－2ty1，MB→＝λ2BF→得λ2＝－1－2ty2，所以λ1＋λ2＝－2－2t1y1＋1y2＝－2－2ty1＋y2y1y2＝0.即λ1＋λ2为定值.第一节直线与方程A组三年高考真题(2016～2014年)1.(2014·广东，10)曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________.2.(2014·四川，14)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________.3.(2014·江苏，11)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋bx(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·福建福州模拟)设不同直线l1:2x－my－1＝0,l2:(m－1)x－y＋1＝0.则"m＝2"是"l1∥l2"的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.(2016·河北邢台模拟)已知点P(x，y)为曲线y＝x＋1x上任一点，点A(0，4)，则直线AP的斜率k的取值范围是()A.[－3，＋∞)B.(3，＋∞)C.[－2，＋∞)D.(1，＋∞)3.(2016·广西南宁调研)已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为()A.－4B.20C.0D.244.(2015·山东省实验中学期末)已知倾斜角为α的直线l与直线x－2y＋2＝0平行,则tan2α的值为()A.45B.43C.34D.235.(2016·四川乐山模拟)已知集合A＝（x，y）|y－3x－2＝a＋1,B＝{(x,y)|(a2－1)x＋(a－1)y＝15},求a为何值时,A∩B＝?.6.(2015·盐城模拟)经过两条直线2x－3y＋3＝0,x－y＋2＝0的交点,且与直线x－3y－1＝0平行的直线的一般式方程为______________________.答案精析A组三年高考真题(2016～2014年)1.5x＋y－3＝0[y′＝－5e－5x，曲线在点(0，3)处的切线斜率k＝y′|x＝0＝－5，故切线方程为y－3＝－5(x－0)，即5x＋y－3＝0.]2.5[易求定点A(0，0)，B(1，3).当P与A和B均不重合时，不难验证PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤|PA|2＋|PB|22＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝5时，等号成立)，当P与A或B重合时，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5.]3.－3[由曲线y＝ax2＋bx过点P(2，－5)可得－5＝4a＋b2(1).又y′＝2ax－bx2，所以在点P处的切线斜率4a－b4＝－72(2).由(1)(2)解得a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3.]B组两年模拟精选(2016～2015年)1.C[当m＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立.当l1∥l2时，显然m≠0，从而有2m＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立，故选C.]2.A[由题意知kAP＝y－4x＝1－4x＋1x2＝1x－22－3≥－3.]3.A[由两直线垂直得－a4×25＝－1，∴a＝10，将垂足坐标代入ax＋4y－2＝0，得c＝－2，再代入2x－5y＋b＝0，得b＝－12，∴a＋b＋c＝－4.]4.B[直线的斜率为12，即直线l的斜率为k＝tanα＝12，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×121－122＝134＝43，选B.]5.解集合A、B分别为平面xOy上的点集，直线l1：(a＋1)x－y－2a＋1＝0(x≠2)，l2：(a2－1)x＋(a－1)y－15＝0.由（a＋1）（a－1）＝（－1）·（a2－1），－1×（－15）≠（a－1）（－2a＋1），解得a＝±1.①当a＝1时，显然有B＝?，所以A∩B＝?；②当a＝－1时,集合A为直线y＝3(x≠2),集合B为直线y＝－152,两直线平行,所以A∩B＝?；③由l1可知(2，3)?A，当(2，3)∈B时，即2(a2－1)＋3(a－1)－15＝0，可得a＝52或a＝－4，此时A∩B＝?.综上所述，当a＝－4，－1，1，52时，A∩B＝?.6.x－3y＝0[两条直线2x－3y＋3＝0,x－y＋2＝0的交点为(－3,－1)，所以所求直线为y＋1＝13(x＋3),即x－3y＝0.]