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免费2013-2017年五年高考数学(理)分类汇编解析：第16章-选讲内容第十六章选讲内容第1节极坐标与参数方程（选修4-4）题型160极坐标方程化直角坐标方程1.(2013安徽理7）在极坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）.A.和B.和C.和D.和2.(2013天津理11）已知圆的极坐标方程为，圆心为，点的极坐标为，则.3.(2013重庆理15）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为的直线与曲线（为参数）相交于两点，则.4.（2013湖北理16）在直角坐标系中，椭圆的参数方程为(为参数，)，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线与圆的极坐标方程分别为（为非零数）与．若直线经过椭圆的焦点，且与员相切，则椭圆的离心率为．5.（2013福建理21）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点在直线上．（1）求的值及直线的直角坐标方程；（2）圆的参数方程为，试判断直线与圆的位置关系.6.（2014重庆理15）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，则直线与曲线的公共点的极径________.7.（2014天津理13）在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点.若是等边三角形，则的值为___________.8.（2014陕西理15）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点到直线的距离是.9.（2014湖北理16）（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为________.10.（2014广东理14）（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线和的方程分别为和，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线和的交点的直角坐标为.11.（2014安徽理4）以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程是（为参数），圆的极坐标方程是，则直线被圆截得的弦长为（）.A.B.C.D.12.（2014新课标2理23）（本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为，.（1）求的参数方程； （2）设点在上，在处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定的坐标.13.（2015陕西理23）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．(1)写出的直角坐标方程；(2)为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标．13.解析（1）由，从而有.(2)，所以当时，取得最小值，此时点的直角坐标为.14.（2015北京理11）在极坐标中，点到直线的距离为.14.解析极坐标中的点对应直角坐标系中的点为，极坐标方程对应的直角坐标系方程为，根据点到直线的距离公式.15.（2015广东理14）已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为，则点到直线的距离为．15.解析依题已知直线和点可化为直线和点，所以点与直线的距离为：．故应填．16.（2015湖北理16）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为(t为参数)，l与C相交于AB两点，则.16．解析因为，所以，所以，即；由消去得.联立方程组，解得或，即，，故17.（2015湖南理16（Ⅱ））已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，，求的值.17.解析2.()等价于.①将，代入①式即得曲线的直角坐标方程是.②()将代入②，得.设这个方程的两个实根分别为，则由参数的几何意义即知＝18.（2015江苏21（C））已知圆的极坐标方程为，求圆的半径．18.解析由题意得，所以，即，从而，即，故圆的半径为．19.（2016北京理11）在极坐标系中，直线圆交于两点，则__________.19.解析解法一：在平面直角坐标系中，题中的直线圆的方程分别是.可得两点的坐标，即为方程组的解，用代入法可求得两点的坐标分别为，所以由两点的距离公式可求得.解法二：直线的直角坐标方程为，圆的直角坐标方程为.圆心在直线上，因此为圆的直径，所以.20.（2016全国丙卷23）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.20.分析（1）利用同角三角函数基本关系中的平方关系曲线的参数方程普通方程，利用公式与代入曲线的极坐标方程即可；（2）利用参数方程表示出点的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立的三角函数表达式，然后求出最值与相应的点坐标即可.解析（1）的普通方程为，的直角坐标方程为.（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值，即为到的距离的最小值，.当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.21.（2017天津理11）在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为___________.21.解析直线化直角坐标方程为，由，得其直角坐标方程为，即，则圆心到直线的距离，知直线与圆相交，得它们的公共点的个数为.22.（2017北京理11）在极坐标系中，点在圆上，点的坐标为，则的最小值为___________.22.解析由，化为普通方程为，即，由圆心为，为，则最小值为1.故选D.23.（2107全国2卷理科22）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．