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2014～2016年高考数学理科汇编详解：选修4系列(3份)A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·天津，5)如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N.若CM＝2，MD＝4，CN＝3，则线段NE的长为()A.83B.3C.103D.522.(2014·天津，6)如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下,给出下列四个结论:①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA:③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是()A.①②B.③④C.①②③D.①②④3.(2016·全国Ⅱ，22)如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上(不与端点重合)，且DE＝DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.(1)证明：B，C，G，F四点共圆；(2)若AB＝1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.4.(2016·全国Ⅲ，22)如图，⊙O中AB︵的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点.(1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小；(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD.5.(2016·全国Ⅰ，22)如图，△OAB是等腰三角形；∠AOB＝120°.以O为圆心，12OA为半径作圆.(1)证明：直线AB与⊙O相切；(2)点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD.6.(2015·广东，15)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1，过圆心O做BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD＝________.7.(2015·重庆，14)如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，则BE＝________.8.(2015·江苏，21)如图,在△ABC中,AB＝AC,△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.求证：△ABD∽△AEB.9.(2015·湖南，16)如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；(2)FE·FN＝FM·FO.10.(2015·陕西，22)如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.(1)证明：∠CBD＝∠DBA；(2)若AD＝3DC，BC＝2，求⊙O的直径.11.(2015·新课标全国Ⅱ，22)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M、N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB、AC分别相切于E、F两点.(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积.12.(2014·湖北，15)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点.若QC＝1，CD＝3，则PB＝________.13.(2014·湖南，12)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝3，BC＝22，则⊙O的半径等于________.14.(2014·陕西，15B)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝______.15.(2014·广东，15)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则△CDF的面积△AEF的面积＝________.16.(2014·新课标全国Ⅱ，22)如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B、C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.17.(2014·新课标全国Ⅰ，22)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·安阳调研)如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若AB＝AC，AE＝35，BD＝4，则线段AF的长为________.2.(2016·合肥检测)如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB＝35°，则∠D＝________.3.(2016·石家庄模拟)如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD和CGE都是⊙O的割线，AC＝AB.(1)证明：AC2＝AD·AE；(2)证明：FG∥AC.4.(2016·哈师大附中模拟)如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过点A的直线，且∠PAC＝∠ABC.(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)如果弦CD交AB于点E，AC＝8，CE∶ED＝6∶5，AE∶EB＝2∶3，求sin∠BCE.5.(2016·长春模拟)如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB垂直，并与AB相交于点E，点F为弦CD上异于点E的任意一点，连接BF、AF并延长交⊙O于点M、N.(1)求证：B、E、F、N四点共圆；(2)求证：AC2＋BF·BM＝AB2.6.