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免费2015-2017学年高考数学文科真题分项解析—专题25：选修部分1.【2017课标1，文22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为．（1）若，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求．【答案】（1），；（2）或．试题解析：（1）曲线的普通方程为．当时，直线的普通方程为．由解得或．从而与的交点坐标为，．（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为．当时，的最大值为．由题设得，所以；当时，的最大值为．由题设得，所以．综上，或．【考点】参数方程【名师点睛】本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表达椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数的值．2【2017课标1，文23】已知函数，．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含[-1，1]，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．试题解析：（1）当时，不等式等价于．①当时，①式化为，无解；当时，①式化为，从而；当时，①式化为，从而．所以的解集为．（2）当时，．所以的解集包含，等价于当时．又在的最小值必为与之一，所以且，得．所以的取值范围为．【考点】不等式选讲【名师点睛】形如(或)型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为，，(此处设)三个部分，在每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)图像法：作出函数和的图像，结合图像求解．3.【2017课标II，文22】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值。【答案】(1)；(2)。(2)利用(1)中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得面积的最大值为。试题解析：（1）设的极坐标为，M的极坐标为，由题设知。由得的极坐标方程。因此的直角坐标方程为。（2）设点B的极坐标为,由题设知,于是面积当时，S取得最大值。所以面积的最大值为。【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程；三角形面积的最值。【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。重点考查了转化与化归能力。遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解。要结合题目本身特点，确定选择何种方程。4.【2017课标II，文23】已知。证明：（1）；（2）。【答案】(1)证明略；(2)证明略。试题解析：(1)(2)因为所以，因此。【考点】基本不等式；配方法。【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题。若不等式恒等变形之后若与二次函数有关，可用配方法。5.【2017课标3，文22】在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），直线的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)?=0，M为l3与C的交点，求M的极径.【答案】（1）；（2）试题解析：（1）直线的普通方程为，直线的普通方程为，消去k得，即C的普通方程为.（2）化为直角坐标方程为，联立得，∴，∴与C的交点的极径为.【考点】参数方程普通方程，极坐标方程化直角坐标方程【名师点睛】（1）参数方程普通方程方法为加减消元法及平方消元法（2）利用将极坐标方程化直角坐标方程6.【2017课标3，文23】已知函数=│x+1│-│x-2│.（1）求不等式≥1的解集；（2）若不等式≥x2-x+m的解集非空，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）②当时，，由，可得，∴③当时，，，.综上所述的解集为.（2）原式等价于存在，使，成立，即，设，由（1）知，当时，，其开口向下，对称轴，∴，当时，其开口向下，对称轴为，∴，当时，，其开口向下，对称轴为，∴，综上，∴的取值范围为.【考点】绝对值三角不等式，解含绝对值不等式【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．7【2017江苏，21】A.[选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足.求证：（1）（2）.【答案】见解析（2）由（1）知，故，所以【考点】圆性质，相似三角形【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为"相似三角形→比例式→等积式"．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．B.[选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A=，B=.（1）求;（2）若曲线在矩阵对应的变换作用下得到另一曲线,求的方程.【答案】（1）（2）它在矩阵AB对应的变换作用下变为,则，即，所以.因为在曲线上，所以，从而，即.因此曲线在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线.