资源资源简介：

2014～2016年高考文科数学汇编详解：第九章平面解析几何第二节圆的方程及点、线、圆的位置关系A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅱ，6)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A.－43B.－34C.3D.22.(2016·北京，5)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为()A.1B.2C.2D.223.(2016·山东，7)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切 D.相离4.(2015·新课标全国Ⅱ，7)已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.53B.213  C.253   D.435.(2015·北京，2)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－1)2＝26.(2014·湖南，6)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝()A.21B.19 C.9 D.－117.(2014·浙江，5)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是()A.－2B.－4C.－6D.－88.(2014·北京，7)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m＞0).若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()A.7B.6C.5D.49.(2014·安徽，6)过点P(－3，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是()A.0，π6B.0，π3C.0，π6D.0，π310.(2014·新课标全国Ⅱ，12)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是()A.[－1,1]B.－12，12C.[－2，2]D.－22，2211.(2016·新课标全国Ⅰ，15)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝23，则圆C的面积为________.12.(2016·新课标全国Ⅲ，15)已知直线l：x－3y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与x轴交于C、D两点，则|CD|＝________.13.(2016·浙江，10)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________.半径是________.14.(2015·湖南，13)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________.15.(2015·江苏，10)在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________.16.(2015·湖北，16)如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.(1)圆C的标准方程为________.(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________.17.(2014·湖北，17)已知圆O：x2＋y2＝1和点A(－2,0)，若定点B(b,0)(b≠－2)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则(1)b＝________；(2)λ＝________.18.(2014·重庆，14)已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________.19.(2015·新课标全国Ⅰ，20)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点.(1)求k的取值范围；(2)若OM→·ON→＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.20.(2015·广东，20)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.21.(2014·新课标全国Ⅰ，20)已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·四川资阳模拟)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A.52－4B.17－2C.6－22D.172.(2016·河南洛阳统考)直线y＋4＝0与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是()A.相切B.相交且直线不经过圆心C.相离D.相交且直线经过圆心3.(2016·吉林长春质量监测)设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是()A.[1-3，1＋3]B.(-∞，1-3]∪[1＋3，＋∞)C.[2-22，2＋22]D.(-∞，2-22]∪[2＋22，＋∞)4.(2016·石家庄质量检测)若圆(x－5)2＋(y－1)2＝r2(r>0)上有且仅有两点到直线4x＋3y＋2＝0的距离等于1，则实数r的取值范围为()A.[4，6]B.(4，6)C.[5，7] D.(5，7)5.(2015·淄博模拟)过直线2x＋y＋4＝0和圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的交点，并且面积最小的圆的方程为()A.x2＋y2＋265x－125y＋375＝0B.x2＋y2＋265x－125y－375＝0C.x2＋y2－265x－125y＋375＝0D.x2＋y2－265x－125y－375＝06.(2015·聊城模拟)当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，半径为5的圆的方程为()A.x2＋y2－2x＋4y＝0B.x2＋y2＋2x＋4y＝0C.x2＋y2＋2x－4y＝0D.x2＋y2－2x－4y＝07.(2015·黑龙江佳木斯第三次调研)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A.内切B.相交C.外切D.相离8.(2015·东营模拟)设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为()A.6B.25C.26 D.369.(2015·山东胶东示范校质量检测)已知直线y＝－x＋a与圆C：x2＋y2－4x＋4y＋4＝0相交于A，B两点，且△ABC的面积S＝2，则实数a＝________.答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.解析由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圆心坐标为(1，4)，由点到直线的距离公式得d＝|1×a＋4－1|1＋a2＝1，解之得a＝－43.答案A2.解析圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心坐标为(－1，0)，由y＝x＋3得x－y＋3＝0，则圆心到直线的距离d＝|－1－0＋3|12＋（－1）2＝2.答案C3.解析∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2，∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝|a|2，由几何知识得|a|22＋(2)2＝a2，解得a＝2.∴M(0，2)，r1＝2.又圆N的圆心坐标N(1，1)，半径r2＝1，∴|MN|＝（1－0）2＋（1－2）2＝2，r1＋r2＝3，r1－r2＝1.∴r1－r2＜|MN|＜r1＋r2，∴两圆相交，故选B.答案B4.解析由点B(0，3)，C(2，3)，得线段BC的垂直平分线方程为x＝1，①由点A(1，0)，B(0，3)，得线段AB的垂直平分线方程为y－32＝33x－12，②联立①②，解得△ABC外接圆的圆心坐标为1，233，其到原点的距离为12＋2332＝213.故选B.答案B5.解析圆的半径r＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.答案D6.解析圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1＝1，圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆心C2(3，4)，半径r2＝25－m.从而|C1C2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋25－m＝5，解得m＝9，故选C.答案C7.解析将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a,所以圆心为(-1,1),半径r＝2－a,圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|－1＋1＋2|2＝2,故r2－d2＝4,即2－a－2＝4,所以a＝-4，故选B.答案B8.解析若∠APB＝90°，则点P的轨迹是以AB为直径的圆，其方程为x2＋y2＝m2.由题意知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1与圆O：x2＋y2＝m2有公共点，所以|m－1|≤|OC|≤m＋1，易知|OC|＝5，所以4≤m≤6，故m的最大值为6.故选B.答案B9.答案过P点作圆的切线PA、PB，连接OP，如图所示.显然，直线PA的倾斜角为0，又OP＝（－3）2＋（－1）2＝2，PA＝3，OA＝1，因此∠OPA＝π6，由对称性知，直线PB的倾斜角为π3.若直线l与圆有公共点，由图形知其倾斜角的取值范围是0，π3.故选D.答案D10.解析过M作圆O的两条切线MA、MB，切点分别为A、B，若在圆O上存在点N，使∠OMN＝45°，则∠OMB≥∠OMN＝45°，所以∠AMB≥90°，所以－1≤x0≤1，故选A.答案A11.解析圆C：x2＋y2－2ay－2＝0，即C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，圆心为C(0，a)，C到直线y＝x＋2a的距离为d＝|0－a＋2a|2＝|a|2.又由|AB|＝23，得2322＋|a|22＝a2＋2，解得a2＝2，所以圆的面积为π(a2＋2)＝4π.答案4π12.解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x－3y＋6＝0，x2＋y2＝12，得y2－33y＋6＝0，则y1＋y2＝33，又y2＝23，∴y1＝3，∴A(－3，3)，B(0，23).过A，B作l的垂线方程分别为y-3＝-3(x＋3)，y－23＝-3x，令y＝0，则xC＝-2，xD＝2，∴|CD|＝2-(-2)＝4.答案413.解析由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去.当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆.答案(-2，-4)514.解析如图，过O点作OD⊥AB于D点，在Rt△DOB中，∠DOB＝60°，∴∠DBO＝30°，又|OD|＝|3×0－4×0＋5|5＝1，∴r＝2|OD|＝2.答案215.解析直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r＝（1－2）2＋（0＋1）2＝2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.答案(x－1)2＋y2＝216.解析(1)由题意，设圆心C(1，r)(r为圆C的半径)，则r2＝|AB|22＋12＝2，解得r＝2.所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2.(2)方法一令x＝0，得y＝2±1，所以点B(0,2＋1).又点C(1，2)，所以直线BC的斜率为kBC＝－1，所以过点B的切线方程为y－(2＋1)＝x－0，即y＝x＋(2＋1).令y＝0，得切线在x轴上的截距为－2－1.方法二令x＝0，得y＝2±1，所以点B(0，2＋1).又点C(1，2)，设过点B的切线方程为y－(2＋1)＝kx，即kx－y＋(2＋1)＝0.由题意，圆心C(1，2)到直线kx－y＋(2＋1)＝0的距离d＝|k－2＋2＋1|k2＋1＝r＝2，解得k＝1.故切线方程为x－y＋(2＋1)＝0.令y＝0，得切线在x轴上的截距为－2－1.答案(1)(x－1)2＋(y－2)2＝2(2)－2－117.解析设M(x，y)，则x2＋y2＝1，y2＝1－x2，λ2＝|MB|2|MA|2＝（x－b）2＋y2（x＋2）2＋y2＝x2－2bx＋b2＋1－x2x2＋4x＋4＋1－x2＝b2＋1－2bx5＋4x＝－b2＋b2＋52b＋15＋4x.∵λ为常数，∴b2＋52b＋1＝0，解得b＝－12或b＝－2(舍去).∴λ2＝－b2＝14，解得λ＝12或λ＝－12(舍去).答案(1)－12(2)1218.解析圆C：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的标准方程为(x+1)2+(y-2)2＝9，所以圆心为C(－1，2)，半径为3.因为AC⊥BC，所以圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为322，即|－1－2＋a|2＝322，所以a＝0或6.答案0或619.解(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，因为l与C交于两点，所以|2k－3＋1|1＋k2<1.解得4－73<k<4＋73.所以k的取值范围为4－73，4＋73.