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免费2013-2017年五年高考数学(理)分类汇编解析：第8章-立体几何第6节空间向量与立体几何题型97空间向量及其运算1.（2015四川理14）如图所示，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点在线段上，分别为，的中点，设异面直线与所成的角为，则的最大值为.1.解析建立如图所示的空间直角坐标系，设，，则，，.由于异面直线所成的角的范围为，所以，，令，，则，所以，故的最大值为，此时.2.（2015浙江理13）如图，三棱锥中，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是．2.解析解法一:连接，取中点，连接，如图（1）所示，则即是所成的角.，，,所以.评注本题也可用向量法来求.如图（2）所示，把放入一个长方体中，然后建立空间直角坐标系，利用来计算.图（1）图（2）题型98空间角的计算1.（2013山东理4）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若为底面的中心，则与平面所成角的大小为（）.A.B.C.D.2.（2013辽宁理18）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆上的点.（1）求证：平面平面；（2）若，求证：二面角的余弦值.3．(2013湖南理19）如图5，在直棱柱（1）证明：；（2）求直线所成角的正弦值.4.(2013重庆理19）如图，四棱锥中，底面，，，，为的中点，.（1）求的长；（2）求二面角的正弦值.5.(2013天津理17）如图，四棱柱中．侧棱底面，，，，，为棱的中点．(1)证明：；(2)求二面角的正弦值；(3)设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．6.（2013山东理18）如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，分别是，，，的中点，，与交于点，与交于点，连接.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.7.(2013陕西理18）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，.（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的大小.8.(2013福建理19）如图，在四棱柱中，侧棱底面，（1）求证：平面（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值（3）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）.9.(2013安徽理19）如图，圆锥顶点为，底面圆心为，其母线与底面所成的角为，和是底面圆上的两条平行的弦，轴与平面所成的角为.（1）证明：平面与平面的交线平行于底面；（2）求.10．（2013四川理19）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是线段的中点，是线段的中点．（1）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；（2）设（1）中的直线交于点，交于点，求二面角的余弦值．11.（2013广东理18）如图1，在等腰直角三角形中，，，分别是上的点，，为的中点.将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中.(1)证明:平面；(2)求二面角的平面角的余弦值.12.(2013全国新课标卷理18）如图，直棱柱中，分别是的中点，.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.13.（2013江西理19）如图，四棱锥中，⊥平面，为的中点，为的中点，，，，连接并延长交于．(1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值．14.（2014新课标2理11）直三棱柱中，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值为（）.A.B.C.D.15.（2014四川理8）如图，在正方体中，点为线段的中点。设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（）.A．B．C．D．16.（2014大纲理11）已知二面角为，，，为垂足，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）.A．B．C．D．16.解析依题意作图，平移至，作，且，连接，，则面，则，，设，，则，，.在中，.所以，即异面直线与所成角的余弦值为.故选B.评注本题的解题关键在于（1）依题作图，平移直线使异面直线相交，（2）给恰当的线段赋值是减少运算量的关键.17.（2014安徽理8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有（）.A.对B.对C.对D.对17．分析本题考查正方体中异面直线所成的角.解析因为一条对角线成的直线有条，所以对.