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2014～2016年高考文科数学汇编详解：第八章立体几何初步第四节直线、平面平行的判定与性质第二节空间几何体的表面积与体积A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅱ，4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为()A.12π B.323πC.8π D.4π2.(2016·新课标全国Ⅱ，7)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A.20π B.24πC.28π D.32π3.(2016·新课标全国Ⅲ，10)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A.18＋365B.54＋185C.90D.814.(2016·新课标全国Ⅲ，11)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()A.4π B.9π2C.6π D.32π35.(2016·新课标全国Ⅰ，7)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是()A.17π B.18πC.20π D.28π6.(2016·山东，5)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为()A.13＋23πB.13＋23πC.13＋26πD.1＋26π7.(2015·新课标全国Ⅰ，11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝()A.1 B.2C.4 D.88.(2015·新课标全国Ⅱ，10)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A.36πB.64πC.44πD.256π9.(2015·安徽，9)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A.1＋3B.1＋22C.2＋3D.2210.(2015·新课标全国Ⅰ，6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题："今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？"其意思为："在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？"已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛11.(2015·新课标全国Ⅱ，6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18 B.17C.16 D.1512.(2015·山东，9)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.22π3 B.42π3C.22π D.42π13.(2015·湖南，10)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的利用率为(材料利用率＝新工件的体积/原工件的体积)()A.89π B.827πC.24?2－1?3π D.8?2－1?3π14.(2014·新课标全国Ⅱ，7)正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2,侧棱长为3,D为BC中点,则三棱锥AB1DC1的体积为()A.3B.32C.1D.3215.(2014·重庆，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.12B.18C.24D.3016.(2014·陕西，5)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A.4πB.3πC.2πD.π17.(2016·浙江，9)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.18.(2016·四川，12)已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________.19.(2016·北京，11)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________.20.(2015·四川，14)在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥PA1MN的体积是________．21．(2014·天津，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.22.(2014·山东，13)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．23.(2015·新课标全国Ⅱ，19)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．24.(2015·湖南，18)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥FAEC的体积．25.(2014·广东，18)如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2.作如图2折叠：折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥MCDE的体积．B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·沈阳市四校联考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如右图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是()A.45，8 B.45，83C.4(5＋1)，83D.8，82.(2016·厦门市质检)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱BC上的一点，则三棱锥D1B1C1E的体积等于()A.13 B.512C.36 D.163.(2016·江西八所重点中学联考)如图，网格纸中的小正方形的边长均为1，图中粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为()A.12(22＋2＋4) B.12(22＋32＋4)C.12(22＋32＋8) D.12(22＋22＋4)4.(2015·湖北八校联考)棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是()A.143 B.4C.103 D.35.(2015·东北三校联考)点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB＝BC＝2，AC＝2，若四面体ABCD体积的最大值为23，则这个球的表面积为()A.125π6 B.8πC.25π4 D.25π166.(2016·河南适应性测试)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm3.7.(2015·豫西五校联考)如图所示(单位：cm)，则图中的阴影部分绕AB所在直线旋转一周所形成的几何体的体积为________.答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.解析由题可知正方体的棱长为2，其体对角线23即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π，故选A.答案A2.解析由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l＝（23）2＋22＝4，所以圆锥的侧面积为S锥侧＝12×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S柱侧＝4π×4＝16π，所以组合体的表面积S＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C.答案C3.解析由题意知，几何体为平行六面体，边长分别为3，3，45，几何体的表面积S＝3×6×2＋3×3×2＋3×45×2＝54＋185.答案B4.解析由题意知，底面三角形的内切圆直径为4，三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为9π2.答案B5.解析由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心O且互相垂直的三个平面)切掉左上角的18后得到的组合体，其表面积是球面面积的78和三个14圆面积之和.易得球的半径为2，则得S＝78×4π×22＋3×14π×22＝17π，故选A.答案A6.解析由三视图知，半球的半径R＝22，四棱锥为底面边长为1，高为1的正四棱锥，∴V＝13×1×1×1＋12×43π×223＝13＋26π，故选C.答案C7.