【考点】矩阵乘法、线性变换【名师点睛】（1）矩阵乘法注意对应相乘：（2）矩阵变换注意变化前后对应点：表示点在矩阵变换下变成点C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面坐标系中中,已知直线的参考方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数).设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值.【答案】【解析】解：直线的普通方程为.因为点在曲线上，设，从而点到直线的的距离，当时，.因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值.【考点】参数方程化普通方程【名师点睛】1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．D.［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）已知为实数，且证明【答案】见解析【考点】柯西不等式【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn为实数，则(a1(2)＋a2(2)＋…＋an(2))(b1(2)＋b2(2)＋…＋bn(2))≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0或存在一个数k，使ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立.【2016，2015，2014高考】1.【2014湖南文12】在平面直角坐标系中，曲线（为参数）的普通方程为___________.【答案】【解析】联立消可得,故填.【考点定位】参数方程【名师点睛】本题主要考查了只需的参数方程，解决问题的关键是根据直线的参数方程联立消去参数t即可，难度不大，属于基础题目，属于对基本运算能力的考查.2.【2016高考天津文数】如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为__________.【答案】考点：相交弦定理【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为"相似三角形→比例式→等积式"．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．3.【2015高考湖南，文12】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为，则曲线C的直角坐标方程为_____.【答案】【解析】试题分析：将极坐标化为直角坐标，求解即可．曲线C的极坐标方程为，它的直角坐标方程为，故答案为：．【考点定位】圆的极坐标方程【名师点睛】1.运用互化公式：将极坐标化为直角坐标；2.直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．4.【2014高考陕西版文第15题】（不等式选做题）设，且，则的最小值为______.【答案】考点：柯西不等式.【名师点晴】本题主要考查的是柯西不等式，属于容易题,解题时关键是充分利用已知条件，结合柯西不等式可得，则问题可解5.【2014高考陕西版文第15题】（几何证明选做题）如图，中，，以为直径的半圆分别交于点，若，则=_______.【答案】3考点：几何证明；三角形相似.【名师点晴】本题主要考查的是几何证明，属于容易题.此类问题一般都综合了有关圆的相关定理，同时又考察相似三角形有关定理，但难度一般都不大，解题注意整合已知条件，严密推理.凡是题目中涉及长度的，通常会使用到相似三角形、全等三角形、正弦定理、余弦定理等基础知识．6.【2014高考陕西版文第15题】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点到直线的距离是_______.【答案】1【解析】试题分析：直线化为直角坐标方程为，点的直角坐标为，点到直线的距离，故答案为1.考点：极坐标方程；点到直线距离.【名师点晴】本题主要考查的是极坐标系与参数方程及点到直线距离，属于容易题.此类问题一般主要是极坐标与直角坐标的互化，参数方程与普通方程的互化，解题时主要是熟记有关互化公式，有的题目会考察到其中参数实际的几何意义7.【2014高考广东卷.文.14】(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线和的方程分别为和,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线和交点的直角坐标为_________.【答案】.【解析】曲线的极坐标方程为,化为普通方程得,曲线的普通方程为,联立曲线和的方程得,解得,因此曲线和交点的直角坐标为.【考点定位】本题考查极坐标与参数方程的相互转化以及曲线的交点坐标求解,属于中等题.【名师点晴】本题主要考查的是极坐标方程化为直角坐标方程和两曲线的交点，属于中等题．解决此类问题的关键是极坐标方程转化为平面直角坐标系方程，并把几何问题代数化．8.【2014高考广东卷.文.15】(几何证明选讲选做题)如图1,在平行四边形中,点在上且,与交于点,则.【答案】【考点定位】本题考查相似三角形性质的应用,属于中等题.【名师点晴】本题主要考查的是相似三角形的性质定理，属于中等题．解题时一定要抓住重要字眼"周长"，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是相似三角形的性质定理，即相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于相似比．9.【2015高考广东，文14】（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），则与交点的直角坐标为．【答案】【解析】曲线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为，由得：，所以与交点的直角坐标为，所以答案应填：．【考点定位】1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点．