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.所以x1＋x2＝4（1＋k）1＋k2，x1x2＝71＋k2.OM→·ON→＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝4k（1＋k）1＋k2＋8.由题设可得4k（1＋k）1＋k2＋8＝12，解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1.故圆心C在l上，所以|MN|＝2.20.解(1)圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0化为(x－3)2＋y2＝4，所以圆C1的圆心坐标为(3，0).(2)设线段AB的中点M(x0，y0)，由圆的性质可得C1M垂直于直线l，设直线l的方程为y＝mx，易知直线l的斜率存在，所以kC1M·m＝－1，y0＝mx0，所以y0x0－3·y0x0＝－1，所以x20－3x0＋y20＝0，即x0－322＋y20＝94，因为动直线l与圆C1相交，所以|3m|m2＋1<2，所以m2<45，所以y20＝m2x20<45x20，所以3x0－x20<45x20，解得x0>53或x0<0，又因为0<x0≤3，所以53<x0≤3.所以M(x0，y0)满足x0－322＋y20＝9453<x0≤3，即M的轨迹C的方程为x－322＋y2＝9453<x≤3.(3)由题意知直线L表示过定点T(4，0)，斜率为k的直线.结合图形，x－322＋y2＝9453<x≤3表示的是一段关于x轴对称，起点为53，－253按逆时针方向运动到53，253的圆弧.根据对称性，只需讨论在x轴对称下方的圆弧，设P53，－253，则kPT＝2534－53＝257，而当直线L与轨迹C相切时，3k2－4kk2＋1＝32，解得k＝±34在这里暂取k＝34，因为257<34，所以kPT<k.结合图形，可得对于x轴对称下方的圆弧，当－257≤k≤0或k＝34时，直线L与x轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知－257≤k≤257或k＝±34，综上所述：当－257≤k≤257或k＝±34时，直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一交点.21.解(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x,y),则CM→＝(x,y-4)，MP→＝(2-x,2-y).由题设知CM→·MP→＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2-y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，2为半径的圆.由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－13，故l的方程为y＝－13x＋83.又|OM|＝|OP|＝22，O到l的距离为4105，|PM|＝4105，所以△POM的面积为165.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.解析如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A(2，－3)，半径为1，圆C2的圆心，坐标(3，4)，半径为3，|PM|＋|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和.即（3－2）2＋（4＋3）2－1－3＝52－4，故选A.答案A2.解析圆心(2,－1)到直线y＝－4的距离为|－4－(－1)|＝3，而圆的半径为3，所以直线与圆相切，选A.答案A3.解析|m＋1＋n＋1－2|（m＋1）2＋（n＋1）2＝1得m＋n＋1＝mn≤m＋n22，即：(m＋n)2－4(m＋n)－4≥0，得m＋n≥2＋22或m＋n≤2－22.答案D4.解析用圆的几何性质求解.因为圆心(5，1)到直线4x＋3y＋2＝0的距离为|20＋3＋2|5＝5，又圆上有且仅有两点到直线4x＋3y＋2＝0的距离为1，则4<r<6，故选B.答案5.解析y＝－4－2x代入(x＋1)2＋(y－2)2＝4整理得：5x2＋26x＋33＝0，x1＋x2＝－265，y1＋y2＝－4－2x1－4－2x2＝125，弦长＝222－|2＋0＋0＋4|22＋12＝455，满足条件面积最小的圆为两交点的中点为圆心，弦长为直径的圆，故圆的方程为x2＋y2＋265x－125y＋375＝0.答案A6.解析该直线可整理为a(x＋1)＋(－x－y＋1)＝0，故定点C为(－1，2)，所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.答案C7.解析两圆圆心间的距离d＝（2＋2）2＋1＝17，两圆半径的差为1，和为5，因为1＜17＜5，故两圆相交，选B.答案B8.解析题意可知（x－5）2＋（y＋4）2的最大值为(5，－4)到(2，0)的距离5＋1＝6，故(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为36.答案9.解析圆C的方程可化为(x－2)2＋(y＋2)2＝4，所以C(2，－2)，r＝2.设∠ACB＝θ(0<θ<π)，则△ABC的面积S＝12×r×rsinθ＝12×2×2sinθ＝2，解得sinθ＝1，故θ＝π2.所以△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形，故圆心到直线的距离d＝rcosθ2＝2.由点C到直线x＋y－a＝0的距离公式得d＝|2＋（－2）－a|2＝2，整理得|a|＝2，故a＝2或a＝－2.答案2或－2第六节直线与圆锥曲线的位置关系A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·四川，10)设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)2.(2016·新课标全国Ⅱ，21)已知A是椭圆E：x24＋y23＝1的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.(1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积.(2)当2|AM|＝|AN|时，证明：3<k<2.3.(2016·新课标全国Ⅲ，20)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.4.(2016·北京，19)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1，过点A(2，0)，B(0，1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.5.(2016·山东，21)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，焦距为22.(1)求椭圆C的方程；(2)过动点M(0，m)(m＞0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.①设直线PM、QM的斜率分别为k、k′，证明k′k为定值.②求直线AB的斜率的最小值.6.(2016·四川，20)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P3，12在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程；(2)设不过原点O且斜率为12的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.7.(2015·天津，19)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的上顶点为B，左焦点为F，离心率为55.(1)求直线BF的斜率；(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B)，过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B)，直线PQ与y轴交于点M，|PM|＝λ|MQ|.①求λ的值；②若|PM|sin∠BQP＝759，求椭圆的方程.8.(2015·北京，20)已知椭圆C：x2＋3y2＝3，过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M.(1)求椭圆C的离心率；(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由.9.(2015·江苏，18)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC＝2AB，求直线AB的方程.10.(2015·湖北，22)一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON＝1，MN＝3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求椭圆C的方程；(2)设动直线l与两定直线l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分别交于P，Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.11.(2015·山东，21)平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，且点3，12在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：x24a2＋y24b2＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.(ⅰ)求|OQ||OP|的值；(ⅱ)求△ABQ面积的最大值.12..(2015·湖南，20)已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的一个焦点.C1与C2的公共弦的长为26.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且AC→与BD→同向.(1)求C2的方程；(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率.13.(2014·山东，21)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为4105.(1)求椭圆C的方程；(2)过原点的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不是椭圆C的顶点).点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点.①设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2.证明：存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；②求△OMN面积的最大值.14.(2014·江西，20)如图，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).(1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值.15.(2014·北京，19)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点.若点A在直线y＝2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·东北四校联考)设P是椭圆x225+y29＝1上一点,M,N分别是两圆：(x+4)2+y2＝1和(x-4)2+y2=1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为()A.9，12B.8，11C.8，12D.10，122.(2016·四川成都第二次诊断)已知抛物线y＝x2的焦点F，过点(0，2)做直线l与抛物线交于A，B两点，点F关于直线OA的对称点为C，则四边形OCAB面积的最小值为()A.23B.3C.32D.33.(2016·山东东营第二次质量检测)已知抛物线y2＝8x的准线与双曲线x2a2－y216＝1相交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，△ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为()A.3B.2C.6D.34.(2016·湖北八校联考)点A是抛物线C1：y2＝2px(p＞0)与双曲线C2：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的交点(异于原点)，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于()A.2B.3C.5D.65.(2015·太原模拟)已知F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B，若|AB|＝|AF2|，∠F1AF2＝90°，则双曲线的离心率为()A.6＋32B.6＋3C.5＋222D.5＋226.(2015·马鞍山模拟)以双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的中心O(坐标原点)为圆心，焦距为直径的圆与双曲线交于M点(第一象限)，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴垂线，垂足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为()A.3－1B.3C.3＋1D.27.(2016·云南师大附中适应性月考)已知点P(x，y)在椭圆x264＋y239＝1上，若定点A(5，0)，动点M满足|AM→|＝1，且PM→·AM→＝0，则|PM→|的最小值是________.8.