解析由题意知，2r·2r＋12·2πr·2r＋12πr2＋12πr2＋12·4πr2＝4r2＋5πr2＝16＋20π，∴r＝2.答案B8.解析如图，要使三棱锥OABC即COAB的体积最大，当且仅当点C到平面OAB的距离，即三棱锥COAB底面OAB上的高最大，其最大值为球O的半径R，则VOABC最大＝VCOAB最大＝13×12S△OAB×R＝13×12×R2×R＝16R3＝36，所以R＝6，得S球O＝4πR2＝4π×62＝144π.选C.答案C9.解析由几何体的三视图可知空间几何体的直观图如图所示．∴其表面积S表＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋3，故选C.答案C10.解析由题意知：米堆的底面半径为163(尺)，体积V＝13×14πR2·h＝3209(立方尺)．所以堆放的米大约为3209×1.62≈22(斛)．答案B11.解析如图，由题意知，该几何体是正方体ABCDA1B1C1D1被过三点A、B1、D1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥AA1B1D1.设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为VAA1B1D1VB1C1D1ABCD＝VAA1B1D1VA1B1C1D1ABCD－VAA1B1D1＝13×12×12×113－13×12×12×1＝15.选D.答案D12.解析如图，设等腰直角三角形为△ABC，∠C＝90°，AC＝CB＝2，则AB＝22.设D为AB中点，则BD＝AD＝CD＝2.∴所围成的几何体为两个圆锥的组合体，其体积V＝2×13×π×(2)2×2＝42π3.答案B13.解析欲使正方体最大，则其上底面四个顶点需在圆锥上．圆锥体积V1＝13π×12×22＝223π.作几何体截面图，则内接正方体棱长a＝223，正方体体积V2＝a3＝2233＝16227，∴V2V1＝16227×322π＝89π.故选A.答案A14.解析由题意可知AD⊥BC，由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面DB1C1，又AD＝2·sin60°＝3，所以＝13AD·S△＝13×3×12×2×3＝1，故选C.答案C15.解析此几何体是由一个三棱柱截去一个三棱锥得到的，三棱柱和三棱锥的底面都是直角三角形，两直角边长分别为3和4，其面积为6，三棱柱的高为5，三棱锥的高为3，所以该几何体的体积为6×5－13×6×3＝24，选择C.答案C16.解析由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.答案C17.解析由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成，上面正方体的边长为2cm，下面长方体的底面边长为4cm，高为2cm，其直观图如右图，其表面积S＝6×22＋2×42＋4×2×4－2×22＝80(cm2)，体积V＝2×2×2＋4×4×2＝40(cm3).答案804018.解析由三视图可大致画出三棱锥的直观图如图，由正、俯视图可知，△ABC为等腰三角形，且AC＝23，AC边上的高为1，∴S△ABC＝12×23×1＝3.由侧视图可知：三棱锥的高h＝1，∴VSABC＝13S△ABCh＝33.答案3319.解析由三视图知该四棱柱为直四棱柱，底面积S＝（1＋2）×12＝32，高h＝1，所以四棱柱体积V＝S·h＝32×1＝32.答案3220.解析由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱.∵＝，又AA1∥平面PMN，∴＝，∴VAPMN＝13×12×1×12×12＝124，故＝124.答案12421.解析由三视图可得该几何体是组合体，上面是底面圆的半径为2m、高为2m的圆锥，下面是底面圆的半径为1m、高为4m的圆柱，所以该几何体的体积是13×4π×2＋4π＝20π3(m3)．答案20π322.解析由题意可知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h，则13×6×34×22×h＝23，解得h＝1，底面正六边形的中心到其边的距离为3，故侧面等腰三角形底边上的高为3＋1＝2，故该六棱锥的侧面积为12×12×2＝12.答案1223.解(1)交线围成的正方形EHGF如图：(2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因为EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝EH2－EM2＝6，AH＝10，HB＝6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97(79也正确)．24.(1)证明∵△ABC为正三角形，E为BC中点，∴AE⊥BC，∴又B1B⊥平面ABC，AE?平面ABC，∴B1B⊥AE，∴由B1B∩BC＝B知，AE⊥平面B1BCC1，又由AE?平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1.(2)解设AB中点为M，连接CM，则CM⊥AB，由平面A1ABB1⊥平面ABC，且平面A1ABB1∩平面ABC＝AB知，CM⊥面A1ABB1，∴∠CA1M即为直线A1C与平面A1ABB1所成的角，∴∠CA1M＝45°.易知CM＝32×2＝3，在等腰Rt△CMA中，AM＝CM＝3，在Rt△A1AM中，A1A＝A1M2－AM2＝2.∴FC＝12A1A＝22，又S△AEC＝12×34×4＝32，∴V三棱锥FAEC＝13×32×22＝612.25.(1)证明∵PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴PD⊥AD，又四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD.∵PD?平面PCD，CD?平面PCD，且PD∩CD＝D，∴AD⊥平面PCD，∵CF?平面PCD，∴AD⊥CF，又MF⊥CF，MF∩AD＝M，∴CF⊥平面MDF.(2)解∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥CD，又CD＝AB＝1，PC＝2，∴PD＝3.由(1)知CF⊥平面MDF，∴CF⊥DF.∴由S△PCD＝12PD×CD＝12PC×DF得DF＝32，∴CF＝CD2－DF2＝12.∵EF∥CD，∴DEDP＝CFCP，∴DE＝CFCP×DP＝34.∴S△CDE＝12CD×DE＝12×1×34＝38.∵AD⊥平面PCD，即MD⊥平面CDE，且ME＝PE＝PD－ED＝334，∴MD＝ME2－ED2＝2716－316＝62，∴三棱锥MCDE的体积为VMCDE＝13S△CDE×MD＝13×38×62＝216.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.解析由题意得该四棱锥为正四棱锥，其侧棱长为6，四棱锥的高为2，底面正方形的边长为2，所以其侧面积为12×62－12×2×4＝45，体积为13×22×2＝83.答案B2.解析＝13S△＝13×12×1×1×1＝16.答案D3.解析由三视图得该几何体的直观图如图所示，其中AB⊥底面BCD，则由题中数据得AB＝3，BD＝2，BC＝CD＝2，AD＝13，AC＝11，所以AC⊥CD，则该几何体的表面积为12×2×11＋12×3×2＋12×3×2＋12×2×1＝12(22＋32＋8)，故选C.答案C4.解析该截面将正方体分成两个完全相同几何体，因此该几何体的体积为12×23＝4.答案B5.解析如图所示，点O为球的球心，由AB＝BC＝2，AC＝2可知∠ABC＝π2，即△ABC所在的小圆的圆心O1为AC的中点，故AO1＝1，S△ABC＝1，当点D为O1O的延长线与球面的交点时，点D到平面ABC的距离最大，四面体ABCD的体积最大.连接OA，设球的半径为R，则DO1＝R＋R2－1，此时VABCD＝13×S△ABC×DO1＝13(R＋R2－1)＝23，解得R＝54，故这个球的表面积为4π542＝25π4.答案C6.解析由三视图得该几何体可以看作是一个底面为底为4，高为3的三角形，高为8的三棱柱截去两个以三棱柱的底面为底面，高为2的三棱锥后剩余的部分，则其体积为8×12×4×3－2×13×2×12×4×3＝40.答案407.解析由题图中数据，根据圆台和球的体积公式，得V圆台＝13×(π×AD2＋π×AD2×π×BC2＋π×BC2)×AB＝13×π×(AD2＋AD×BC＋BC2)×AB＝13×π×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)，V半球＝43π×AD3×12＝43π×23×12＝163π(cm3)，所以旋转所形成的几何体的体积V＝V圆台－V半球＝52π－163π＝1403π(cm3).答案1403πcm3A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅰ，11)平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为()A.32 B.22C.33 D.13 2.(2016·浙江，2)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A.m∥l B.m∥nC.n⊥l D.m⊥n3.