资源资源简介：

免费2013-2017年高考数学(文)分类汇编详解：第6章-数列第六章数列第1节等差数列与等比数列题型70等差、等比数列的通项及基本量的求解1.(2013安徽文7）设为等差数列的前项和，，，则（）.A.B.C.D.1.分析借助等差数列前项和公式及通项公式的性质，计算数列的公差，进而得到的值.解析由等差数列性质及前项和公式，得，所以.又，所以公差，所以.故选A.2.（2013辽宁文14）已知等比数列是递增数列，是的前项和.若是方程的两个根，则.2.解析：因为，是方程的两个根，且数列是递增的等比数列，所以，，，所以.3.（2013四川文16）在等比数列中，，且为和的等差中项，求数列的首项、公比及前项和.3．分析由已知列出两个含和的方程并求解，再借助等比数列求和公式得．解析设该数列的公比为．由已知，得所以解得（舍去）故首项，公比.所以数列的前项和.4.（2013山东文20）设等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，，求数列的前项和．4.分析（1）由于已知是等差数列，因此可考虑用基本量表示已知等式，进而求出的通项公式.（2）先求出，进而求出的通项公式，再用错位相减法求的前项和.解析（1）设等差数列的前项为，公差为.由，，得解得因此.（2）由已知，当时，；当时，.所以.由（1）知，所以.所以..两式相减，得，所以.5.（2013浙江19）在公差为的等差数列中，已知，且成等比数列.（1）求，；（2）若，求5.分析（1）用把表示出来，利用成等比数列列方程即可解出，进而根据等差数列的通项公式写出.（2）根据（1）及确定数列的通项公式，确定的符号，以去掉绝对值符号，这需要对的取值范围进行分类讨论.解析（1）由题意得，，由，为公差为的等差数列得，，解得或.所以或.（2）设数列的前项和为.因为，由（1）得，，所以当时，；当时，.综上所述，6.（2014重庆文2）在等差数列中，，则（）.7.（2014江苏7）在各项均为正数的等比数列中，，，则的值是．8.（2014新课标Ⅰ文17）（本小题满分12分）已知是递增的等差数列，，是方程的根.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.9.（2014山东文19）（本小题满分12分）在等差数列中，已知公差，是与的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）设，记，求.10.（2014福建文17）（本小题满分12分）在等比数列中，.（1）求；（2）设，求数列的前项和.11.（2014浙江文19）已知等差数列的公差，设的前项和为，，.（1）求及；（2）求的值，使得.12.（2015北京文5）执行如果所示的程序框图，输出的值为（）.A.3B.4C.5D.612.解析解法一:执行程序框图，，，，，，，，，输出.故选B.解法二：由算法图知是一个以3为首项，为公比的等比数列，即，解得.13.（2015全国文7）已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（）.A.B.C.D.13.解析解法一：由，，知，解得.所以.故选B.解法二：由，即，可得.又公差，所以，即，解得.则.故选B.14.（2015全国1文13）在数列中，，为的前n项和.若，则.14.解析由，得，即数列是公比为的等比数列.，得.15.（2015全国Ⅱ文9）已知等比数列满足，，则（）.A.B.C.D.15.解析由等比数列的性质得，即，则.所以有，所以.故.故选C.16.（2015陕西文13）中位数为的一组数构成等差数列，其末项为，则该数列的首项为________.16.解析若这组数有个，则，，又，所以；若这组数有个，则，，又，所以.17.（2016江苏8）已知是等差数列，是其前项和.若，，则的值是.17.20解析设公差为，则由题意可得，解得，则.18.（2016全国甲文17）等差数列中，，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和，其中表示不超过的最大整数，如，.18.解析（1），解得，所以（）.（2）.19.