(2015·广西南宁三模)已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，以抛物线y2＝16x的焦点为其中一个焦点，以双曲线x216－y29＝1的焦点为顶点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若E，F是椭圆上关于原点对称的两点，则当直线PE，PF的斜率都存在，并记为kPE，kPF时，kPE·kPF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.9.(2015·巴蜀中学一模)已知椭圆的焦点坐标是F1(－1，0)，F2(1，0)，过点F2垂直于长轴的直线交椭圆于P，Q两点，且|PQ|＝3.(1)求椭圆的方程；(2)过F2的直线与椭圆交于不同的两点M，N，则△F1MN的内切圆面积是否存在最大值？若存在，则求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.解析设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)，则y21＝4x1，y22＝4x2，相减得(y1+y2)(y1-y2)＝4(x1-x2)，当l的斜率不存在时，符合条件的直线l必有两条；当l的斜率存在时，x1≠x2，则有y1＋y22·y1－y2x1－x2＝2，即y0·k＝2，由CM⊥AB得k·y0－0x0－5＝－1，y0k＝5－x0，2＝5－x0，∴x0＝3，即M必在直线x＝3上，将x＝3代入y2＝4x，得y2＝12，有－23＜y0＜23，∵点M在圆上，∴(x0－5)2＋y20＝r2，r2＝y20＋4＜12＋4＝16，又y20＋4＞4，∴4＜r2＜16，∴2＜r＜4，故选D.答案D2.解(1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0,由|AM|＝|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为π4.又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.将x＝y－2代入x24＋y23＝1得7y2－12y＝0,解得y＝0或y＝127,所以y1＝127.因此△AMN的面积S△AMN＝2×12×127×127＝14449.(2)证明将直线AM的方程y＝k(x＋2)(k>0)代入x24＋y23＝1得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0，由x1·(－2)＝16k2－123＋4k2得x1＝2（3－4k2）3＋4k2，故|AM|＝|x1＋2|1＋k2＝121＋k23＋4k2.由题设，直线AN的方程为y＝－1k(x＋2)，故同理可得|AN|＝12k1＋k23k2＋4.由2|AM|＝|AN|，得23＋4k2＝k3k2＋4，即4k3－6k2＋3k－8＝0，设f(t)＝4t3－6t2＋3t－8,则k是f(t)的零点,f′(t)＝12t2－12t＋3＝3(2t－1)2≥0,所以f(t)在(0,＋∞)单调递增，又f(3)＝153－26<0，f(2)＝6>0，因此f(t)在(0，＋∞)有唯一的零点，且零点k在(3，2)内，所以3<k<2.3.(1)证明由题设F12，0，设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，且Aa22，a，Bb22，b，P－12，a，Q－12，b，R－12，a＋b2.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1＝a－b1＋a2＝a－ba2－ab＝1a＝－aba＝－b＝k2.所以AR∥FQ.(2)解设过AB的直线为l,设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF＝12|b-a|·|FD|＝12|b-a|x1－12,S△PQF＝|a－b|2.由题设可得|b－a|x1－12＝|a－b|2，所以x1＝1，x1＝0(舍去)，设满足条件的AB的中点为E(x，y).当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE，可得2a＋b＝yx－1(x≠1).而a＋b2＝y.所以y2＝x－1(x≠1).当AB与x轴垂直时，E与D重合.所以，所求轨迹方程为y2＝x－1.4.(1)解由椭圆过点A(2，0)，B(0，1)知a＝2，b＝1.所以椭圆方程为x24＋y2＝1，又c＝a2－b2＝3.所以椭圆离心率e＝ca＝32.(2)证明设P点坐标为(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x20＋4y20＝4，由B点坐标(0，1)得直线PB方程为：y－1＝y0－1x0(x－0)，令y＝0，得xN＝x01－y0，从而|AN|＝2－xN＝2＋x0y0－1，由A点坐标(2，0)得直线PA方程为y－0＝y0x0－2(x－2)，令x＝0，得yM＝2y02－x0，从而|BM|＝1－yM＝1＋2y0x0－2，所以S四边形ABNM＝12|AN|·|BM|＝122＋x0y0－11＋2y0x0－2＝x20＋4y20＋4x0y0－4x0－8y0＋42（x0y0－x0－2y0＋2）＝2x0y0－2x0－4y0＋4x0y0－x0－2y0＋2＝2.即四边形ABNM的面积为定值2.5.(1)解设椭圆的半焦距为c.由题意知2a＝4，2c＝22.所以a＝2，b＝a2－c2＝2.所以椭圆C的方程为x24＋y22＝1.(2)①证明设P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0).由M(0，m)，可得P(x0，2m)，Q(x0，－2m).所以直线PM的斜率k＝2m－mx0＝mx0.直线QM的斜率k′＝－2m－mx0＝－3mx0.此时k′k＝－3.所以k′k为定值－3.②解设A(x1，y1)，B(x2，y2).直线PA的方程为y＝kx＋m.直线QB的方程为y＝－3kx＋m.联立y＝kx＋m，x24＋y22＝1，整理得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－4＝0，由x0x1＝2m2－42k2＋1，可得x1＝2（m2－2）（2k2＋1）x0，所以y1＝kx1＋m＝2k（m2－2）（2k2＋1）x0＋m.同理x2＝2（m2－2）（18k2＋1）x0，y2＝－6k（m2－2）（18k2＋1）x0＋m.所以x2－x1＝2（m2－2）（18k2＋1）x0－2（m2－2）（2k2＋1）x0＝－32k2（m2－2）（18k2＋1）（2k2＋1）x0，y2－y1＝－6k（m2－2）（18k2＋1）x0＋m－2k（m2－2）（2k2＋1）x0－m＝－8k（6k2＋1）（m2－2）（18k2＋1）（2k2＋1）x0，所以kAB＝y2－y1x2－x1＝6k2＋14k＝146k＋1k，由m＞0，x0＞0，可知k＞0，所以6k＋1k≥26，当且仅当k＝66时取"＝".∵P(x0，2m)在椭圆x24＋y22＝1上，∴x0＝4－8m2，故此时2m－m4－8m2－0＝66，即m＝147，符合题意.所以直线AB的斜率的最小值为62.6.解(1)由已知，a＝2b，又椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)过点P3，12，故34b2＋14b2＝1,解得b2＝1.所以椭圆E的方程是x24＋y2＝1.(2)证明设直线l的方程为y＝12x＋m(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).由方程组x24＋y2＝1，y＝12x＋m，得x2＋2mx＋2m2－2＝0，①方程①的判别式为Δ＝4m2－4(2m2－2)，由Δ>0，即2－m2>0，解得－2<m<2.由①得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2.所以M点坐标为－m，m2，直线OM方程为y＝－12x，由方程组x24＋y2＝1，y＝－12x，得C－2，22，D2，－22.所以|MC|·|MD|＝52(－m＋2)·52(2＋m)＝54(2－m2).又|MA|·|MB|＝14|AB|2＝14[(x1－x2)2＋(y1－y2)2]＝516[(x1＋x2)2－4x1x2]＝516[4m2－4(2m2－2)]＝54(2－m2).所以|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.7.解(1)设F(-c，0).由已知离心率ca＝55及a2＝b2＋c2,可得a＝5c,b＝2c,又因为B(0,b)，F(-c,0)，故直线BF的斜率k＝b－00－（－c）＝2cc＝2.(2)设点P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，M(xM，yM).①由(1)可得椭圆的方程为x25c2＋y24c2＝1，直线BF的方程为y＝2x＋2c.将直线方程与椭圆方程联立，消去y，整理得3x2＋5cx＝0，解得xP＝－5c3.因为BQ⊥BP，所以直线BQ的方程为y＝－12x＋2c,与椭圆方程联立,消去y，整理得21x2－40cx＝0，解得xQ＝40c21.又因为λ＝|PM||MQ|，及xM＝0，可得λ＝|xM－xP||xQ－xM|＝|xP||xQ|＝78.②由①有|PM||MQ|＝78，所以|PM||PM|＋|MQ|＝77＋8＝715，即|PQ|＝157|PM|.又因为|PM|sin∠BQP＝759，所以|BP|＝|PQ|sin∠BQP＝157|PM|sin∠BQP＝553.又因为yP＝2xP＋2c＝－43c，所以|BP|＝0＋5c32＋2c＋4c32＝553c，因此553c＝553，得c＝1.所以，椭圆方程为x25＋y24＝1.8.解(1)椭圆C的标准方程为x23＋y2＝1，所以a＝3，b＝1，c＝2.所以椭圆C的离心率e＝ca＝63.(2)因为AB过点D(1，0)且垂直于x轴，所以可设A(1，y1)，B(1，－y1)，直线AE的方程为y－1＝(1－y1)(x－2)，令x＝3，得M(3，2－y1)，所以直线BM的斜率kBM＝2－y1＋y13－1＝1.(3)直线BM与直线DE平行，证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由(2)可知kBM＝1.又因为直线DE的斜率kDE＝1－02－1＝1，所以BM∥DE，当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)(k≠1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线AE的方程为y－1＝y1－1x1－2(x－2).令x＝3，得点M3，y1＋x1－3x1－2，由x2＋3y2＝3，y＝k（x－1），得(1＋3k2)x2－6k2x＋3k2－3＝0，所以x1＋x2＝6k21＋3k2，x1x2＝3k2－31＋3k2，直线BM的斜率kBM＝y1＋x1－3x1－2－y23－x2，因为kBM－1＝k（x1－1）＋x1－3－k（x2－1）（x1－2）－（3－x2）（x1－2）（3－x2）（x1－2）＝（k－1）[－x1x2＋2（x1＋x2）－3]（3－x2）（x1－2）＝（k－1）－3k2＋31＋3k2＋12k21＋3k2－3（3－x2）（x1－2）＝0，所以kBM＝1＝kDE.所以BM∥DE，综上可知，直线BM与直线DE平行.9.解(1)由题意，得ca＝22且c＋a2c＝3，解得a＝2，c＝1，则b＝1，所以椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.(2)当AB⊥x轴时，AB＝2，又CP＝3，不合题意.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入椭圆方程，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，则x1，2＝2k2±2（1＋k2）1＋2k2，C的坐标为2k21＋2k2，－k1＋2k2，且AB＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2＝（1＋k2）（x2－x1）2＝22（1＋k2）1＋2k2.若k＝0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意.从而k≠0，故直线PC的方程为y＋k1＋2k2＝－1kx－2k21＋2k2，则P点的坐标为－2，5k2＋2k（1＋2k2），从而PC＝2（3k2＋1）1＋k2|k|（1＋2k2）.因为PC＝2AB，所以2（3k2＋1）1＋k2|k|（1＋2k2）＝42（1＋k2）1＋2k2，解得k＝±1.此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.10.解(1)因为|OM|≤|MN|＋|NO|＝3＋1＝4，当M，N在x轴上时，等号成立；同理|OM|≥|MN|－|NO|＝3－1＝2，当D，O重合，即MN⊥x轴时，等号成立.所以椭圆C的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为x216＋y24＝1.(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝4或x＝－4，都有S△OPQ＝12×4×4＝8.②当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋mk≠±12，由y＝kx＋m，x2＋4y2＝16，消去y，可得(1＋4k2)2x2＋8kmx＋4m2－16＝0.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－16)＝0，即m2＝16k2＋4.①又由y＝kx＋m，x－2y＝0，可得P2m1－2k，m1－2k；同理可得Q－2m1＋2k，m1＋2k.由原点O到直线PQ的距离为d＝|m|1＋k2和|PQ|＝1＋k2|xP－xQ|，可得S△OPQ＝12|PQ|·d＝12|m||xP－xQ|＝12·|m|·2m1－2k＋2m1＋2k＝2m21－4k2.②将①代入②得，S△OPQ＝2m21－4k2＝8|4k2＋1||4k2－1|.当k2>14时，S△OPQ＝84k2＋14k2－1＝81＋24k2－1>8；当0≤k2<14时，S△OPQ＝84k2＋11－4k2＝8－1＋21－4k2.因0≤k2<14，则0<1－4k2≤1，21－4k2≥2，所以S△OPQ＝8－1＋21－4k2≥8，当且仅当k＝0时取等号.