故选A.18.（2014安徽理20）（本小题满分13分）如图所示，四棱柱中，底面.四边形为梯形，，且.过，，三点的平面记为，与的交点为.（1）证明：为的中点；（2）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；（3）若，，梯形的面积为，求平面与底面所成二面角大小.19.（2014北京理17）（本小题14分）如图所示，正方形的边长为，分别为的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱分别交于点.（1）求证：；（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长.20.（2014大纲理19）（本小题满分12分）如图所示，三棱柱中，点在平面ABC内的射影D在AC上，，.（1）求证：；（2）设直线与平面的距离为，求二面角的大小.21.（2014福建理17）（本小题满分12分）在平行四边形中，，，.将沿折起，使得平面平面.（1）求证：；（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值.22.（2014广东理18）（13分）如图4，四边形为正方形，平面，，于点，，交于点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.23.（2014湖南理19）如图所示，四棱柱的所有棱长都相等，，，四边形和四边形均为矩形.（1）证明：底面；（2）若，求二面角的余弦值.24.（2014江西理19）（本小题满分12分）如图，四棱锥中，为矩形，平面平面.（1）求证：；（2）若，，，问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面夹角的余弦值.25.（2014辽宁理19）（本小题满分12分）如图，和所在平面互相垂直，且，，，分别为，的中点.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.26.（2014山东理17）（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，是线段的中点.（1）求证：平面；（2）若垂直于平面且，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值.27.（2014陕西理17）（本小题满分12分）四面体及其三视图如图所示，过棱的中点作平行于，的平面分别交四面体的棱于点.（1）求证：四边形是矩形；（2）求直线与平面夹角的正弦值.28.（2014四川理18）三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示.设，分别为线段，的中点，为线段上的点，且.（1）证明：为线段的中点；（2）求二面角的余弦值.29.（2014天津理17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.（1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值.30.（2014新课标1理19）（本小题满分12分）如图三棱柱中，侧面为菱形，.（1）证明：；（2）若，，，求二面角的余弦值.31.（2014浙江理20）（本题满分15分）如图，在四棱锥中，平面平面，，.（1）证明：平面;（2）求二面角的大小.32.（2014重庆理19）（本小题满分12分）如图，四棱锥，底面是以为中心的菱形，底面，，为上一点，且.（1）求的长；（2）求二面角的正弦值.33.（2015北京理17）如图所示，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值； 
（3）若平面，求的值.33.解析（1）因为为等边三角形，为的中点，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以.（2）取的中点为，连接，因为四边形是等腰梯形，所以.以为原点，，，为，，轴建立直角坐标系，如图所示，则，，，所以，，设平面的法向量为，显然，设平面的法向量为，则有，即，所以.所以二面角的余弦值的绝对值为：，又因为二面角为钝二面角，则二面角的余弦值为.（3）由（1）知，若平面，只需即可，由（2）知，，，得，解得（舍）或.34.（2015全国1理18）如图所示，四边形为菱形，，，是平面同一侧的两点，平面，平面，，．（1）求证：平面平面；（2）求直线与直线所成角的余弦值．34.解析（1）连接，设，连接，，．菱形中，取，由，得．由平面，，可知．又，所以，且．在中，可得，故．在中，．在直角梯形中，由，，，可得，所以，所以．又因为，所以平面．又因为平面，所以平面平面．（2）以为坐标原点，分别以，的方向为,轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系．由（Ⅰ）知，，，，所以，，所以，所以直线与直线所成角的余弦值为．35．（2015安徽理19）如图所示，在多面体中，四边形，，均为正方形，点为的中点，过点，，的平面交于点.（1）求证：；（2）求二面角余弦值.35.解析（1）证明：由正方形的性质可知，且，所以四边形为平行四边形，从而．又平面，平面，所以平面．又平面，平面平面，所以．