23．解析（1）设，则．由，解得，化直角坐标方程为.（2）联结，易知为正三角形，为定值．所以当高最大时，的面积最大，如图所示，过圆心作垂线，交于点，交圆于点，此时最大，.题型161直角坐标方程化为极坐标方程1.(2013广东理14）已知曲线的参数方程为(为参数)，在点处的切线为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则的极坐标方程为．2.(2013安徽理7）在极坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）.A.和B.和C.和D.和3.（2014湖南理11）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线与曲线（为参数）交于，两点，且，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程是________.4.（2014江西理11）（2）（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段的极坐标方程为（）.A.，B.，C.，D.，5.（2015全国Ⅰ理23）在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求，的极坐标方程；（2）若直线的极坐标为，设与的交点为，，求的面积.5.解析（1）因为，，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为．（2）解法一：的直角坐标系方程为，所以的圆心到直线的距离，所以，所以．解法二：将代入，得，解得，，所以，即．由于的半径为1，所以的面积为．6.（2016全国甲理23）在直角坐标系中，圆的方程为.（1）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；（2）直线的参数方程是（为参数），与交于两点，，求的斜率.6.解析（1）整理圆的方程得，由可知圆的极坐标方程为．（2）解法一：将直线的参数方程代入圆:化简得，，设两点处的参数分别为，则，所以，解得，的斜率.解法二：设，其中，如图所示，圆心到到的距离，故.题型162参数方程化普通方程1.(2013重庆理15）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为的直线与曲线（为参数）相交于两点，则.2.(2013湖南理9）在平面直角坐标系中，若过椭圆，（为参数）的右顶点，则常数.3.（2013湖北理16）在直角坐标系中，椭圆的参数方程为(为参数，)，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线与圆的极坐标方程分别为（为非零数）与．若直线经过椭圆的焦点，且与员相切，则椭圆的离心率为．4.(2013福建理21）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点在直线上．（1）求的值及直线的直角坐标方程；（2）圆的参数方程为，试判断直线与圆的位置关系.5.（2014新课标1理23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线：，直线：（为参数）.（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（2）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.6.（2014江苏理21）[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），直线与抛物线相交于，两点，求线段的长．7.（2014福建理21）B.（本小题满分7分）选修4-4：极坐标与参数方程已知直线的参数方程为，（为参数），圆的参数方程为，（为常数）.（1）求直线和圆的普通方程；（2）若直线与圆有公共点，求实数的取值范围.8.（2014重庆理15）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，则直线与曲线的公共点的极径________.9.（2014湖北理16）（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为________.10.（2014北京理3）曲线（为参数）的对称中心（）.A.在直线上B.在直线上C.在直线上D.在直线上11.（2014安徽理4）以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程是（为参数），圆的极坐标方程是，则直线被圆截得的弦长为（）.A.B.C.D.12.（2015重庆理15）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为，则直线与曲线的交点的极坐标为_______.12.解析由直线的参数方程为参数），得直线方程为①由，得，故②联立式①，式②，解得交点坐标为，所以交点的极坐标为．13.（2015全国Ⅱ23）在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，（1）求与交点的直角坐标；（2）若与相交于点A，与相交于点B，求的最大值.13.分析（1）将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，联立即可求解；.（2）先确定曲线的极坐标方程，进一步求出点的极坐标为，点的极坐标为，由此可得：．解析（1）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为：．联立解得或．所以与交点的直角坐标为和．（2）曲线的极坐标方程为，其中．因此得到极坐标为，的极坐标为．所以，当时，取得最大值，最大值为．命题意图考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，并能求出距离的最值.14.（2015福建理21（2））在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线的方程为．(1)求圆的普通方程及直线的直角坐标方程；(2)设圆心到直线的距离等于2，求的值．14.分析本小题主要考查极坐标与直角坐标系的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．