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2016年中考数学真题汇编详解27：圆的有关性质一、选择题1.（2015四川省自贡市，9，4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝，则阴影部分的面积为 （）A． B． C． D．【答案】D2.（2015福建省福州市，8，3分）如图，C、D分别是线段AB、AC的中点，分别以点C、D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（）A.80°B.90°C.100°D.105°【答案】B3.（2015四川省巴中市，9，3分）如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为（）A．25° B．50° C．60° D．30°【答案】A．4.（2015年四川省宜宾市，7，3分）如图，以点O为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、……、20，阴影部分是由第1个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，……，第19个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】∵每个圆环的面积分别为、、……，∴阴影部分的面积为==5.（2015四川省泸州市）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C=65°，则∠P的度数为A.65°B.130°C.50°D.100°【答案】C21·世纪*教育网6.（2015浙江省湖州市，3，分）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D．若OD＝2，tan∠OAB＝，则AB的长是()．A．4   B．2    C．8   D．4【答案】C【解析】∵tan∠OAB＝，所以AC＝2OC＝2OD＝2×2＝4，又∵AC是小圆的切线，所以OC⊥AB，由垂径定理，得AB＝8．故选C．7.（2015浙江省金华市，10，分）如图正方形ABCD和正△AEF都内接与，EF与BC分别相交于点G，H，则的值时( )A.   B.   C.    D.2【答案】C8.（2015四川省凉山州市，10，4分）如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为 （  ）A.80°    B.100°    C.110°    D.130°【答案】D.【解析】如图，连接OC，∵∠OBC=∠OCB=40°，∴∠BOC=100°，在优弧BPC上取点P，连接BD，CD，则∠BDC=50°，由内接四边形的对角互补可得∠A=130°，故选D.9.（2015山东省聊城市，12，3分）如图，点O是圆形纸片的圆心，将这个圆心纸片按下列顺序折叠，使和都经过圆心O，则阴影部分的面积是⊙O面积的（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由翻折的过程可知：形成的阴影部分实际就是整个圆的。10.（2015山东临沂，8，3分）如图A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A.50°B.80°C.100°D.130°【答案】D【解析】首先在优弧AC上取点D,连接AD,CD,由由圆周角定理,可求得∠ADC=50°，又由圆的内接四边形的性质,求得∠ABC=180°﹣∠ADC=130°．故选D11.(2015贵州省安顺市,9,3分)如图⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC=4，CD的长为（）A.2  B.4  C.4  D.8【答案】C12.（2015上海市，6，4分）如图1，已知在⊥AB，垂足为点D.要使四边形OACB为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是（A）AD=BD；（B）OD=CD；（C）（D）∠OCA=∠OCB【答案】B【解析】菱形对角线互相垂直平分。13.（2015山东省威海市，9，3分）如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（）（第9题图）A.68°B.88°C.90°D.112°【答案】B【解析】如图，以点A为圆心，AB为半径画圆，则点C,D都再圆上，因为∠CBD=2∠BDC，所以弧=2弧BC，所以∠CAD=2∠BAC=88°，故选B．14.（2015浙江宁波，8，4分）如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A=72°，则∠BCO的度数为()A.15°B.18°C.20°D.28°【答案】B15.（2015山东潍坊，7，3分）如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C，如果∠ABO=20°，则∠C的度数是（）A.70°B.50°C.45°D.20°【答案】B16.（2015山东潍坊，10，3分）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧瓶盖后放倒，水平放置在桌面上.水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水部分的面积是（）A.B.C.D.【答案】A17.（2015浙江省杭州市，5，3分）圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，则∠C=（）A.20°   B.30°    C.70°    D.110°【答案】D18.（2015湖南株洲，6，3分）如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A＝68°，则∠OBC的大小是…….（）A、22°B、26°C、32°D、68°【答案】A【解析】解：圆心角∠BOC＝2∠A＝136°，在等腰△BOC中∠OBC=（180-∠BOC）÷2=22°，故选A19.(2015浙江省绍兴市，8，4分)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则的长A.2πB.