（2）因为四边形，，均为正方形，所以，，，且，以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴和轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得，，，，，．因为点为的中点，所以点的坐标为．设平面的法向量，而该平面上向量，，由，得，，应满足方程组，取可得．设平面的法向量，而该平面上向量，，由此同理可得，所以结合图像知二面角的余弦值为．解法二：（1）证明：由题可得，又因为平面，平面，所以平面．又平面平面，所以．又因为，所以．（2）将原图形补全成正方体，如图所示，则平面即为平面，所以求二面角的余弦值可以转化为求二面角的余弦值.取的中点，的中点，连接，，，则.由是正方体得，所以，所以是二面角的平面角，即为二面角的平面角.设正方体边长为2，所以，，，所以,所以，所以，故二面角的余弦值为．36.（2015福建理17）如图所示，在几何体中，四边形是矩形，平面，，，点，分别是线段，的中点．(1)求证：平面;(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．36.解析解法一：（1）如图所示，取的中点，连接，．又点是的中点，所以，且．又点是的中点，所以．由四边形是矩形得，，，所以.且，从而四边形是平行四边形，所以．又平面，平面，所以平面．第(1)问图第（2）问图（2）如图所示，在平面内，过点作．因为，所以．因为平面，所以，，所以，，两两互相垂直．以点为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，．因为平面，所以为平面的法向量．设为平面的法向量，则．又，，所以，取，得，从而，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．解法二：（1）如图所示，取的中点，连接，．又点是的中点，所以．又平面，平面，所以平面．在矩形中，由，分别是，的中点，得．又平面，平面，所以平面．又因为，平面，平面，所以平面平面．又因为平面，所以平面．（2）同解法一．37.（2015湖南理19）如图所示，已知四棱台上、下底面分别是边长为3和6的正方形，，且底面，点，分别在棱，上.（1）若是的中点，证明：；（2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积.37.解析解法一：（1）如图所示，取的中点，连接,因为,是梯形的两腰，是的中点，所以，于是由知，，所以四点共面.由题设知，，,所以平面,平面，因此.①因为，所以，因此,于是.又已证得，所以平面,又平面,故.(2)如图所示，过点作交于点，则平面，因为底面，所以底面，过点作于点，连接，则，是二面角的平面角.所以，即，从而.连接，平面及平面知，平面平面，所以，又是正方形，所以是矩形，故.设，则过点作交于点，则是矩形，所以，，因此.于是,所以，从而，解得，所以.故四面体的体积.解法二：由题设知,两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则相关各点的坐标为，，，,，其中，.(1) 若点是的中点，则，.又，于是，所以，即.由题设知，,是平面内两个不共线的向量，设是平面的一个法向量，则，即.取，得.又平面的一个法向量是，所以，而二面角的余弦值为，所以，解得或(舍去)，此时.设，而，由此得到，.因为平面，且平面的一个法向量是，所以，，从而.于是，将四面体视为为底面的三棱锥，则其高，故四面体的体积.38.（2015山东理17）如图所示，三棱台中，，分别为的中点.（1）求证：∥平面；（2）若平面，，，，求平面与平面所成的角（锐角）的大小.38.解析（1）证法一：连接，，设，连接．在三棱台中，，为的中点，可得，，所以四边形为平行四边形，则为的中点．又为的中点，所以．又平面，平面，所以平面．证法二：在三棱台中，由，为的中点，可得，，所以四边形为平行四边形，可得．在中，为的中点，为的中点，所以．又，所以平面平面．因为平面，所以平面．（2）解法一：设，则．在三棱台中，为的中点，由，可得四边形为平行四边形，因此．又平面，所以平面．在中，由，，是中点，所以，，因此，，两两垂直．以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，，，，可得，，故，．设是平面的一个法向量，则由，可得，解得平面的一个法向量．因为是平面的一个法向量，，所以．所以平面与平面所成（锐角）的大小为．解法二：作于点，作于点，连接．由平面，得．又，所以平面，因此，所以即为所求的角．在中，，，由，可得，从而．由平面，平面，得，因此，所以，所以平面与平面所成（锐角）的大小为．39.（2015四川理18）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中，设的中点为，的中点为.（1）请将字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）；（2）求证：直线平面；（3）求二面角的余弦值.39.分析（1）注意是底面，将平面展开图还原可得点的位置；（2）根据直线与平面平行的判定定理，应考虑证明平行于平面内的一条直线.连接，易得是平行四边形，从而，进而证得平面；（3）要作出二面角的平面角，首先要过点作平面的垂线，然后再过垂足作棱的垂线，再将垂足与点连接，即可得二面角的平面角.解析（1）点F，G，H的位置如图所示.（2）连接，，设为的中点.因为分别是，的中点，所以，且，，且，所以，所以是平行四边形，从而，又平面，平面，所以平面.