(2015·广东，6)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是()A．l与l1,l2都不相交B．l与l1,l2都相交C．l至多与l1,l2中的一条相交D．l至少与l1,l2中的一条相交4.(2015·湖北，5)l1,l2表示空间中的两条直线,若p：l1,l2是异面直线,q：l1,l2不相交,则()A．p是q的充分条件,但不是q的必要条件B．p是q的必要条件,但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件5.(2015·浙江，4)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l?α，m?β()A.若l⊥β，则α⊥β B.若α⊥β，则l⊥mC.若l∥β，则α∥β D.若α∥β，则l∥m6.(2015·四川，18)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并证明你的结论．(3)证明：直线DF⊥平面BEG.7.(2014·陕西，17)四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.(1)求四面体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形．8.(2014·新课标全国Ⅱ，18)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥PABD的体积V＝34，求A到平面PBC的距离．B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·眉山市一诊)下列说法错误的是()A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B.过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直C.如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直D.如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行2.(2016·汕头市质检)设l，m是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题中正确的是()A.若l∥α，α∩β＝m，则l∥mB.若l∥α，m⊥l，则m⊥αC.若l∥α，m∥α，则l∥mD.若l⊥α，l∥β，则α⊥β3.(2015·山西省三诊)已知a，b，c是三条不同的直线，命题"a∥b且a⊥c?b⊥c"是真命题，如果把a，b，c中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有()A.1个 B.2个C.3个 D.4个4.(2015·太原模拟)已知平面α∥β，且α与β的距离为d(d>0)，m?α，则在β内与直线m的距离为2d的直线共有()A.0条 B.1条C.2条 D.无数条5.(2015·黄冈中学检测)设α，β是两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，命题p：若平面α∥β，l?α，m?β，则l∥m；命题q：l∥α，m⊥l，m?β，则β⊥α，则下列命题为真命题的是()A.p∨q B.p∧qC.(綈p)∨q D.p∧(綈q)6.(2015·深圳二模)对于不重合的两个平面α，β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都平行于γ；②存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.其中，一定能推出α与β平行的条件有()A.1个 B.2个C.3个 D.4个答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.解析如图所示，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，∵α∥平面CB1D1，∴m1∥m，又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m，同理可得CD1∥n.故m、n的所成角的大小与B1D1、CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大小.而B1C＝B1D1＝CD1(均为面对角线)，∴∠CD1B1＝π3，∴sin∠CD1B1＝32，故选A.答案A 2.解析由已知，α∩β＝l，∴l?β，又∵n⊥β，∴n⊥l，C正确.故选C.答案C3.解析若l与l1，l2都不相交则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交．答案D4.解析由l1，l2是异面直线，可得l1，l2不相交，所以p?q；由l1，l2不相交，可得l1，l2是异面直线或l1∥l2，所以q?/p.所以p是q的充分条件，但不是q的必要条件．故选A.答案A5.解析选项A：∵l⊥β，l?α，∴α⊥β，A正确；选项B：α⊥β，l?α，m?β，l与m位置关系不固定；选项C，∵l∥β，l?α，∴α∥β或α与β相交；选项D：∵α∥β，l?α，m?β.∴此时l与m位置关系不固定，故选A.答案A6.(1)解点F，G，H的位置如图所示．(2)证明平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCDEFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是BCHE为平行四边形，所以BE∥CH，又CH?平面ACH，BE?平面ACH，所以BE∥平面ACH，同理BG∥平面ACH，又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明连接FH，因为ABCDEFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH，因为EG?平面EFGH，所以DH⊥EG，又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD，又DF?平面BFHD，所以DF⊥EG，同理DF⊥BG，又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.7.(1)解由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝CD＝2，AD＝1，∴AD⊥平面BDC，∴四面体体积V＝13×12×2×2×1＝23.(2)证明∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形．又∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．8.(1)证明设BD与AC的交点为O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB.又因为EO?平面AEC，PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC.(2)解V＝16PA·AB·AD＝36AB，由V＝34，可得AB＝32.作AH⊥PB交PB于H，由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，所以AH⊥平面PBC.在Rt△PAB中，PB＝132，所以AH＝PA·ABPB＝31313，即A到平面PBC的距离为31313.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.解析对于D：一个等腰三角形的底放在桌面上，两个腰与桌面所成的角相等，但两腰所在直线不平行.答案D2.解析对于A：l与m可能异面，排除A；对于B：m与α可能平行或相交，排除B；对于C：l与m可能相交或异面，排除C；故选D.答案D3.解析根据题意，可构成四个命题：①面α∥面β，且面α⊥面γ，则面β⊥面γ；②直线a∥面β，且a⊥面γ，则面β⊥面γ；③面α∥面β，且面α⊥直线c，则面β⊥直线c；④面α∥直线b且面α⊥面γ，则直线b⊥面γ，可知①②③为真命题，④中直线b∥面γ也可行.答案C4.解析由题意得平面β内与直线m的距离为2d的直线为以直线m为中心线，半径为2d的圆柱面与平面β的交线，易知交线有2条，故选C.答案C5.解析命题p：l和m可能平行也可能异面，故p为假命题；命题q：α和β可能平行也可能相交，故q为假命题，因此p∨q为假，p∧q为假，(綈p)∨q为真，p∧(綈q)为假.答案C6.解析①可以判定α与β平行；②可以推出α与β平行或相交；③不能推出α与β一定平行，如平面α内不共线的三点不在平面β的同一侧时，α与β相交；④一定可以判定α与β平行，∵可在平面α内作l′∥l，m′∥m，则l′与m′必相交.又l∥β，m∥β，∴l′∥β，m′∥β，∴α∥β.故选B.答案BA组三年高考真题（2016～2014年）1.(2014·辽宁，4)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是()A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m⊥α，n?α，则m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，则n∥αD.