πC.π2D.π3第8题【答案】B【解析】本题考查了圆内接四边形的性质、同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系以及弧长公式。连接OA、OC。∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=135°，∴∠ADC=45°，∠AOC=90°。∵⊙O的半径为2，∴的长为=π。因此，本题正确应该选B。20.（2015江苏淮安，7，3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A=70°,则∠C的度数是（）A．100°B．110°C．120°D．130°【答案】B【解析】因为∠A+∠C=180°，所以∠C=110°故选B21.（2015义乌8，3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则的长是（）A.2πB.πC.D.【答案】B22.（2015年江苏扬州市）如图，若锐角△ABC内接于⊙O,点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：；；中，正确的结论为()A、B、C、D、23.（2015广东省深圳市，10，3分）如图，AB为⊙O直径，已知∠ACD＝20°，则∠BAD的度数是（）A．40°     B．50°C．60°     D．70°【答案】D【解析】∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，又∠ACD＝20°，∴∠BAD＝∠DCB＝70°24.（2015湖南常德，6，3分）如图1，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（）A.50°B.80°C.100°D.130°【答案】D25.（2015湖南省永州市，6，3分）如下图，P是⊙O外一点，PA，PB分别交⊙O于C，D两点，已知和所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P＝（）A.45°B.40°C.25°D.20°(第6题图)【答案】D【解析】解：∵和所对的圆心角分别为90°和50°，∴∠ADB＝×90°＝45°，∠CAD＝×50°＝25°，∴∠P＝∠ADB―∠CAD＝45°－25°＝20°.故答案选D.二、填空题1.（2015山东省青岛市，13，3分）如图，原内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠A=55°，∠E=30°，则∠F=.【答案】30°2.（2015浙江省丽水市，13，4分）如图，圆心角∠AOB＝20°，将旋转得到，则的度数是________度．【答案】203.（2015安徽，12，3分）如图,点A、B、C在⊙O上,⊙O的半径为9,的长为2π,则∠ACB的大小是.【答案】20°【解析】解:∵⊙O的半径为9,⊙O的周长为18π,的长为2π,同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,∴故答案为20°.4.(2015广东省广州市，9，3分)已知圆的半径是，则该圆的内接正六边形的面积是()A．B．C．D．【答案】C【解析】圆的内接正六边形非常特殊，他的半径和圆的半径相等，由六个等边三角形组成；边长为a的等边三角形的面积为，所以正六边形的面积为6×＝18．5.（2015湖南省长沙市，18，3分）如图，是的直径，点是上的一点，若，，于点，则的长为________．(第18题图)【答案】4【解析】6.（2015江苏省南京市，15，2分）如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B+∠E=▲．【答案】215°【解析】∠1+∠2=180°，∠3=∠4=35°，所以∠CBA+∠DEA=215°7.（2015上海市，17，4分）在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点A在☉B上，如果☉D与☉B相交，且点B在☉D内，那么☉D的半径长可以等于______.（只需写出一个符合要求的数）【答案】14【解析】8.（2015江苏泰州，12，3分）如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD=°．【答案】1309.（2015浙江省衢州市，14，4分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于______m【答案】1.6【解析】解：连接OD,OB作OE⊥AB垂足为E，与CD交于F点OB=1m，EB=0.6m根据勾股定理得OE=0.8m，EF=0.2m则OF=0.6m，在Rt△ODF中，OF=0.6m，OD=1m，得FD=0.8m，因此CD=1.6m,故答案为1.6m10.（2015浙江宁波，17，4分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E.则⊙O的半径为.【答案】11.（2015山东烟台，18，3分）如图，直线l∶y=－x+1与坐标轴交于A，B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，m的值为.【答案】2－2或2+212.（2015省市，12，分）如图，点A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=70°，则∠C=______度.【答案】35°.13.（201四川省广安市，16，3分）如图，半径为r的⊙O分别绕面积相等的等边三角形、正方形和圆用相同的速度匀速滚动一周，用时分别为t1、t2、t3，则t1、t2、t3的大小关系为______.【答案】t1＞t2＞t314.（2015江西省，第10题，3分）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠ADC的度数为．【答案】110°【解析】∵∠A=50°,∴∠BOC=100°,∴∠BOD=80°,∴∠ADC=∠B+∠BOD=30°+80°=110°故答案为110°15.(2015浙江省绍兴市，12，5分)如图，已知点A(0，1)，B(0，-1)，以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于▲度【答案】60【解析】本题考查了点与圆的位置关系、锐角三角函数，解题的关键是正确把握坐标平面内点坐标的意义．