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2014～2016年高考文科数学汇编详解版：第四章三角函数、解三角形第二节三角函数的图象与性质A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅰ，6)若将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为()A.y＝2sin2x＋π4 B.y＝2sin2x＋π3C.y＝2sin2x－π4 D.y＝2sin2x－π32.(2016·新课标全国卷Ⅱ，3)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则()A.y＝2sin2x－π6B.y＝2sin2x－π3C.y＝2sinx＋π6D.y＝2sinx＋π33.(2016·四川，4)为了得到函数y＝sinx＋π3的图象，只需把函数y＝sinx的图象上所有的点()A.向左平行移动π3个单位长度 B.向右平行移动π3个单位长度C.向上平行移动π3个单位长度 D.向下平行移动π3个单位长度4．(2015·新课标全国Ⅰ，8)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A.kπ－14，kπ＋34，k∈ZB.2kπ－14，2kπ＋34，k∈ZC.k－14，k＋34，k∈ZD.2k－14，2k＋34，k∈Z5.(2015·山东，4)要得到函数y＝sin4x－π3的图象，只需将函数y＝sin4x的图象()A．向左平移π12个单位 B．向右平移π12个单位C．向左平移π3个单位 D．向右平移π3个单位6.(2014·天津，8)已知函数f(x)＝3sinωx＋cosωx(ω＞0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f(x)的最小正周期为()A.π2B.2π3C.πD.2π7.(2014·陕西，2)函数f(x)＝cos2x＋π4的最小正周期是()A.π2B.πC.2πD.4π8.(2014·四川，3)为了得到函数y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数y＝sinx的图象上所有的点()A．向左平行移动1个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度D．向右平行移动π个单位长度9.(2014·浙江，4)为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图象，可以将函数y＝2cos3x的图象()A.向右平移π12个单位 B.向右平移π4个单位C.向左平移π12个单位 D.向左平移π4个单位10.(2014·安徽，7)若将函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是()A.π8B.π4C.3π8D.3π411.(2014·新课标全国Ⅰ，7)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos2x＋π6，④y＝tan2x－π4中，最小正周期为π的所有函数为()A.①②③B.①③④C.②④D.①③12.(2014·福建，7)将函数y＝sinx的图象向左平移π2个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是()A.y＝f(x)是奇函数B.y＝f(x)的周期为πC.y＝f(x)的图象关于直线x＝π2对称D.y＝f(x)的图象关于点－π2，0对称13.(2016·新课标全国Ⅲ，14)函数y＝sinx－3cosx的图象可由函数y＝2sinx的图象至少向右平移________个单位长度得到.14.(2015·天津，11)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．15.(2015·陕西，14)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sinπ6x＋φ＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．16.(2015·湖南，15)已知ω>0，在函数y＝2sinωx与y＝2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.17.(2014·重庆，13)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，－π2≤φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y＝sinx的图象，则fπ6＝________.18.(2015·湖北，18)某同学用"五点法"画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：ωx＋φ 0 π2π 3π22πx  π3 5π6Asin(ωx＋φ) 0 5  －5 0(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到y＝g(x)的图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．19.(2014·湖北，18)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ12t，t∈[0,24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．20.(2014·四川，17)已知函数f(x)＝sin3x＋π4.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，fα3＝45cosα＋π4cos2α，求cosα－sinα的值．21.(2014·福建，18)已知函数f(x)＝2cosx(sinx＋cosx)．(1)求f5π4的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．22.(2014·北京，16)函数f(x)＝3sin2x＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；(2)求f(x)在区间－π2，－π12上的最大值和最小值．B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·四川成都第二次诊断)将函数f(x)＝cosx＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为()A.g(x)＝cos2x＋π3 B.g(x)＝cos2x＋π6C.g(x)＝cosx2＋π3 D.g(x)＝cosx2＋π62.(2016·山西四校联考)已知函数f(x)＝cosωx＋φ－π2ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y＝fx＋π6取得最小值时x的集合为()A.x|x＝kπ－π6，k∈ZB.x|x＝kπ－π3，k∈ZC.x|x＝2kπ－π6，k∈ZD.x|x＝2kπ－π3，k∈Z3.(2015·石家庄模拟)将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移π8个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为()A.3π4 B.π4C.0 D.－π44.