（3）连接，过作于点.在正方体中，，所以.过作于点，连接，所以平面，从而.所以是二面角的平面角.设，则，，在中，.在中，.所以.即二面角的余弦值为.（另外，也可利用空间坐标系求解）40.（2015浙江理17）如图所示，在三棱柱中，，，，在底面的射影为的中点，为的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.40.解析（1）设的中点为，连接，则平面，所以.又，所以．又,所以.而所以.又，所以平面．（2）解法一：作，垂足为，连接，如图（1）所示则，．.所以，所以.由，得，因此即为二面角的平面角．又，所以，所以.在中，由余弦定理得，．解法二（向量法）：以的中点为原点，分别以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，如图（2）所示．由题意知各点坐标如下：，，，．因此，，．设平面的法向量为，平面的法向量为．由即，可取．由即，可取．于是．由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，故二面角的平面角的余弦值为．图（1）图（2）41.（2015重庆理19）如图所示，在三棱锥中，平面,，.，分别为线段，上的点，且，.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.41.解析（1）证明：因为平面，平面，所以.由得为等腰直角三角形，故．又，且平面，故平面．（2）由（1）知，为等腰直角三角形，，如图所示，过点作垂直于，易知，又，故．由，得，，故．以点为坐标原点，分别以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，，，，，，.设平面的法向量为，则，，即，令，则，故可取．由（1）可知平面，故平面的法向量可取为，即.则，又二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．42.(2016上海理6)如图所示，在正四棱柱中，底面的边长为，与底面所成角的大小为，则该正四棱柱的高等于．42.解析因为，所以．故填．43.(2016全国乙理11)平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则，所成角的正弦值为（）.A.B.C.D.43.A解析解法一：将图形延伸出去，构造一个正方体，如图所示.通过寻找线线平行构造出平面，即平面，即研究与所成角的正弦值，易知，所以其正弦值为．故选A．解法二（原理同解法一）：过平面外一点作平面，并使平面，不妨将点变换成，作使之满足同等条件，在这样的情况下容易得到，即为平面，如图所示，即研究与所成角的正弦值，易知，所以其正弦值为．故选A．44.（2016上海理19）将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图所示，长为，长为，其中与在平面的同侧．（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的大小．44.解析（1）连结，则，所以为正三角形，故，所以．（2）设点在下底面圆周的射影为，连结，则，所以为直线与所成角（或补角），，连结，，，所以，故，因此为正三角形，所以，故，所以，故直线与所成角大小为．45.（2016山东理17）在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底面圆的直径，是圆台的一条母线.（1）已知分别为，的中点，求证：平面；（2）已知，.求二面角的余弦值.45.解析（1）证明：设的中点为，连接，在中，因为是的中点，所以.又，所以.在中，因为是的中点，所以.又，，所以平面平面，因为平面，所以平面.（2）解法一：连接，则平面，又且是圆的直径，所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得，，，过点作于点，所以，可得，故.设是平面的一个法向量.由，可得，可得平面的一个法向量，因为平面的一个法向量所以.所以二面角的余弦值为.解法二：连接，过点作于点，则有.又平面，所以平面，可得.过点作于点，连接，可得，从而为二面角的平面角.又，是圆的直径，所以.从而，可得.所以二面角的余弦值为.46.(2016全国甲理19)如图所示，菱形的对角线与交于点，，，点，分别在，上，，交于点，将沿折到的位置，.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.46.解析（1）证明：因为，所以，所以．因为四边形为菱形，所以，所以，所以，所以．因为，所以.又，，所以，所以，所以，所以，所以．又因为，所以面．（2）建立如图坐标系，所以，，，，，，，设面的法向量，由，得，取，所以．同理可得面的法向量，所以，所以，即二面角的正弦值为．47.（2016全国乙理18）如图所示，在以，，，，，为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．47.解析（1）由已知可得，，所以平面.又平面，故平面平面.（2）过作，垂足为，由（1）知平面.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）知为二面角的平面角，故，则，，可得，，，.由已知，，所以平面.又平面平面，故，.由，可得平面，所以为二面角的平面角，故，从而可得.