(2016·豫南九校3月模拟)如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD相交于点F.(1)证明：A，E，F，M四点共圆；(2)若MF＝4BF＝4，求线段BC的长.7.(2015·昆明调研)如图，直线PC与圆O相切于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则CE＝________.8.(2015·湖南十三校联考)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝2，AF＝2BF，若CE与圆相切，且CE＝72，则BE＝________.9.(2015·湖北孝感模拟)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC＝4，则AD＝________.答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.A[根据相交弦定理可知，CM·MD＝AM·MB＝29AB2＝8，CN·NE＝AN·NB＝29AB2＝8，而CN＝3，所以NE＝83.选A.]2.D[①∠FBD＝∠BAD，∠DBC＝∠DAC，故∠FBD＝∠CBD，即①正确.由切割线定理知②正确.③△BED∽△AEC，故BEDE＝AECE，当DE≠CE时，③不成立.④△ABF∽△BDF，故ABAF＝BDBF，即AB·BF＝AF·BD，④正确.故①②④正确，选D.]3.(1)证明因为DF⊥EC，则∠EFD＝∠DFC＝90°，易得∠DEF＝∠CDF，所以△DEF∽△CDF，则有∠GDF＝∠DEF＝∠FCB，DFCF＝DECD＝DGCB，所以△DGF∽△CBF，由此可得∠DGF＝∠CBF.因此∠CGF＋∠CBF＝180°，所以B，C，G，F四点共圆.(2)解由B，C，G，F四点共圆，CG⊥CB知FG⊥FB.连接GB.由G为Rt△DFC斜边CD的中点，知GF＝GC，故Rt△BCG≌Rt△BFG.因此，四边形BCGF的面积S是△GCB的面积S△GCB的2倍，即S＝2S△GCB＝2×12×12×1＝12.4.(1)解连接PB，BC，则∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD.因为AP︵＝BP︵，所以∠PBA＝∠PCB，又∠BPD＝∠BCD，所以∠BFD＝∠PCD.又∠PFB＋∠BFD＝180°，∠PFB＝2∠PCD，所以3∠PCD＝180°，因此∠PCD＝60°.(2)证明因为∠PCD＝∠BFD，所以∠EFD＋∠PCD＝180°，由此知C，D，F，E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C，D，F，E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上.又O也在CD的垂直平分线上，因此OG⊥CD.5.证明(1)设E是AB的中点，连接OE.因为OA＝OB，∠AOB＝120°，所以OE⊥AB，∠AOE＝60°，在Rt△AOE中，OE＝12AO,即O到直线AB的距离等于⊙O的半径，所以直线AB与⊙O相切.(2)因为OA＝2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心.设O′是A，B，C，D四点所在圆的圆心，作直线OO′.由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O′在线段AB的垂直平分线上，所以OO′⊥AB.同理可证，OO′⊥CD，所以AB∥CD.6.8[如图所示,连接OC,因为OD∥BC,又BC⊥AC,所以OP⊥AC.又O为AB线段的中点,所以OP＝12BC＝12.在Rt△OCD中,OC＝12AB＝2,由直角三角形的射影定理可得OC2＝OP·OD，即OD＝OC2OP＝2212＝8，故应填8.]7.2[首先由切割线定理得PA2＝PC·PD,因此PD＝623＝12,CD＝PD-PC＝9,又CE∶ED＝2∶1，因此CE＝6,ED＝3,再有相交弦定理AE·EB＝CE·ED,所以BE=CE·EDAE=6×39=2.]8.证明因为AB＝AC，所以∠ABD＝∠C.又因为∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E，又∠BAE为公共角，可知△ABD∽△AEB.9.证明(1)如图所示，因为M,N分别是弦AB,CD的中点,所以OM⊥AB,ON⊥CD,即∠OME＝90°,∠ENO＝90°,因此∠OME＋∠ENO＝180°,又四边形的内角和等于360°,故∠MEN＋∠NOM＝180°.(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FE·FN＝FM·FO.10.(1)证明因为DE为⊙O直径，则∠BED＋∠EDB＝90°，又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，从而∠CBD＝∠BED，又AB切⊙O于点B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA.(2)解由(1)知BD平分∠CBA，则BABC＝ADCD＝3，又BC＝2，从而AB＝32，所以AC＝AB2－BC2＝4，所以AD＝3，由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝AB2AD＝6，故DE＝AE－AD＝3，即⊙O直径为3.11.(1)证明由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线.又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF.从而EF∥BC.(2)解由(1)知,AE＝AF,AD⊥EF,故AD是EF的垂直平分线,又EF为⊙O的弦,所以O在AD上.连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE,所以∠OAE＝30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形.因为AE＝23，所以AO＝4，OE＝2.因为OM＝OE＝2，DM＝12MN＝3，所以OD＝1.于是AD＝5，AB＝1033.所以四边形EBCF的面积为12×10332×32－12×(23)2×32＝1633.12.4[由切割线定理得QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4，∴QA＝2，∵Q为PA的中点，∴PA＝2QA＝4.故PB＝PA＝4.]13.32[设AO与BC交于点M,∵AO⊥BC，BC＝22,∴BM＝2，又AB＝3,∴AM＝1.