若m∥α，m⊥n，则n⊥α2.(2016·新课标全国Ⅲ，19)如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点.(1)证明：MN∥平面PAB；(2)求四面体NBCM的体积.3.(2015·北京，18)如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC，且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积．4.(2015·广东，18)如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.(1)证明：BC∥平面PDA；(2)证明：BC⊥PD；(3)求点C到平面PDA的距离．5.(2015·江苏，16)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.6.(2015·山东，18)如图，三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.7.(2014·四川，18)在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．(1)若AC⊥BC,证明：直线BC⊥平面ACC1A1；(2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．8.(2014·山东，18)如图，四棱锥PABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝12AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：BE⊥平面PAC.9.(2014·安徽，19)如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·河南实验中学质量检测)已知直线m，n和平面α，则m∥n的一个必要条件是()A.m∥α，n∥α B.m⊥α，n⊥αC.m∥α，n?α D.m，n与α成等角2.(2016·四川资阳高考模拟)下列关于空间的直线和平面的叙述正确的是()A.平行于同一平面的两直线平行B.垂直于同一平面的两平面平行C.如果两条互相垂直的直线分别平行于两个不同的平面，那么这两个平面平行D.如果一个平面内一条直线垂直于另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直3.(2016·山东威海一模)关于两条不同的直线m，n与两个不同的平面α，β，下列命题正确的是()A.m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nB.m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m∥nC.m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥nD.m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n4.(2016·贵州4月适应性考试)已知α，β表示两个不同平面，a，b表示两条不同直线，对于下列两个命题：①若b?α，a?α，则"a∥b"是"a∥α"的充分不必要条件；②若a?α，b?α，则"α∥β"是"a∥β且b∥β"的充要条件.判断正确的是()A.①，②都是真命题B.①是真命题，②是假命题C.①是假命题，②是真命题D.①，②都是假命题5.(2015·辽宁大连检测)已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是()A.若m∥α，n∥α，则m∥n B.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC.若m∥α，m∥β，则α∥β D.若m⊥α，n⊥α，则m∥n6.(2015·江西九校联考)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1＝AC＝2AB＝2，且BC1⊥A1C.(1)求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；(2)设D是A1C1的中点，在线段BB1上是否存在点E，使DE∥平面ABC1？若存在，求三棱锥EABC1的体积；若不存在，请说明理由.答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.解析若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面，故A错；B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n?α，故C错误；若m∥α，m⊥n，则n与α可能平行、相交或n?α，故D错误．因此选B.答案B2.(1)证明由已知得AM＝23AD＝2.取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝12BC＝2.又AD∥BC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为AT?平面PAB，MN?平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)解因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为12PA.取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝AB2－BE2＝5.由AM∥BC得M到BC的距离为5，故S△BCM＝12×4×5＝25.所以四面体NBCM的体积VNBCM＝13×S△BCM×PA2＝453.3.解(1)因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB，又因为VB?平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC?平面ABC，所以OC⊥平面VAB.所以平面MOC⊥平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，所以AB＝2，OC＝1，所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝3.又因为OC⊥平面VAB.所以三棱锥CVAB的体积等于13·OC·S△VAB＝33，又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为33.4.解(1)因为四边形ABCD是长方形，所以BC∥AD，因为BC?平面PDA，AD?平面PDA，所以BC∥平面PDA.(2)因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD，因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面PDC，因为PD?平面PDC，所以BC⊥PD.(3)取CD的中点E，连接AE和PE.因为PD＝PC，所以PE⊥CD，在Rt△PED中，PE＝PD2－DE2＝42－32＝7.因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PE?平面PDC，所以PE⊥平面ABCD，由(2)知：BC⊥平面PDC，由(1)知：BC∥AD，所以AD⊥平面PDC，因为PD?平面PDC，所以AD⊥PD.设点C到平面PDA的距离为h，因为V三棱锥CPDA＝V三棱锥PACD，所以13S△PDA·h＝13S△ACD·PE，即h＝S△ACD·PES△PDA＝12×3×6×712×3×4＝372，所以点C到平面PDA的距离是372.5.证明(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，所以DE∥AC.又因为DE?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC?平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1?平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥B1C.因为AC，B1C?平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1?平面B1AC，所以BC1⊥AB1.6.证明(1)方法一连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形．则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM∥BD，又HM?平面FGH，BD?平面FGH，所以BD∥平面FGH.方法二在三棱台DEFABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形HBEF为平行四边形，可得BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.又因为BD?平面ABED，所以BD∥平面FGH.(2)连接HE，因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH?平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC?平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.7.(1)证明因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.因为AB，AC为平面ABC内两条相交直线，所以AA1⊥平面ABC.因为直线BC?平面ABC，所以AA1⊥BC.又由已知，AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交直线，所以BC⊥平面ACC1A1.(2)解取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点．由已知可知，O为AC1的中点．连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，所以，MD綉12AC，OE綉12AC，所以MD綉OE.连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.因为直线DE?平面A1MC，MO?平面A1MC，所以直线DE∥平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.8.证明(1)设AC∩BE＝O，连接OF，EC.由于E为AD的中点，AB＝BC＝12AD，AD∥BC，所以AE∥BC，AE＝AB＝BC，所以四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点．又F为PC的中点，所以在△PAC中，可得AP∥OF.又OF?平面BEF，AP?平面BEF，所以AP∥平面BEF.(2)由题意知ED∥BC，ED＝BC.所以四边形BCDE为平行四边形，所以BE∥CD.又AP⊥平面PCD，所以AP⊥CD，所以AP⊥BE.因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.又AP∩AC＝A，AP、AC?平面PAC，所以BE⊥平面PAC.9.(1)证明因为BC∥平面GEFH，BC?平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可证EF∥BC，所以GH∥EF.(2)解连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，所以PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD，且PO?平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，所以GK⊥EF，所以GK是梯形GEFH的高．由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，所以KB＝14DB＝12OB，即K为OB的中点．再由PO∥GK得GK＝12PO，即G是PB的中点，且GH＝12BC＝4.由已知可得OB＝42，PO＝PB2－OB2＝68－32＝6，所以GK＝3.故四边形GEFH的面积S＝GH＋EF2·GK＝4＋82×3＝18.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.解析若m∥n，则m，n与平面α平行、相交、在平面上都有可能；平行所成的角一定相等，反之不成立.答案D2.解析对于A，两直线平行，相交，异面均有可能；对于B，两平面也可能相交；对于D，两平面也可能平行，故A、B、D错误，C正确.答案C3.解析由m⊥α，α∥β得m⊥β，又n∥β，所以m⊥n.答案C4.解析由b?α,a?α,a∥b,可得a∥α,反之由a∥α,b?α可知a与b平行或异面,①正确；对于②,若a∥b,则由a?α,b?α,a∥β,b∥β不能得到α∥β,故②错误.答案B5.解析对于A,同时平行于平面α的两直线可能相交、平行、异面,因此A不正确；对于B,垂直于同一平面的两个平面未必平行,它们也可能是相交的两个平面,因此B不正确；对于C,平行于同一直线的两个平面未必平行,它们也可能是相交的两个平面，因此C不正确；对于D,由垂直于同一平面的两条直线平行可知，D正确.故选D.答案D6.(1)证明在直三棱柱ABCA1B1C1中，有A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥AC，又A1A＝AC，四边形ACC1A为正方形，∴A1C⊥AC1.又BC1⊥A1C，且BC1∩AC1＝C1，∴A1C⊥平面ABC1，又A1C?平面ABC1，∴平面ABC1⊥平面A1ACC1.(2)解存在.取A1A的中点F，连接EF，FD，当E为B1B中点时，EF∥AB，DF∥AC1.又EF∩DF＝F，AB∩AC1＝A，∴平面EFD∥平面ABC1，又ED?平面EFD，∴ED∥平面ABC1.当E为BB1中点时，＝＝13×12×1×1×2＝13.第五节直线、平面垂直的判定与性质A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2014·浙江，6)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()A.若m⊥n，n∥α，则m⊥αB.若m∥β，β⊥α，则m⊥αC.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α2.(2016·新课标全国Ⅰ，18)如图，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，PA＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.(1)证明：G是AB的中点；(2)作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积.3.(2016·新课标全国Ⅱ，19)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.(1)证明：AC⊥HD′；(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝54，OD′＝22，求五棱锥D′ABCFE的体积.4.(2016·北京，18)如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由.5.(2016·浙江，18)如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.(1)求证：BF⊥平面ACFD；(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.6.(2016·四川，17)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝12AD.(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由.(2)证明：平面PAB⊥平面PBD.7.(2015·新课标全国Ⅰ，18)如图，四边形ABCD为菱形，G是AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥EACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积．8.(2015·安徽，19)如图，三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.(1)求三棱锥P?ABC的体积；(2)证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求PMMC的值．9.(2015·湖北，20)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE.(1)证明：DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；(2)记阳马P-ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求V1V2的值．10.(2015·浙江，18)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D为B1C1的中点．(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．11.(2015·天津，17)如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝25，AA1＝7，BB1＝27，点E和F分别为BC和A1C的中点．(1)求证：EF∥平面A1B1BA；(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1；(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．12.(2014·重庆，20)如图，四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝π3，M为BC上一点，且BM＝12.(1)证明：BC⊥平面POM；(2)若MP⊥AP，求四棱锥PABMO的体积．13.