(2015·黄冈模拟)当x＝π4时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0)取得最小值，则函数y＝f3π4－x是()A.奇函数且图象关于点π2，0对称B.偶函数且图象关于点(π，0)对称C.奇函数且图象关于直线x＝π2对称D.偶函数且图象关于点π2，0对称5.(2015·河南焦作市统考)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且其图象向右平移π12个单位后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象()A.关于点π2，0对称 B.关于直线x＝5π12对称C.关于点5π12，0对称 D.关于直线x＝π12对称6.(2015·怀化市监测)函数y＝2sinπ3－2x的单调增区间为________.7.(2015·辽宁五校联考)已知函数f(x)＝32sinωx＋32cosωx(ω＞0)的周期为4.(1)求f(x)的解析式；(2)将f(x)的图象沿x轴向右平移23个单位得到函数g(x)的图象，P，Q分别为函数g(x)图象的最高点和最低点(如图)，求∠OQP的大小.答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.解析函数y＝2sin2x＋π6的周期为π，将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得函数为y＝2sin2x－π4＋π6＝2sin2x－π3，故选D.答案D2.解析由题图可知，T＝2π3－－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y＝2sin2x－π6，故选A.答案A3.解析由y＝sinx得到y＝sin(x±a)的图象，只需记住"左加右减"的规则即可.答案A4.解析由图象知T2＝54－14＝1，∴T＝2.由选项知D正确．答案D5.解析∵y＝sin4x－π3＝sin4x－π12，∴要得到函数y＝sin4x－π3的图象，只需将函数y＝sin4x的图象向右平移π12个单位．答案B6.解析由题意得函数f(x)＝2sinωx＋π6(ω＞0)，又曲线y＝f(x)与直线y＝1相邻交点距离的最小值是π3，由正弦函数的图象知，ωx＋π6＝π6和ωx＋π6＝5π6对应的x的值相差π3，即2π3ω＝π3，解得ω＝2，所以f(x)的最小正周期是T＝2πω＝π.答案C7.解析由余弦函数的复合函数周期公式得T＝2π2＝π.答案B8.解析由图象平移的规律"左加右减"，可知选A.答案A9.解析因为y＝sin3x＋cos3x＝2cos3x－π4，所以将y＝2cos3x的图象向右平移π12个单位后可得到y＝2cos3x－π4的图象．答案A10.解析方法一f(x)＝2sin2x＋π4，将函数f(x)的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数解析式为y＝2sin2x＋π4－2φ，由该函数为偶函数可知2φ－π4＝kπ＋π2，k∈Z，即φ＝kπ2＋3π8，k∈Z，所以φ的最小正值为3π8.方法二f(x)＝2cos2x－π4，将函数f(x)的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数为y＝2cos2x－π4－2φ，且该函数为偶函数，故2φ＋π4＝kπ，k∈Z，所以φ的最小正值为3π8.答案C11.解析①y＝cos|2x|，最小正周期为π；②y＝|cosx|，最小正周期为π；③y＝cos2x＋π6，最小正周期为π；④y＝tan2x－π4，最小正周期为π2，所以最小正周期为π的所有函数为①②③，故选A.答案A12.解析函数y＝sinx的图象向左平移π2个单位后，得到函数f(x)＝sinx＋π2＝cosx的图象，f(x)＝cosx为偶函数，排除A；f(x)＝cosx的周期为2π，排除B；因为fπ2＝cosπ2＝0，所以f(x)＝cosx不关于直线x＝π2对称，排除C；故选D.答案D13.解析y＝sinx－3cosx＝2sinx－π3，由y＝2sinx的图象至少向右平移π3个单位长度得到.答案π314.解析f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sinωx＋π4，由－π2＋2kπ≤ωx＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－3π4＋2kπ≤ωx≤π4＋2kπ，由题意f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，可知k＝0，ω≥π2，又函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，所以sin(ω2＋π4)＝1，ω2＋π4＝π2，所以ω＝π2.答案π215.解析由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5，∴ymax＝k＋3＝8.答案816.解析由y＝2sinωx，y＝2cosωx，知sinωx＝cosωx，即sinωx－cosωx＝0，∴2sinωx－π4＝0，∴ωx＝π4＋kπ，x＝1ωπ4＋kπ(k∈Z)，∴两函数交点坐标为1ωπ4＋kπ，2(k＝0，2，4，…)，或1ωπ4＋kπ，－2(k＝…，－3，－1，1，3，…)∴最短距离为（22）2＋π2ω2＝23，∴π2ω2＝4，∴ω＝π2.答案π217.解析把函数y＝sinx的图象向左平移π6个单位长度得到y＝sinx＋π6的图象，再把函数y＝sinx＋π6图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f(x)＝sin12x＋π6的图象，所以fπ6＝sin12×π6＋π6＝sinπ4＝22.答案2218.解(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：ωx＋φ 0 π2π 3π22πx π12π37π125π61312π
Asin(ωx＋φ) 0 5 0 －5 0且函数表达式为f(x)＝5sin2x－π6.(2)由(1)知f(x)＝5sin2x－π6，因此g(x)＝5sin2x＋π6－π6＝5sin2x＋π6.因为y＝sinx的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.令2x＋π6＝kπ，解得x＝kπ2－π12，k∈Z.即y＝g(x)图象的对称中心为kπ2－π12，0，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为－π12，0.19.解(1)f(8)＝10－3cosπ12×8－sinπ12×8＝10－3cos2π3－sin2π3＝10－3×－12－32＝10.故实验室上午8时的温度为10℃.(2)因为f(t)＝10－232cosπ12t＋12sinπ12t＝10－2sinπ12t＋π3，又0≤t＜24，所以π3≤π12t＋π3＜7π3，－1≤sinπ12t＋π3≤1.当t＝2时，sinπ12t＋π3＝1；当t＝14时，sinπ12t＋π3＝－1.于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.20.解(1)由－π2＋2kπ≤3x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ3，k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3，k∈Z.