设圆的半径为r，则r2＝(2)2＋(r－1)2，解得r＝32.]14.3[∵四边形BCFE内接于圆，∴∠AEF＝∠ACB，又∠A为公共角，∴△AEF∽△ACB，∴EFBC＝AEAC，又∵BC＝6，AC＝2AE，∴EF＝3.]15.9[依题意得△CDF∽△AEF，由EB＝2AE可知AE∶CD＝1∶3.故△CDF的面积△AEF的面积＝9.]16.证明(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，从而BE︵＝EC︵.因此BE＝EC.(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.17.证明(1)由题设知A,B,C,D四点共圆,所以∠D=∠CBE.由已知得∠CBE=∠E,故∠D=∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上.又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.553[由切割线定理可知,AE2＝EB·ED＝EB(EB＋BD),即45＝BE(BE＋4)，解得EB＝5，∵AC∥BD，∴AC∥BE，∵过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，∴∠BAE＝∠C，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠ABC＝∠BAE，∴AE∥BC，∴四边形AEBC是平行四边形，∴EB＝AC，∴AC＝AB＝BE＝5，∴BC＝AE＝35，∵△AFC∽△DFB，∴ACBD＝CFBF，即54＝CF35－CF，解得CF＝553.故答案为：553.]2.125°[连接BD,由题意知,∠ADB=∠MAB=35°,∠BDC=90°,故∠ADC=∠ADB+∠BDC=125°.]3.证明(1)因为AB是⊙O的一条切线，AE为割线，所以AB2＝AD·AE，又因为AB＝AC，所以AC2＝AD·AE.(2)由(1)得ADAC＝ACAE.∵∠EAC＝∠CAD，∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC＝∠ACE.∵∠ADC＝∠EGF，∴∠EGF＝∠ACE，∴GF∥AC.4.(1)证明∵AB为直径，∴∠ACB＝π2，∠CAB＋∠ABC＝π2，∵∠PAC＝∠ABC，∴∠PAC＋∠CAB＝π2，∴PA⊥AB，∵AB为直径，∴PA为圆的切线.(2)解CE＝6k，ED＝5k，AE＝2m，EB＝3m，∵AE·EB＝CE·ED，∴m＝5k，连接BD，AD，∵△AEC∽△DEB?BD8＝3m6k?BD＝45，△CEB∽△AED?BC2AD2＝25m2－6425m2－80＝3km2?m＝2，k＝255，∴AB＝10，BD＝45.在直角三角形ADB中，sin∠BAD＝BDAB＝4510＝255，∵∠BCE＝∠BAD，∴sin∠BCE＝255.5.证明(1)连接BN，∵AB是⊙O直径，∴∠BNF＝90°.又CD⊥AB，则∠BEF＝∠BNF＝90°，即∠BEF＋∠BNF＝180°，则B、E、F、N四点共圆.(2)由直角三角形的射影定理可知AC2＝AE·AB，由Rt△BEF与Rt△BMA相似可知：BFBA＝BEBM，BF·BM＝BA·BE＝BA·(BA－EA)，BF·BM＝AB2－AB·AE，则BF·BM＝AB2－AC2，即AC2＋BF·BM＝AB2.6.(1)证明连接AM.由AB为直径可知∠AMB＝90°，又因为CD⊥AB，所以∠AEF＝90°，所以∠AMF＋∠AEF＝180°，因此A，E，F，M四点共圆.(2)解连接AC，由A，E，F，M四点共圆，知BF·BM＝BE·BA.在Rt△ABC中，BC2＝BE·BA.又由MF＝4BF＝4知BF＝1，BM＝5，所以BC2＝5，BC＝5.7.125[如图,∵PC为圆O切线，C为切点PAB为割线且PC＝4，PB＝8，∴PC2＝PA·PB，∴PA＝2，∴OA＝12(PB－PA)＝3，∴PO＝OA＋AP＝3＋2＝5，连接OC，则OC⊥PC，在Rt△OCP中，OC＝3，PC＝4，PO＝5，且CE⊥OP.∴OP·CE＝OC·PC，∴CE＝3×45＝125.]8.12[由AF·BF＝DF·CF得BF＝1，又CE2＝BE·AE，得BE＝12.]9.83[由题意可知BD与BC相等，BD＝BC＝4，OB＝OC2＋BC2＝25，∴sin12∠B＝55，cos12∠B＝255，∴sin∠B＝2sin12∠B·cos12∠B＝45，∵AC⊥BC，∴sin∠A＝cos∠B＝35，又∵AB＝BCsin∠A＝203，∴AD＝AB－BD＝203－4＝83.]A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2014·安徽，4)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是x＝t＋1，y＝t－3(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为()A.14B.214C.2D.222.(2014·北京，3)曲线x＝－1＋cosθ，y＝2＋sinθ(θ为参数)的对称中心()A.在直线y＝2x上B.在直线y＝－2x上C.在直线y＝x－1上D.在直线y＝x＋1上3.(2014·江西，11(2))若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为()A.ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2B.ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π4C.ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2D.ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π44.(2016·北京，11)在极坐标系中，直线ρcosθ－3ρsinθ－1＝0与圆ρ＝2cosθ交于A，B两点，则|AB|＝________.5.(2016·全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝acost，y＝1＋asint(t为参数，a>0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ.(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.6.(2016·全国Ⅱ，23)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数),l与C交于A、B两点,|AB|＝10,求l的斜率.7.