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免费2013-2017年五年高考数学(理)分类汇编解析：第9章-直线与圆的方程第九章直线与圆的方程第1节直线的方程与两条直线的位置关系1．（2017浙江11）我国古代数学家刘徽创立的"割圆术"可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了"割圆术"，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，"割圆术"的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，.1.解析正六边形的面积为6个正三角形的面积和，所以.题型102倾斜角与斜率的计算--暂无1.（2013江西理9）过点引直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于（）.A．B．C．D．2．（2015山东理9）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为().A．或  B．或  C．或  D．或2.解析由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点．设反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线的方程为，即．由题意，圆心到此直线的距离等于圆的半径1，即，所以，解得或．故选D．题型103直线的方程--暂无1.（2013山东理9）过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为（）.A.B.C.D.2.（2013江苏17）如图，在平面直角坐标系中，点，直线.设圆的半径为，圆心在上.（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.3．（2015广东理5）平行于直线且与圆相切的直线的方程是（）.A．或B．或C．或D．或3.解析设所求切线方程为，依题意有，解得，所以所求切线的方程为或．故选A．题型104两直线位置关系的判定--暂无1．（2015广东理5）平行于直线且与圆相切的直线的方程是（）.A．或B．或C．或D．或1.解析设所求切线方程为，依题意有，解得，所以所求切线的方程为或．故选A．题型105有关距离的计算1.（2014重庆理13）已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数_________.2.（2014新课标2理16）设点，若在圆：上存在点，使得，则的取值范围是.3.（2014新课标1理6）如图，圆的半径为，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示成的函数，则在上的图像大致为（）.4.（2014福建理6）直线与圆相交于两点，则是"的面积为"的（）.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件5．（2015广东理5）平行于直线且与圆相切的直线的方程是（）.A．或B．或C．或D．或5.解析设所求切线方程为，依题意有，解得，所以所求切线的方程为或．故选A．6．（2015江苏理10）在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．6.解析解法一（几何意义）：动直线整理得，则经过定点，故满足题意的圆与切于时，半径最大，从而，故标准方程为．解法二（代数法--基本不等式）：由题意，当且仅当时，取""．故标准方程为．解法三（代数法--判别式）：由题意，设，则，因为，所以，解得，即的最大值为．7．（2015湖北理14）如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（B在A的上方），且．(1)圆的标准方程为；(2)过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：①；②；③．其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）7.解析（1）由条件可设圆的标准方程为(为半径)，因为，所以，故圆的标准方程为.（2）在中令得,因为在圆上，所以由三角函数的定义可设从而.同理，故，，8．（2015全国II理7）过三点，，的圆交于轴于两点，则（）．A.2B.C.4D.8.解析由题意得，，所以，所以，即为直角三角形，则外接圆的圆心为的中点，半径为，所以外接圆方程为，令，则有，所以，故选C．9．（2015广东理20）已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，.(1) 求圆的圆心坐标；(2) 求线段的中点的轨迹的方程；(3) 是否存在实数,使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.9.解析（1）由得，所以圆的圆心坐标为；（2）设．因为点为弦中点，即，所以，即，所以线段的中点的轨迹的方程为；（3）由（2）知点的轨迹是以为圆心，为半径的部分圆弧（不包括两端点），且，．又直线过定点，当直线与圆相切时，由得．又，所以当时，直线与曲线只有一个交点．10．（2015四川理10）设直线与抛物线相交于两点，与圆：相切于点，且为线段中点，若这样的直线恰有条，则的取值范围是（）.A.B.C.D.10.解析设直线的方程为，代入抛物线方程得，则.又中点，则，即.代入，可得，即.又由圆心到直线的距离等于半径，可得.由，可得.故选D.11.（2015重庆理8）已知直线是圆的对称轴.过点作圆的一条切线，切点为，则（）.A.2B.C.6D.11.解析易知圆的标准方程，圆心为.又因为直线是圆的对称轴，则该直线一定经过圆心，得知，．又因为直线与圆相切，则为直角三角形,,,．12.（2016全国甲理4）圆的圆心到直线的距离为1，则（）.A.B.C.D.212.A解析将圆化为标准方程为：，故圆心为，所以，解得.故选A．13.（2016上海理3），，则，的距离为．13.解析由题意．故填．