所以当k＝0时，S△OPQ的最小值为8.综合①②可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.11.解(1)由题意知3a2＋14b2＝1.又a2－b2a＝32，解得a2＝4，b2＝1.所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)由(1)知椭圆E的方程为x216＋y24＝1.(ⅰ)设P(x0，y0)，|OQ||OP|＝λ，由题意知Q(－λx0，－λy0).因为x204＋y20＝1，又（－λx0）216＋（－λy0）24＝1，即λ24x204＋y20＝1，所以λ＝2，即|OQ||OP|＝2.(ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2).将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，由Δ＞0，可得m2＜4＋16k2，①则有x1＋x2＝－8km1＋4k2，x1x2＝4m2－161＋4k2.所以|x1－x2|＝416k2＋4－m21＋4k2.因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，所以△OAB的面积S＝12|m||x1－x2|＝216k2＋4－m2|m|1＋4k2＝2（16k2＋4－m2）m21＋4k2＝24－m21＋4k2m21＋4k2.设m21＋4k2＝t，将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②由①②可知0＜t≤1，因此S＝2（4－t）t＝2－t2＋4t，故S≤23，当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时取得最大值23.由(ⅰ)知，△ABQ面积为3S，所以△ABQ面积的最大值为63.12.解(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0，1).因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2－b2＝1.①又C1与C2的公共弦的长为26，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为±6，32，所以94a2＋6b2＝1.②联立①，②得a2＝9，b2＝8.故C2的方程为y29＋x28＝1.(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4).因AC→与BD→同向，且|AC|＝|BD|，所以AC→＝BD→，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.由y＝kx＋1，x2＝4y得x2－4kx－4＝0.而x1，x2是这个方程的两根，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④由y＝kx＋1，x28＋y29＝1得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0.而x3，x4是这个方程的两根，所以x3＋x4＝－16k9＋8k2，x3x4＝－649＋8k2，⑤将④，⑤代入③，得16(k2＋1)＝162k2（9＋8k2）2＋4×649＋8k2，即16(k2＋1)＝162×9（k2＋1）（9＋8k2）2，所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±64，即直线l的斜率为±64.13.解(1)由题意知a2－b2a＝32，可得a2＝4b2.椭圆C的方程可简化为x2＋4y2＝a2.将y＝x代入可得x＝±5a5，因此2×25a5＝4105，可得a＝2.因此b＝1.所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)①设A(x1，y1)(x1y1≠0)，D(x2，y2)，则B(－x1，－y1)，因为直线AB的斜率kAB＝y1x1，又AB⊥AD，所以直线AD的斜率k＝－x1y1.设直线AD的方程为y＝kx＋m，由题意知k≠0，m≠0.由y＝kx＋m，x24＋y2＝1可得(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－4＝0.所以x1＋x2＝－8mk1＋4k2，因此y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝2m1＋4k2.由题意知x1≠－x2，所以k1＝y1＋y2x1＋x2＝－14k＝y14x1.所以直线BD的方程为y＋y1＝y14x1(x＋x1).令y＝0，得x＝3x1，即M(3x1，0).可得k2＝－y12x1.所以k1＝－12k2，即λ＝－12.因此存在常数λ＝－12使得结论成立.②直线BD的方程y＋y1＝y14x1(x＋x1)，令x＝0，得y＝－34y1，即N0，－34y1.由①知M(3x1，0)，可得△OMN的面积S＝12×3|x1|×34|y1|＝98|x1||y1|.因为|x1||y1|≤x214＋y21＝1，当且仅当|x1|2＝|y1|＝22时等号成立，此时S取得最大值98，所以△OMN面积的最大值为98.14.证明(1)依题意可设AB方程为y＝kx＋2,代入x2＝4y,得x2＝4(kx＋2),即x2－4kx－8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8，直线AO的方程为y＝y1x1x；BD的方程为x＝x2.解得交点D的坐标为x＝x2，y＝y1x2x1.注意到x1x2＝－8及x21＝4y1，则有y＝y1x1x2x21＝－8y14y1＝－2，因此D点在定直线y＝－2(x≠0)上.(2)依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y得x2＝4(ax＋b)，即x2－4ax－4b＝0，由Δ＝0得(4a)2＋16b＝0，化简整理得b＝－a2.故切线l的方程可写为y＝ax－a2.分别令y＝2、y＝－2得N1、N2的坐标为N12a＋a，2，N2－2a＋a，－2，则|MN2|2－|MN1|2＝2a－a2＋42－2a＋a2＝8，即|MN2|2－|MN1|2为定值8.15.解(1)由题意，椭圆C的标准方程为x24＋y22＝1.所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝2.故椭圆C的离心率e＝ca＝22.(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0.因为OA⊥OB，所以OA→·OB→＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－2y0x0.又x20＋2y20＝4，所以|AB|2＝(x0-t)2＋(y0-2)2＝x0＋2y0x02＋(y0－2)2＝x20＋y20＋4y20x20＋4＝x20＋4－x202＋2（4－x20）x20+4＝x202＋8x20＋4(0＜x20≤4).因为x202＋8x20≥4(0＜x20≤4)，且当x20＝4时等号成立，所以|AB|2≥8.故线段AB长度的最小值为22.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.解析如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝12，即最小值和最大值分别为8，12.]答案C2.解析不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<0<x2)，即点A在点B左侧，当直线斜率不存在时，不满足题意，故可设直线方程为y＝kx＋2，联立抛物线方程可得x2－kx－2＝0，故x1＋x2＝k，x1x2＝－2，y1y2＝4∴SOCAB＝S△OAB＋S△OFA＝12×2×(x2－x1)＋12×14×(－x1)＝x2＋98(－x1)≥298（－x1x2）＝3.答案D3.解析由题意知，抛物线的准线x＝－2，△ABF是等腰直角三角形，如图易知A(－2，4)，代入x2a2－y216＝1，即得a＝2，∴双曲线的离心率为e＝ca＝a2＋16a＝182＝3.答案A4.解析不妨设点A在第一象限，A的坐标为p2，p，C2的渐近线为y＝±bax，得ba·p2＝p，即ba＝c2－a2a＝2，e＝5.答案C5.解析设|AF1|＝x，|AF2|＝y，则有y－x＝2a①，又因为∠F1AF2＝90°，所以x2＋y2＝4c2②，F2A⊥BF1，又因为|AB|＝|AF2|＝y，所以BF2＝2y，则|BF1|－|BF2|＝x＋y－2y＝2a③，联立①②③得e2＝c2a2＝33－22，所以e＝6＋3，故选B.答案B6.解析过点M作x轴垂线，交x轴于点A，由|MF2|2＝|F2A|·|F1F2|得|MF2|＝c，由双曲线定义|MF1|－|MF2|＝2a，得|MF1|＝2a＋c，由|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2＝4c2，得c2－2ac－2a2＝0，即e2－2e－2＝0，得e＝3＋1.答案C7.解析由|AM→|＝1可知点M的轨迹为以点A为圆心，1为半径的圆，过点P作该圆的切线，则|PA|2＝|PM|2＋|AM|2，得|PM|2＝|PA|2－1，所以要使|PM→|的值最小，则要|PA→|的值最小，而|PA→|的最小值为a－c＝3，此时|PM→|＝22.答案228.解(1)由抛物线y2＝16x的焦点为(4，0)可得c＝4.可设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0).∵双曲线x216－y29＝1的焦点为(±5，0).∴由题意知a＝5，b2＝a2－b2＝25－16＝9.故椭圆标准方程为x225＋y29＝1.(2)kPE·kPF为定值，该定值为－925.理由：E，F是椭圆上关于原点对称的两点.设E(m，n)，则F(－m，－n)，又设P点坐标为(x，y).则m225＋n29＝1，x225＋y29＝1.两式相减可得x2－m225＋y2－n29＝0，即y2－n2x2－m2＝－925.(由题意知x2－m2≠0).又kPE＝y－nx－m，kPF＝y＋nx＋m，则kPE·kPF＝y2－n2x2－m2＝－925.∴kPE·kPF为定值，且为－925.9.解(1)设椭圆的方程是x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，由交点的坐标得c＝1,由|PQ|＝3,可得2b2a＝3,解得a＝2,b＝3,故椭圆的方程是x24＋y23＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，不妨设y1＞0，y2＞0，设△F1MN的内切圆半径是R，则△F1MN的周长是4a＝8，S△F1MN最大，R就最大，S△F1MN＝12|F1F2||y1－y2|＝y1－y2，由题知，直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为x＝my＋1，由x＝my＋1，x24＋y23＝1，得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，解得y1＝－3m－6m2＋13m2＋4，y2＝－3m＋6m2＋13m2＋4，则S△F1MN＝12m2＋13m2＋4，令t＝m2＋1，则t≥1，则S△F1MN＝123t＋1t，令f(t)＝3t＋1t，f′(t)＝3－1t2，当t≥1时，f′(t)≥0，f′(t)在[1，＋∞)上单调递增，有f(t)≥f(1)＝4，S△F1MN≤124＝3，即当t＝1，m＝0时，S△F1MN≤124＝3，S△F1MN＝4R，所以Rmax＝34，此时所求内切圆面积的最大值是9π16，故直线l：x＝1，△F1MN内切圆的面积最大值是9π16.第三节椭圆及其性质A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅰ，5)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.342.(2016·新课标全国Ⅲ，12)已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A.13B.12C.23D.343.(2015·广东，8)已知椭圆x225＋y2m2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝()A.2B.3C.4D.94.(2015·福建，11)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是()A.0，32B.0，34C.32，1D.34，15.(2014·大纲全国，9)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为43，则C的方程为()A.x23＋y22＝1B.x23＋y2＝1C.x212＋y28＝1D.x212＋y24＝16.(2015·浙江，15)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点F(c,0)关于直线y＝bcx的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________.7.(2014·江西，14)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________.8.(2015·新课标全国Ⅱ,20)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22,点(2,2)在C上.(1)求C的方程；(2)直线l不经过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.9.(2015·安徽，20)设椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为510.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.10.(2015·陕西，20)如图，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，经过点A(0，-1)，且离心率为22.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.11.