(2016·全国Ⅲ，23)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝3cosα，y＝sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝22.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标系方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.8.(2015·广东，14)已知直线l的极坐标方程为2ρsinθ－π4＝2，点A的极坐标为A22，7π4，则点A到直线l的距离为________.9.(2015·北京，11)在极坐标系中，点2，π3到直线ρ(cosθ＋3sinθ)＝6的距离为________.10.(2015·安徽，12)在极坐标系中，圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R)距离的最大值是________.11.(2015·重庆，15)已知直线l的参数方程为x＝－1＋t，y＝1＋t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝4ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，则直线l与曲线C的交点的极坐标为________.12.(2015·江苏，21)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋22ρsinθ－π4－4＝0，求圆C的半径.13.(2015·新课标全国Ⅰ,23)在直角坐标系xOy中,直线C1：x＝－2,圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积.14.(2015·福建，21(2))在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x＝1＋3cost，y＝－2＋3sint(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为2ρsinθ－π4＝m(m∈R).①求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；②设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值.15.(2015·湖南，16Ⅱ)已知直线l：x＝5＋32t，y＝3＋12t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M的直角坐标为(5，3)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值.16.(2014·湖北，16)已知曲线C1的参数方程是x＝t，y＝3t3(t为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2.则C1与C2交点的直角坐标为________.17.(2014·重庆，15)已知直线l的参数方程为x＝2＋t，y＝3＋t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0(ρ≥0,0≤θ＜2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________.18.(2014·天津，13)在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点.若△AOB是等边三角形，则a的值为________.19.(2014·湖南，11)在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l与曲线C：x＝2＋cosα，y＝1＋sinα(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________.20.(2014·广东，14)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cosθ和ρsinθ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为________.21.(2014·辽宁，23)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.22.(2014·江苏，21C)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x＝1－22t，y＝2＋22t(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·河北石家庄调研)在极坐标系中，过点2，π2且与极轴平行的直线方程是()A.ρ＝2B.θ＝π2C.ρcosθ＝2D.ρsinθ＝22.(2016·郑州调研)在平面直角坐标系下,曲线C1：x＝2t＋2a，y＝－t(t为参数),曲线C2：x＝2sinθ，y＝1＋2cosθ(θ为参数)，若曲线C1，C2有公共点，则实数a的取值范围是________.3(2016·高考全国模拟一)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x＝4cosθy＝4sinθ(θ为参数)倾斜角α＝π6的直线l经过点P(1，2).(1)写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值.4.(2016·南昌模拟)已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的非负半轴重合，且长度单位相同.直线l的极坐标方程为：2ρsinθ－π4＝10，曲线C：x＝2cosα，y＝2＋2sinα(α为参数)，其中α∈[0，2π).(1)试写出直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；(2)若点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值.5.(2016·洛阳模拟)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为x＝－4＋22t，y＝－2＋22t(其中t为参数).现以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(1)写出直线l和曲线C的普通方程；(2)已知点P为曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最大值.6.