(2)由已知，有sinα＋π4＝45cosα＋π4(cos2α－sin2α)，所以sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝45cosαcosπ4－sinαsinπ4(cos2α－sin2α)，即sinα＋cosα＝45(cosα－sinα)2(sinα＋cosα)．当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2kπ，k∈Z，此时cosα－sinα＝－2.当sinα＋cosα≠0时，有(cosα－sinα)2＝54.由α是第二象限角，知cosα－sinα＜0，此时cosα－sinα＝－52.综上所述，cosα－sinα＝－2或cosα－sinα＝－52.21.解f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin2x＋π4＋1.(1)f5π4＝2sin11π4＋1＝2sinπ4＋1＝2.(2)T＝2π2＝π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.22.解(1)f(x)的最小正周期为π，x0＝7π6，y0＝3.(2)因为x∈－π2，－π12，所以2x＋π6∈－5π6，0.于是当2x＋π6＝0，即x＝－π12时，f(x)取得最大值0；当2x＋π6＝－π2，即x＝－π3时，f(x)取得最小值－3.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.解析横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，则有g(x)＝cos2x＋π6.答案B2.解析依题意得T＝2πω＝47π12－π3＝π，ω＝2，fπ3＝cosφ＋π6＝1，又|φ|<π2，因此φ＝－π6，所以f(x)＝cos2x－2π3.当fx＋π6＝cos2x－π3取得最小值时，2x－π3＝2kπ－π，k∈Z，即x＝kπ－π3，k∈Z，答案B3.解析函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移π8个单位，得g(x)＝sin2x＋π8＋φ＝sin2x＋π4＋φ的图象，又g(x)的函数图象关于y轴对称，所以g(x)为偶函数，所以π4＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，即φ＝kπ＋π4(k∈Z)，当k＝0时，φ＝π4，故选B.答案B4.解析当x＝π4时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0)取得最小值，即π4＋φ＝－π2＋2kπ，k∈Z，即φ＝－3π4＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝Asinx－3π4(A＞0)，所以y＝f(3π4－x)＝Asin3π4－x＋3π4＝－Acosx，所以函数为偶函数且图象关于点π2，0对称，选D.答案D5.解析f(x)＝2sinπ3－2x＝2cos2x＋π6，π＋2kπ≤2x＋π6≤2π＋2kπ，k∈Z，即5π12＋kπ≤x≤11π12＋kπ，k∈Z.答案5π12＋kπ，11π12＋kπ(k∈Z)6.解析由于函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，故2πω＝π，ω＝2.把其图象向右平移π12个单位后得到函数的解析式为y＝sin2x－π12＋φ＝sin2x－π6＋φ，为奇函数，∴－π6＋φ＝kπ，∴φ＝kπ＋π6，k∈Z，∴φ＝π6，∴函数f(x)＝sin2x＋π6.令2x＋π6＝kπ，k∈Z，可得x＝kπ2－π12，k∈Z，故函数的对称中心为kπ2－π12，0(k∈Z).故点5π12，0是函数的一个对称中心.答案C7.解(1)f(x)＝32sinωx＋32cosωx＝312sinωx＋32cosωx＝3sinωxcosπ3＋cosωxsinπ3＝3sinωx＋π3.∵T＝4，ω＞0，∴ω＝2π4＝π2.∴f(x)＝3sinπ2x＋π3.(2)将f(x)的图象沿x轴向右平移23个单位得到函数g(x)＝3sinπ2x.∵P，Q分别为该图象的最高点和最低点，∴P(1，3)，Q(3，－3).∴OP＝2，PQ＝4，OQ＝12，∴cos∠OQP＝OQ2＋PQ2－OP22OQ·QP＝32.∵∠OQP是△OPQ的一个内角，∴∠OQP＝π6.第三节三角恒等变换A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅲ，6)若tanθ＝－13，则cos2θ＝()A.－45 B.－15C.15 D.452.(2016·新课标全国Ⅱ，11)函数f(x)＝cos2x＋6cosπ2－x的最大值为()A.4 B.5C.6 D.73.(2015·重庆，6)若tanα＝13，tan(α＋β)＝12，则tanβ＝()A.17B.16C.57D.564.(2016·浙江，11)已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，则A＝________，b＝________.5.(2016·山东，17)设f(x)＝23sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求gπ6的值.6.(2016·北京，16)已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f(x)的单调递增区间.7.(2015·广东，16)已知tanα＝2.(1)求tanα＋π4的值；(2)求sin2αsin2α＋sinαcosα－cos2α－1的值．8.(2015·北京，15)已知函数f(x)＝sinx－23sin2x2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间0，2π3上的最小值．9.(2015·福建，21)已知函数f(x)＝103sinx2cosx2＋10cos2x2.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为2.①求函数g(x)的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0.10.(2014·广东，16)已知函数f(x)＝Asinx＋π3，x∈R，且f5π12＝322.(1)求A的值；(2)若f(θ)－f(－θ)＝3，θ∈0，π2，求fπ6－θ.11.(2014·浙江,18)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4sin2A－B2＋4sinAsinB＝2＋2.(1)求角C的大小；(2)已知b＝4,△ABC的面积为6,求边长c的值．B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·江西九校联考)已知α∈π，32π，cosα＝－45，则tanπ4－α等于()A.7 B.17C.－17 D.－72.(2016·洛阳统考)若α∈[0，2π)，则满足1＋sin2α＝sinα＋cosα的α的取值范围是()A.0，π2 B.0，πC.0，3π4 D.0，3π4∪7π4，2π3.(2016·河南六市联考)设a＝12cos2°－32sin2°，b＝2tan14°1－tan214°，c＝1－cos50°2，则有()A.a<c<b B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b4.(2015·大庆市质检二)已知sinα＝54，则sin2α－cos2α的值为()A.