14.（2016全国丙理16）已知直线与圆交于，两点，过，分别做的垂线与轴交于，两点，若，则__________________.14.4解析解法一：根据直线与圆相交弦长公式有，得，又，得.因此圆心到直线：的距离，解得因此直线的方程为.所以直线的倾斜角为.如图所示，过点作于点，则.解法二：直线：，知直线过定点，又，所以为等边三角形,因为，所以，又知,所以点在轴上（直线的斜率存在）.所以得直线的倾斜角为，则.第2节圆的方程题型106求圆的方程--暂无1.（2014陕西理12）若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.2．（2015江苏理10）在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．2.解析解法一（几何意义）：动直线整理得，则经过定点，故满足题意的圆与切于时，半径最大，从而，故标准方程为．解法二（代数法--基本不等式）：由题意，当且仅当时，取""．故标准方程为．解法三（代数法--判别式）：由题意，设，则，因为，所以，解得，即的最大值为．3．（2015湖北理14）如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（B在A的上方），且．(1)圆的标准方程为；(2)过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：①；②；③．其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）3.解析（1）由条件可设圆的标准方程为(为半径)，因为，所以，故圆的标准方程为.（2）在中令得,因为在圆上，所以由三角函数的定义可设从而.同理，故，，4．（2015全国II理7）过三点，，的圆交于轴于两点，则（）．A.2B.C.4D.4.解析由题意得，，所以，所以，即为直角三角形，则外接圆的圆心为的中点，半径为，所以外接圆方程为，令，则有，所以，故选C．题型107与圆有关的轨迹问题--暂无1．（2015广东理20）已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，.（1）求圆的圆心坐标；（2）求线段的中点的轨迹的方程；（3）是否存在实数,使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.1.解析（1）由得，所以圆的圆心坐标为；（2）设．因为点为弦中点，即，所以，即，所以线段的中点的轨迹的方程为；（3）由（2）知点的轨迹是以为圆心，为半径的部分圆弧（不包括两端点），且，．又直线过定点，当直线与圆相切时，由得．又，所以当时，直线与曲线只有一个交点．题型115与圆有关的最值或取值范围问题1．（2015四川理10）设直线与抛物线相交于两点，与圆：相切于点，且为线段中点，若这样的直线恰有条，则的取值范围是（）.A.B.C.D.1.解析设直线的方程为，代入抛物线方程得，则.又中点，则，即.代入，可得，即.又由圆心到直线的距离等于半径，可得.由，可得.故选D.第3节直线与圆、圆与圆的位置关系题型108直线与圆的位置关系1.（2014湖北理12）直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则________.2.（2014江西理9）在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（）.A.B.C.D.3.（2014福建理6）直线与圆相交于两点，则是"的面积为"的（）.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件4.（2014大纲理15）直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角的正切值等于.5．（2015山东理9）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为().A．或  B．或  C．或  D．或5.解析由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点．设反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线的方程为，即．由题意，圆心到此直线的距离等于圆的半径1，即，所以，解得或．故选D．6．（2015广东理5）平行于直线且与圆相切的直线的方程是（）.A．或B．或C．或D．或6.解析设所求切线方程为，依题意有，解得，所以所求切线的方程为或．故选A．7．（2015江苏理10）在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．7.解析解法一（几何意义）：动直线整理得，则经过定点，故满足题意的圆与切于时，半径最大，从而，故标准方程为．解法二（代数法--基本不等式）：由题意，当且仅当时，取""．故标准方程为．解法三（代数法--判别式）：由题意，设，则，因为，所以，解得，即的最大值为．8．（2015湖北理14）如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（B在A的上方），且．(1)圆的标准方程为；(2)过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：①；②；③．其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）8.解析（1）由条件可设圆的标准方程为(为半径)，因为，所以，故圆的标准方程为.（2）在中令得,因为在圆上，所以由三角函数的定义可设从而.同理，故，，9．（2015全国II理7）过三点，，的圆交于轴于两点，则（）．A.2B.C.4D.9.解析由题意得，，所以，所以，即为直角三角形，则外接圆的圆心为的中点，半径为，所以外接圆方程为，令，则有，所以，故选C．10．（2015广东理20）已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，.