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免费2013-2017年高考数学(文)分类汇编详解：第5章-平面向量第五章平面向量第1节平面向量的概念、基本定理及坐标运算题型62向量的概念及共线向量1.（2013辽宁文3）已知点，则与向量同方向的单位向量为（）.A.B.C.D.1.解析则与其同方向的单位向量.故选A.题型63平面向量的线性运算1.（2013江苏10）设分别是的边上的点，，，若（为实数），则的值为.1.分析利用平面向量的加、减法的运算法则将用，表示出来，对照已知条件，求出，的值即可.解析由题意，于是.故.2.（2013四川文12）如图，在平行四边形中，对角线与交于点，，则.2.分析根据向量加法的平行四边形法则及向量数乘的几何意义求解.解析由向量加法的平行四边法则，得.又是的中点，所以，所以，所以.又，所以.3.（2014福建文10）设为平行四边形对角线的交点，为平行四边形所在平面内任意一点，则等于（）.A.B.C.D.4.（2014新课标Ⅰ文6）设分别为的三边的中点，则（）.A.B.C.D.5.（2014浙江文9）设为两个非零向量的夹角，已知对任意实数，的最小值为（）.A．若确定，则唯一确定B．若确定，则唯一确定C．若确定，则唯一确定D．若确定，则唯一确定6.（2017全国2文4）设非零向量，满足，则（）.AB.C.D.6.解析由平方得，即，则.故选A.7.（2017天津文14）在中，，，.若，，且，则的值为.7.解析解法一：如图所示，以向量，为平面向量的基底，则依题意可得.又因为，则.又因为，则，即得.解法二：以点为坐标原点，以所在直线为轴建立直角坐标系(如图所示).依题意易得，，，则可得，，于是有，解得.题型64向量共线的应用1.（2015北京文6）设，是非零向量，""是""的（）.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件1.解析由，若，则，即，因此.反之，若，并不一定推出，而是，原因在于：若，则或.所以""是""的充分而不必要条件.故选A.题型65平面向量基本定理及应用1．（2013广东文10）设是已知的平面向量且．关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数和，使；③给定向量和正数，总存在单位向量，使.④给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使.上述命题中的向量、和，在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数A．1B．2C．3D．41.分析利用向量的平行四边形法则或三角形法则、平面向量基本定理进行判断.解析对于①，若向量确定，因为是确定的，故总存在向量，满足，即，故正确；对于②，因为和不共线，由平面向量基本定理知，总存在唯一的一对实数，满足，故正确；对于③，如果，则以为三边长可以构成一个三角形，如果和正数确定，则一定存在单位向量和实数满足，故正确；对于④，如果给定的正数和不能满足"为三边长可以构成一个三角形"这时单位向量和就不存在，故错误.故选C.2.（2016四川文9）已知正的边长为，平面内的动点，满足，，则的最大值是（）.A.B.C.D.2.B解析正三角形的对称中心为，易得，.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示.则.设，由已知，得.又，所以，所以.因此.它表示圆上的点与点距离平方的，所以.故选.题型66向量的坐标运算1.（2014广东文3）已知向量，则（）.A.B.C.D.2.（2014北京文3）已知向量，，则（）.A.B.C.D.2.解析由知，所以.故选A.3.（2014湖南文10）在平面直角坐标系中，为原点，，，，动点满足,则的取值范围是（）.A.B.C.D. 4.（2014陕西文18）（本小题满分12分）在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上，且.（1）若，求；（2）用表示，并求的最大值.5.（2015全国1文2）已知点，向量，则向量（）.A.B.C.D.5.解析由题意可得，.故选A.6.（2015年湖南文9）已知点，，在圆上运动，且.若点的坐标为，则的最大值为（）.A.6B.7C.8D.96.解析解法一:由题意，为直径，所以，当点为时，取得最大值.故选B.解法二:由题意得，为圆的直径，故可设，所以，而，当且仅当""时""，取所以的最大值为.故选B.7.（2015年江苏6）已知向量，，若，则的值为．7.解析由题意，从而，解得，故．评注也可以将用与线性表示，如．题型67向量平行（共线）的坐标表示1.(2013陕西文2）已知向量，若，则实数等于（）.A.B.C.或D.1.解析由.故选C.2.（2015四川文2）设向量与向量共线，则实数（）.A.2B.3C.4D.62.解析由向量平行的性质，得，解得.