【名师点晴】本题主要考查的是极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程和两曲线的交点，属于容易题．解决此类问题的关键是极坐标方程或参数方程转化为平面直角坐标系方程，并把几何问题代数化．10.【2015高考广东，文15】（几何证明选讲选做题）如图，为圆的直径，为的延长线上一点，过作圆的切线，切点为，过作直线的垂线，垂足为．若，，则．【答案】【考点定位】1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理．【名师点晴】本题主要考查的是切线的性质、平行线分线段成比例定理和切割线定理，属于容易题．解题时一定要注意灵活运用圆的性质，否则很容易出现错误．凡是题目中涉及长度的，通常会使用到相似三角形、全等三角形、正弦定理、余弦定理等基础知识．三、解答题1.【2015高考陕西，文22】选修4-1：几何证明选讲如图，切于点，直线交于两点，垂足为.(I)证明：(II)若，求的直径.【答案】(I)证明略，详见解析；(II).解得，所以，由切割线定理得，解得，故，即的直径为3.试题解析：(I)因为是的直径，则又，所以又切于点，得所以(II)由(I)知平分，则，又，从而，所以所以，由切割线定理得即，故，即的直径为3.【考点定位】1.几何证明；2.切割线定理.【名师点睛】（1）近几年高考对本部分的考查主要是围绕圆的性质考查考生的推理能力、逻辑思维能力，试题多是运用定理证明结论，因而圆的性质灵活运用是解题的关键；（2）在几何题目中出现求长度的问题，通常会使用到相似三角形.全等三角形.切割线定理等基础知识；（3）本题属于基础题，要求有较高分析推理能力2.【2015高考陕西，文23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标版权法吕，直线的参数方程为为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为.(I)写出的直角坐标方程；(II)为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求点的坐标.【答案】(I)；(II).试题解析：(I)由，得，从而有所以(II)设，又，则，故当时，取得最小值，此时点的坐标为.【考点定位】1.极坐标系与参数方程；2.点与圆的位置关系.【名师点睛】本题考查极坐标系与参数方程，解决此类问题的关键是如何正确地把极坐标方程或参数方程转化平面直角坐标系方程，并把几何问题代数化.本题属于基础题，注意运算的准确性.3.【2015高考陕西，文24】选修4-5：不等式选讲已知关于的不等式的解集为(I)求实数的值；(II)求的最大值.【答案】(I)；(II).试题解析：(I)由，得则，解得(II)当且仅当即时等号成立，故【考点定位】1.绝对值不等式；2.柯西不等式.【名师点睛】（1）零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间.去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值；（2）要注意区别不等式与方程区别；（3）用柯西不等式证明或求值事要注意两点：一是所给不等式的形式是否和柯西不等式的形式一致，若不一致，需要将所给式子变形；二是注意等号成立的条件.4.【2016高考新课标1文数】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,OA为半径作圆.(I)证明：直线AB与O相切；(II)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明：AB∥CD.【答案】(I)见解析(II)见解析试题解析：（Ⅰ）设是的中点,连结,因为,所以,．在中,,即到直线的距离等于圆的半径,所以直线与⊙相切．（Ⅱ）因为,所以不是四点所在圆的圆心,设是四点所在圆的圆心,作直线．由已知得在线段的垂直平分线上,又在线段的垂直平分线上,所以．同文可证,．所以．考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好"长度关系"与"角度关系的转化",熟悉相关定文与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定文；三角形的相似与性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定文.5.【2016高考新课标1文数】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为（t为参数,a＞0）．在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=.（I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；（II）直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a．【答案】（I）圆,（II）1试题解析：⑴  （均为参数）,∴ ①∴为以为圆心,为半径的圆．方程为∵,∴ 即为的极坐标方程⑵ ,两边同乘得,即 ②：化为普通方程为,由题意：和的公共方程所在直线即为①-②得：,即为∴,∴考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用【名师点睛】"互化思想"是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.6．【2014全国2，文22】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，是外一点，是切线，为切点，割线与相交于，，为的中点，的延长线交于点.证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）（Ⅱ）由切割线定理得．因为,所以，由相交弦定理得，所以．【考点定位】基本不等式.