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免费2013-2017年高考数学(文)分类汇编详解：第4章-三角函数第四章三角函数第4节解三角形题型58正弦定理的应用1.（2013山东文7）的内角，，所对的边分别为，若，，，则（）.A.B.C.D.1.分析先利用正弦定理，求出角，进而求出角和角，得出角为直角，从而利用勾股定理求出边.解析由正弦定理得：，因为，所示.因为为三角形的内角，所以.所以.又，所以，所以.所以，所以为直角三角形.由勾股定理得.故选B.2.(2013安徽文9）设的内角所对边的长分别为，若，则角（）.A.B.C.D.2.解析同理科卷12题.答案B.3.（2013浙江文3）若，则""是""的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.分析分别判断能否推出和能否推出.解析若，则，所以，即；但当时，有，此时.所以是的充分不必要条件.故选A.4.(2013湖南文5）在锐角中，角所对的边长分别为.若，则角等于（）.A.B.C.D.4.分析利用正弦定理将边化为角的正弦.解析在中，.因为，所以.所以.又为锐角三角形，所以.故选A.5.（2014广东文7）在中，角所对应的边分别为则""是""的（）.A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件6.（2014江西文5）在中，内角所对的边分别为，若，则的值为（）.A.B.C.D.7.（2015安徽文）在中，，，，则.7.解析由正弦定理可得，即，解得.8.（2015福建文）若在中，，，，则_______．8.解析由题意得．由正弦定理得，则.9.(2015北京文)在中，，，，.9.解析在中，由正弦定理知，得，，又，得.10.（2015全国1文）已知分别为内角的对边，.（1）若，求；（2）设，且，求的面积.10.解析（1由正弦定理得，.又，所以，即.则.（2）解法一：因为，所以，即，亦即.又因为在中，，所以，则，得.所以为等腰直角三角形，得，所以.解法二：由（1）可知，①因为，所以，②将②代入①得，则，所以.11.（2015山东文）在△中，角所对的边长分别为.已知，，，求和的值.11.解析在中，由，得.因为，所以.因为，所以，可得为锐角，所以，因此.由，可得.又，所以.12.（2016全国丙文9）在中，，边上的高等于，则（）.A.B.C.D.12.D解析解法一：，，由正弦定理得，即，所以，所以，.故选D.解法二：如图所示，由，知.由，则，.由正弦定理知，则.故选D. 
13.（2016北京文13）在中，，，则________.13.解析由正弦定理及题设，可得，所以，则.由，得，，，.14.（2016全国甲文15）的内角，，的对边分别为，，.若，，，则_______.14.解析解法一：由题可知，.由正弦定理可得.由射影定理可得.解法二：同解法一，可得.又，由余弦定理可得.解法三：因为，，，，.由正弦定理得，，解得.15.（2016江苏15）在中，，，.（1）求的长；（2）求的值.15.解析（1）因为，而，所以.由正弦定理，故.（2）因为，所以.又，所以.故.16.（2016天津文15）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.（1）求；（2）若，求的值.16.分析（1）利用正弦定理，将边化为角：，再根据三角形内角范围化简得，；（2）已知两角，求第三角，利用三角形内角和为，将所求角化为两已知角的和，再根据两角和的正弦公式求解.解析（1）在中，由正弦定理化简，得，所以，得.（2）由，得，则，所以.17.（2016浙江文16）在中，内角，，所对的边分别为，，.已知.（1）求证：；（2）若，求的值.17.解析（1）由正弦定理得，故，于是.又，故，所以或，因此（舍去）或，所以（2）由，得，，故，..18.（2017全国3文15）的内角，，的对边分别为，，.已知，，，则_________.18.解析由正弦定理有，所以，又，所以，所以.评注考查用正、余弦定理解三角形问题以及三角形的内角和定理，难度偏低.题型59余弦定理的应用1.（2014福建文14）在中，，则等于.2.（2015广东文）设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则（）.2.解析由余弦定理得，所以，即，解得或.因为，所以.故选C．3.（2015重庆文）设的内角，，的对边分别为，，，且，，，则________.3.解析因为，所以根据正弦定理得．又因为，所以．因为，所以，代入解得．4.（2015江苏文）在中，已知，，．（1）求的长；（2）求的值．4.解析（1）由余弦定理，解得．（2），因为，故，故．评注在运算的过程中类似，可不化简，有时候会利于下面的运算．5.（2015全国2文）中，是上的点，平分，.(1)求；(2)若，求.5.分析(1)根据题意，由正弦定理可得.(2)由诱导公式可得，由(1)可知，所以，.解析(1)由正弦定理得，，.因为平分，，所以.(2)因为，，所以.由(1)知，所以，即.