(2015·重庆，21)如图，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|＝2＋2，|PF2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ|＝λ|PF1|，且34≤λ＜43，试确定椭圆离心率e的取值范围.12.(2014·新课标全国Ⅱ，20)设F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为34，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.13.(2014·四川，20)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－2,0)，离心率为63.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，T为直线x＝－3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积.14.(2014·安徽，21)设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cos∠AF2B＝35，求椭圆E的离心率.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·山西大学附中月考)一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为()A.x28＋y26＝1B.x216＋y26＝1C.x28＋y24＝1D.x216＋y24＝12.(2016·衡水中学检测)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上的一点，l：x＝－a2c，且PQ⊥l，垂足为Q，若四边形PQF1F2为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是()A.12，1B.0，12C.0，22D.22，13.(2015·郑州质量预测)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两焦点分别是F1，F2，过点F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|＝|F1F2|，且2|PF1|＝3|QF1|，则椭圆的离心率为()A.35B.45C.34D.3254.(2015·日照模拟)椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为32，则ab的值为()A.32B.232C.932D.23275.(2015·江西八所重点中学联考)直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和上顶点B，该椭圆的离心率为()A.15B.25C.55D.2556.(2015·东北三省四市教研联合体模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，且过点12，144.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设F是椭圆C的左焦点，过点P(－2，0)的直线交椭圆于A，B两点，求△ABF面积的最大值.答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.解析如图,由题意得，BF＝a，OF＝c，OB＝b，OD＝14×2b＝12b.在Rt△OFB中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|，即cb＝a·12b,代入解得a2＝4c2,故椭圆离心率e＝ca＝12，故选B.答案B2.解析设M(－c，m)，则E0，ama－c，OE的中点为D，则D0，am2（a－c），又B，D，M三点共线，所以m2（a－c）＝ma＋c，a＝3c，e＝13.答案A3.解析由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3.答案B4.解析左焦点F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.设M(0，b)，则4b5≥45，∴1≤b＜2.离心率e＝ca＝c2a2＝a2－b2a2＝4－b24∈0，32，故选A.答案A5.解析由已知e＝ca＝33，又△AF1B的周长为|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋(|AF2|＋|BF2|)＋|BF1|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝2a＋2a＝43，解得a＝3，故c＝1，b＝a2－c2＝2，故所求的椭圆方程为x23＋y22＝1，故选A.答案A6.解析设Q(x0，y0)，则FQ的中点坐标x0＋c2，y02，kFQ＝y0x0－c，依题意y02＝bc·x0＋c2，y0x0－c·bc＝－1，解得x0＝c（2c2－a2）a2，y0＝2bc2a2，又因为(x0，y0)在椭圆上，所以c2（2c2－a2）2a6＋4c4a4＝1，令e＝ca，则4e6＋e2＝1，∴离心率e＝22.答案227.解析由题意知F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝a2－b2，因为过F2且与x轴垂直的直线为x＝c，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为Ac，b2a，Bc，－b2a.因为AB平行于y轴，且|F1O|＝|OF2|，所以|F1D|＝|DB|，即D为线段F1B的中点，所以点D的坐标为0，－b22a，又AD⊥F1B，所以kAD·kF1B＝－1，即b2a－－b22ac－0×－b2a－0c－（－c）＝－1，整理得3b2＝2ac，所以3(a2－c2)＝2ac，又e＝ca，0<e<1，所以3e2＋2e－3＝0，解得e＝33(e＝－3舍去).答案338.解(1)由题意得a2－b2a＝22，4a2＋2b2＝1，解得a2＝8，b2＝4.所以C的方程为x28＋y24＝1.(2)设直线l：y＝kx＋b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2)，M(xM，yM).将y＝kx＋b代入x28＋y24＝1得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.故xM＝x1＋x22＝－2kb2k2＋1，yM＝k·xM＋b＝b2k2＋1.于是直线OM的斜率kOM＝yMxM＝－12k，即kOM·k＝－12.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.9.(1)解由题设条件知，点M的坐标为23a，13b，又kOM＝510，从而b2a＝510.进而a＝5b，c＝a2－b2＝2b，故e＝ca＝255.(2)证明由N是AC的中点知，点N的坐标为a2，－b2，可得NM→＝a6，5b6，又AB→＝(－a，b)，从而有AB→·NM→＝－16a2＋56b2＝16(5b2－a2).由(1)的计算结果可知a2＝5b2，所以AB→·NM→＝0，故MN⊥AB.10.(1)解由题设知ca＝22,b＝1,结合a2＝b2＋c2,解得a＝2,所以椭圆的方程为x22＋y2＝1.(2)证明由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入x22＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，由已知Δ＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，则x1＋x2＝4k（k－1）1＋2k2，x1x2＝2k（k－2）1＋2k2，从而直线AP，AQ的斜率之和kAP＋kAQ＝y1＋1x1＋y2＋1x2＝kx1＋2－kx1＋kx2＋2－kx2＝2k＋(2－k)1x1＋1x2＝2k＋(2－k)x1＋x2x1x2＝2k＋(2－k)4k（k－1）2k（k－2）＝2k－2(k－1)＝2.11.解(1)由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a＝2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，因此2c＝|F1F2|＝|PF1|2＋|PF2|2＝（2＋2）2＋（2－2）2＝23，即c＝3，从而b＝a2－c2＝1.故所求椭圆的标准方程为x24＋y2＝1.(2)如图，由PF1⊥PQ，|PQ|＝λ|PF1|，得|QF1|＝|PF1|2＋|PQ|2＝1＋λ2|PF1|.由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，进而|PF1|＋|PQ|＋|QF1|＝4a，于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF1|＝4a，解得|PF1|＝4a1＋λ＋1＋λ2，故|PF2|＝2a－|PF1|＝2a（λ＋1＋λ2－1）1＋λ＋1＋λ2.由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝4c2，从而4a1＋λ＋1＋λ22＋2a（λ＋1＋λ2－1）1＋λ＋1＋λ22＝4c2，两边除以4a2，得4（1＋λ＋1＋λ2）2＋（λ＋1＋λ2－1）2（1＋λ＋1＋λ2）2＝e2.若记t＝1＋λ＋1＋λ2，则上式变成e2＝4＋（t－2）2t2＝81t－142＋12.由34≤λ＜43，并注意到1＋λ＋1＋λ2关于λ的单调性，得3≤t＜4，即14＜1t≤13.进而12＜e2≤59，即22＜e≤53.12.解(1)根据c＝a2－b2及题设知Mc，b2a，b2a2c＝34，2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得ca＝12，ca＝－2(舍去).故C的离心率为12.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故b2a＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则2（－c－x1）＝c，－2y1＝2，即x1＝－32c.y1＝－1.代入C的方程，得9c24a2＋1b2＝1.②将①及c＝a2－b2代入②得9（a2－4a）4a2＋14a＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28,故a＝7,b＝27.13.解(1)由已知可得，ca＝63，c＝2，所以a＝6.又由a2＝b2＋c2，解得b＝2，所以椭圆C的标准方程是x26＋y22＝1.(2)设T点的坐标为(－3，m)，则直线TF的斜率kTF＝m－0－3－（－2）＝－m.当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝1m，直线PQ的方程是x＝my－2.当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得x＝my－2，x26＋y22＝1.消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)＞0.所以y1＋y2＝4mm2＋3，y1y2＝－2m2＋3，x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝－12m2＋3.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以OP→＝QT→，即(x1，y1)＝(－3－x2，m－y2).所以x1＋x2＝－12m2＋3＝－3，y1＋y2＝4mm2＋3＝m.解得m＝±1.此时，四边形OPTQ的面积SOPTQ＝2S△OPQ＝2×12·|OF|·|y1－y2|＝24mm2＋32－4·－2m2＋3＝23.14.解(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.(2)设|F1B|＝k，则k＞0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.由椭圆定义可得，|AF2|＝2a－3k,|BF2|＝2a－k.在△ABF2中，由余弦定理可得，|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－65(2a－3k)·(2a－k).化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k＞0，故a＝3k.于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形.从而c＝22a，所以椭圆E的离心率e＝ca＝22.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.解析由|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝2a＝4c，得a＝2c，4a2＋3a2－c2＝1，得a＝22，b＝6，因此，椭圆的标准方程为x28＋y26＝1.答案A2.解析由题意得|PQ|＝|F1F2|＝2c，得P的横坐标为2c2－a2c，－a＜2c2－a2c＜a即：－ac＜2c2－a2＜ac，－e＜2e2－1＜e，得e∈12，1.答案A3.解析由题意得|PF1|＋|PF2|＝2a,|PF1|＝2a－2c,|QF1|＝23|PF1|＝23(2a－2c).QF2＝2a－23(2a－2c)＝2a3＋43c.取PF1的中点M，连接F2M，则F2M⊥PF1，|F2M|2＝|F1F2|2－|F1M|2＝|F2Q|2－|MQ|2，所以4c2－(a－c)2＝2a3＋43c2－73a－73c2，化简得5e2－8e＋3＝0，所以e1＝1(舍去)，e2＝35，即椭圆的离心率为35，故选A.答案A4.解析将y＝1－x代入ax2＋by2＝1，整理得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，x1＋x2＝2ba＋b，y1＋y2＝1－x1＋1－x2＝2aa＋b，因此AB的中点ba＋b，aa＋b，aa＋bba＋b＝ab＝32.