（2017江苏9）等比数列的各项均为实数，其前项的和为，已知，，则．19.解析解法一：由题意等比数列公比不为，由，因此，得．又，得，所以．故填．解法二（由分段和关系）：由题意，所以，即．下同解法一．20.（2017全国1文17）记为等比数列的前项和.已知，.（1）求的通项公式；（2）求，并判断，，是否成等差数列.20.解析（1）由题意设等比数列的首项为，公比为，则，从而，即，整理得，因此，所以，数列的通项公式为．（2）由（1）知，因此．所以，，成等差数列．21.（2017全国2文17）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，，，.（1）若，求的通项公式；（2）若，求.21.解析(1)设的公差为，的公比为.由等差数列、等比数列的通项公式可得，解得，故的通项公式为.(2)由(1)及已知得，解得或.所以或.22.（2017北京文15）已知等差数列和等比数列满足，，．（1）求的通项公式；（2）求和：．22解析（1）设的公差为，，所以，所以.（2）设的公比为，=，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以.题型71等差、等比数列的求和问题的拓展1.（2013广东文11）设数列是首项为，公比为的等比数列，则．1.分析由首项和公比写出等比数列的前项，然后代入代数式求值.也可以构造新数列，利用其前项和公式求解.解析方法一：.方法二：因为，数列是首项为，公比为的等比数列，故所求代数式的值为.2.（2015安徽理13）已知在数列中，，，则数列的前9项和等于.2.解析由题意可得，又，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以.又满足上式，所以，所以.所以.题型72等差、等比数列的性质及其应用1.（2013辽宁文4）下面是关于公差的等差数列的四个命题：数列是递增数列；数列是递增数列；数列是递增数列；数列是递增数列；其中的真命题为A.B.C.D.1.分析根据等差数列的性质判定.解析因为，所以，所以是真命题．因为，但是的符号不知道，所以是假命题.同理是假命题．由，所以是真命题．故选D.2.（2013江西文12）某住宅小区计划植树不少于棵，若第一天植棵，以后每天植树的棵树是前一天的倍，则需要的最少天数（）等于.2.解析每天植树的棵数构成以为首项，为公比的等比数列，其前项和.由，得.由于，则，即.3.（2013江苏14）在正项等比数列中，，，则满足的最大正整数的值为.3.分析首先由已知条件求出的公比与首项，然后根据求和公式和通项公式将不等式的两边求出，用表示，得到关于的不等式，然后对不等式进行转化，求得的取值范围并进行估算和验证，从而得到的最大值.解析设的公比为，则由已知可得解得于是，.由可得，整理得.由可得，即，解得，即，可以验证当时满足，时不满足，故的最大值为12.4.(2013重庆文12）若成等差数列，则.4.分析利用等差数列的有关知识先求出公差再运算求解.解析由题意得该等差数列的公差，所以.5.(2013陕西文17）设表示数列的前项和.（1）若是等差数列，推导的计算公式；（2）若，且对所有正整数，有.判断是否为等比数列，并证明你的结论.5.分析利用等差数列的性质倒序相加求和；等比数列的证明通过定义进行.解析（1）方法一：设的公差为，则.又，所以，所以．方法二：设的公差为，则．又,所以，所以.（2）是等比数列.证明如下：因为，所以．因为，，所以当时，有.因此，是首项为且公比为的等比数列．6.（2014辽宁文9）设等差数列的公差为，若数列为递减数列，则（）A．B．C．D．7.（2014陕西文8）原命题为"若，则为递减数列"，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）.      A.真，假，真B.假，假，真C.真，真，假D.假，假，假8.（2014广东文13）等比数列的各项均为正数，且，则________.9.（2014江西文13）在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取得最大值，则的取值范围是.10.