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免费2015-2017学年高考数学文科真题分项解析24：推理与证明一、选择题1.【2014山东.文4】用反证法证明命题"设为实数，则方程至少有一个实根"时，要做的假设是（）A.方程没有实根B.方程至多有一个实根C.方程至多有两个实根D.方程恰好有两个实根【答案】考点：反证法.【名师点睛】本题考查反证法.解答本题关键是理解反证法的含义，明确至少有一个的反面是一个也没有.本题属于基础题，难度较小.2.【2014山东.文9】对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（）ABCD【答案】【解析】由为准偶函数的定义可知，若的图象关于对称，则为准偶函数.在中，的图象关于对称，故选.考点：新定义，函数的图象和性质.【名师点睛】本题考查函数的概念、函数的奇偶性、新定义问题.此类问题的基本解法是紧扣新定义，研究各个函数的图象及特性，得出结论.本题是一道新定义问题，属于基础题，在考查函数的概念、函数的奇偶性、函数的图象等基础知识的同时，考查数阅读能力、学习能力、转化与化归思想.3.【2015高考浙江，文8】设实数，，满足（）A．若确定，则唯一确定B．若确定，则唯一确定C．若确定，则唯一确定D．若确定，则唯一确定【答案】B【考点定位】函数概念【名师点睛】本题主要考查函数的概念.主要考查学生利用条件对其进行处理，通过对比选项，确定最终正确结论的能力.本题属于中等题，重点考查学生对条件的处理能力以及分析问题的能力.4.【2015高考广东，文10】若集合，，用表示集合中的元素个数，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，，，都是取，，，中的一个，有种，当时，，，都是取，，中的一个，有种，当时，，，都是取，中的一个，有种，当时，，，都取，有种，所以，当时，取，，，中的一个，有种，当时，取，，中的一个，有种，当时，取，中的一个，有种，当时，取，有种，所以、的取值有种，同理，、的取值也有种，所以，所以，故选D．【考点定位】推理与证明．【名师点晴】本题主要考查的是新符号，属于难题．在新符号的问题中抓住新符号的实质把其转化为我们熟悉的问题加以解决，这是解决新符号问题的一个基本方向，要注意准确理解试题中给出的新符号的含义．解决新符号这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊值进行检验，也可作必要的合情推理．5.【2014高考广东卷.文.10】对任意复数.,定义,其中是的共轭复数.对任意复数..,有如下四个命题：①；②；③；④.则真命题的个数是()A.B.C.D.【答案】B对于命题④,取,,则,,命题④错误.故选B.【考点定位】本题考查复数中的新定义运算,考查复数的概念,属于中等偏难题.【名师点晴】本题主要考查的是新符号，属于难题．在新符号的问题中抓住新符号的实质把其转化为我们熟悉的问题加以解决，这是解决新符号问题的一个基本方向，要注意准确理解试题中给出的新符号的含义．解决新符号这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊值进行检验，也可作必要的合情推理．6.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求"盖"的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面圆的半径为，高为，依题意，，，所以，即的近似值为，故选B.考点：《算数书》中的近似计算，容易题.【名师点睛】以数学史为背景，重点考查圆锥的体积计算问题，其解题的关键是读懂文字材料，正确理解题意，建立方程关系.充分体现了方程思想在实际问题中的应用，能较好的考查学生运用基础知识的能力和简单近似计算能力.7.【2015高考湖北，文10】已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（）A．77 B．49 C．45 D．30【答案】.【考点定位】本题考查用不等式表示平面区域和新定义问题，属高档题.【名师点睛】用集合、不等式的形式表示平面区域，以新定义为背景，涉及分类计数原理，体现了分类讨论的思想方法的重要性以及准确计数的科学性，能较好的考查学生知识间的综合能力、知识迁移能力和科学计算能力.8.【2014福建,文12】在平面直角坐标系中，两点间的"L-距离"定义为则平面内与轴上两个不同的定点的"L-距离"之和等于定值（大于）的点的轨迹可以是（）【答案】【解析】试题分析：不妨设是平面内符合条件的点，则由"L-距离"定义得（，）.即时，；时，；时，；时，；时，；时，.故选.考点：新定义，绝对值的概念，分类讨论思想.【名师点睛】本题是一道信息迁移题，通过定义"L-距离"，考查学生对新定义的理解能力及处理绝对值问题时的分类讨论思想.利用零点分区间法正确进行分类，做到不重不漏，并准确进行运算是求解本题的关键.二、填空题1.