(2015·湖北孝感模拟)已知曲线C的参数方程为x＝2cost，y＝2sint(t为参数)，曲线C在点(1，1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为________.答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.D[由x＝t＋1，y＝t－3消去t得x－y－4＝0，C：ρ＝4cosθ?ρ2＝4ρcosθ,∴C：x2＋y2＝4x,即(x－2)2＋y2＝4,∴C(2，0),r＝2.∴点C到直线l的距离d＝|2－0－4|2＝2，∴所求弦长＝2r2－d2＝22.故选D.]2.B[曲线x＝－1＋cosθ，y＝2＋sinθ(θ为参数)的普通方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝1,该曲线为圆,圆心(－1，2)为曲线的对称中心,其在直线y＝－2x上,故选B.]3.A[∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴y＝1－x化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρ＝1cosθ＋sinθ.∵0≤x≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤π2.故选A.]4.2[直线的直角坐标方程为x－3y－1＝0,圆的直角坐标方程为x2＋y2＝2x,即(x－1)2＋y2＝1.圆心坐标为(1，0)，半径r＝1.点(1，0)在直线x－3y－1＝0上，所以|AB|＝2r＝2.]5.解(1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2,C1是以(0，1)为圆心,a为半径的圆.将x＝ρcosθ,y＝ρsinθ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0，ρ＝4cosθ.若ρ≠0，由方程组得16cos2θ-8sinθcosθ+1-a2＝0,由已知tanθ＝2,可得16cos2θ-8sinθcosθ＝0，从而1-a2＝0，解得a＝-1(舍去)，a＝1.a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上.所以a＝1.6.解(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R).设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.|AB|＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝144cos2α－44.由|AB|＝10得cos2α＝38，tanα＝±153.所以l的斜率为153或－153.7.解(1)C1的普通方程为x23＋y2＝1.C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(3cosα，sinα).因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2距离d(α)的最小值，d(α)＝|3cosα＋sinα－4|2＝2sinα＋π3－2.当且仅当α＝2kπ＋π6(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为32，12.8.522[依题已知直线l：2ρsinθ－π4＝2和点A22，7π4可化为l：x-y+1＝0和A(2,-2)，所以点A到直线l的距离为d＝|2－（－2）＋1|12＋（－1）2＝522.]9.1[在平面直角坐标系下,点2，π3化为(1,3),直线方程为：x＋3y＝6,∴点(1,3)到直线的距离为d＝|1＋3×3－6|2＝|－2|2＝1.]10.6[由ρ＝8sinθ得x2＋y2＝8y，即x2＋(y－4)2＝16，由θ＝π3得y＝3x，即3x－y＝0，∴圆心(0,4)到直线y＝3x的距离为2,圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝π3的最大距离为4＋2＝6.]11.(2,π)[直线l的直角坐标方程为y＝x＋2,由ρ2cos2θ＝4得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4,直角坐标方程为x2－y2＝4,把y＝x＋2代入双曲线方程解得x＝－2,因此交点为(-2，0),其极坐标为(2,π).]12.解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2＋22ρ22sinθ－22cosθ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为6.13.解(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0,得ρ2－32ρ＋4＝0,解得ρ1＝22,ρ2＝2.故ρ1－ρ2＝2,即|MN|＝2.由于C2的半径为1，所以△C2MN为等腰直角三角形，所以△C2MN的面积为12.14.解①消去参数t，得到圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.由2ρsinθ－π4＝m，得ρsinθ－ρcosθ－m＝0.所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.②依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即|1－（－2）＋m|2＝2，解得m＝－3±22.15.解(1)ρ＝2cosθ等价于ρ2＝2ρcosθ.①将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②(2)将x＝5＋32t，y＝3＋12t代入②式，得t2＋53t＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.16.(3，1)[曲线C1为射线y＝33x(x≥0).曲线C2为圆x2＋y2＝4.设P为C1与C2的交点,如图,作PQ垂直x轴于点Q.因为tan∠POQ＝33，所以∠POQ＝30°，又∵OP＝2，所以C1与C2的交点P的直角坐标为(3，1).]17.5[直线l的普通方程为y＝x＋1，曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，故直线l与曲线C的交点坐标为(1，2).