由"点A(0，1)，B(0，-1)"可得⊙A的半径为2，OA=1，∴在Rt△AOC中，cos∠BAC=，∴∠BAC=60°。16.(2015浙江省绍兴市，14，5分)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结PA，PB。若PB=4，则PA的长为▲。【答案】3或【解析】本题考查根据题意正确画出符合题意的图形进行解答的能力以及数形结合和分类讨论的数学思想。由题意画出如图所示的图形，即⊙C的半径为5，点P是以点B为圆心、4为半径的⊙B与⊙A的两个交点。显然可得P1B∥AC且P1B=AC，则四边形ACBP1是平行四边形，∴AP1=BC=3；在直角三角形AP1P2中，AP2=。综上可得PA的长为3或。17.（2015义乌12，4分）如图，已知点A（0，1），B（0，-1），以点A为圆心，为半径作⊙A，交x轴于点C．则∠BAC=__________度．【答案】6018.（2015义乌14，4分）在Rt中，，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结PA，PB．若PB=4，则PA的长为__________．【答案】３或19.（2015娄底市，17，3分）如图，在○o中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD=40°，则∠BAD=度.【答案】50【解析】解：∵AB为直径,∴∠ADB=90°∵∠ABD=∠ACD=40°∴∠BAD=180°-90°-40°=50°20.（2015成都市）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB??8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C.当?PAB是等腰三角形时，线段BC的长为_______________.【答案】：或或【解析】：解：（1）当时，如图（1），作于点，延长交于点；易知，射影知.（2）当时，如图（2），延长交于点，易知，，易知.（3）当时，如图（3），由.综上：或或三、解答题1.(2015浙江台州，22，12分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC．（1）若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1＝∠2．【答案】解：又四边形为圆内接四边形又又由题意知又2.（2015山东省德州市，21，10分）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点.∠APC=∠CPB=60°.(1)判断△ABC的形状：；(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；(3)当点P位于AB⌒的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积.【答案】解：（1）等边三角形；（2）PA+PB=PC.证明：如图1，在PC上截取PD=PA,连接AD.∵∠APC=60°.∴△PAD是等边三角形.∴PA=AD,∠PAD=60°,又∵∠BAC=60°,∴∠PAB=∠DAC.∵AB=AC.∴△PAB≌△DAC.∴PB=DC.∵PD+DC=PC，∴PA+PB=PC.(3)当点P为AB⌒的中点时，四边形APBC面积最大.理由如下：如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F.∵S△PAB=AB·PE.S△ABC=AB·CF.∴S四边形APBC=AB（PE+CF）.当点P为AB⌒的中点时，PE+CF=PC.PC为⊙O的直径.∴此时四边形∠PAD=60°∠PAD=60°面积最大.又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB=.∴S四边形APBC=×2×=.3.（2015浙江省台州市，22，12）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．【答案】（1）解：.（2）证明：∵，∴.∵，，∴.又∵，∴.【解答】（1）解：∵，∴.∴.∵，∴.∴.（2）证明：∵，∴.∵，，∴.又∵，∴.4.（2015安徽，20，10分）在⊙O中,直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上,且OP丄PQ(1)如图1，当PQ∥AB时，求PQ长；(2)如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值.【答案】(1)(2)【解析】解(1)∵OP⊥PQ,PQ∥AB,∴OP⊥AB.在Rt△OPB中,OP=OB·tan∠ABC=3·tan30°=.如图,连接OQ,在Rt△OPQ中,(2)∵PQ2=OQ2－OP2=9－OP2,∴当OP最小时,PQ最大.此时OP⊥BC.OP=OB·sin∠ABC=3·sin30°=.∴PQ长的最大值为5.(2015广东省广州市，23，12分)(本小题满分12分)如图9，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∠ACB＝30°．(1)利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点E，交⊙O于点D，连接CD(保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)所作的图形中，求△ABE与△CDE的面积之比．【答案】解：(1)如图所示(2)连接OD，设⊙O半径为R，在△ABE和△DCE中∴△ABE∽△DCE在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°∴AB＝AC＝r∵BD平分∠ABC∴∠ABD＝∠ACD＝45°∴∠DOC＝90°在Rt△ODC中，DC＝＝∴＝＝＝【解析】(1)尺规作图：作一个角的平分线；(2)这两个三角形是相似的，相似三角形面积之比等于相似比的平方，所以只要求出边之比即可．以圆半径为中间媒介即可计算出两边之比．6.（2015山东济南，23，7分）（2）如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD=160°，求∠BCD的度数.