【2016高考新课标2文数】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说："我与乙的卡片上相同的数字不是2"，乙看了丙的卡片后说："我与丙的卡片上相同的数字不是1"，丙说："我的卡片上的数字之和不是5"，则甲的卡片上的数字是________________.【答案】1和3考点：逻辑推理.【名师点睛】逻辑推理即演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即"演绎"，得出具体陈述或个别结论的过程.演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于，它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用.逻辑推理包括演绎、归纳和溯因三种方式.2. 【2016高考山东文数】观察下列等式：；；；；……照此规律，_________．【答案】考点：合情推理与演绎推理【名师点睛】本题主要考查合情推理与演绎推理，本题以三角函数式为背景材料，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于分析类比等号两端数学式子的特征，找出共性、总结规律，降低难度.本题能较好的考查考生逻辑思维能力及归纳推理能力等.3.【2015高考山东，文14】定义运算""：（）.当时，的最小值是.【答案】【解析】由新定义运算知，，因为，，所以，，当且仅当时，的最小值是.【考点定位】1.新定义运算；2.基本不等式.【名师点睛】本题考查了基本不等式及新定义运算的理解能力，解答本题的关键，首先是理解新定义运算，准确地得到不等式，然后根据其特征，想到应用基本不等式求解.本题属于小综合题，也是一道能力题，在考查考生学习能力的基础上，考查考生的计算能力及应用数学知识解决问题的能力.由于近几年考生对新定义运算问题已有准备，因此，不会对此感到陌生.4.【2015高考陕西，文16】观察下列等式：1－1－1－…………据此规律，第n个等式可为______________________.【答案】【考点定位】归纳推理.【名师点睛】本题考查的是归纳推理，解题关键点在于发现其中的规律，要注意从运算的过程中去寻找.本题属于基础题，注意运算的准确性.5．【2014四川，文15】以表示值域为R的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间。例如，当，时，，.现有如下命题：①设函数的定义域为，则""的充要条件是"，，"；②若函数，则有最大值和最小值；③若函数，的定义域相同，且，，则；④若函数（，）有最大值，则.其中的真命题有.（写出所有真命题的序号）【答案】①③④【解析】试题分析：对①，若对任意的，都，使得，则的值域必为R；反之，的值域为R，则对任意的，都，使得.故正确.对②，比如函数属于B，但是它既无最大值也无最小值.故错误.对③，因为，而有界，故，所以.故正确对④，.当或时，均无最大值.所以若有最大值，则，此时，.故正确.【考点定位】1、新定义；2、函数的定义域值域.【名师点睛】新定义问题一般先考察对定义的理解，这时只需一一验证定义中各个条件即可.二是考查满足新定义的函数的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的函数有某些新的性质，这也是在新环境下研究"旧"性质，此时需结合新函数的新性质，探究"旧"性质.三是考查综合分析能力，主要将新性质有机应用在"旧"性质，创造性证明更新的性质.6.【2014高考北京文第14题】顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序时间原料 粗加工 精加工原料
原料
则最短交货期为工作日.【答案】42考点：本小题以实际问题为背景，主要考查逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.7.【2014福建,文16】（已知集合，且下列三个关系：有且只有一个正确，则.【答案】【解析】试题分析：由已知，若正确，则或，即或或或均与"三个关系有且只有一个正确"矛盾；若正确，则正确，不符合题意；所以，正确，，故.考点：推理与证明.【名师点睛】本题主要考查集合、推理及分类讨论思想，此类题的易错点是：分类不严谨；审题不认真.本题若对"有且只有"这四个字不敏感，则在解题过程中不易找到突破口.因此这类题一定要认真审题，分类做到不重不漏，才不会陷入命题人设计的陷阱.8.(2014课标全国Ⅰ，文14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为__________．答案：A名师点睛：本题考查实际问题中的逻辑推理，容易题.逻辑推理的方法有"归纳推理、演绎推理、类比推理.9.【2017北京，文14】某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．②该小组人数的最小值为__________．【答案】6,12【解析】设男生数，女生数，教师数为，则第一小问：第二小问：【考点】1.不等式的性质；2.推理.【名师点睛】本题主要考查了命题的逻辑分析、简单的合情推理,题目设计巧妙，解题时要抓住关键,逐步推断,本题主要考查考生分析问题，解决问题的能力，同时注意不等式关系以及正整数这个条件.