－18 B.－38C.18 D.385.(2015·烟台模拟)已知cosα＝35，cos(α＋β)＝－513，α，β都是锐角，则cosβ等于()A.－6365 B.－3365C.3365 D.63656.(2015·河北唐山模拟)已知2sin2α＝1＋cos2α，则tan2α＝()A.43 B.－43C.43或0 D.－43或07.(2015·巴蜀中学一模)已知sinαcosα1－cos2α＝12，tan(α－β)＝12，则tanβ＝________.8.(2015·河南洛阳统考)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝41313.(1)求cos(α－β)的值；(2)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0且sinβ＝－45，求sinα的值.答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.解析tanθ＝－13，则cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ＝45.答案D2.解析因为f(x)＝cos2x＋6cosπ2－x＝1－2sin2x＋6sinx＝－2sinx－322＋112，所以当sinx＝1时函数的最大值为5，故选B.答案B 3.解析tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tan（α＋β）－tanα1＋tan（α＋β）tanα＝12－131＋12×13＝17.答案A4.解析∵2cos2x＋sin2x＝cos2x＋1＋sin2x＝222cos2x＋22sin2x＋1＝2sin2x＋π4＋1＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，∴A＝2，b＝1.答案215.解(1)由f(x)＝23sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2＝23sin2x－(1－2sinxcosx)＝3(1－cos2x)＋sin2x－1＝sin2x－3cos2x＋3－1＝2sin2x－π3＋3－1.由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间是kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)或kπ－π12，kπ＋5π12（k∈Z）.(2)由(1)知f(x)＝2sin2x－π3＋3－1，把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝2sinx－π3＋3－1的图象.再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y＝2sinx＋3－1的图象，即g(x)＝2sinx＋3－1.所以gπ6＝2sinπ6＋3－1＝3.6.解(1)f(x)＝2sinωx·cosωx＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＝222sin2ωx＋22cos2ωx＝2sin2ωx＋π4由ω＞0，f(x)最小正周期为π得2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f(x)＝2sin2x＋π4，令－π2＋2kπ≤2x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－3π8＋kπ≤x≤π8＋kπ，k∈Z，即f(x)的单调递增区间为－3π8＋kπ，π8＋kπ(k∈Z).7.解(1)tanα＋π4＝tanα＋tanπ41－tanαtanπ4＝tanα＋11－tanα＝2＋11－2＝－3.(2)sin2αsin2α＋sinαcosα－cos2α－1＝2sinαcosαsin2α＋sinαcosα－（2cos2α－1）－1＝2sinαcosαsin2α＋sinαcosα－2cos2α＝2tanαtan2α＋tanα－2＝2×222＋2－2＝1.8.解(1)因为f(x)＝sinx＋3cosx－3.＝2sinx＋π3－3.所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为0≤x≤2π3时，所以π3≤x＋π3≤π.当x＋π3＝π，即x＝2π3时，f(x)取得最小值．所以f(x)在区间0，2π3上的最小值为f2π3＝－3.9.(1)解因为f(x)＝103sinx2cosx2＋10cos2x2＝53sinx＋5cosx＋5＝10sinx＋π6＋5，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π.(2)证明①将f(x)的图象向右平移π6个单位长度后得到y＝10sinx＋5的图象，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到g(x)＝10sinx＋5－a的图象．又已知函数g(x)的最大值为2，所以10＋5－a＝2，解得a＝13.所以g(x)＝10sinx－8.②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得10sinx0－8＞0，即sinx0＞45.由45＜32知，存在0＜α0＜π3，使得sinα0＝45.由正弦函数的性质可知，当x∈(α0，π－α0)时，均有sinx＞45.因为y＝sinx的周期为2π，所以当x∈(2kπ＋α0，2kπ＋π－α0)(k∈Z)时，均有sinx＞45.因为对任意的整数k，(2kπ＋π－α0)－(2kπ＋α0)＝π－2α0＞π3＞1，所以对任意的正整数k，都存在正整数x0∈(2kπ＋α0，2kπ＋π－α0)，使得sinxk＞45.亦即，存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0.10.解(1)∵f(x)＝Asinx＋π3，且f5π12＝322，∴Asin5π12＋π3＝322?Asin3π4＝322?A＝3.(2)由(1)知f(x)＝3sinx＋π3，∵f(θ)－f(－θ)＝3，∴3sin(θ＋π3)－3sin－θ＋π3＝3，展开得312sinθ＋32cosθ－332cosθ－12sinθ＝3，化简得sinθ＝33.∵θ∈0，π2，∴cosθ＝63.∴fπ6－θ＝3sinπ6－θ＋π3＝3sinπ2－θ＝3cosθ＝6.11.解(1)由已知得2[1－cos(A－B)]＋4sinAsinB＝2＋2，化简得－2cosAcosB＋2sinAsinB＝2，故cos(A＋B)＝－22.所以A＋B＝3π4，从而C＝π4.(2)因为S△ABC＝12absinC，由S△ABC＝6，b＝4，C＝π4，得a＝32，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得c＝10.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.解析∵α∈π，3π2，cosα＝－45，∴sinα＝－35，∴tanα＝sinαcosα＝34，∴tanπ4－α＝1－tanα1＋tanα＝17.答案B2.解析由1＋sin2α＝sinα＋cosα得sinα＋cosα＝2sinα＋π4≥0，又因为α∈[0，2π)，所以α的取值范围为0，3π4∪7π4，2π，故选D.答案D3.解析利用三角公式化简得a＝12cos2°－32sin2°＝cos(60°＋2°)＝cos62°＝sin28°，b＝tan28°，c＝sin225°＝sin25°.