（2014陕西文16）（本小题满分12分）的内角所对的边分别为.（1）若成等差数列，求证：；（2）若成等比数列，且，求的值.11.（2015广东文13）若三个正数，，成等比数列，其中，，则．11.解析因为三个正数，，成等比数列，所以.因为，所以.12.（2015全国Ⅱ文5）设是等差数列的前项和，若，则（）.A.B.C.D.12.解析由已知，则，.又因为.故选A.13.（2017江苏19）对于给定的正整数，若数列满足对任意正整数总成立，则称数列是"数列"．（1）证明：等差数列是"数列"；（2）若数列既是"数列"，又是"数列"，证明：是等差数列．13.解析（1）因为是等差数列，设其公差为，则，从而当时，，，所以，因此等差数列是"数列"．（2）由数列既是"数列"，又是"数列"，因此，当时，①当时，②由①知，③④将③④代入②，得，其中，所以是等差数列，设其公差为．在①中，取，则，所以，在①中，取，则，所以，从而数列是等差数列．评注这是数列新定义的问题，其实类似的问题此前我们也研究过，给出仅供参考．（2015南通基地密卷7第20题）设数列的各项均为正数，若对任意的，存在，使得成立，则称数列为"型"数列．（1）若数列是"型"数列，且，，求；（2）若数列既是"型"数列，又是"型"数列，证明数列是等比数列．解析（1）由题意得，成等比数列，且公比，所以．（2）由是"型"数列得成等比数列，设公比为，由是"型"数列得成等比数列，设公比为；成等比数列，设公比为；成等比数列，设公比为；则，，，所以，不妨令，则．所以，，所以，综上，从而是等比数列．题型73判断或证明数列是等差、等比数列1.（2014江苏20）设数列的前项和为．若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是"数列"．（1）若数列的前项和，求证：是"数列"；（2）设是等差数列，其首项，公差．若是"数列"，求的值；（3）求证：对任意的等差数列，总存在两个"数列"和，使得成立．2.（2015广东文19）设数列的前项和为，．已知，，，且当时，．（1）求的值；（2）求证：为等比数列；（3）求数列的通项公式．2.解析（1）当时，，即，解得.（2）因为（），所以（），即（），亦即，则.当时，，满足上式.故数列是以为首项，公比为的等比数列.（3）由（2）可得，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，即，所以数列的通项公式是.3.（2015湖南文19）设数列的前项和为，已知，，且.（1）证明：；（2）求.3.解析（1）由条件，对任意，有，因而对任意，有，两式相减，得，即，又，所以，故对一切，.（2）由（I）知，，所以，于是数列是首项，公比为的等比数列，数列是首项，公比为的等比数列，所以，于是，从而，综上所述，.4.（2015湖南文21）函数，记为的从小到大的第个极值点.（1）证明：数列是等比数列；（2）若对一切恒成立，求的取值范围.4.解析（1），令，由，得，即，若，即，则；若，即，则.因此，在区间与上，的符号总相反，于是当时，取得极值，所以，此时，，易知，而是常数，故数列是首项为，公比为的等比数列.（2）对一切恒成立，即恒成立，亦即恒成立（因为）.设，则，令得，当时，，所以在区间上单调递减；当时，，所以在区间上单调递增；因为，且当时，，所以，因此恒成立，当且仅当，解得，故实数的取值范围是.5.（2016浙江文8）如图所示，点列分别在某锐角的两边上，且，(表示点与不重合).若，为的面积，则（）.A.是等差数列B.是等差数列C.是等差数列D.是等差数列5.A解析设点到对面直线的距离为，则.由题目中条件可知的长度为定值，则.那么我们需要知道的关系式，过点作垂直得到初始距离，那么和两个垂足构成了直角梯形，那，其中为两条线的夹角，那么，由题目中条件知，则.所，其中为定值，所以为等差数列.故选A.6.（2017全国1文17）记为等比数列的前项和.已知，.（1）求的通项公式；（2）求，并判断，，是否成等差数列.6.解析（1）由题意设等比数列的首项为，公比为，则，从而，即，整理得，因此，所以，数列的通项公式为．（2）由（1）知，因此．所以，，成等差数列．欢迎访问"高中试卷网"--http://sj.fjjyvvvvv