答案A5.解析直线l：x－2y＋2＝0与x轴的交点F1(－2，0)，与y轴的交点B(0，1)，由于椭圆的左焦点为F1，上顶点为B，则c＝2，b＝1，∴a＝b2＋c2＝5，e＝ca＝25＝255.答案D6.解(1)因为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，所以ca＝22.又椭圆C过点12，144，所以14a2＋78b2＝1.同时结合a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝1，所以椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.(2)由题知F(-1,0)，显然直线AB的斜率存在且不为0,设为k,则直线AB的方程为y＝k(x＋2)(k≠0)，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立x22＋y2＝1，y＝k（x＋2），消去y得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2＝0，故Δ＝(8k2)2－4(1＋2k2)(8k2－2)＝8(1－2k2)>0，所以0<k2<12，且x1＋x2＝－8k21＋2k2，x1x2＝8k2－21＋2k2，所以|AB|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2＝1＋k2·8（1－2k2）（1＋2k2）2.点F到直线AB的距离为d＝|k|1＋k2，所以S△ABC＝12·|k|1＋k2·1＋k2·8（1－2k2）（1＋2k2）2＝2·－2k4＋k24k4＋4k2＋1＝2·－12＋12×6k2＋14k4＋4k2＋1.令t＝6k2＋1∈(1，4)，则k2＝t－16.所以S△ABC＝2·－12＋92×tt2＋4t＋4＝2·－12＋92×1t＋4t＋4≤2·－12＋92×14＋4＝24，当且仅当t＝4t，即t＝2，k＝±66时取等号.所以△ABF面积的最大值为24.第四节双曲线及其性质A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·安徽，6)下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是()A.x2－y24＝1B.x24－y2＝1C.x2－y22＝1D.x22－y2＝12.(2015·天津，5)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为()A.x29－y213＝1B.x213－y29＝1C.x23－y2＝1D.x2－y23＝13.(2015·湖南，6)若双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为()A.73B.54C.43D.534.(2015·四川，7)过双曲线x2－y23＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝()A.433B.23C.6D.435.(2015·重庆，9)设双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()A.±12B.±22C.±1D.±26.(2015·湖北，9)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则()A.对任意的a，b，e1<e2B.当a>b时，e1<e2；当a<b时，e1>e2C.对任意的a，b，e1>e2D.当a>b时，e1>e2；当a<b时，e1<e27.(2014·新课标全国Ⅰ，4)已知双曲线x2a2－y23＝1(a＞0)的离心率为2，则a＝()A.2B.62C.52D.18.(2014·重庆，8)设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，则该双曲线的离心率为()A.2B.15C.4D.179.(2014·广东，8)若实数k满足0＜k＜5，则曲线x216－y25－k＝1与曲线x216－k－y25＝1的()A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等10.(2014·天津，6)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.x25－y220＝1B.x220－y25＝1C.3x225－3y2100＝1D.3x2100－3y225＝111.(2014·江西，9)过双曲线C：x2a2－y2b2＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.x24－y212＝1B.x27－y29＝1C.x28－y28＝1D.x212－y24＝112.(2016·北京，12)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(5，0)，则a＝________；b＝________.13.(2016·山东，14)已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0).若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________.14.(2016·浙江，13)设双曲线x2－y23＝1的左、焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________.15.(2015·新课标全国Ⅱ，15)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y＝±12x，则该双曲线的标准方程为______________.16.(2015·北京，12)已知(2,0)是双曲线x2－y2b2＝1(b＞0)的一个焦点，则b＝________.17.(2015·新课标全国Ⅰ，16)已知F是双曲线C：x2－y28＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,66).当△APF周长最小时，该三角形的面积为________.18.(2015·山东，15)过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·邯郸市质检)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为y＝－52x，则它的离心率为()A.52B.32C.355D.232.(2016·郑州质量预测)已知双曲线x2a2－y2b2＝1，a∈R，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点P为双曲线上一点满足|OP|＝3a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则此双曲线的离心率为()A.213B.73C.273D.7333.(2016·河南适应性模拟练习)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝kx(k>0)，离心率e＝5k，则双曲线方程为()A.x2a2－y24a2＝1B.x2a2－y25a2＝1C.x24b2－y2b2＝1D.x25b2－y2b2＝14.(2015·河北唐山模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，在双曲线C上存在点P，满足△PF1F2的周长等于双曲线C的实轴长的3倍，则双曲线C的离心率的取值范围是()A.1，32B.0，32C.1，52D.0，525.(2015·河北石家庄一模)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F恰好是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则该双曲线的离心率为()A.2B.3C.1＋2D.1＋36.(2016·山东日照模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，其右顶点是A，若双曲线C右支上存在两点B，D，使△ABD为正三角形，则双曲线C的离心率e的取值范围是________.7.(2015·河北高阳中学第一次月考)F1、F2是双曲线x216－y220＝1的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离等于________.8.(2015·北京朝阳期末)已知双曲线中心在原点，一个焦点为F1(－5，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为(0，2)，则此双曲线的方程是______________，离心率是________.9.(2015·山东枣庄四校联考)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上存在点P，满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中点O为坐标原点)，则该双曲线的离心率的取值范围是________.答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.解析由双曲线渐近线方程的求法知；双曲线x2－y24＝1的渐近线方程为y＝±2x，故选A.答案A2.解析双曲线x2a2－y2b2＝1的一个焦点为F(2，0)，则a2＋b2＝4，①双曲线的渐近线方程为y＝±bax，由题意得2ba2＋b2＝3，②联立①②解得b＝3，a＝1，所求双曲线的方程为x2－y23＝1，选D.答案D3.解析由条件知y＝－bax过点(3，－4)，∴3ba＝4，即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，∴25a2＝9c2，∴e＝53.故选D.答案D4.解析右焦点F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x2－y23＝0，将x＝2代入渐近线方程得y2＝12，∴y＝±23，∴A(2，23)，B(2，－23)，∴|AB|＝43.答案D5.解析双曲线x2a2－y2b2＝1的右焦点F(c，0)，左、右顶点分别为A1(－a，0)，A2(a，0)，易求Bc，b2a，Cc，－b2a，则＝b2ac＋a，＝b2aa－c，又A1B与A2C垂直，则有·＝－1，即b2ac＋a·b2aa－c＝－1，∴b4a2c2－a2＝1，∴a2＝b2，即a＝b，∴渐近线斜率k＝±ba＝±1.答案C6.解析e1＝1＋b2a2，e2＝1＋（b＋m）2（a＋m）2.不妨令e1<e2，化简得ba<b＋ma＋m(m>0)，得bm<am，得b<a.所以当b>a时，有ba>b＋ma＋m，即e1>e2；当b<a时，有ba<b＋ma＋m，即e1<e2.故选B.答案B7.解析由双曲线方程知b2＝3，从而c2＝a2＋3，又e＝2，因此c2a2＝a2＋3a2＝4，又a>0，所以a＝1，故选D.答案D8.解析根据双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a.又(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，所以4a2＝b2－3ab，即(a＋b)(4a－b)＝0，又a＋b≠0，所以b＝4a，所以e＝ca＝1＋ba2＝1＋42＝17.答案D9.解析若0<k<5，则5－k>0，16－k>0，故方程x216－y25－k＝1表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为5－k，焦距2c＝221－k，离心率e＝21－k4；同理方程x216－k－y25＝1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴的长为16－k，虚半轴的长为5，焦距2c＝221－k，离心率e＝21－k16－k.可知两曲线的焦距相等.故选D.答案D10.解析由题意可得ba＝2，c＝5，所以c2＝a2＋b2＝5a2＝25，解得a2＝5，b2＝20，则所求双曲线的方程为x25－y220＝1.答案A11.解析设双曲线的右焦点为F，则F(c，0)(其中c＝a2＋b2)，且c＝|OF|＝r＝4，不妨将直线x＝a代入双曲线的一条渐近线方程y＝bax，得y＝b，则A(a，b).由|FA|＝r＝4，得（a－4）2＋b2＝4，即a2－8a＋16＋b2＝16，所以c2－8a＝0，所以8a＝c2＝42，解得a＝2，所以b2＝c2－a2＝16－4＝12，所以所求双曲线的方程为x24－y212＝1.答案A12.解析由2x＋y＝0得y＝－2x，所以ba＝2.又c＝5，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.答案1213.解析由已知得|AB|＝2b2a，|BC|＝2c，∴2×2b2a＝3×2c.又∵b2=c2-a2,整理得：2c2-3ac-2a2=0,两边同除以a2得2ca2-3ca-2=0,即2e2-3e-2＝0,解得e=2.答案214.解析如图，由已知可得a＝1，b＝3，c＝2，从而|F1F2|＝4，由对称性不妨设P在右支上，设|PF2|＝m，则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，由于△PF1F2为锐角三角形，结合实际意义需满足（m＋2）2＜m2＋42，42＜（m＋2）2＋m2，解得－1＋7＜m＜3，又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2，∴27＜2m＋2＜8.答案(27，8)15.解析由双曲线渐近线方程为y＝±12x，可设该双曲线的标准方程为x24－y2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x24－y2＝1.答案x24－y2＝116.解析由题意：c＝2，a＝1，由c2＝a2＋b2.得b2＝4－1＝3，所以b＝3.答案317.解析设左焦点为F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2，∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF周长最小即为|AP|＋|PF1|最小，当A、P、F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为x－3＋y66＝1.