评注三角是高中数学的重点内容，在高考中主要是利用三角函数，三角恒等变换及解三角形的正弦定理及余弦定理，在求解时，注意角的转化及定理的使用.6.（2015陕西文）的内角，，所对的边分别为，，，向量与平行.（1）求；（2）若，，求的面积.6.解析(1)因为，所以由正弦定理得，将式代入式，又，得到，由于，所以.(2)解法一：由余弦定理得，，而，，，得，即.因为，所以，故的面积为.解法二：由正弦定理，得，从而.又由知，所以.故，所以面积为.7（2015四川文）已知为的内角，，是关于方程的两个实根.（1）求C的大小；（2）若，，求p的值.7.解析（1）由题意可得方程的判别式，所以或.由韦达定理，得，，所以，可得.所以，所以.（2）由正弦定理，可得，解得或（舍去）.所以.则.所以.8.（2015天津文）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为，，.（1）求和的值；（2）求的值.8.分析（1）由面积公式可得，结合，可解得，.再由余弦定理求得.最后由正弦定理求的值；（2）直接展开求值.解析（1）中，由，得，由，得，又由，解得，.由，可得.又由，得.（2）.9.（2015浙江文）在中，内角，，所对的边分别为，，.已知.(1)求的值；(2)若，求的面积.9.解析(1)，得..(2)，.由正弦定理得，，所以，又，所以.10.（2016全国乙文4）的内角，，的对边分别为，，.已知，，，则（）.A.B.C.D.10.D解析由余弦定理得，即，整理得，解得.故选D.11.（2016山东文8）在中，角，，的对边分别是，，，已知，，则（）.A.B.C.D.11.C解析由余弦定理，得.因为，所以.由已知得，所以，所以.因为，所以.故选C.评注考试的时候得到，若寻找不到因式分解可考虑代入选项检验.题型60判断三角形的形状1.(2013陕西文9）设的内角所对的边分别为，若，则的形状为（）.A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定1.分析利用余弦定理的变形将角的余弦值转化为三角形边之间的关系．解析因为,所以.因为，所以，即是直角三角形．故选B.题型61解三角形的综合应用1.（2013江西文17）在中，角所对的边分别为，已知.（1）求证：成等差数列；（2）若，求的值.1.分析（1）根据正弦定理把已知条件中的角的关系转化为边的关系，从而证明成等差数列；（2）应用（1）的结论和余弦定理得出的关系式，从而求出结论.解析（1）由已知得.因为，所以.由正弦定理得，即成等差数列.（2）由及余弦定理得，即有，所以.2.(2013天津文16）在中，内角所对的边分别是.已知，，.（1）求的值;（2）求的值.2.分析（1）先用正弦定理求出，再用余弦定理求出；（2）用二倍角公式和两角差公式求值.解析（1）在△中，由可得又由可得.又故由可得（2）由得进而得所以3.（2013湖北文18）在中，角，，对应的边分别是，，.已知．（1）求角的大小；（2）若的面积，，求的值．3.分析利用倍角公式和诱导公式化简已知条件，求得的值，即得角的大小；由面积求出边，再利用余弦定理求出边，最后利用正弦定理求出的值.解析（1）由，得，即，解得.因为，所以.（2）由，得，又，所以.由余弦定理得，所以.从而由正弦定理得.4.（2013四川文17）在中，角的对边分别为，且.（1）求的值；推导的前项和公式；（2）若，求向量在方向上的投影.4.分析（1）由三角形内角和定理得，即，然后利用两角和的余弦公式求得.（2）借助正、余弦定理求角后再利用向量投影公式求解．解析（1）由，得.则，即.又，则.（2）由正弦定理，有，所以.故题意知，则，故.根据余弦定理，有.解得或（负值舍去）.故向量在方向上的投影为.5.(2013浙江文18）在锐角中，内角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.5.分析（1）利用已知条件和正弦定理可求出，进而求出；（2）利用余弦定理求出，再用面积公式求面积.解析（1）由及正弦定理，得.因为是锐角，所以.（2）由余弦定理，得.又，所以.由三角形面积公式，得的面积为.6.（2014四川文8）如图所示，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度等于（）.A.B.C.D.7.（2014新课标Ⅰ文16）如图所示，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得.已知山高，则山高.8．（2014湖北文13）在中，角所对的边分别为.已知，，，则.9.（2014北京文12）在中，，，，则；.9.解析由余弦定理知，故；由，，知，由知.10.（2014陕西文16）（本小题满分12分）的内角所对的边分别为.（1）若成等差数列，求证：；（2）若成等比数列，且，求的值.11.（2014安徽文16）（本小题满分12分）设的内角所对边的长分别是，且，，的面积为，求与的值.11.解析由三角形面积公式，得，故.因为，所以.①当时，由余弦定理得，所以.②当时，由余弦定理得，所以.