故该点的极径ρ＝x2＋y2＝5.]18.3[圆的直角坐标方程为x2＋y2＝4y，直线的直角坐标方程为y＝a，因为△AOB为等边三角形，则A(±a3，a)，代入圆的方程得a23＋a2＝4a，故a＝3.]19.2·ρcosθ＋π4＝1[曲线C的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，由直线l与曲线C相交所得的弦长|AB|＝2知，AB为圆的直径，故直线l过圆心(2，1)，注意到直线的倾斜角为π4，即斜率为1，从而直线l的普通方程为y＝x－1，从而其极坐标方程为ρsinθ＝ρcosθ－1，即2·ρcosθ＋π4＝1.]20.(1，1)[由ρsin2θ＝cosθ得ρ2sin2θ＝ρcosθ，其直角坐标方程为y2＝x，ρsinθ＝1的直角坐标方程为y＝1，由y2＝x，y＝1得C1和C2的交点为(1，1).]21.解(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得x＝x1，y＝2y1，由x21＋y21＝1得x2＋y22＝1，即曲线C的方程为x2＋y24＝1.故C的参数方程为x＝costy＝2sint(t为参数).(2)由x2＋y24＝1，2x＋y－2＝0解得：x＝1，y＝0或x＝0，y＝2.不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为12，1，所求直线斜率为k＝12，于是所求直线方程为y－1＝12x－12，化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，即ρ＝34sinθ－2cosθ.22.解将直线l的参数方程x＝1－22t，y＝2＋22t代入抛物线方程y2＝4x，得2＋22t2＝41－22t，解得t1＝0，t2＝－82.所以|AB|＝|t1－t2|＝82.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.D[先将极坐标化成直角坐标表示，2，π2化为(0，2)，过(0，2)且平行于x轴的直线为y＝2，再化成极坐标表示，即ρsinθ＝2.故选D.]2.[1－5，1＋5][曲线C1的直角坐标方程为x＋2y－2a＝0，曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝4，圆心为(0，1)，半径为2，若曲线C1，C2有公共点，则有圆心到直线的距离|2－2a2|12＋22≤2，即|a－1|≤5，∴1－5≤a≤1＋5，即实数a的取值范围是[1－5，1＋5].]3.解(1)消去θ得圆的标准方程为x2＋y2＝16.直线l的参数方程为x＝1＋tcosπ6，y＝2＋tsinπ6.即x＝1＋32ty＝2＋12t(t为参数).(2)把直线l的方程x＝1＋32ty＝2＋12t代入x2＋y2＝16.得1＋32t2＋2＋12t2＝16.即t2＋(2＋3)t－11＝0.所以t1·t2＝－11，即|PA|·|PB|＝11.4.解(1)∵2ρsinθ－π4＝10,∴ρsinθ－ρcosθ＝10,直线l的直角坐标方程：x-y+10＝0.曲线C：x＝2cosα，y＝2＋2sinα(α为参数)，消去参数可得曲线C的普通方程：x2＋(y－2)2＝4.(2)由(1)可知，x2＋(y－2)2＝4的圆心(0，2)，半径为2.圆心到直线的距离为：d＝|1×0－1×2＋10|12＋（－1）2＝42，点P到直线l距离的最大值：42＋2.5.解(1)由题，直线l的参数方程为x＝－4＋22t，y＝－2＋22t(其中t为参数).消去直线l参数方程中的参数t得直线l普通方程为y＝x＋2.又由曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.(2)曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ可化为(x－1)2＋y2＝1，设与直线l平行的直线为y＝x＋b，当直线l与曲线C相切时，有|1＋b|2＝1，即b＝－1±2.于是当b＝-1-2时，P到直线l的距离达到最大，最大值为两平行线的距离即|2－（－1－2）|2＝322＋1.(或先求圆心到直线的距离为322，再加上半径1，即为P到直线l距离的最大值322＋1).6.ρcosθ＋ρsinθ＝2[x＝2cost，y＝2sint，两边平方相加得x2＋y2＝2，∴曲线C是以(0，0)为圆心，半径等于2的圆.C在点(1，1)处的切线l的方程为x＋y＝2，令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入x＋y＝2，并整理得ρcosθ＋ρsinθ＝2.]A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·全国Ⅰ，24)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)在图中画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|>1的解集.2.(2016·全国Ⅲ，24)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围.3.(2016·全国Ⅱ，24)已知函数f(x)＝x－12＋x＋12，M为不等式f(x)<2的解集.(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.4.(2015·重庆，16)若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________.5.(2015·陕西，24)已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}.(1)求实数a，b的值；(2)求at＋12＋bt的最大值.6.(2015·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.7.(2015·新课标全国Ⅱ，24)设a、b、c、d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件.8.(2014·广东，9)不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________.9.(2014·湖南，13)若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为x|－53<x<13，则a＝________.10.(2014·重庆，16)若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋12a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________.11.