因为sin25°<sin28°<tan28°，所以c<a<b，故选D.答案D4.解析sin2α－cos2α＝－cos2α＝2sin2α－1＝－38.答案B5.解析∵α，β是锐角，∴0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＝－513＜0，cosα＝35，∴π2＜α＋β＜π，∴sin(α＋β)＝1213，sinα＝45.又cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－513×35＋1213×45＝3365.答案C6.解析因为2sin2α＝1＋cos2α，所以2sin2α＝2cos2α，所以2cosα·(2sinα－cosα)＝0，解得cosα＝0或tanα＝12.若cosα＝0，则α＝kπ＋π2，k∈Z，2α＝2kπ＋π，k∈Z，所以tan2α＝0；若tanα＝12，则tan2α＝2tanα1－tan2α＝43.综上所述，故选C.答案C7.解析∵sinαcosα1－cos2α＝sinαcosα2sin2α＝cosα2sinα＝12，∴tanα＝1.∵tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝12，∴tanβ＝13.答案138.解(1)∵a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，∴|a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2cos(α－β)，∴1613＝2－2cos(α－β)，∴cos(α－β)＝513.(2)∵0＜α＜π2，－π2＜β＜0且sinβ＝－45，∴cosβ＝35且0＜α－β＜π.又∵cos(α－β)＝513，∴sin(α－β)＝1213.∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)·cosβ＋cos(α－β)·sinβ＝1213×35＋513×－45＝1665.第四节解三角形A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅰ，4)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c＝2，cosA＝23，则b＝()A.2 B.3C.2 D.32.(2016·山东，8)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝()A.3π4 B.π3C.π4 D.π63.(2015·广东,5)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a＝2,c＝23,cosA＝32,且b<c,则b＝()A.3B.22C.2D.34.(2014·四川，8)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于()A．240(3－1)m B．180(2－1)mC．120(3－1)m D．30(3＋1)m5.(2016·新课标全国Ⅱ，15)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝45，cosC＝513，a＝1，则b＝________.6.(2016·北京，13)在△ABC中，∠A＝2π3，a＝3c，则bc＝________.7.(2015·北京，11)在△ABC中，a＝3，b＝6，∠A＝2π3，则∠B＝________.8.(2015·重庆，13)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－14，3sinA＝2sinB，则c＝________.9.(2015·安徽，12)在△ABC中，AB＝6，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________.10.(2015·湖北，15)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.11.(2014·新课标全国Ⅰ，16)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.12.(2014·湖北，13)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝π6，a＝1，b＝3，则B＝________.13.(2014·福建，14)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝3，则AB等于________．14.(2014·北京，12)在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝14，则c＝________；sinA＝________.15.(2016·浙江，16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acosB.(1)证明：A＝2B；(2)若cosB＝23，求cosC的值.16.(2016·四川，18)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cosAa＋cosBb＝sinCc.(1)证明：sinAsinB＝sinC；(2)若b2＋c2－a2＝65bc，求tanB.17.(2015·江苏，15)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.(1)求BC的长；(2)求sin2C的值．18.(2015·新课标全国Ⅱ，17)在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC.(1)求sin∠Bsin∠C；(2)若∠BAC＝60°，求∠B.19.(2015·天津，16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为315，b－c＝2，cosA＝－14.(1)求a和sinC的值；(2)求cos2A＋π6的值．20.(2015·山东，17)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cosB＝33，sin(A＋B)＝69，ac＝23，求sinA和c的值．21.(2015·湖南，17)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA.(1)证明：sinB＝cosA；(2)若sinC－sinAcosB＝34，且B为钝角，求A，B，C.22.(2015·浙江，16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知tanπ4＋A＝2.(1)求sin2Asin2A＋cos2A的值；(2)若B＝π4，a＝3，求△ABC的面积．23.(2015·新课标全国Ⅰ,17)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B＝2sinAsinC.(1)若a＝b,求cosB；(2)设B＝90°,且a＝2,求△ABC的面积．24.(2014·重庆，18)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.(1)若a＝2，b＝52，求cosC的值；(2)若sinAcos2B2＋sinBcos2A2＝2sinC，且△ABC的面积S＝92sinC，求a和b的值．25.