【名师点睛】本题考查了基本不等式的性质，证明不等式的方法综合法，计算能力，逻辑推理能力，属于基础题．7.【2014全国2，文23】(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为.（Ⅰ）求得参数方程；（Ⅱ）设点在上，在处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定的坐标.【考点定位】1.极坐标方程；2.参数方程；3.普通方程.【名师点睛】本题考查了极坐标方程、参数方程的运用，学生分析解决问题的能力，正确运用参数方程是解决问题的关键．8.【2014全国2，文24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，求的取值范围.【考点定位】绝对值函数及不等式.【名师点睛】本题考查了绝对值函数，绝对值的性质，解绝对值不等式的方法，计算能力，逻辑推理能力，属于基础题．9.【2016高考新课标1文数】（本小题满分10分）,选修4-5：不等式选讲已知函数.（I）在答题卡第（24）题图中画出的图像；（II）求不等式的解集．【答案】（I）见解析（II）【解析】试题分析：（I）取绝对值得分段函数,然后作图；（II）用零点分区间法分,,,分类求解,然后取并集试题解析：⑴如图所示：⑵ ,当,,解得或,当,,解得或或当,,解得或,或综上,或或,,解集为考点：分段函数的图像,绝对值不等式的解法【名师点睛】不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等.解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写出集合形式.10.【2014全国1，文22】如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点，且.（I）证明：；（II）设不是的直径，的中点为，且，证明：为等边三角形.又AD不是圆O的直径，M为AD的中点，故，即.所以，故，又，故.由（1）知，，所以为等边三角形.考点：1.圆的几何性质;2.等腰三角形的性质【名师点睛】本题考查圆的内接四边形性质，第一问利用四边形是的内接四边形，可得，由，可得，即可证明：；第二问设的中点为，连接，证明，可得，进而可得，即可证明为等边三角形，本题考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11.【2014全国1，文23】已知曲线，直线（为参数）（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（2）过曲线上任意一点作与夹角为30°的直线，交于点，求的最大值与最小值.【解析】：（1）曲线C的参数方程为，（为参数），直线的普通方程为.（2）曲线C上任意一点到的距离为.则，其中为锐角，且，当时，取得最大值，最大值为.当时，取得最小值，最小值为.考点：1.椭圆的参数方程;2.直线的参数方程;3.三三角函数的有界性【名师点睛】本题考查普通方程与参数方程的互化,考查了点到直线的距离公式,熟练掌握普通方程与参数方程的互化公式是解决本题的关键，体现了数学转化思想和方法，同时考查了学生的综合分析问题的能力和计算能力.12.【2014全国1，文24】若且（I）求的最小值；（II）是否存在，使得？并说明理由.（2）由（1）知，.由于，从而不存在a，b，使得.考点：1.基本不等式的应用;2.代数式的处理【名师点睛】本题主要考查基本不等式在求函数最值中的应用,在使用基本不等式时一定要注意不等式成立的条件，要注意检验等号成立条件是否具备,本题考查了考生的计算能力和化归和转化问题的能力.13.【2015高考新课标1，文22】选修4-1：几何证明选讲如图AB是O直径，AC是O切线，BC交O与点E.（I）若D为AC中点，求证：DE是O切线；（II）若，求的大小.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60°试题解析：（Ⅰ）连结AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB，在Rt△AEC中，由已知得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，连结OE，∠OBE=∠OEB，∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是圆O的切线.……5分（Ⅱ）设CE=1，AE=,由已知得AB=，，由射影定理可得，，∴，解得=，∴∠ACB=60°.……10分考点:圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理【名师点睛】在解有关切线的问题时，要从以下几个方面进行思考：①见到切线，切点与圆心的连线垂直于切线；②过切点有弦，应想到弦切角定理；③若切线与一条割线相交，应想到切割线定理；④若要证明某条直线是圆的切线，则证明直线与圆的交点与圆心的连线与该直线垂直.14.【2016高考新课标2文数】如图，在正方形中，分别在边上（不与端点重合），且，过点作，垂足为．(Ⅰ)证明：四点共圆；(Ⅱ)若，为的中点，求四边形的面积．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.试题解析：（I）因为,所以则有所以由此可得由此所以四点共圆.（II）由四点共圆，知，连结，由为斜边的中点，知,故因此四边形的面积是面积的2倍，即考点：三角形相似、全等，四点共圆【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．15.【2016高考新课标2文数】在直角坐标系中，圆的方程为．（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，，求的斜率．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.