(2014·新课标全国Ⅱ，24)设函数f(x)＝|x＋1a|＋|x－a|(a>0).(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)<5，求a的取值范围.12.(2014·天津，19)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M＝{0,1,2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1,2，…，n}.(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A；(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1,2，…，n.证明：若an<bn，则s<t.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2015·江西师大模拟)若关于x的不等式|x－1|＋|x－3|≤a2－2a－1在R上的解集为?，则实数a的取值范围是()A.a＜－1或a＞3B.a＜0或a＞3C.－1＜a＜3D.－1≤a≤32.(2016·咸阳二模)若不等式x＋1x>|a－2|＋1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是________.3.(2016·湖南长沙模拟)不等式|x－4|＋|x－3|≤a有实数解的充要条件是________.4.(2016·长沙调研)设函数f(x)＝|2x－1|－|x＋2|.(1)求不等式f(x)≥3的解集；(2)若关于x的不等式f(x)≥t2－3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围.5.(2016·武汉模拟)设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.(1)求M；(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤14.6(2016·贵州4月模拟)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.(1)求不等式f(x)≤6的解集；(2)若关于x的不等式f(x)＜|a－1|的解集非空，求实数a的取值范围.7.(2016·石家庄模拟)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2.(1)解不等式|g(x)|＜5；(2)若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围.8.(2015·湖南十三校模拟)设x，y，z∈R，2x＋2y＋z＋8＝0则(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2的最小值为______.9.(2015·陕西西安二模)已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.(1)解关于x的不等式f(x)＋a－1＞0(a∈R)；(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图象的上方，求m的取值范围.\答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.解(1)f(x)＝x－4，x≤－1，3x－2，－1<x≤32，－x＋4，x>32，y＝f(x)的图象如图所示.(2)由f(x)的表达式及图象，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f(x)＝－1时，可得x＝13或x＝5，故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}；f(x)<－1的解集为x|x<13或x>5.所以|f(x)|>1的解集为x|x<13或1<x<3或x>5.2.解(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}.(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解.当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞).3.(1)解f(x)＝－2x，x≤－12，1，－12<x<12，2x，x≥12.当x≤－12时,由f(x)<2得－2x<2，解得x>－1,所以,-1<x≤-12；当-12<x<12时，f(x)<2；当x≥12时，由f(x)<2得2x<2，解得x<1，所以，-12<x<1.所以f(x)<2的解集M＝{x|－1<x<1}.(2)证明由(1)知，当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a＋b)2-(1＋ab)2＝a2＋b2-a2b2-1＝(a2-1)(1-b2)<0，即(a＋b)2<(1＋ab)2，因此|a＋b|<|1＋ab|.4.4或－6[由绝对值的性质知f(x)的最小值在x＝-1或x＝a时取得,若f(-1)＝2|－1-a|＝5,a＝32或a＝－72，经检验均不合适；若f(a)＝5，则|x＋1|＝5，a＝4或a＝－6，经检验合题意，因此a＝4或a＝－6.]5.解(1)由|x＋a|＜b，得－b－a＜x＜b－a，则－b－a＝2，b－a＝4，解得a＝－3，b＝1.(2)－3t＋12＋t＝34－t＋t≤[（3）2＋12][（4－t）2＋（t）2]＝24－t＋t＝4，当且仅当4－t3＝t1，即t＝1时等号成立，故(－3t＋12＋t)max＝4.6.解(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－1<x<1时，不等式化为3x－2>0，解得23<x<1；当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为x23<x<2.(2)由题设可得，f(x)＝x－1－2a，x<－1，3x＋1－2a，－1≤x≤a，－x＋1＋2a，x>a.所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a－13，0,B(2a＋1,0),C(a,a+1)，△ABC的面积为23(a＋1)2.由题设得23(a＋1)2>6，故a>2.所以a的取值范围为(2，＋∞).7.证明(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(a＋b)2＞(c＋d)2.