故选B.3.（2016全国甲文13）已知向量，向量，且，则_________.3.解析因为，所以，解得.4.（2017山东文11）已知向量，，若，则.4.解析由，得，解得.第2节平面向量的数量积题型68平面向量的数量积1.（2013湖北文7）已知点，，，，则向量在方向上的投影为（）.A． B． C． D．1.分析首先求出的坐标，然后根据投影的定义进行计算.解析由已知得，因此在方向上的投影为.故选A.2．(2013福建文10）在四边形则该四边形的面积为（）.A．B．C．D．2.分析先利用向量的数量积证明四边形的对角线垂直，再求面积.解析因为，所以，所以.故选C.3.(2013湖南文8）已知是单位向量，.若向量满足则的最大值为（）.A.B.C.D.3.分析将所给向量式两边平方后利用向量数量积的运算律求解.解析因为是单位向量，所以.又，所以，所以.所以.所以.所以.所以.所以.所以.所以.所以的最大值为.故选C.4.(2013天津文12）在平行四边形中，，，为的中点.若，则的长为.4.分析用表示与，然后进行向量的数量积计算.解析由已知得所以所以5.（2013浙江文17）设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于________.5.分析为了便于计算可先求的范围，再求的最值.解析根据题意，得.因为，所以，所以.故的最大值为.6.(2013安徽文13）若非零向量满足，则与夹角的余弦值为.6.解析由两边平方，得所以.又所以.7.（2013山东文15）在平面直角坐标系中，已知，．若，则实数的值为．7.分析利用向量垂直的充要条件，列方程求解.解析因为，所以，所以.又，所以.所以.8.(2013重庆文14）在为边，为对角线的矩形中，，则实数.8.分析画出矩形草图，利用向量加减运算及数量积运算直接求解.解析如图所示，由于，所以.在矩形中，由得，所以，即，解得.9.（2014大纲文6）已知为单位向量，其夹角为，则（）.A．B．0C．1D．210.（2014新课标Ⅱ文4）设向量满足，，则（）.A.B.C.D.11.（2014山东文7）已知向量.若向量的夹角为，则实数（）.A.  B.  C.  D.12.（2014安徽文10）设为非零向量，，两组向量和均由2个和2个排列而成，若所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为（）.A.B.C.D.13.分析本题考查向量的数量积的最值.解析由如下三种可能：①；②；③.易知，当时，，，此时，因此最小值为.当时，得，此时，不满足题意，故舍去.综上所述，若最小值为，则与的夹角.故选B.14.（2014四川文10）已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（）.A.B.C.D.15.（2014重庆文12）已知向量_________.16.（2014江西文12）已知单位向量的夹角为，且，若向量，则.17.（2014陕西文13）设，向量，若，则_______.18.（2014四川文14）向量，，，且与的夹角等于与的夹角，则____________.19．（2014湖北文12）若向量，，，则.20.（2014江苏12）如图所示，在平行四边形中，已知，，，，则的值是．21.（2014天津文13）已知菱形的边长为，，点，分别在边，上，，.若，则的值为________.22.（2015全国2文4）向量,，则（）.A.B.C.D.22.解析由向量的坐标表示方法知，，.故有.故选C.23.（2015福建文7）设向量，，．若，则实数的值等于（）.A．B．C．D．[来源:Z.xx.23.解析由已知可得，因为，则，即，解得.故选A.24.（2015广东文9）在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则（）.A．B．C．D．24.解析因为四边形是平行四边形，由平行四边形法则可得，所以.故选A.评注本题考查1.平面向量的加法运算；2.平面向量数量积的坐标运算．25.（2015重庆文7）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（）.A.B.C.D.25.解析因为，所以，即，所以，所以与的夹角为．故选C．26.（2015陕西文8）对任意的平面向量，，下列关系式中不恒成立的是（）.A.B.C.D.26.解析因为，所以A选项正确；当与方向相反时，B选项不成立，所以B选项错误；向量平方等于向量模的平方，所以C选项正确；，所以D选项正确.故选B.27.（2015年湖南文9）已知点，，在圆上运动，且.若点的坐标为，则的最大值为（）.A.6B.7C.8D.927.解析解法一:由题意，为直径，所以，当点为时，取得最大值.故选B.解法二:由题意得，为圆的直径，故可设，所以，而，当且仅当""时取""，所以的最大值为.故选B.28.