评注本题考查解三角形，解题时要注意已知求时有两解，防止漏解.12.（2014大纲文18）（本小题满分12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求B.13.（2014辽宁文17）（本小题满分12分）在中，内角的对边分别为，且，已知，，，求：（1）和的值；（2）的值.14.（2014山东文17）（本小题满分12分）中，角所对的边分别为.已知.（1）求的值；（2）求的面积.15.（2014浙江文18）在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）已知，的面积为，求边长的值.  16.（2014重庆文18）（本小题满分12分）在中，内角所对的边分别为，且.（1）若，求的值；（2）若，且的面积，求和的值.17.（2014新课标Ⅱ文17）（本小题满分12分）四边形的内角与互补，，，.（1）求和；（2）求四边形的面积.18.（2014湖南文19）（本小题满分13分）如图所示，在平面四边形中，，.（1）求的值；（2）求的长.19.（2015湖北文）如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度=m.19.解析中，，，所以，因为，由正弦定理可得，即m，在中，因为，，所以，所以m.20.（2015湖南）设的内角，，的对边分别为，，，.（1）证明：；（2）若，且为钝角，求，，.20.解析（1）由及正弦定理，得，所以.（2）因为所以.由（1）知，因此，所以，又为钝角，故，由知，从而.综上所述，，，.21.（2016上海文10）已知的三边长分别为，，，则该三角形的外接圆半径等于.21.解析不妨设，，，则，故，因此.22.（2016四川文18）在中，角，，所对的边分别是，，，且.（1）求证：；（2）若，求.22.解析（1）根据正弦定理，可设，则，，.代入中，有，可变形得在中，由，有，所以（2）由已知，根据余弦定理，有.所以.由（1）得，，所以，故23.（2017全国1文11）的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则（）.A．   B．   C．   D．23.解析由题意得，即，所以.由正弦定理，得，即，得.故选B.24.（2017全国2文16）的内角，B，C的对边分别为，，，若，则.24.解析解法一:由正弦定理可得.解法二：如图所示，由射影定理知，，所以，所以，所以..25.（2017山东文17）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，求和.25.解析因为，所以，又，所以，因此，且，所以.又，所以.由余弦定理，得，所以.26.（2017天津文15）在中，内角所对的边分别为.已知，.（1）求的值；（2）求的值.26.解析（1）因为，所以由正弦定理得，则.又因为，所以由余弦定理得.（2）因为，所以，且.因为，所以由正弦定理得.又因为，所以，所以，所以，所以.27.（2017浙江14）已知，，.点为延长线上的一点，，联结，则的面积是___________，__________.27.解析如图所示，取的中点为，在等腰中,，所以，，所以的面积为．因为，所以是等腰三角形，所以，，解得．28.（2017江苏18）如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为，容器的底面对角线的长为，容器的两底面对角线，的长分别为和．分别在容器和容器中注入水，水深均为．现有一根玻璃棒，其长度为（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）.（1）将放在容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度；（2）将放在容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度．28.解析（1）由正棱柱的定义，平面，所以平面平面，．记玻璃棒的另一端落在上点处，如图所示为截面的平面图形．因为，，所以，从而.记与水面的交点为，过点作，为垂足，则平面，故，从而．答：玻璃棒没入水中部分的长度为．（2）如图所示为截面的平面图形，，是正棱台两底面的中心．由正棱台的定义，平面，所以平面平面，．同理，平面平面，．记玻璃棒的另一端落在上点处．过作，为垂足，则．因为，，所以，从而．设，，则．因为，所以．在中，由正弦定理可得，解得．因为，所以，于是．记与水面的交点为，过作，为垂足，则平面，故，从而．答：玻璃棒没入水中部分的长度为．评注此题本质上考查解三角形的知识，但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感，且该应用题的实际应用性也不强．也有学生第（1）问采用相似法解决，解法如下：，，所以，，所以由，，即，解得．答：玻璃棒没入水中部分的长度为．题型正、余弦定理与向量的综合--暂无免费2013-2017年高考数学(文)分类汇编详解：第4章-三角函数