(2014·新课标全国Ⅰ，19)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明：B1C⊥AB；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABCA1B1C1的高．B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·河南八市重点高中4月质量检测)已知直线l与平面α相交但不垂直，m为空间内一条直线，则下列结论可能成立的是()A.m∥l，m⊥α B.m∥l，m∥αC.m⊥l，m⊥α D.m⊥l，m∥α2.(2015·泉州模拟)如图所示，AB是⊙O的直径，VA垂直于⊙O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是()A.MN∥ABB.MN与BC所成的角为45°C.OC⊥平面VACD.平面VAC⊥平面VBC3.(2015·山东泰安普通高中联考)设α、β、γ是三个互不重合的平面，m、n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是()A.若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB.若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC.若α⊥β，m⊥β，则m∥βD.若α∥β，m?β，且m∥α，则m∥β4.(2015·河南六市联考)已知m，n分别是两条不重合的直线，a，b分别垂直于两个不重合的平面α，β，有以下四个命题：①若m⊥a，n∥b，且α⊥β，则m∥n；②若m∥a，n∥b，且α⊥β，则m⊥n；③若m∥a，n⊥b，且α∥β，则m⊥n；④若m⊥a，n⊥b，且α⊥β，则m∥n.其中真命题的序号是()A.①② B.③④C.①④ D.②③5.(2015·潍坊4月模拟)已知m，n为异面直线，α，β为两个不同的平面，m⊥α，n⊥β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则()A.α∥β，且l∥αB.α⊥β，且l⊥βC.α与β相交，且交线垂直于lD.α与β相交，且交线平行于l6.(2015·北京西城区检测)如图，在空间四边形ABCD中，两条对角线AC，BD互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边AB，BC，CD，DA分别相交于点E，F，G，H，记四边形EFGH的面积为y，设BEAB＝x，则()A.函数y＝f(x)的值域为(0，4]B.函数y＝f(x)的最大值为8C.函数y＝f(x)在0，23上单调递减D.函数y＝f(x)满足f(x)＝f(1－x)7.(2016·河南郑州一中第二次模拟)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.(1)求证：AD⊥平面BFED；(2)已知点P在线段EF上，EPPF＝2，求三棱锥EAPD的体积.8.(2015·山西康杰中学期中)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是AB的中点.(1)证明：BD1∥平面A1DE；(2)证明：D1E⊥A1D；(3)求二面角D1ECD的正切值.答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.解析选项A、B、D中m均可能与平面α平行、垂直、斜交或在平面α内，故选C.答案C2.(1)证明因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB⊥PD.因为D在平面PAB内的正投影为E，所以AB⊥DE.所以AB⊥平面PED，所以AB⊥PG.又由已知可得PA＝PB，从而G是AB的中点.(2)解在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，所以EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影.连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心.由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，所以CD＝23CG.由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，所以PE＝23PG，DE＝13PC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA＝6，可得DE＝2，PE＝22.在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2.所以四面体PDEF的体积V＝13×12×2×2×2＝43.3.(1)证明由已知得AC⊥BD，AD＝CD，又由AE＝CF得AEAD＝CFCD，故AC∥EF，由此得EF⊥HD，折后EF与HD保持垂直关系，即EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.(2)解由EF∥AC得OHDO＝AEAD＝14.由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝AB2－AO2＝4，所以OH＝1，D′H＝DH＝3，于是OD′2＋OH2＝(22)2＋12＝9＝D′H2，所以OD′⊥OH.由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，所以AC⊥平面DHD′，于是AC⊥OD′，又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.又由EFAC＝DHDO得EF＝92，五边形ABCFE的面积S＝12×6×8－12×92×3＝694，所以五棱锥D′ABCFE的体积V＝13×694×22＝2322.4.(1)证明∵PC⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，∴PC⊥DC.又AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC?平面PAC，AC?平面PAC，∴CD⊥平面PAC.(2)证明∵AB∥CD，CD⊥平面PAC，∴AB⊥平面PAC，又AB?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC.(3)解棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.证明如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又因为E为AB的中点，∴EF为△PAB的中位线，∴EF∥PA.又PA?平面CEF，EF?平面CEF，∴PA∥平面CEF.5.(1)证明延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示，因为平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，所以BF⊥AC.又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.所以BF⊥平面ACFD.(2)解因为BF⊥平面ACK，所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.在Rt△BFD中，BF＝3，DF＝32，得cos∠BDF＝217.所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为217.6.(1)解取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点，理由如下：因为AD∥BC，BC＝12AD，所以BC∥AM，且BC＝AM.所以四边形AMCB是平行四边形，所以CM∥AB.又AB?平面PAB，CM?平面PAB，所以CM∥平面PAB.(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)证明由已知，PA⊥AB，PA⊥CD.因为AD∥BC，BC＝12AD，所以直线AB与CD相交，所以PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.因为AD∥BC，BC＝12AD，所以BC∥MD，且BC＝MD，所以四边形BCDM是平行四边形，所以BM＝CD＝12AD，所以BD⊥AB.又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB.又BD?平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.7.解(1)因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.所以AC⊥平面BED，又AC?平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝32x，GB＝GD＝x2.因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝32x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝22x.