与x2－y28＝1联立，解得P点坐标为(－2，26)，此时S＝S△AF1F－S△F1PF＝126.答案12618.解析把x＝2a代入x2a2－y2b2＝1得y＝±3b.不妨取P(2a，－3b).又∵双曲线右焦点F2的坐标为(c，0)，∴kF2P＝3bc－2a.由题意，得3bc－2a＝ba.∴(2＋3)a＝c.∴双曲线C的离心率为e＝ca＝2＋3.答案2＋3B组两年模拟精选(2016～2015年)1.解析该双曲线的渐近线为y＝±bax，故ba＝52，即c2－a2a＝52，e＝ce＝32.答案B2.解析设P(x0，y0)(x0≥a)，则x20＋y20＝9a2，x20a2－y20b2＝1，二者联立得x20＝9a4＋a2b2c2，又因为|PF1|＝（x0＋c）2＋y20＝（x0＋c）2＋b2x20a2－1＝cax0＋a，同理可得|PF2|＝cax0－a，由题意知|PF1|·|PF2|＝4c2，所以c2a2x20－a2＝4c2，即c2a2×9a4＋a2b2c2－a2＝4c2，整理得7a2＝3c2，所以ca＝213.答案A3.解析由题意知k＝ba，所以5ba＝ca，c＝5b，a＝2b，双曲线方程为x24b2－y2b2＝1，故选C.答案C4.解析利用双曲线定义和几何性质建立基本量的关系.不妨设点P在双曲线的右支上，则PF1－PF2＝2a，又PF1＋PF2＋2c＝6a，两式相加得PF1＝4a－c>a＋c?3a>2c，所以离心率1<e＝ca<32，故选A.答案A5.解析因为两曲线的交点的连线过点F，所以两曲线的交点坐标为p2，±p，代入双曲线方程可得p22a2－p2b2＝1，因为p2＝c，所以c4－6a2c2＋a4＝0所以e4－6e2＋1＝0，又e＞1，解得e＝1＋2，故选C.答案C6.解析双曲线C的渐近线方程为y＝±bax，要使△ABD为正三角形，则只需过右顶点A，且斜率为33的直线与双曲线有两个不同的交点，即只需该直线的斜率大于渐近线y＝bax的斜率.∴33＞ba，∴b＜33a.即b2＜13a2，则c2＜a2＋13a2，即c＜233a，则e＜233，又e＞1，所以1＜e＜233.答案1＜e＜2337.解析设点P到焦点F2的距离为d，则d－9＝±8，解得d＝17或d＝1(不符合，舍去)，所以d＝17.答案178.解析由双曲线的焦点可知c＝5，因为线段|PF1|的中点坐标为(0，2)，所以设右焦点为F2，则有PF2⊥x轴，且|PF2|＝4，点P在双曲线右支上.所以|PF1|＝（25）2＋42＝36＝6，所以|PF1|－|PF2|＝6－4＝2＝2a，所以a＝1，b2＝c2－a2＝4，所以双曲线的方程为x2－y24＝1，离心率e＝ca＝5.答案x2－y24＝159.解析设P(x0，y0)，则以|OP|为边长的正方形的面积S＝|OP|2＝x20＋y20＝2ab，又x20＋y20≥a2，所以2ab≥a2，则ba≥12，故e2＝1＋ba2≥54，所以e∈52，＋∞.答案52，＋∞第五节抛物线及其性质A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅱ，5)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝kx(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝()A.12B.1C.32D.22.(2016·四川，3)抛物线y2＝4x的焦点坐标是()A.(0，2)B.(0，1)C.(2，0)D.(1，0)3.(2015·陕西，3)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为()A.(－1,0)B.(1,0)C.(0，－1)D.(0,1)4.(2015·新课标全国Ⅰ，5)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝()A.3B.6C.9D.125.(2014·新课标全国Ⅱ，10)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝()A.303B.6C.12D.736.(2014·安徽，3)抛物线y＝14x2的准线方程是()A.y＝－1B.y＝－2C.x＝－1D.x＝－27.(2014·四川，10)已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA→·OB→＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()A.2B.3C.1728D.108.(2014·辽宁，8)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A.－43B.－1C.－34D.－129.(2014·新课标全国Ⅰ，10)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x0＝()A.1B.2C.4D.810.(2014·上海，4)若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆x29＋y25＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为________.11.(2014·湖南，14)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等.若机器人接触不到过点P(－1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________.12.(2016·新课标全国Ⅰ，20)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求|OH||ON|；(2)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.13.(2016·浙江，19)如图，设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.(1)求p的值；(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围.14.(2015·浙江，19)如图，已知抛物线C1：y＝14x2，圆C2：x2＋(y－1)2＝1，过点P(t,0)(t＞0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点.(1)求点A，B的坐标；(2)求△PAB的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.15.(2015·福建，19)已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切.16.(2014·浙江，22)已知△ABP的三个顶点都在抛物线C：x2＝4y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，PF→＝3FM→.(1)若|PF→|＝3，求点M的坐标；(2)求△ABP面积的最大值.17.(2014·福建，21)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y＝－3的距离小2.(1)求曲线Γ的方程；(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y＝3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·河南洛阳统考)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝5，则|BF|＝()A.14B.1C.54D.22.(2016·忻州四校一联)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，M为抛物线C上一点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且外接圆的面积为9π，则p＝()A.2B.4C.6D.83.(2016·江西师大附中，鹰潭一中联考)已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为x＝－1，直线与抛物线C相交于A，B两点.若线段AB的中点为(2，1)，则直线l的方程为()A.y＝2x－3B.y＝－2x＋5C.y＝－x＋3D.y＝x－14.(2016·湖南株洲3月模拟)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为________.5.(2016·山东北镇中学，莱芜一中，德州一中4月联考)抛物线C1：y＝12px2(p>0)的焦点与双曲线C2：x23－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝________.6.(2015·甘肃兰州诊断)如图，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点坐标为F(1，0)，过F的直线交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线m：x＝－2相交于M，N两点.(1)求抛物线C的方程；(2)证明：△ABO与△MNO的面积之比为定值.答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.解析由题可知抛物线的焦点坐标为(1,0),由PF⊥x轴知,|PF|＝2,所以P点的坐标为(1,2),代入曲线y＝kx(k>0)得k＝2,故选D.答案D2.解析∵对于抛物线y2＝ax，其焦点坐标为a4，0，∴y2＝4x，则为(1，0).答案D3.解析由于抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－p2，由题意得－p2＝－1，p＝2，焦点坐标为1，0，故选B.答案B4.解析因为e＝ca＝12，y2＝8x的焦点为(2，0)，所以c＝2，a＝4，故椭圆方程为x216＋y212＝1，将x＝－2代入椭圆方程，解得y＝±3，所以|AB|＝6.答案B5.解析抛物线C：y2＝3x的焦点为F34，0，所以AB所在的直线方程为y＝33x－34，将y＝33x－34代入y2＝3x，消去y整理得x2－212x＋916＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝212，由抛物线的定义可得|AB|＝x1＋x2＋p＝212＋32＝12，故选C.答案C6.解析由y=14x2得x2=4y,焦点在y轴正半轴上,且2p＝4,即p＝2,因此准线方程为y=-p2=-1.故选A.答案A7.解析如图，可设A(m2，m)，B(n2，n)，其中m>0，n<0，则OA→＝(m2，m)，OB→＝(n2，n)，OA→·OB→＝m2n2＋mn＝2，解得mn＝1(舍)或mn＝－2.∴lAB：(m2－n2)(y－n)＝(m－n)(x－n2)，即(m＋n)(y－n)＝x－n2，令y＝0，解得x＝－mn＝2，∴C(2，0).S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝12×2×m＋12×2×(－n)＝m－n，S△AOF＝12×14×m＝18m，则SAOB＋S△AOF＝m－n＋18m＝98m－n＝98m＋2m≥298m·2m＝3，当且仅当98m＝2m，即m＝43时等号成立.故△ABO与△AFO面积之和的最小值为3.答案B8.解析由点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，得焦点F(2，0)，∴kAF＝3－2－2＝－34，故选C.答案C9.解析由题意知抛物线的准线为x＝－14.因为|AF|＝54x0，根据抛物线的定义可得x0＋14＝|AF|＝54x0，解得x0＝1，故选A.答案A10.解析∵c2＝9－5＝4，∴c＝2.∴椭圆x29＋y25＝1的右焦点为(2，0)，∴p2＝2，即抛物线的准线方程为x＝－2.答案x＝－211.解析设机器人为A(x，y)，依题意得点A在以F(1，0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y2＝4x.过点P(－1，0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1).由y2＝4x，y＝kx＋k，得ky2－4y＋4k＝0.当k＝0时，显然不符合题意；当k≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k·4k<0，化简得k2－1>0，解得k>1或k<－1，因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞).答案(－∞，－1)∪(1，＋∞)12.解(1)由已知得M(0，t)，Pt22p，t，又N为M关于点P的对称点，故Nt2p，t，ON的方程为y＝ptx，代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝2t2p，因此H2t2p，2t.所以N为OH的中点，即|OH||ON|＝2.(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点，理由如下：直线MH的方程为y－t＝p2tx，即x＝2tp(y－t).代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其它公共点.13.解(1)由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义得p2＝1，即p＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y2＝4x，F(1，0)，可设A(t2，2t)，t≠0，t≠±1.因为AF不垂直于y轴，可设直线AF：x＝sy＋1(s≠0)，由y2＝4x，x＝sy＋1消去x得y2－4sy－4＝0.故y1y2＝－4，所以，B1t2，－2t.又直线AB的斜率为2tt2－1，故直线FN的斜率为－t2－12t，从而得直线FN：y＝－t2－12t(x－1)，直线BN：y＝－2t.所以Nt2＋3t2－1，－2t.