(2014·山东，17)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a＝3，cosA＝63，B＝A＋π2.(1)求b的值；(2)求△ABC的面积．26.(2014·陕西，16)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sinA＋sinC＝2sin(A＋C)；(2)若a，b，c成等比数列，且c＝2a，求cosB的值．27.(2014·湖南，19)如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝7，EA＝2，∠ADC＝2π3，∠BEC＝π3.(1)求sin∠CED的值；(2)求BE的长．B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·湖南四校联考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2＋b2－c2)tanC＝ab,则角C为()A.π6或5π6 B.π3或2π3C.π6 D.2π32.(2016·河南三市调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积为()A.3 B.932C.332 D.333.(2016·济南一中检测)在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别为a，b，c，A为锐角，lgb＋lg1c＝lgsinA＝－lg2，则△ABC为()A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形4.(2015·山东省实验中学三诊)在△ABC中，若(a2＋b2)·sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，则△ABC是()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形5.(2015·江西赣州摸底)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°，就可以计算出A，B两点的距离为()A.502m B.503mC.252m D.2522m6.(2015·湖南十二校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若tanA＝7tanB，a2－b2c＝3，则c＝()A.4 B.3C.7 D.67.(2016·湖南株洲3月模拟)在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝14，则sinA＝________.8.(2015·太原模拟)在△ABC中，已知(sinA＋sinB＋sinC)·(sinB＋sinC－sinA)＝3sinBsinC.(1)求角A的值；(2)求3sinB－cosC的最大值.答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.解析由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×23，解得b＝3b＝－13舍去，故选D.答案D2.解析在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，∵b＝c，∴a2＝2b2(1－cosA)，又∵a2＝2b2(1－sinA)，∴cosA＝sinA，∴tanA＝1，∵A∈(0，π)，∴A＝π4，故选C.答案C3.解析由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得4＝b2＋12－2×b×23×32，即b2－6b＋8＝0，∴b＝4或b＝2，又b<c，∴b＝2.答案C4.解析∵tan15°＝tan(60°－45°)＝tan60°－tan45°1＋tan60°tan45°＝2－3，∴BC＝60tan60°－60tan15°＝120(3－1)(m)，故选C.答案C5.解析在△ABC中由cosA＝45，cosC＝513，可得sinA＝35，sinC＝1213，sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝6365，由正弦定理得b＝asinBsinA＝2113.答案21136.解析由asinA＝csinC得sinC＝csinAa＝13×32＝12，又0＜C＜π3，所以C＝π6，B＝π－(A＋C)＝π6.所以bc＝sinBsinC＝sinπ6sinπ6＝1.答案17.解析由正弦定理得sin∠B＝bsin∠Aa＝6sin2π33＝22，因为∠A为钝角，所以∠B＝π4.答案π48.解析由3sinA＝2sinB，得3a＝2b，∴b＝32a＝32×2＝3，在△ABC中，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcosC＝22＋32－2×2×3×－14＝16，解得c＝4.答案49.解析已知∠C＝60°，由正弦定理得ACsin∠B＝ABsin∠C，∴AC＝6sin45°sin60°＝6×2232＝2.答案210.解析依题意，在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，由正弦定理得600sin45°＝BCsin30°，得BC＝3002，在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝1006(m)．答案100611.解析在三角形ABC中，AC＝1002，在三角形MAC中，MAsin60°＝ACsin45°，解得MA＝1003，在三角形MNA中，MN1003＝sin60°＝32，故MN＝150，即山高MN为150m．答案15012.解析由正弦定理asinA＝bsinB得sinB＝bsinAa＝32，又B∈π6，5π6，所以B＝π3或2π3.答案π3或2π313.解析在△ABC中，根据正弦定理，得ACsinB＝BCsinA，所以2sinB＝3sin60°，解得sinB＝1，因为B∈(0，π)，所以B＝π2，所以AB＝22－（3）2＝1.答案114.解析根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝12＋22－2×1×2×14＝4，故c＝2，因为cosC＝14，于是sinC＝1－142＝154，于是，由正弦定理，sinA＝asinCc＝1×1542＝158(或：由a＝1，b＝2，c＝2，得cosA＝22＋22－122×2×2＝78，于是，sinA＝1－782＝158).答案215815.(1)证明由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B).又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.(2)解由cosB＝23得sinB＝53，cos2B＝2cos2B－1＝－19，故cosA＝－19，sinA＝459，cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝2227.16.(1)证明根据正弦定理，可设asinA＝bsinB＝csinC＝k(k>0).则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC.代入cosAa＋cosBb＝sinCc中，有cosAksinA＋cosBksinB＝sinCksinC，变形可得：sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B).