所以，，，，设是平面的法向量，则，即，所以可取.设是平面的法向量，则.同理可取，则，故二面角的余弦值为.48.（2016全国丙理19）如图所示，四棱锥中，地面，，，，为线段上一点，，为的中点.(1)证明平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.48.解析（1）取中点，连接、，因为是中点，，且，又，且，所以，且．所以四边形是平行四边形．所以．又平面，平面，所以平面．（2）取的中点，联结.由得，从而，且.以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知，，，，，设为平面的法向量，则，即.可取.于是.所以直线与平面所成角的正弦值为.49.（2016北京理17）如图所示，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面?若存在，求的值；若不存在，说明理由.49.解析（1）如题中的图所示，平面平面，平面平面，平面，得平面，所以.又因为平面，平面，，所以平面.（2）如图所示，设棱AD的中点是O，由题设可得直线两两互相垂直，所以可建立如图所示的空间直角坐标系.可得，所以，.设平面的一个法向量是，得，所以可得.设直线与平面所成角的大小为，可得，即直线与平面所成角的正弦值是.（3）设棱上存在点，使得平面，并设，得，即，即.得.由平面，平面的一个法向量是，得，解得.又平面，所以平面.即在棱上存在点使得平面，且.50.（2016四川理18）如图所示，在四棱锥中，，，.为边的中点，异面直线与所成的角为.（1）在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由；（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.50.解析（1）取棱的中点，点即为所求的一个点.证明如下：因为，，所以，且.所以四边形是平行四边形，从而.又平面，，所以平面.(说明：取棱的中点，则所找的点可以是直线上任意一点).（2）解法一：由已知得，，，，所以平面.从而.所以是二面角的平面角.所以.设，则在中，.过点作，交的延长线于点，连结.由，，又因为，，所以直线与相交，所以平面，.又，于是平面.所以平面平面.过点作于，则平面.所以是与平面所成的角.在中，，，所以.在中，，所以.解法二：由已知得，，，，所以平面，所以.从而是二面角的平面角.所以.由，，又因为，，所以直线与相交，所以平面.设，则在中，.作，以为原点，以，的方向分别为轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，.设平面的法向量为，由，得，设，解得.设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.51.（2016天津理17）如图所示，正方形的中心为O，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）设为线段上的点，且，求直线和平面所成角的正弦值.51.分析（1）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证；（2）利用空间向量求二面角，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值；（3）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值.解析解法一：（1）取中点，连接，，如图所示.由题意可得，且，所以四边形为平行四边形.所以，且平面，所以平面.（2）连接，由题意可知必过点，如图所示.因为四边形为矩形，且平面，所以平面，即平面，所以.则二面角的二面角为..解法二：依题意，平面，如图所示，以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，可得，，，，，，，.（1）证明：依题意，.设为平面的法向量，则，即.不妨设，可得.又，可得.又因为直线，所以.（2）依题意可得为平面的一个法向量.，.设为平面的法向量，则，即.不妨设，可得.因此有，于是，所以二面角的正弦值为.（3）由，得.因为，所以，进而有，从而，因此.所以直线和平面所成角的正弦值为.52.（2016浙江理17）如图所示在三棱台中平面平面(1)求证：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值.52.解析（1）因为此几何体三棱台，延长可相交于一点如图所示.因为平面，平面为，，且，所以，因此又因为，可以 求得，所以为等边三角形，且为的中点，则.因为，，所以平面（2）取的中点则又知平面平面平面为，所以.以点为原点，分别以射线的方向为的正方向，建立空间直角坐标系由题意得.因此，，设平面的法向量为，平面的法向量为.由，得，令，得；由，得，令，得.于是.所以二面角的平面角的余弦值为53.（2017全国2卷理科10）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）.A．B．C．D．53．解析设，，分别为，，的中点，则和的夹角为和夹角或其补角（异面线所成角为）.可知，，取的中点，联结，则可知为直角三角形．，.在中，，即，则，则在中，.在中，.又异面直线所成角为，则其余弦值为．故选C.54.（2107山东理17）如图所示，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点.