解析（1）消去参数，得到圆的普通方程为．由，得，所以直线的直角坐标方程为．（2）依题意，圆心到直线的距离等于2，即，解得．15.（2016江苏21C）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为，椭圆的参数方程为，设直线与椭圆相交于两点，求线段的长．15.解析解法一（求点）：直线方程化为普通方程为，椭圆方程化为普通方程为，联立，解得或，因此．解法二（弦长）：直线方程化为普通方程为，椭圆方程化为普通方程为，不妨设，，联立得，消得，恒成立，故，所以．解法三（几何意义）：椭圆方程化为普通方程为，直线恒过点，该点在椭圆上，将直线的参数方程代入椭圆的普通方程，得，整理得，故，，因此．16.（2017江苏21C）在平面坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）．设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值．16.解析直线的普通方程为．因为点在曲线上，设，从而点到直线的距离，当时，．因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值为．17.（2017全国1卷理科22）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为.（1）若，求与的交点坐标；（2）若上的点到的距离的最大值为，求.17.解析（1）当时，直线的方程为，曲线的标准方程为.联立方程，解得或，则与交点坐标是和.（2）直线一般式方程为，设曲线上点．则点到的距离，其中．依题意得，解得或. 18.（2017全国3卷理科22）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为．设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线．（1）写出的普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，为与的交点，求的极径．18．解析⑴将参数方程转化为一般方程①②，消可得，即点的轨迹方程为.⑵将极坐标方程转化为一般方程，联立，解得.由，解得，即的极半径是．题型163普通方程化参数方程--暂无1.(2013陕西理15C）C.（坐标系与参数方程选做题）如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，则圆的参数方程为.2.(2013全国新课标卷理23）选修4--4；坐标系与参数方程已知动点都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与（），为的中点.（1）求的轨迹的参数方程；（2）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点.3.(2013辽宁理23）选修4-4；坐标系与参数方程在直角坐标系中以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系.圆，直线的极坐标方程分别为.（1）求与交点的极坐标；（2）设为的圆心，为与交点连线的中点.已知直线的参数方程为（为参数），求的值.4.（2014新课标1理23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线：，直线：（为参数）.（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（2）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.5.（2014辽宁理23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线.（1）写出的参数方程；（2）设直线与的交点为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.题型164参数方程与极坐标方程的互化1.（2013江西理15）(1)（坐标系与参数方程选做题）设曲线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为．2.（2016全国乙理23）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.（1）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；（2）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求.2.解析（1）将化为直角坐标方程为，从而可知其表示圆．令，，代入得极坐标方程．（2）将，化为直角坐标方程为，．两式相减可得它们的公共弦所在直线为.又公共点都在上，故的方程即为公共弦.又为，，即为，从而可知．第2节不等式选讲（选修4-5）题型165含绝对值的不等式1.（2013江西理15）(2)（不等式选做题）在实数范围内，不等式的解集为．2.(2013福建理21）设不等式的解集为，且.（1）求的值；（2）求函数的最小值.3.（2014重庆理16）若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是____________.4.（2014湖南理13）若关于的不等式的解集为，则________.5.（2014江西理11）（1）（不等式选做题）对任意，的最小值为（）.A.B.C.D.6.（2014陕西理15）（不等式选做题）设，且，则的最小值为.7.（2014新课标2理24）（本小题满分10）选修4-5：不等式选讲设函数.（1）证明：； （2）若，求的取值范围.8.（2014辽宁理24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数，，记的解集为，的解集为.（1）求；（2）当时，证明：.9.（2014福建理21）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知定义在上的函数的最小值为.（1）求的值；（2）若为正实数，且，求证：.10.（2015重庆理16）若函数的最小值为5，则实数_______.10.解析当时，端点值为．（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，；如图所示：由图易知：，解得（舍）或，所以．当时，端点值为.