由已知得，三棱锥EACD的体积VEACD＝13×12AC·GD·BE＝624x3＝63.故x＝2，从而可得AE＝EC＝ED＝6.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为5，故三棱锥EACD的侧面积为3＋25.8.(1)解由题设AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，可得S△ABC＝12·AB·AC·sin60°＝32.由PA⊥平面ABC，可知PA是三棱锥P?ABC的高，又PA＝1，所以三棱锥P?ABC的体积V＝13·S△ABC·PA＝36.(2)证明在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N，在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM.由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC.由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN，又BM?平面MBN，所以AC⊥BM.在Rt△BAN中，AN＝AB·cos∠BAC＝12，从而NC＝AC－AN＝32，由MN∥PA得PMMC＝ANNC＝13.9.解(1)因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD.而DE?平面PCD，所以BC⊥DE.又因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC.而PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC.由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB.(2)由已知，PD是阳马PABCD的高，所以V1＝13SABCD·PD＝13BC·CD·PD；由(1)知，DE是鳖臑DBCE的高，BC⊥CE，所以V2＝13S△BCE·DE＝16BC·CE·DE.在Rt△PDC中，因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE＝CE＝22CD，于是V1V2＝13BC·CD·PD16BC·CE·DE＝2CD·PDCE·DE＝4.10.(1)证明设E为BC的中点，由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE，因为AB＝AC，所以AE⊥BC，所以AE⊥平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，所以AA1DE为平行四边形，于是A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)解作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.因为BC⊥AE，所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1F，A1F⊥平面BB1C1C，所以∠A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角．由AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，得EA＝EB＝2.由A1E⊥平面ABC，得A1A＝A1B＝4，A1E＝14.由DE＝BB1＝4，DA1＝EA＝2，∠DA1E＝90°，得A1F＝72.所以sin∠A1BF＝78.11.(1)证明如图，连接A1B.在△A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF∥BA1.又因为EF?平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA.(2)证明因为AB＝AC，E为BC中点，所以AE⊥BC，因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC，从而BB1⊥AE.又因为BC∩BB1＝B，所以AE⊥平面BCB1，又因为AE?平面AEA1，所以平面AEA1⊥平面BCB1.(3)解取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE.因为N和E分别为B1C和BC的中点，所以NE∥B1B，NE＝12B1B，故NE∥A1A且NE＝A1A，所以A1N∥AE，且A1N＝AE.又因为AE⊥平面BCB1，所以A1N⊥平面BCB1，从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角．在△ABC中，可得AE＝2，所以A1N＝AE＝2.因为BM∥AA1，BM＝AA1，所以A1M∥AB，A1M＝AB，又由AB⊥BB1，有A1M⊥BB1.在Rt△A1MB1中，可得A1B1＝B1M2＋A1M2＝4.在Rt△A1NB1中，sin∠A1B1N＝A1NA1B1＝12，所以∠A1B1N＝30°，所以直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°.12.(1)证明如图，因为四边形ABCD为菱形，O为菱形中心，连接OB，则AO⊥OB.因为∠BAD＝π3，所以OB＝AB·sin∠OAB＝2sinπ6＝1，又因为BM＝12，且∠OBM＝π3，在△OBM中，OM2＝OB2＋BM2－2OB·BM·cos∠OBM＝12＋(12)2－2×1×12×cosπ3＝34.所以OB2＝OM2＋BM2，所以OM⊥BM.又PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM，PO都垂直，所以BC⊥平面POM.(2)解由(1)可得，OA＝AB·cos∠OAB＝2×cosπ6＝3.设PO＝a，由PO⊥底面ABCD知，△POA为直角三角形，故PA2＝PO2＋OA2＝a2＋3.由△POM也是直角三角形，故PM2＝PO2＋OM2＝a2＋34.连接AM，在△ABM中，AM2＝AB2＋BM2－2AB·BM·cos∠ABM＝22＋122－2×2×12×cos2π3＝214.由已知MP⊥AP，故△APM为直角三角形，则PA2＋PM2＝AM2，即a2＋3＋a2＋34＝214，得a＝32，a＝－32(舍去)，即PO＝32.此时S四边形ABMO＝S△AOB＋S△OMB＝12·AO·OB＋12·BM·OM＝12×3×1＋12×12×32＝538.所以四棱锥PABMO的体积VPABMO＝13·S四边形ABMO·PO＝13×538×32＝516.13.(1)证明连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1.又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，又因为BC1∩AO＝O，所以B1C⊥平面ABO.由于AB?平面ABO，故B1C⊥AB.(2)解作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.作OH⊥AD，垂足为H.因为BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD＝O，所以BC⊥平面AOD，所以OH⊥BC.又OH⊥AD，所以OH⊥平面ABC.因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形，又BC＝1，可得OD＝34.因为AC⊥AB1，所以OA＝12B1C＝12.由OH·AD＝OD·OA，且AD＝OD2＋OA2＝74，得OH＝2114.又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为217.故三棱柱ABCA1B1C1的高为217.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.解析由l与α相交但不垂直知：若m∥l，则m与α相交但不垂直，故A，B错误；若m⊥l，则m?α或m∥α，若m与α相交但不垂直，故C错误，D正确.答案D2.解析∵VM＝MA，VN＝NC，∴MN∥AC，又∵AC∩AB＝A，∴MN和AB不可能平行，排除A；∵VA⊥面ABC，∴VA⊥BC，又∵BC⊥AC，∴BC⊥面VAC，∴面VBC⊥面VAC，故D正确，∵BC⊥MN，排除B；∵∠OCA≠90°，∴OC和面VAC不垂直，排除C，故选D.答案D3.解析对于A，若α⊥β，β⊥γ，α，γ可以平行，也可以相交，对于B，若m∥α，n∥β，α⊥β，则m，n可以平行，对于C，若α⊥β，m⊥α，则m可以在平面β内，选项D正确.答案D4.解析①中m，n不一定平行，还可能垂直.④中m，n不一定平行，还可能异面.答案D5.解析由于m，n为异面直线，m⊥α，n⊥β，则α与β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D.答案D6.解析∵BEBA＝EFAC＝x，∴EH＝6(1－x)，∵AEAB＝EHBD＝1－x，∴EF＝4x，故y＝EH·EF＝－24x2＋24x，x∈(0，1)，所以y∈(0，6]，其对称轴为x＝12，故在0，12上单调递增，12，1上单调递减，f(1－x)＝－24[(1－x)2－(1－x)]＝f(x).