（1）设是上的一点，且，求的大小；（2）当，，求二面角的大小.54.解析（1）因为，，，平面，，所以平面.又平面，所以.又，所以.（2）以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得，，，，则，，.设是平面的一个法向量，由，可得，取，可得平面的一个法向量.设是平面的一个法向量，由，可得，取，可得平面的一个法向量.从而，易知二面角为锐角.因此所求的角为.55.（2017江苏22）如图所示，在平行六面体中，平面，且，，．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的正弦值．55.解析在平面内，过点作，交于点．因为平面，所以，．如图所示，以为正交基底，建立空间直角坐标系．因为，，．则，，，，，．（1），，则．因此异面直线与所成角的余弦值为．（2）平面的一个法向量为．设为平面的一个法向量，又，，则，即．不妨取，则，，所以为平面的一个法向量.从而，设二面角的大小为，则．因为，所以．因此二面角的正弦值为．56.（2017全国1卷理科18）如图所示，在四棱锥中，，且.(1)求证：平面平面；(2)若，，求二面角的余弦值.56.解析（1）证明：因为，所以，.又因为，所以.又因为，，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）取的中点，的中点，联结，，因为，所以四边形为平行四边形，所以.由（1）知，平面，所以平面.又，平面，所以，.又因为，所以，从而，，两两垂直.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，所以，，，，所以，，.设为平面的一个法向量，由，得.令，则，，可得平面的一个法向量.因为，所以，又知平面，平面，所以，又，所以平面.即是平面的一个法向量，，从而.由图知二面角为钝角，所以它的余弦值为.57.（2017全国2卷理科19）如图所示，在四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，是的中点.（1）求证：直线平面；（2）点在棱上，且直线与底面所成的锐角为，求二面角的余弦值.57．解析（1）令的中点为，联结，，如图所示．因为点，为，的中点，所以为的中位线，所以．又因为，所以．又因为，所以，于是．从而四边形为平行四边形，所以．又因为，所以平面.（2）以的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，，．点在底面上的投影为，所以，联结．因为，所以为等腰直角三角形．因为为直角三角形，，所以．设，，．所以．．从而．所以，，，．设平面的法向量，则，所以，易知平面的一个法向量为，从而．故二面角的余弦值为．58.（2017全国3卷理科19）如图所示，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．（1）求证：平面平面；（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值．58．解析⑴如图所示，取的中点为，联结，.因为为等边三角形，所以，.由，得，所以，即为等腰直角三角形，从而为直角.又为底边中点，所以.令，则，易得，，所以，从而由勾股定理的逆定理可得，即.由，所以平面.又因为平面，由面面垂直的判定定理可得平面平面.⑵由题意可知，即，到平面的距离相等，即点为的中点.以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，设，建立空间直角坐标系，则，，，，，易得，，.设平面的法向量为，平面的法向量为，则，取；，取.设二面角为，易知为锐角，则.59.（2017北京理16）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点在线段上，平面，，．（1）求证：为的中点；（2）求二面角的大小；（3）求直线与平面所成角的正弦值．59.解析（1）设的交点为，联结.因为平面，平面平面，所以.因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点.（2）取的中点，联结，.因为，所以.又因为平面平面，且平面，所以平面.因为平面，所以.因为是正方形，所以.如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，.设平面的法向量为，则，即.令，则，，于是.平面的法向量为，所以.由题知二面角为锐角，所以它的大小为.（3）由（1）知，，.设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.60.（2017天津理17）如图所示，在三棱锥中，底面，.点分别为棱，，的中点，是线段的中点，，.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长.60.解析如图所示，以为坐标原点，为基底，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意可得，，，，，，，．（1）证明：，.设为平面的一个法向量，则，即，不妨设，可得.又，可得，因为平面，所以平面．（2）易知为平面的一个法向量.设为平面的一个法向量，则，因为，，所以.不妨设，可得.因此有，于是.所以二面角的正弦值为.