（1）求圆的圆心坐标；（2）求线段的中点的轨迹的方程；（3）是否存在实数,使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.10.解析（1）由得，所以圆的圆心坐标为；（2）设．因为点为弦中点，即，所以，即，所以线段的中点的轨迹的方程为；（3）由（2）知点的轨迹是以为圆心，为半径的部分圆弧（不包括两端点），且，．又直线过定点，当直线与圆相切时，由得．又，所以当时，直线与曲线只有一个交点．11．（2015四川理10）设直线与抛物线相交于两点，与圆：相切于点，且为线段中点，若这样的直线恰有条，则的取值范围是（）.A.B.C.D.11.解析设直线的方程为，代入抛物线方程得，则.又中点，则，即.代入，可得，即.又由圆心到直线的距离等于半径，可得.由，可得.故选D.12.（2015重庆理8）已知直线是圆的对称轴.过点作圆的一条切线，切点为，则（）.A.2B.C.6D.12.解析易知圆的标准方程，圆心为.又因为直线是圆的对称轴，则该直线一定经过圆心，得知，．又因为直线与圆相切，则为直角三角形,,,．13.（2016全国甲理4）圆的圆心到直线的距离为1，则().A.B.C.D.213.A解析将圆化为标准方程为：，故圆心为，所以，解得.故选A．题型109直线与圆的相交关系及其应用1.（2013江西理9）过点引直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于（）.A．B．C．D．2.（2014重庆理13）已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数_________.3.（2014江苏理9）在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为．4.（2016北京理11）在极坐标系中，直线圆交于两点，则_______.4.解析解法一：在平面直角坐标系中，题中的直线圆的方程分别是，.可得两点的坐标，即为方程组的解，用代入法可求得两点的坐标分别为，所以由两点的距离公式可求得.解法二：直线的直角坐标方程为，圆的直角坐标方程为.圆心在直线上，因此为圆的直径，所以.5.（2016全国丙理14）在上随机地取一个数，则事件"直线与圆相交"发生的概率为.5.解析首先的取值空间的长度为2，由直线与圆相交，所以，解得，所以得事件发生时的取值空间为，其长度为，利用几何概型可知，所求概率为.6.（2016全国丙理16）已知直线与圆交于，两点，过，分别做的垂线与轴交于，两点，若，则__________.6.4解析解法一：根据直线与圆相交弦长公式有得，又，得.因此圆心到直线：的距离，解得因此直线的方程为.所以直线的倾斜角为.如图所示，过点作于点，则.解法二：直线：，知直线过定点，又，所以为等边三角形,因为，所以,又知,所以点在轴上（直线的斜率存在）.所以得直线的倾斜角为，则.题型110直线与圆相切、相离关系及其应用--暂无1. （2013山东理9）过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为（）.A.B.C.D.2.（2013江苏17）如图，在平面直角坐标系中，点，直线.设圆的半径为，圆心在上.（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.3.（2014江西理9）在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（）.A.B.C.D.4.（2014大纲理15）直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角的正切值等于.题型111直线与圆的综合1.（2014新课标2理16）设点，若在圆：上存在点，使得，则的取值范围是.2.（2014湖北理12）直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则________.3．（2016江苏18）如图所示，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点.（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；（3）设点满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围．3.解析（1）因为在直线上，设，因为与轴相切，则圆为，.又圆与圆外切，圆，则，解得，即圆的标准方程为.（2）由题意得，，设，则圆心到直线的距离，则，解得或，即或.（3）解法一：不妨设，，又因为，，由，所以，因为点在圆上，因此满足，故有，又点在圆上，故点既在圆上，也在圆上，所以只需两圆有公共点即可，所以，解得．所以实数的取值范围为．评注对于第（3）问，尝试将向量进行组合运算可以得到．解法二：，即.则有必要条件.因为，又，即，解得.下论证充分性，即存在两点可使.对于任意，欲使，此时，只需要作直线的平行线，使圆心到直线的距离为，必然与圆交于两点，此时，且有，因此对于任意，均满足题意，综上实数的取值范围为.4.（2017江苏13）在平面直角坐标系中，点，，点在圆上．若，则点的横坐标的取值范围是．4.解析不妨设，则，且易知．因为，故．所以点在圆上，且在直线的左上方（含直线）.联立，得，，如图所示，结合图形知．故填．评注也可以理解为点在圆的内部来解决，与解析中的方法一致．5．（2107全国3卷理科20）已知抛物线，过点的直线交与，两点，圆是以线段为直径的圆．（1）求证：坐标原点在圆上；（2）设圆过点，求直线与圆的方程．5．解析（1）显然当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设，，，联立，得，恒大于，，．，所以，即点在圆上．（2）若圆过点，则，即，即，即，化简得，解得或.①当时，，设圆心为，则，，半径，则圆.②当时，，设圆心为，，，半径，则圆.题型112圆与圆的位置关系及其应用--暂无1. (2013重庆理7）已知圆，圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（）.A.B.C.D.欢迎访问"高中试卷网"--http://sj.fjjyvvvvv