答案D7.解(1)在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，∴AB＝2，∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos60°＝3.∴AB2＝AD2＋BD2，∴AD⊥BD.∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD＝BD，DE?平面BEFD，DE⊥DB，∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AD，又DE∩BD＝D，∴AD⊥平面BFED.(2)由(1)知BD⊥平面ADE，∵BD∥EF，∴PE⊥平面ADE，且PE＝233，∴VEAPD＝VPADE＝13S△ADE|PE|＝13×12×233＝39.8.(1)证明连接AD1交A1D于O，连接EO，则O为AD1的中点，又因为E是AB的中点，所以OE∥BD1，又∵OE?平面A1DE，BD1?平面A1DE，∴BD1∥平面A1DE.(2)证明由题意可知：四边形ADD1A1是正方形，∴A1D⊥AD1，又∵AB⊥平面ADD1A1，A1D?平面ADD1A1，∴AB⊥A1D.又∵AB?平面AD1E，AD1?平面AD1E，AB∩AD1＝A，∴A1D⊥平面AD1E.又∵D1E?平面AD1E，∴A1D⊥D1E.(3)解在△CED中，CD＝2，DE＝AD2＋AE2＝2，CE＝CB2＋BE2＝2，∴CD2＝CE2＋DE2，∴CE⊥DE，又∵D1D⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，∴CE⊥D1D，又∵D1D?平面D1DE，DE?平面D1DE，D1D∩DE＝D，∴CE⊥平面D1DE.又∵D1E?平面D1DE，∴CE⊥D1E，∴∠D1ED是二面角D1ECD的一个平面角，在△D1ED中，∠D1DE＝90°，D1D＝1，DE＝2，∴tan∠D1ED＝D1DDE＝12＝22，∴二面角D1ECD的正切值是22.第一节空间几何体的结构及其三视图、直观图A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·北京，7)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A.1B.2C.3D.2第1题图第2题图2.(2015·重庆，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.13＋2πB.13π6C.7π3D.5π23.(2015·陕西，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.3π B.4πC.2π＋4 D.3π＋4第3题图第4题图4.(2015·浙江，2)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是()A．8cm3B．12cm3C.323cm3D.403cm35.(2015·福建，9)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A.8＋22 B.11＋22C.14＋22 D.156.(2014·辽宁，7)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.8－π4B.8－π2C.8－πD.8－2π7.(2014·浙江，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A.72cm3 B.90cm3C.108cm3 D.138cm38.(2014·新课标全国Ⅰ，8)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱9.(2014·新课标全国Ⅱ，6)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A.1727B.59C.1027D.1310．(2015·天津，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.11.(2014·北京，11)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·成都市一诊)若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是()2.(2016·湖南衡阳大联考)如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为()A.4B.42C.43D.83.(2016·桂林市一调)已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的()4.(2016·石家庄二中一模)如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值为()A.4 B.5C.32 D.335.(2015·北京朝阳区期末)一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A.1 B.2C.3 D.46.(2015·山西质量监测)某几何体的正视图与俯视图如图所示，若俯视图中的多边形为正六边形，则该几何体的侧视图的面积为()A.152 B.6＋3C.32＋33 D.437.(2015·江西师大附中、宜春中学联考)某几何体的直观图如图所示，该几何体的正视图和侧视图可能正确的是()8.(2015·辽宁沈阳质量监测)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为()A.1 B.52C.6 D.23答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.解析四棱锥的直观图如图所示，PC⊥平面ABCD，PC＝1，底面四边形ABCD为正方形且边长为1，最长棱长PA＝12＋12＋12＝3.答案C2.解析该几何体由一个圆柱和一个从轴截面截开的"半圆锥"组成，其体积为V＝π×12×2＋12×13π×12×1＝2π＋π6＝13π6.答案B3.解析由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为：S＝2×12π×12＋12×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝4＋3π.答案D4.解析由三视图可知该几何体是由棱长为2cm的正方体与底面为边长为2cm正方形、高为2cm的四棱锥组成，V＝V正方体＋V四棱锥＝8cm3＋83cm3＝323cm3.故选C.答案C5.解析该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱．S表＝2×12(1＋2)×1＋2×1＋2×1＋2×2＋2×2＝11＋22，故选B.答案B6.解析该几何体是一个正方体截去两个四分之一圆柱形成的组合体，其体积V＝23－14×π×12×2×2＝8－π，故选C.答案C7.解析由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积V＝V四棱柱＋V三棱柱＝4×6×3＋12×4×3×3＝90(cm3)．答案B8.解析由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，分析可知该几何体为三棱柱，答案B9.解析由三视图可知该零件是一个底面半径为2、高为4的圆柱和一个底面半径为3、高为2的圆柱的组合体，所以该组合体的体积V1＝π·22·4＋π·32·2＝34π，原来的圆柱体毛坯的体积为V＝π·32·6＝54π，则切削掉部分的体积为V2＝54π－34π＝20π，所以切削掉部分的体积与原来的圆柱体毛坯体积的比值为20π54π＝1027.故选C.答案C10.解析由所给三视图可知，该几何体是由相同底面的两圆锥和一圆柱组成，底面半径为1，圆锥的高为1，圆柱的高为2，所以其体积V＝2×13×π×12×1＋π×12×2＝83π.答案83π11.解析三视图所表示的几何体的直观图如图所示．结合三视图知，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝BC＝2，AC＝2，所以PB＝PA2＋AB2＝4＋2＝6，PC＝PA2＋AC2＝22，所以该三棱锥最长棱的棱长为22.答案22B组两年模拟精选(2016～2015年)1.解析由题意知，俯视图的长度和宽度相等，故C不可能.答案C2.解析由三视图可知，几何体直观图如图所示，面积最小的面为面VAB，其面积为12×2×42＝42.答案B3.解析只有C项合适.答案C4.解析由三视图知该几何体是一个直三棱柱和一个三棱锥的组合体，如图所示.由图知AC和BD的长为几何体上任意两点间的距离的最大值，即为32＋32＋32＝33，故选D.答案D5.解析满足条件的四棱锥的底面为矩形，且一条侧棱与底面垂直，如图所示，易知该四棱锥四个侧面均为直角三角形.答案D6.解析由题意得该几何体的侧视图由一个底为3，高为3的等腰三角形和一个长为3，宽为2的矩形组成，则其面积为12×3×3＋2×3＝152，故选A.答案A7.解析将几何体置于正方体中，正视图和侧视图可能正确的是A，故选A.答案A8.解析由三视图在正方体中画出该几何体为三棱锥DABC，计算得知面积最大的面为平面ABD，其面积为12×22×（22）2－（2）2＝23，答案D