（3）依题意，设，则H（0，0，h），进而可得，.由已知得，整理得，解得或.所以线段AH的长为或.61.（2107浙江19）如图所示，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.61.解析（1）如图所示，设DE的中点为，联结，.因为，分别为，的中点，所以，且.又因为，，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，所以平面.（2）分别取，的中点为，.联结交于点，联结.因为，，分别是，，的中点，所以为的中点，在平行四边形中，.由为等腰直角三角形，得.由，是的中点，所以，且,所以四边形是平行四边形，所以，所以.又,所以平面，由，得平面，又平面，所以平面平面.过点作的垂线，垂足为，联结.是在平面上的射影，所以是直线与平面所成的角.设.在中，由，，，由余弦定理得，又平面，平面，所以.在中，由，，,为的中点，得.在中，，，所以，所以直线与平面所成角的正弦值是.62．（2107浙江9）如图所示，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），，，分别为，，上的点，，，分别记二面角，，的平面角为，，，则（）.A．  B．C． D．62.解析如图所示，设点在底面内的射影为，判断到，，的距离，到哪条线段的距离越小，对应的二面角就越大.显然有均为锐角．为三等分点，到三边的距离相等．动态研究问题：，所以到的距离不变，到的距离减少，到的距离变大．所以．题型99空间距离的计算--暂无题型100与空间角、空间距离有关的开放性、探索性问题--暂无1.（2013浙江理20）如图，在四面体中，平面，.是的中点，是的中点，点在线段上，且.（1）证明：平面；（2）若二面角的大小为，求的大小.2.(2013天津理17）如图，四棱柱中．侧棱底面，，，，，为棱的中点．(1)证明：；(2)求二面角的正弦值；(3)设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．3.（2013湖北理19）如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线⊥平面，，分别是，的中点．(1)记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明；(2)设(1)中的直线与圆的另一个交点为，且点满足，记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求证：．4.（2014江西理10）如图所示，在长方体中，，，.一质点从顶点射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线段记为，，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）.4.解析由对称性知质点经点反射到平面的点处.在坐标平面中，直线的方程为，与直线的方程联立得.由两点间的距离公式得，因为，所以.所以.所以.故选C.评注本题考查了对称性和空间想象能力.考查了分析问题、解决问题的能力.把空间问题转化为平面问题是解题的关键.5.（2014湖北理19）(本小题满分12分)如图，在棱长为的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱上移动，且.（1）当时，证明：直线平面;（2）是否存在，使平面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.6.（2015湖北理19）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接（1）证明：．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面与面所成二面角的大小为，求的值．6．解析解法一:（1）因为底面，所以，由底面为长方形，有，而，所以.而，所以.又因为，点是的中点，所以.而，所以平面.而，所以.又，，所以平面.由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为.（2）如图1，在面内，延长与交于点，则是平面与平面的交线.由（1）知，，所以.又因为底面，所以.而，所以.故是面与面所成二面角的平面角，设，，有，在Rt△PDB中,由,得,则,解得.所以故当面与面所成二面角的大小为时，.解法二:（1）如图2，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设，，则，，点是的中点，所以，，于是，即.又已知，而，所以.因为,,则,所以.由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为.图（1）图（2）（2）由，所以是平面的一个法向量；由（1）知，，所以是平面的一个法向量.若面与面所成二面角的大小为，则，解得.所以故当面与面所成二面角的大小为时，.7.（2015全国2理19）如图所示，长方体中，，，，点分别在，上，，过点的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（1）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（2）求直线AF与平面所成角的正弦值7.