在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，所以sinAsinB＝sinC.(2)解由已知，b2＋c2－a2＝65bc，根据余弦定理，有cosA＝b2＋c2－a22bc＝35.所以sinA＝1－cos2A＝45.由(1)知，sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以45sinB＝45cosB＋35sinB，故tanB＝sinBcosB＝4.17.解(1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC＝7.(2)由正弦定理知，ABsinC＝BCsinA，所以sinC＝ABBC·sinA＝2sin60°7＝217.因为AB＜BC，所以C为锐角，则cosC＝1－sin2C＝1－37＝277.所以sin2C＝2sinC·cosC＝2×217×277＝437.18.解(1)由正弦定理得ADsin∠B＝BDsin∠BAD，ADsin∠C＝DCsin∠CAD.因为AD平分∠BAC，BD＝2DC，所以sin∠Bsin∠C＝DCBD＝12.(2)因为∠C＝180°－(∠BAC＋∠B)，∠BAC＝60°，所以sin∠C＝sin(∠BAC＋∠B)＝32cos∠B＋12sin∠B.由(1)知2sin∠B＝sin∠C，所以tan∠B＝33，即∠B＝30°.19.解(1)在△ABC中，由cosA＝－14，可得sinA＝154.由S△ABC＝12bcsinA＝315，得bc＝24，又由b－c＝2，解得b＝6，c＝4.由a2＝b2＋c2－2bccosA，可得a＝8.由asinA＝csinC，得sinC＝158.(2)cos2A＋π6＝cos2A·cosπ6－sin2A·sinπ6＝32(2cos2A－1)－12×2sinA·cosA＝15－7316.20.解在△ABC中，由cosB＝33，得sinB＝63.因为A＋B＋C＝π，所以sinC＝sin(A＋B)＝69.因为sinC＜sinB，所以C＜B，可知C为锐角，所以cosC＝539.所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝63×539＋33×69＝223.由asinA＝csinC，可得a＝csinAsinC＝223c69＝23c，又ac＝23，所以c＝1.21.解(1)由正弦定理知asinA＝bsinB＝csinC＝2R，∴a＝2RsinA，b＝2RsinB，代入a＝btanA，得sinA＝sinB·sinAcosA，又∵A∈(0，π)，∴sinA＞0，∴1＝sinBcosA，即sinB＝cosA.(2)由sinC－sinAcosB＝43知，sin(A＋B)－sinAcosB＝43，∴cosAsinB＝34.由(1)知sinB＝cosA，∴cos2A＝34，由于B是钝角，故A∈0，π2，∴cosA＝32，A＝π6，sinB＝32，B＝2π3，∴C＝π－(A＋B)＝π6.22.解(1)由tanπ4＋A＝2，得tanA＝13，所以sin2Asin2A＋cos2A＝2tanA2tanA＋1＝25.(2)因为tanA＝13，A∈(0，π)，所以sinA＝1010，cosA＝31010.又由a＝3，B＝π4及正弦定理asinA＝bsinB得b＝35.由sinC＝sin(A＋B)＝sinA＋π4得sinC＝255，设△ABC的面积为S，则S＝12absinC＝9.23.解(1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cosB＝a2＋c2－b22ac＝14.(2)由(1)知b2＝2ac.因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2.故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝2.所以△ABC的面积为1.24.解(1)由题意可知：c＝8－(a＋b)＝72.由余弦定理得：cosC＝a2＋b2－c22ab＝22＋522－7222×2×52＝－15.(2)由sinAcos2B2＋sinBcos2A2＝2sinC可得：sinA·1＋cosB2＋sinB·1＋cosA2＝2sinC，化简得sinA＋sinAcosB＋sinB＋sinBcosA＝4sinC.因为sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)＝sinC，所以sinA＋sinB＝3sinC.由正弦定理可知：a＋b＝3c.又因a＋b＋c＝8，故a＋b＝6.由于S＝12absinC＝92sinC，所以ab＝9，从而a2－6a＋9＝0，解得a＝3，b＝3.25.解(1)在△ABC中，由题意知sinA＝1－cos2A＝33，又因为B＝A＋π2，所以sinB＝sinA＋π2＝cosA＝63.由正弦定理可得b＝asinBsinA＝3×6333＝32.(2)由B＝A＋π2得cosB＝cosA＋π2＝－sinA＝－33.由A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B)．所以sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝33×－33＋63×63＝13.因此△ABC的面积S＝12absinC＝12×3×32×13＝322.26.(1)证明∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB.∵sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sinA＋sinC＝2sin(A＋C)．(2)解由题设有b2＝ac，c＝2a，∴b＝2a，由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a24a2＝34.27.解设∠CED＝α.(1)在△CDE中，由余弦定理得，EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC.由题设知，7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－6＝0.解得CD＝2(CD＝－3舍去)．在△CDE中，由正弦定理得，ECsin∠EDC＝CDsinα，于是sinα＝CD·sin2π3EC＝2·327＝217，即sin∠CED＝217.(2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cosα＝1－sin2α＝1－2149＝277.而∠AEB＝2π3－α，所以cos∠AEB＝cos2π3－α＝cos2π3cosα＋sin2π3sinα＝－12cosα＋32sinα＝－12·277＋32·217＝714.在Rt△EAB中，cos∠AEB＝EABE＝2BE，故BE＝2cos∠AEB＝2714＝47.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.解析由题意得a2＋b2－c22ab＝12＋tanC，则cosC＝cosC2sinC，所以sinC＝12，所以C＝π6或5π6.答案A2.解析由c2＝(a－b)2＋6，可得a2＋b2－c2＝2ab－6，C＝π3.由余弦定理得2abcosC＝2ab－6，则ab＝6，所以△ABC的面积为12absinC＝12×6×32＝332，故选C.答案C3.解析由lgb＋lg1c＝lgbc＝－lg2＝lg22，得bc＝22，即c＝2b.