（2015安徽文15）是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论中正确的是（写出所有正确结论的序号）.①为单位向量；②为单位向量；③；④；⑤.28.解析由题意作图，如图所示.因为等边三角形的边长为2，，所以，得.故①正确；因为，所以，得.故②错误，④正确；由，，为等边三角形，可得与的夹角为.故③错误；由.所以，故⑤正确.综上可知，正确的编号是①④⑤.评注1.考查平面向量的基本概念；2.考查平面向量的性质.29.（2015湖北文11）.已知向量，，则.29.解析因为，所以即，.30.（2015山东文13）过点作圆的两条切线，切点分别为则.30.解析根据题意，作出图形，如图所示.由平面几何知识，得.由切线长定理，得.在中，，所以.可得.所以.31.（2015天津文13）在等腰梯形中，已知，，，，点和点分别在线段和上，且，，则的值为．31.解析在等腰梯形中，由，，得，，，所以.32.（2015浙江文13）已知，是平面单位向量，且．若平面向量满足，则．32.解析设，，由，得，即.又，得，即，故.过点作直线，如图所示，因为，，据平面向量数量积的几何意义知，在，上的投影均为，所以.故.33.（2016北京文9）已知向量，，则与夹角的大小为_________.33.解析由已知可得，.所以.34.（2016全国丙文3）已知向量，，则（）.A.B.C.D.34.A解析因为，，，所以.由，所以.故选A.35.（2016全国乙文13）设向量，，且，则.35.解析由题意，解得.36.（2016山东文13）已知向量，.若，则实数的值为________.36.解析由题意可得，，解得.37.（2016天津文7）已知是边长为1的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（）.A.   B. C.  D.37.B解析由题意作图，如图所示.则.故选B.38.（2016上海文12）如图所示，已知，，，是曲线上一个动点，则的取值范围是.38.解析由题意设，故，由线性规划的有关知识知.故填.评注也可以设，，则，.利用三角有关知识求解.39.（2016浙江文15）已知平面向量，，，，.若为平面单位向量，则的最大值是________.39.解析由已知得，所以.不妨取，，设，则，取等号时与同号.所以（其中，，取为锐角）.显然.易知当时，取最大值1，此时为锐角，，同为正，因此上述不等式中等号能同时取到.故所求最大值为.40.（2016江苏13）如图所示，在中，是的中点，，是上两个三等分点，，，则的值是.40.解析解法一（基底法）：令，，则，，，则，，，，，，故，，因此，.故.解法二（建系法）：可以考虑以为原点，所在直线为轴，的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设，，则，，.则，，，，，.由题意，，因此，，故.评注特别地，可以假定，建立特殊的直角坐标系.这类问题以前也遇到过，比如下面一题.在平面四边形中，点，分别是边，的中点，且，，.若，则.解析解法一（配凑）：由题意得，，从而，平方整理得.（或）.故.故填.解法二：（建系）建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设，，从而，，.由题意，从而，即通过，求解，①②得，即④，而③即为⑤，⑤④得，即.故填.可见，强制建系归根结底转化为恰当的代数（强烈的目标意识）处理，而合理的建系会对运算起到简化作用.41.（2017全国1文13）已知向量，.若向量与垂直.则.解析由题得，因为与，所以，解得.42.（2017全国3文13）已知向量，，且，则.解析因为，所以，即，解得.评注考查向量的坐标运算，属于基础题型，公式套用即可，没有难度.43.（2017浙江10）如图所示，已知平面四边形，，，，与交于点，记，，，则（）.A．  B．   C．  D．43.解析如图所示，动态研究问题:，．此时有，，，且，．故.44.（2017浙江15）已知向量，满足，，则的最小值是，最大值是.44.解析解法一：如图所示，和是以为邻边的平行四边形的两条对角线，则，是以为圆心的单位圆上的一动点，构造2个全等的平行四边形，平行四边形．所以．易知当，B，C三点共线时，最小，此时；当时，最大，此时．解法二:(是向量，的夹角).所以当时，取得最小值4；当时，取得最大值.45.（2017江苏12）如图所示，在同一个平面内，向量，，的模分别为，，，与的夹角为，且，与的夹角为．若，则．45.解析解法一：由题意（*）而由，得，，．将（*）式化简为式①加式②，得．故填．解法二（坐标法）：如图所示，以所在的直线为轴，过且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，由题意结合解法一可得，，，由，得，即，解得，故．故填．解法三（解三角形）：由，可得，，如图所示，根据向量的分解，易得，即，即，解得，所以．题型69向量与三角形四心--暂无欢迎访问"高中试卷网"--http://sj.fjjyvvvvv