分析（1）根据题意要求，直接在图中作图即可；（2）空间中角的问题，若方便建立空间直角坐标系，则用空间向量法来解.将几何问题算法化，用代数计算的方法解决几何问题.解析（1）根据题意，交线围成的正方形如图（1）所示：（2）如图（2）所示，过点作，垂足为，则，，因为为正方形，所以．于是有，所以．以为坐标原点，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图（2）所示的空间直角坐标系，图（1）图（2）则，，，，则，．设是平面的法向量，则有即所以可取．又，故．所以直线与平面所成角的正弦值为．评注立体几何的命题主要是考查学生的空间观念和空间想象能力.并结合对空间关系、空间角的计算，特别是应用空间坐标和向量这一工具来进行求解，并注意与推理论证相结合.8.（2015天津理17）如图所示，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点.（1）求证：平面.（2）求二面角的正弦值；（3）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长.8.分析以为原点建立空间直角坐标系(1)求出直线的方向向量与平面的法向量，两个向量的乘积等于即可；(2)求出两个平面的法向量，可计算两个平面所成二面角的余弦值的大小，再求正弦值即可；(3)设，代入线面角公式计算可解出的值，即可求出的长.解析如图所示，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得：，，又因为分别为和的中点，得.(1)解法一（向量法）：证明：依题意，可得为平面的一个法向量，，由此可得，，又因为直线平面，所以平面.解法二（几何法）：取的中点，连接，.因为点，分别为，的中点，所以，且，故.所以四边形为平行四边形，则，平面，平面，所以平面.(2)，，设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，设为平面的一个法向量，则，又，得，不妨设，可得.因此有，于是，所以二面角的正弦值为.(3)依题意，可设，其中，则，从而，又为平面的一个法向量，由已知得：，整理得，又因为，解得，所以线段的长为.9.（2015江苏22）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．（1）求平面与平面所成二面角的余弦值；（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长．9.解析由平面，，故，，两两垂直，所以建立如右图所示的空间直角坐标系，则，，，．（1）易知平面，故平面的一个法向量为．又，，设平面的一个法向量为，则，，所以，取，则，，故，因此，易知平面与平面所成二面角为锐二面角，故其余弦值为．（2）因为，设，．所以，因此，设，所以，令，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，有最大值，即有最大值，此时直线与所成的角最小，故．评注也可以假设点的坐标解决．在求解的最大值时，也可以处理成：，设，则，所以，所以当，取最小值，此时取最大值，此时直线与所成的角最小，即，解得，故．10.（2017全国3卷理科16），为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在的直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线与成角时，与成角；②当直线与成角时，与成角；③直线与所成角的最小值为；④直线与所成角的最小值为；其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）.10．解析由题意知，，，三条直线两两相互垂直，作出图像如图所示．不妨设图中所示的正方体的边长为1，故，，边以直线为旋转轴旋转，则点保持不变，点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆．以为坐标原点，以为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系．则，，直线的方向单位向量，．点起始坐标为，直线的方向单位向量，．设点在运动过程中的坐标，其中为与的夹角，.那么在运动过程中的向量，．设与直线所成夹角为，则，所以，故③正确，④错误．设与直线所成夹角为，.当与直线夹角为时，即，．因为，所以．从而．因为，所以，此时与的夹角为．所以②正确，①错误．故填②③.11.（2017天津理17）如图所示，在三棱锥中，底面，.点分别为棱，，的中点，是线段的中点，，.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长.11.解析如图所示，以为坐标原点，为基底，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意可得，，，，，，，．（1）证明：，.设为平面的一个法向量，则，即，不妨设，可得.又，可得，因为平面，所以平面．（2）易知为平面的一个法向量.设为平面的一个法向量，则，因为，，所以.不妨设，可得.因此有，于是.所以二面角的正弦值为.（3）依题意，设，则H（0，0，h），进而可得，.由已知得，整理得，解得或.所以线段AH的长为或.题型101立体几何中的最值问题探究与扩展--暂无欢迎访问"高中试卷网"--http://sj.fjjyvvvvv