试题解析：（I）由可得的极坐标方程（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得于是由得，所以的斜率为或.考点：圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式.【名师点睛】极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性.16.【2016高考新课标2文数】已知函数，为不等式的解集．（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：当时，．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.试题解析：（I）当时，由得解得；当时，；当时，由得解得.所以的解集.（II）由（I）知，当时，，从而，因此考点：绝对值不等式，不等式的证明.【名师点睛】形如(或)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为，，(此处设)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)几何法：利用的几何意义：数轴上到点和的距离之和大于的全体，.(3)图象法：作出函数和的图象，结合图象求解．17.【2015高考新课标1，文23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求的极坐标方程.（II）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积.【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得，的极坐标方程；（Ⅱ）将将代入即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出的面积.试题解析：（Ⅰ）因为，∴的极坐标方程为，的极坐标方程为.……5分（Ⅱ）将代入，得，解得=，=，|MN|=－=，因为的半径为1，则的面积=.考点:直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系【名师点睛】对直角坐标方程与极坐标方程的互化问题，要熟记互化公式，另外要注意互化时要将极坐标方程作适当转化，若是和角，常用两角和与差的三角公式展开，化为可以公式形式，有时为了出现公式形式，两边可以同乘以，对直线与圆或圆与圆的位置关系，常化为直角坐标方程，再解决.18.【2015高考新课标1，文24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（I）当时求不等式的解集；（II）若图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）试题解析：（Ⅰ）当a=1时，不等式f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|＞1，等价于或或，解得，所以不等式f(x)>1的解集为.……5分（Ⅱ）由题设可得，，所以函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，所以△ABC的面积为.由题设得＞6，解得.所以的取值范围为（2，+∞）.……10分【考点定位】含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法【名师点睛】对含有两个绝对值的不等式问题，常用"零点分析法"去掉绝对值化为若干个不等式组问题，原不等式的解集是这些不等式组解集的并集；对函数多个绝对值的函数问题，常利用分类整合思想化为分段函数问题，若绝对值中未知数的系数相同，常用绝对值不等式的性质求最值，可减少计算.19.【2014年．浙江。文。"数学史与不等式选将"模块。03】(1)解不等式2|x－2|－|x＋1|＞3；(2)设正数a，b，c满足abc＝a＋b＋c，求证：ab＋4bc＋9ac≥36，并给出等号成立条件．(2)证明：由abc＝a＋b＋c，得ab(1)＋bc(1)＋ca(1)＝1.由柯西不等式，得(ab＋4bc＋9ac)ca(1)≥(1＋2＋3)2，所以ab＋4bc＋9ac≥36，当且仅当a＝2，b＝3，c＝1时，等号成立．【考点定位】绝对值不等式；柯西不等式【名师点睛】本题主要考查了绝对值不等式及柯西不等式的运用，解决问题的公式根据零点方法讨论去绝对值求解不等式；根据整体代换运用柯西不等式直接证明即可.20.【2014年．浙江。文。"矩阵与变换和坐标系与参数方程"模块。04】(1)在极坐标系Ox中，设集合A＝{(ρ，θ)|0≤θ≤4(π)，0≤ρ≤cosθ}，求集合A所表示区域的面积；(2)在直角坐标系xOy中，直线l：4(π)(t为参数)，曲线C：y＝2sinθ(x＝acosθ，)(θ为参数)，其中a＞0.若曲线C上所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围．【解析】(1)在ρ＝cosθ两边同乘ρ，得ρ2＝ρcosθ.化成直角坐标方程，得x2＋y2＝x，即2(1)＋y2＝4(1).所以集合A所表示的区域为：由射线y＝x(x≥0)，y＝0(x≥0)，圆2(1)＋y2＝4(1)所围成的区域，如图所示的阴影部分，所求面积为16(π)＋8(1).(2)由题意知，直线l的普通方程为x－y＋4＝0.因为曲线C上所有点均在直线l的右下方，故对θ∈R，有acosθ－2sinθ＋4＞0恒成立，即cos(θ＋φ)＞－4a(2)恒成立，所以＜4.又a＞0，得0＜a＜2.【考点定位】参数方程；二元一次方不等式表示的平面区域【名师点睛】本题主要考查了参数方程的几何意义，解决问题的关键是根据所给参数方程化为普通方程，然后根据方程的几何意义解决问题即可；确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法：(1)"直线定界，特殊点定域"，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．21.[2016高考新课标Ⅲ文数]如图，中的中点为，弦分别交于两点．