因此a＋b＞c＋d.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)得a＋b＞c＋d.②若a＋b＞c＋d，则(a＋b)2＞(c＋d)2，即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|.综上，a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件.8.{x|x≤－3或x≥2}[原不等式等价于x≥1，（x－1）＋（x＋2）≥5或－2<x<1，－（x－1）＋（x＋2）≥5或x≤－2，－（x－1）－（x＋2）≥5，解得x≥2或x≤－3.故原不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}.]9.－3[依题意，知a≠0.|ax－2|<3?－3<ax－2<3?－1<ax<5，当a>0时，不等式的解集为－1a，5a，从而有5a＝13，－1a＝－53，此方程组无解.当a<0时，不等式的解集为5a，－1a，从而有5a＝－53，－1a＝13，解得a＝－3.]10.－1，12[令f(x)＝|2x-1|＋|x+2|,易求得f(x)min＝52,依题意得a2+12a+2≤52?-1≤a≤12.]11.(1)证明由a>0，有f(x)＝|x＋1a|＋|x－a|≥|x＋1a－(x－a)|＝1a＋a≥2.所以f(x)≥2.(2)解f(3)＝|3＋1a|＋|3－a|.当a>3时，f(3)＝a＋1a，由f(3)<5得3<a<5＋212.当0<a≤3时，f(3)＝6－a＋1a，由f(3)<5得1＋52＜a≤3.综上，a的取值范围是1＋52，5＋212.12.(1)解当q＝2,n＝3时,M＝{0,1},A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22,xi∈M,i＝1,2,3}.可得,A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明由s,t∈A,s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，ai，bi∈M，i＝1，2，…，n及an<bn,可得s-t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(an－1－bn－1)qn－2＋(an－bn)qn－1≤(q-1)＋(q-1)q+…+(q-1)·qn－2－qn－1＝（q－1）（1－qn－1）1－q－qn－1＝-1<0.所以，s<t.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.C[|x－1|＋|x－3|的几何意义是数轴上与x对应的点到1、3对应的两点距离之和,故它的最小值为2,∵原不等式解集为?,∴a2－2a－1＜2.即a2－2a－3＜0,解得－1＜a＜3.故选C.]2.(1,3)[∵x＋1x≥2，∴|a－2|＋1<2，即|a－2|<1，解得1<a<3.]3.a≥1[a≥|x－4|＋|x－3|有解?a≥(|x－4|＋|x－3|)min＝1.]4.解(1)f(x)＝x－3，x≥12，－3x－1，－2≤x＜12，3－x，x＜－2，所以原不等式转化为x≥12，x－3≥3，或－2≤x＜12，－3x－1≥3，或x＜－2，3－x≥3，所以原不等式的解集为－∞，－43∪[6,＋∞).(2)只要f(x)max＜t2－3t，由(1)知f(x)max＝－1＜t2－3t解得t＞3＋52或t＜3－52.即t的取值范围是－∞，3－52∪3＋52，＋∞，5.(1)解由f(x)＝2|x－1|＋x－1≤1可得x≥1，3x－3≤1，①或x＜1，1－x≤1②解①求得1≤x≤43，解②求得0≤x＜1.综上，原不等式的解集为0，43.(2)证明由g(x)＝16x2－8x＋1≤4，求得－14≤x≤34，∴N＝－14，34，∴M∩N＝0，34，∵当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，∴x2f(x)＋x[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝14－x－122≤14，故要证的不等式成立.6.解(1)不等式f(x)≤6，即|2x＋1|＋|2x－3|≤6.可化为①x＜－12，－2x－1＋（3－2x）≤6或②－12≤x≤32，2x＋1＋（3－2x）≤6或③x＞32，2x＋1＋（2x－3）≤6.解①得－1≤x＜－12，解②得－12≤x≤32，解③得32＜x≤2.综上－1≤x≤2.即原不等式的解集为{x|－1≤x≤2}.(2)∵f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4.(当且仅当－12≤x≤32时，等号成立).∴f(x)的最小值为4.∴由题意知|a－1|＞4，解得a＜－3或a＞5.故实数a的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞).7.解(1)由||x－1|＋2|＜5，得－5＜|x－1|＋2＜5，∴－7＜|x－1|＜3，得不等式的解为－2＜x＜4.(2)因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以{y|y＝f(x)}?{y|y＝g(x)}，又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|(2x－a)－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2，所以|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5，所以实数a的取值范围为a≥－1或a≤－5.8.9[[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2](22+22+12)≥[2(x-1)+2(y+2)＋(z-3)]2＝(2x+2y+z－1)2＝81.]9.解(1)不等式f(x)＋a－1＞0即为|x－2|＋a－1＞0，当a＝1时，解集为(－∞，2)∪(2，＋∞)；当a＞1时，解集为R.当a＜1时，解集为(－∞，a＋1)∪(3－a，＋∞).(2)f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方.等价于|x－2|＞－|x＋3|＋m对任意实数x恒成立，即|x－2|＋|x＋3|＞m对任意实数x恒成立.又|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5.于是m＜5.故m的取值范围是(－∞，5).