设M(m，0)，由A，M，N三点共线得2tt2－m＝2t＋2tt2－t2＋3t2－1，于是m＝2t2t2－1，所以m＜0或m＞2.经检验，m＜0或m＞2满足题意.综上，点M的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞).14.解(1)由题意知直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为y＝k(x－t).由y＝k（x－t），y＝14x2消去y，整理得：x2－4kx＋4kt＝0，由于直线PA与抛物线相切，得k＝t，因此，点A的坐标为(2t，t2).设圆C2的圆心为D(0，1)，点B的坐标为(x0，y0)，由题意知：点B，O关于直线PD对称，故y02＝－x02t＋1，x0t－y0＝0.解得x0＝2t1＋t2，y0＝2t21＋t2.因此，点B的坐标为2t1＋t2，2t21＋t2.(2)由(1)知，|AP|＝t·1＋t2和直线PA的方程tx－y－t2＝0，点B到直线PA的距离是d＝t21＋t2，设△PAB的面积为S(t)，所以S(t)＝12|AP|·d＝t32.15.方法一(1)解由抛物线的定义得|AF|＝2＋p2.因为|AF|＝3，即2＋p2＝3，解得p＝2，所以抛物线E的方程为y2＝4x.(2)证明因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A(2，22).由A(2，22)，F(1，0)可得直线AF的方程为y＝22(x－1).由y＝22（x－1），y2＝4x得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝12，从而B12，－2.又G(－1，0)，所以kGA＝22－02－（－1）＝223，kGB＝－2－012－（－1）＝－223.所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.法二(1)同法一.(2)证明设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2,m)在抛物线E：y2＝4x上,所以m＝±22,由抛物线的对称性,不妨设A(2,22).由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝22(x－1).由y＝22（x－1），y2＝4x得2x2－5x＋2＝0.解得x＝2或x＝12，从而B12，－2.又G(－1，0)，故直线GA的方程为22x－3y＋22＝0.从而r＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB的方程为22x＋3y＋22＝0.所以点F到直线GB的距离d＝|22＋22|8＋9＝4217＝r.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.16.解(1)由题意知焦点F(0,1),准线方程为y＝-1.设P(x0,y0)，由抛物线定义知|PF|＝y0＋1,得到y0＝2,所以P(22，2)或P(－22，2).由PF→＝3FM→，分别得M－223，23或M223，23.(2)设直线AB的方程为y＝kx＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0).由y＝kx＋m，x2＝4y，得x2－4kx－4m＝0.于是Δ＝16k2＋16m＞0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，所以AB中点M的坐标为(2k，2k2＋m).由PF→＝3FM→，得(－x0，1－y0)＝3(2k，2k2＋m－1)，所以x0＝－6k，y0＝4－6k2－3m.由x20＝4y0得k2＝－15m＋415.由Δ＞0，k2≥0，得－13＜m≤43.又因为|AB|＝41＋k2k2＋m，点F(0，1)到直线AB的距离为d＝|m－1|1＋k2.所以S△ABP＝4S△ABF＝8|m－1|k2＋m＝16153m3－5m2＋m＋1.记f(m)＝3m3－5m2＋m＋1－13＜m≤43.令f′(m)＝9m2－10m＋1＝0，解得m1＝19，m2＝1.可得f(m)在－13，19上是增函数,在19，1上是减函数,在1，43上是增函数.又f19＝256243＞f43.所以，当m＝19时，f(m)取到最大值256243，此时k＝±5515.所以，△ABP面积的最大值为2565135.17.解方法一(1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，依题意，点S到F(0，1)的距离与它到直线y＝－1的距离相等.所以曲线Γ是以点F(0，1)为焦点、直线y＝－1为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为x2＝4y.(2)当点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变.证明如下：由(1)知抛物线Γ的方程为y＝14x2，设P(x0，y0)(x0≠0)，则y0＝14x20，由y′＝12x，得切线l的斜率k＝y′|x＝x0＝12x0，所以切线l的方程为y－y0＝12x0(x－x0)，即y＝12x0x－14x20.由y＝12x0x－14x20，y＝0，得A12x0，0.由y＝12x0x－14x20，y＝3，得M12x0＋6x0，3.又N(0，3)，所以圆心C14x0＋3x0，3.半径r＝12|MN|＝|14x0＋3x0|，|AB|＝|AC|2－r2＝12x0－14x0＋3x02＋32－14x0＋3x02＝6.所以点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变.方法二(1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，则|y－(－3)|－（x－0）2＋（y－1）2＝2，依题意，点S(x，y)只能在直线y＝－3的上方，所以y＞－3，所以（x－0）2＋（y－1）2＝y＋1，化简得，曲线Γ的方程为x2＝4y.(2)同方法一.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.解析不妨设点A位于x轴上方，由|AF|＝5得xA＝5－1＝4，所以yA＝4,则直线方程为y＝4－04－1(x－1),即y＝43(x－1),与抛物线的方程联立解得xB＝14,所以|BF|＝14＋1＝54,故选C.答案C2.解析∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，∵圆的面积为9π，∴圆的半径为3，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝p2，∴p2＋p4＝3，∴p＝4.答案B3.解析易知抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y21＝4x，y22＝4x2两式相减得：(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，所以AB的斜率k＝y1－y2x1－x2＝4y1＋y2＝42＝2，从而直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，即y＝2x－3.答案A4.解析设抛物线方程为y2＝2px(p>0).∵当x＝p2时，|y|＝p，∴p＝|AB|2＝122＝6.又P到AB的距离始终为p，∴S△ABP＝12×12×6＝36.答案365.解析由题意可知，双曲线C2：x23－y2＝1的右焦点为F(2，0)，渐近线方程为y＝±33x，抛物线C1：y＝12px2(p>0)的焦点为F′0，p2，设点M的坐标为x0，12px20(x0>0)，则kMF′＝kFF′，所以12px20－p2x0＝p2－2，所以2x20＋p2x0－2p2＝0.由y＝12px2得y′＝1px，所以C1在点M处的切线的斜率为1px0＝33，所以x0＝33p，代入2x20＋p2x0－2p2＝0可得p＝433.答案4336.(1)解由焦点坐标为(1，0)可知p2＝1，所以p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)证明当直线AB垂直于x轴时，△ABO与△MNO相似，所以S△ABOS△MNO＝OF22＝14；当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，设M(－2，yM)，N(－2，yN)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝k（x－1），y2＝4x消y并整理得k2x2－(4＋2k2)x＋k2＝0，所以x1·x2＝1.所以S△ABOS△MNO＝12·AO·BO·sin∠AOB12·MO·NO·sin∠MON＝AOMO·BONO＝x12·x22＝14，综上，S△ABOS△MNO＝14，即△ABO与△MNO的面积之比为定值.第一节直线与方程A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·北京，7)已知A(2，5)，B(4，1)，若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最大值为()A.－1B.3C.7D.82.(2015·安徽，8)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是()A.－2或12B.2或－12C.－2或－12D.2或123.(2014·福建，6)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是()A.x＋y－2＝0B.x－y＋2＝0C.x＋y－3＝0D.x－y＋3＝04.(2014·四川，9)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的取值范围是()A.[5，25]B.[10，25]C.[10，45]D.[25，45]5.(2015·江苏，12)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点.若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·河南南阳一模)已知a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过定点()A.－16，12B.12，16C.12，－16D.16，－122.(2016·辽宁师大附中期中)已知两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，则a等于()A.1或－3B.－1或3C.1和3D.－1或－33.(2016·广东珠海综合测试)"a＝－1"是"直线a2x－y＋6＝0与直线4x－(a－3)y＋9＝0互相垂直"的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.(2015·山东烟台二模)设曲线y＝x＋1x－1在点(3，2)处的切线与直线ax＋y＋3＝0垂直，则a＝()A.2B.－2C.12D.－125.(2015·滨州模拟)当0＜k＜12时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.(2015·苏州模拟)已知直线l过点M(1，1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于点A，B，O为坐标原点，则当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程为________.答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.解析线段AB的方程为y－1＝5－12－4(x－4)，2≤x≤4.即2x＋y－9＝0，2≤x≤4，因为P(x，y)在线段AB上，所以2x－y＝2x－(－2x＋9)＝4x－9.又2≤x≤4，则－1≤4x－9≤7，故2x－y最大值为7.答案C2.解析圆方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴该圆是以(1，1)为圆心，以1为半径的圆，∵直线3x＋4y＝b与该圆相切，∴|3×1＋4×1－b|32＋42＝1.解得b＝2或b＝12，故选D.答案D3.解析依题意,得直线l过点(0,3),斜率为1,所以直线l的方程为y－3＝x－0,即x－y＋3＝0.故选D.答案D4.解析易知直线x＋my＝0过定点A(0，0)，直线mx－y－m＋3＝0过定点B(1，3)，且两条直线相互垂直，故点P在以AB为直径的圆上运动，故|PA|＋|PB|＝|AB|cos∠PAB＋|AB|sin∠PAB＝10·2sin∠PAB＋π4∈[10，25]，故选B.答案B5.解析双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线的距离d＝|1－0|12＋12＝22.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤22，故c的最大值为22.答案22B组两年模拟精选(2016～2015年)1.解析由a＋2b＝1得a＝1－2b，代入直线方程得(2x－1)b＝x＋3y，此式对任意b恒成立，故有2x－1＝0，x＋3y＝0，解得x＝12，y＝－16，即直线必过定点12，－16.答案C2.解析由题意知两条直线的斜率均存在，因为两直线互相平行，所以a＝3a＋2，－2≠1a＋2，所以a＝1或－3.答案A3.解析直线a2x－y＋6＝0与直线4x－(a－3)y＋9＝0互相垂直的充要条件是4a2＋a－3＝0，解得a＝－1或a＝34，所以"a＝－1"是"直线a2x－y＋6＝0与直线4x－(a－3)y＋9＝0互相垂直"的充分不必要条件，故选A.答案A4.解析函数y＝x＋1x－1的导函数为y′＝－2（x－1）2，所以曲线在(3，2)处的切线的斜率为－12，又直线ax＋y＋3＝0的斜率为－a，所以－a·－12＝－1，解得a＝－2，选B.答案B5.解析l1和l2的交点坐标为kk－1，2k－1k－1，∵0＜k＜12，∴kk－1＜0，2k－1k－1＞0，故l1和l2交点在第二象限.答案B6.解析设l的方程为y－1＝k(x－1)，因此Ak－1k，0，B(0，1－k)，|MA|2＋|MB|2＝2＋k2＋1k2≥2＋2k2·1k2＝4，当且仅当k2＝1k2时取"＝"，得k＝－1.答案x＋y－2＝0