（I）若，求的大小；（II）若的垂直平分线与的垂直平分线交于点，证明．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据条件可证明与是互补的，然后结合与三角形内角和定理，不难求得的大小；（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明可知四点共圆，然后根据用线段的垂直平分线知为四边形的外接圆圆心，则可知在线段的垂直平分线上，由此可证明结果．试题解析：（Ⅰ）连结，则.因为，所以，又，所以.又，所以，因此.（Ⅱ）因为，所以，由此知四点共圆，其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线上，又也在的垂直平分线上，因此．考点：1、圆周角定理；2、三角形内角和定理；3、垂直平分线定理；4、四点共圆．【方法点拨】（1）求角的大小通常要用到三角形相似、直角三角形两锐角互余、圆周角与圆心角定理、三角形内角和定理等知识，经过不断的代换可求得结果；（2）证明两条直线的夂垂直关系，常常要用到判断垂直的相关定理，如等腰三角形三线合一、矩形性质、圆的直径、平行的性质等．22.[2016高考新课标Ⅲ文数]在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；（II）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.【答案】（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为；（Ⅱ）．试题解析：（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为.……5分（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.………………8分当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.………………10分考点：1、椭圆的参数方程；2、直线的极坐标方程．【技巧点拨】一般地，涉及椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，当直接处理不好下手时，可考虑利用椭圆的参数方程进行处理，设点的坐标为，将其转化为三角问题进行求解．23.【2014全国2，文22】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，是外一点，是切线，为切点，割线与相交于，，为的中点，的延长线交于点.证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）【考点定位】平面几何选讲【名师点睛】本题考查三角形外接圆直径的证明，相交弦定理，切割线定理，解题时要认真审题，注意圆的性质的灵活运用．24.【2015新课标2文24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲设均为正数,且.证明：（I）若,则；（II）是的充要条件.【答案】试题解析：解：（I）因为由题设,,得,因此.（II）(i)若,则,即因为,所以,由（I）得.（ii）若,则,即因为,所以,于是因此,综上是的充要条件.【考点定位】：本题主要考查不等式证明及充分条件与必要条件.【名师点睛】不等式证明选讲往年多以绝对值不等式为载体命制试题,今年试题有所创新,改为证明不等式.这类代数证明问题,对逻辑推理的要求更高,难度有所增加,注意第二问是充要条件的证明,要分别证明充分性与必要性.25.【2015新课标2文23】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线（t为参数,且）,其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线（I）求与交点的直角坐标；（II）若与相交于点A,与相交于点B,求最大值.【答案】（I）；（II）4.试题解析：解：（I）曲线的直角坐标方程为,曲线的直角坐标方程为,联立两方程解得或,所以与交点的直角坐标.（II）曲线极坐标方程为其中,因此点A的极坐标为,点B的极坐标为,所以,当时取得最大值,最大值为4.【考点定位】本题主要考查参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.圆的方程及三角函数的最值.【名师点睛】"互化思想"是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式,以及直线、圆、椭圆的参数方程形式,直线、圆的参数方程中参数的几何意义,理解其意义并在解题中灵活地加以应用,往往可以化繁为简,化难为易.26.【2015新课标2文23】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O是等腰三角形ABC内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.（I）证明；（II）若AG等于圆O半径,且,求四边形EBCF的面积.【答案】（I）见试题解析；（II）试题解析：（I）由于△ABC是等腰三角形,所以AD是的平分线,又因为圆O与AB,AC分别相切于E,F,所以,故,所以.（II）由（I）知,,故AD是EF的垂直平分线,又EF为圆O的弦,所以O在AD上,连接OE,OF,则,由AG等于圆O的半径得AO=2OE,所以,因此,△ABC和△AEF都是等边三角形,,因为,所以因为所以OD=1,于是AD=5,所以四边形DBCF的面积为【考点定位】本题主要考查几何证明、四边形面积的计算及逻辑推理能力.【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好"长度关系"与"角度关系的转化",熟悉相关定理与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与性质；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理.27.