由lgsinA＝－lg2，得sinA＝22，由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA得a＝b，故B＝A＝45°，因此C＝90°.答案D4.解析∵a＝2RsinA，b＝2RsinB，sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，∴(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC可整理为sin2BsinAcosB＝sin2AcosAsinB，∵A，B为△ABC内角，∴sinA≠0，sinB≠0，故sin2A＝sin2B，即2A＝2B或2A＝180°－2B，即A＝B或A＋B＝90°.答案D5.解析在△ABC中，由正弦定理得BCsin30°＝ABsin45°，AB＝502(m).答案A6.解析由tanA＝7tanB可得sinAcosA＝7sinBcosB，即sinAcosB＝7sinBcosA，所以sinAcosB＋sinBcosA＝8sinBcosA，即sin(A＋B)＝sinC＝8sinBcosA，由正、余弦定理可得c＝8b·b2＋c2－a22bc，即c2＝4b2＋4c2－4a2，又a2－b2c＝3，所以c2＝4c，即c＝4.故选A.答案A7.解析由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2×2×1×14＝4，即c＝2，cosA＝b2＋c2－a22bc＝4＋4－12×2×2＝78，∴sinA＝158.答案1588.解(1)∵(sinA＋sinB＋sinC)(sinB＋sinC－sinA)＝3sinBsinC，∴由正弦定理得(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.∵A∈(0，π)，∴A＝π3.(2)由A＝π3得B＋C＝2π3，∴3sinB－cosC＝3sinB－cos2π3－B＝3sinB－－12cosB＋32sinB、＝sinB＋π6.∵0＜B＜2π3，∴π6＜B＋π6＜5π6，∴当B＋π6＝π2，即B＝π3时，3sinB－cosC的最大值为1.第一节三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·福建，6)若sinα＝－513，且α为第四象限角，则tanα的值等于()A.125B.－125C.512D.－5122.(2014·大纲全国，2)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα＝()A.45B.35C.－35D.－453.(2014·新课标全国Ⅰ，2)若tanα＞0，则()A.sinα＞0B.cosα＞0C.sin2α＞0D.cos2α＞04.(2016·新课标全国Ⅰ，14)已知θ是第四象限角，且sinθ＋π4＝35，则tanθ－π4＝________.5.(2016·四川，11)sin750°＝________.6.(2015·四川，13)已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是________．B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·济南一中高三期中)若点(4，a)在y＝x12的图象上，则tana6π的值为()A.0 B.33C.1 D.32.(2016·贵州4月适应性考试)若sinπ2＋α＝－35，且α∈π2，π，则sinπ－2α＝()A.2425 B.1225C.－1225 D.－24253.(2016·南充市第一次适应性考试)已知角α的终边经过点P(2，－1)，则sinα－cosαsinα＋cosα＝()A.3 B.13C.－13 D.－34.(2015·乐山市调研)若点P在－10π3角的终边上，且P的坐标为(－1，y)，则y等于()A.－33 B.33C.－3 D.35.(2015·石家庄一模)已知cosα＝k，k∈R，α∈π2，π，则sin(π＋α)＝()A.－1－k2 B.1－k2C.－k D.±1－k26.(2015·洛阳市统考)已知△ABC为锐角三角形,且A为最小角,则点P(sinA-cosB,3cosA-1)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限7.(2016·山东日照第一次模拟)已知角α为第二象限角，cosπ2－α＝45，则cosα＝________.8.(2015·湖南长沙一模)在平面直角坐标系xOy中，将点A(3，1)绕原点O逆时针旋转90°到点B，那么点B坐标为________，若直线OB的倾斜角为α，则tan2α的值为________.答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.解析∵sinα＝－513，且α为第四象限角，∴cosα＝1213，∴tanα＝sinαcosα＝－512，故选D.答案D2.解析记P(－4，3)，则x＝－4，y＝3，r＝|OP|＝（－4）2＋32＝5，故cosα＝xr＝－45＝－45，故选D.答案D3.解析由tanα＞0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sinα与cosα同号，故sin2α＝2sinαcosα＞0，故选C.答案C4.解析由题意，得cosθ＋π4＝45，∴tanθ＋π4＝34.∴tanθ－π4＝tanθ＋π4－π2＝－1tanθ＋π4＝－43.答案－435.解析∵sinθ＝sin(k·360°＋θ)，(k∈Z)，∴sin750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin30°＝12.答案126.解析∵sinα＋2cosα＝0，∴sinα＝－2cosα，∴tanα＝－2，又∵2sinαcosα－cos2α＝2sinα·cosα－cos2αsin2α＋cos2α＝2tanα－1tan2α＋1，∴原式＝2×（－2）－1（－2）2＋1＝－1.答案－1B组两年模拟精选(2016～2015年)1.解析∵a＝412＝2，∴tana6π＝3.答案D2.解析由sinπ2＋α＝－35得cosα＝－35，又α∈π2，π，则sinα＝45，所以sin(π－2α)＝sin2α＝2sinαcosα＝－2425.答案D3.解析因为角α终边经过点P(2，－1)，所以tanα＝－12，sinα－cosαsinα＋cosα＝tanα－1tanα＋1＝－12－1－12＋1＝－3，故选D.答案D4.解析－10π3＝－4π＋2π3，所以－10π3与2π3的终边相同，所以tan2π3＝－3＝－y，则y＝3.答案D5.解析因为α∈π2，π，所以sinα>0，则sinπ＋α＝－sinα＝－1－cos2α＝－1－k2，故选A.答案A6.解析由题意得，A＋B＞π2即A＞π2－B，且A∈0，π3，π2－B＞0，故sinA＞sinπ2－B＝cosB，即sinA－cosB＞0，3cosA－1＞3×12－1＝12，故点P在第一象限.答案A7.解析sinα＝cosπ2－α＝45，又α为第二象限角，所以cosα＝－1－sin2α＝－35.答案－358.解析设点A(3，1)为角θ终边上一点，如图所示，|OA|＝2，由三角函数的定义可知：sinθ＝12，cosθ＝32，则θ＝2kπ＋π6(k∈Z)，则A(2cosθ，2sinθ)，设B(x，y)，由已知得x＝2cosθ＋π2＝2cos2kπ＋2π3＝－1，y＝2sinθ＋π2＝2sin2kπ＋23π＝3，所以B(－1，3)，且tanα＝－3，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝3.答案(－1，3)3