（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，；如图所示：由图易知：，解得（舍）或，即.当时，，，与题意不符，舍.综上所述：或.11.（2015陕西理24）已知关于的不等式的解集为．(1)求实数，的值；(2)求的最大值．11.解析（1）由所以解得.（2），所以，即的最大值为4，当时取等号.12.（2015山东理5）不等式的解集是()．A.  B．  C．   D．12.解析令，则，所以原不等式同解于如下三个不等式组的解集的并集：① ；②③，解①得：，解②得：；解③得：．综上所述，原不等式的解集为．故选A．评注本题也可数形结合，而快捷的方法则是取特殊值验证．13.（2015全国Ⅰ24）已知函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）若的图像与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围.13.解析（1）当时，，即．当时，不等式化为，无解；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，解得．综上所述，当时，的解集为．（2），，如图所示，函数的图像与轴所围成三角形的三个顶点为，，，，即，解得，所以的取值范围是．14.(2015福建理21（3）)已知，，，函数的最小值为4．(1)求的值;(2)求的最小值．14.分析本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力，考查化归与转化思想．解析（1）因为，当且仅当时，等号成立．又，，所以，所以的最小值为．又已知的最小值为4，所以．当时，化简得，解得，故；当时，化简得，解得，故．故不等式的解集为.15.(2015江苏21（D）)解不等式．15.解析当时，化简得，解得，故；当时，化简得，解得，故．故不等式的解集为．16.（2016上海理1）设，则不等式的解集为．16.解析由题意，即，则解集为．故填．17.（2016全国甲理24（1））已知函数，为不等式的解集.求；17.解析（1）当时，，所以；当时，恒成立；当时，，所以．综上可得，．18.（2016全国乙理24）已知函数.（1）在如图所示的图形中，画出的图像；（2）求不等式的解集.18.解析由题意得．其图像如图所示.（2）当时，，解得或，故；当时，，解得或，故或；当时，，解得或，故或．综上所述，该不等式的解集为．评注或者可以由图形观察大致结果，但不能替代解题过程．19.（2016全国丙卷24）已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）设函数当时，，求的取值范围.19.解析（1）当时，.解不等式，得.因此，的解集为.（2）当时，得，所以当时，等价于.①当时，①等价于，无解；当时，①等价于，解得.所以的取值范围是.20.（2017全国1卷理科23）已知函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含，求的取值范围.20.解析（1）当时，为开口向下，对称轴为的二次函数，，当时，令，即，解得.当时，令，即，解得．当时，令，即，解得．综上所述，的解集为．（2）依题意得在上恒成立，即在恒成立，则只需，解得．故取值范围是．21.（2017全国3卷理科23）已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求的取值范围．21．解析（1）可等价为.由，可得①当时显然不满足题意；② 当时，，解得；③ 当时，恒成立.综上，的解集为.⑵不等式等价于，令，则的解集非空只需要.而.①当时，；②当时，；④ 当时，.综上所述，，故.题型166不等式的证明1.(2013全国新课标卷理22）选修4--5；不等式选讲设均为正数，且，证明：（1）；（2）.2.（2014新课标1理24）（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲若，，且.（1）求的最小值；（2）是否存在，使得？并说明理由.3.（2014辽宁理24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数，，记的解集为，的解集为.（1）求；（2）当时，证明：.4.（2014江苏理）D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知，，证明：．5.（2014福建理21）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知定义在上的函数的最小值为.（1）求的值；（2）若为正实数，且，求证：.6.（2016江苏21D）设，，，求证：．6.解析证明：由可得，故.7.（2016全国甲理24）已知函数，为不等式的解集.（1）求；（2）证明：当时，.7.解析（1）当时，，所以；当时，恒成立；当时，，所以．综上可得，．（2）当时，有，即， 则，则，即.8.（2016浙江理8）已知实数（）.A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则8.D解析举反例排除法:对于选项A，可以令，例如令，则，但是，所以选项A不正确；对于选项B，可以令，例如令，则，但是，所以选项B不正确；对于选项C，可以令，例如令，则，但是，所以选项C不正确.故选D.9.（2016全国丙理21）设函数，其中，记的最大值为.（1）求；（2）求；（3）证明9.解析(1).（2）当时，.因此.当时，将变形为.令，则是在上的最大值，，，且当时，取得极小值，极小值为.令，解得且，所以.（i）当时，在内无极值点，，，，所以.（ii）当时，在同一坐标中画出函数，，在上的图像.由图，我们得到如下结论当时，.综上，.（3）由（1）得.当时，；当时，，所以；当时，.所以；综上所述有.题型167函数单调性在证明不等式中的应用1.（2016全国甲理21（1））讨论函数的单调性，并证明当时，1.解析证明：由已知得，函数的定义域为由已知得，.因为，所以.因为当时，，所以在上单调递增，所以当时，，所以.题型168柯西不等式在证明不等式中的应用--暂无1.（2017江苏21D）已知为实数，且，，证明：．1.解析由柯西不等式可得，因为，，所以，因此．2.（2107全国2卷理科23）已知，，，求证：（1）；（2）．2．解析（1）由柯西不等式得，当且仅当，即时取等号．（2）因为，所以，即，当且仅当时等号成立．欢迎访问"高中试卷网"--http://sj.fjjyvvvvv