【2014辽宁文24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数，，记的解集为M，的解集为N.（Ⅰ）求M；（Ⅱ）当时，证明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.由得，故．所以的解集为．（Ⅱ）由得．，故．当时，，故．【考点定位】1、绝对值不等式解法；2、二次函数最值．【名师点睛】本题考查不等式选讲、含绝对值不等式的解法、不等式的证明等，解答本题的关键是能利用分类讨论思想，去掉绝对值，转化成为常见不等式求解.本题（II）转化成二次函数的图象和性质问题求解，实现了化生为熟的解题策略.本题是一道能力题，属于中档题.在考查不等式选讲基础知识的同时，考查考生的计算能力及转化与化归思想.28．【2014辽宁文23】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.【答案】（Ⅰ）（为参数）；（Ⅱ）化直线的直角坐标方程为极坐标方程．试题解析：（Ⅰ）设为圆上的点，经变换为上点．依题意，得由得．即曲线的方程为．故C的参数方程为（为参数）．（Ⅱ）由解得或不妨设．则线段的中点坐标为．所求直线的斜率为．于是所求直线方程为．化为极坐标方程为，即．【考点定位】1、伸缩变换；2、曲线的参数方程；2、曲线的极坐标方程．【名师点睛】本题考查参数方程化成普通方程、点的极坐标和直角坐标的互化、直线与椭圆的位置关系等，解答本题的关键是能熟练掌握坐标互化公式，将极坐标方程、参数方程化为普通方程，实现化生为熟.本题是一道能力题，属于中档题.在考查坐标系与参数方程等基础知识的同时，考查考生的计算能力及转化与化归思想.29.【2014辽宁文22】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析试题解析：（Ⅰ）因为．所以．由于为切线，所以．又由于，所以．由于，所以，．故为圆的直径．（Ⅱ）连接．由于是直径，故．在和中，，．从而．于是．又因为，所以．又因为，所以．故．由于，所以，为直角．于是为直径．由（Ⅰ）得，．【考点定位】1、三角形全等；2、弦切角定理；3、圆的性质．【名师点睛】本题考查圆周角定理、与圆有关的比例线段等相关知识，作为选学（考）内容，对考生的要求并不高，主要是考查相关基础知识、基本方法的掌握情况及逻辑推理能力.本题是一道能力题，属于中档题.30.(2014课标全国Ⅰ，文24)选修4-5：不等式选讲若a＞0，b＞0，且.(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．分析：在第(1)问中，根据基本不等式，结合已知条件中的等式可推得ab的最小值，然后再对a3＋b3运用基本不等式，结合ab的最小值即可求得a3＋b3的最小值；在第(2)问中，可考虑根据基本不等式求出2a＋3b的取值范围，即可作出相应的判断．名师点睛：本题考查利用基本不等式求最值，探求性问题，考查分析转化能力，中等题.利用基本不等式解题关键是选准相当于公式中字母的代数式.31.(2014课标全国Ⅰ，文23)选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C：，直线l：(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．分析：在第(1)问中，可根据参数方程与普通方程的关系求解；在第(2)问中，可由曲线C的参数方程设出点P的坐标，结合点到直线的距离公式与三角函数的定义得出|PA|与θ的关系，通过三角变换求得|PA|的最值．(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝|4cosθ＋3sinθ－6|，则，其中α为锐角，且.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.名师点睛：本题考查参数方程与普通方程的转化，点到直线的距离公式，利用辅助角公式求最值，考查分析转化能力，中等题.32.(2014课标全国Ⅰ，文22)选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．分析：在第(1)问中，由圆内接四边形的性质可知∠CBE＝∠D，又CB＝CE，所以∠CBE＝∠E，从而可证∠D＝∠E；在第(2)问中，由条件MB＝MC，再结合圆的性质知OB＝OC，可确定MO是弦BC的垂直平分线，考虑到M是AD的中点，必有MO也是AD的垂直平分线，从而可证得AD∥BC，然后再结合第(1)问可推得△ADE的三个内角相等，推得△ADE为等边三角形．(1)证明：由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)解：设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC，知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．名师点睛：本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，考查分析、推理能力，中等题.求解这类问题的关键是作出恰当的辅助线.33.[2016高考新课标Ⅲ文数]已知函数．（I）当时，求不等式的解集；（II）设函数．当时，，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．试题解析：（Ⅰ）当时，.解不等式，得，因此，的解集为.………………5分（Ⅱ）当时，，当时等号成立，所以当时，等价于.①……7分当时，①等价于，无解；当时，①等价于，解得，所以的取值范围是.………………10分考点：1、绝对值不等式的解法；2、三角形绝对值不等式的应用．【易错警示】对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件．对，当且仅当时，等号成立，对，如果，当且仅当且时左边等号成立，当且仅当时右边等号成立．