【答案】(2)∵∠BOD=160°∴∠BAD=80°∴∠BCD=180°-∠BAD=180°-80°=100°7.（2015四川省绵阳市，22，11分）如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连结DC、DA、OA、OC，四边形OADC为平行四边形．（1）求证：△BOC≌△CDA；（2）若AB=2，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明略；（2）【解析】解：（1）证明：∵O为△ABC的内心，∴∠2=∠3，∠5=∠6，∵∠1=∠2∴∠1=∠3，∵四边形OADC是平行四边形∴，∴∠4=∠5，∴∠4=∠6．∴△BOC≌△CDA．（AAS）（2）由（1）得BC=AC，∠3=∠4=∠6，∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC，∴△ABC为等边三角形．∴△ABC内心O也是外心，∴OA=OB=OC．设E为BD与AC的交点，BE垂直平分AC．在Rt△OCE中，,∠OCE=30°．∴．∵∠AOB=120°，∴．8.（2015江苏省无锡市，22，8）（本题满分8分）已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°．（1）求BD的长；（2）求图中阴影部分的面积．【答案】（1）BD=；（2）S阴影＝【解答】解：（1）连接AD∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=∠ACB=90°在Rt△ACB中，AB2=AC2+BC2且AC=8cm，BC=6cm，AB>0∴AB=10cm∵∠ABD=45°∴∠BAD=45°∴AD=BD=（2）连接OD．S阴影＝S扇形ODB＝－S△ODB＝π×52－×5×5＝9.（2015山东省威海市，22，9分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．(第22题图)【答案】（1）证明：连接AE．∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC．又∵AB=AC，∴BE=CE．（2）AC=9．【解析】解：（1）证明：连接AE．∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC．又∵AB=AC，∴BE=CE．（第22题图①）（第22题图②）（2）解：连接DE．∵四边形ACED为⊙O的内接四边形，∴∠BED=∠BAC，又∵∠B=∠B，∴△BED∽△BAC．∴．∵BE=CE=3，∴BC=6．又∵BD=2，∴AB=9．∴AC=9．10.（2015浙江省杭州市，19，8分）如图1，⊙O的半径为r(r＞0)，若点P/在射线OP上，满足OP/oOP=r2，则称点P/是点P关于⊙O的"反演点".如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8.点A/，B/、分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A/B/的长.解：因为OA/oOA=16，且OA=8，所以OA/=2.同理可知，OB/=4，即B点的反演点B/与B重合.设OA交⊙O于点M，连接B/M，因为∠BOA=60°，OM=OB/，所以△OB/M为等边三角形，又因为点A/为OM的中点，所以A/B/⊥OM，根据勾股定理，得OB/2=OA/2+A/B/2，即16=4+A/B/2，解得A/B/=2.11.（2015山东烟台，23，9分）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D，E，且=.（1）试判断△ABC的形状，井说明理由；（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值.解：（1）△ABC是等腰三角形.∵=，∴∠EBD=∠EDB.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.∴∠CDE+∠EDB=∠C+∠EBD=90°.∴∠CDE=∠C.∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠CDE=∠CBA，∴∠C=∠CBA.∴△ABC是等腰三角形.（2）∵∠CDE=∠C，∴CE=DE.∵=，∴DE=EB，∴CE=EB=BC=×12=6.∵⊙O的半径是5，∴AC=AB=10.∵∠CDE=∠CBA，∠C=∠C，∴△CDE∽△CBA.∴=，即=，解得CD=7.2.∴AD=AC－CD=10－7.2=2.8.∴在Rt△ADB中，sin∠ABD===.12.（2015娄底市，24，9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC为半径，作○A，交AB于点D，交CA的延长线与点E，过点E作AB的平行线EF交○A于点F，连接AF、BF、DF.(1)求证：△ABC≌△ABF;(2)当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明.【答案】(1)略；(2)∠CAB=60°.【解析】解：∵EF∥AD∴∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAD∵AE=AF∴∠E=∠AFE∴∠CAB=∠FAD在△ABC和△ABF中；AF=AC，∠CAB=∠FAD，AB=AB∴△ABC≌△ABF（2）当∠CAB=60°.时，四边形ADFE为菱形.证明：∵∠CAB=60°，AF=AE∴△AEF为等边三角形∴EF=AE又∵AE=AD∴EF=AD又∵EF∥AD∴四边形ADFE为平行四边形∵AE=AD∴四边形ADFE为菱形.13.（2015贵州省铜仁市，24，12分）如图，已知△ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B，AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E.(1)求证：CB平分∠ACE；(5分)(2)若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径.(7分)【答案】解：(1)第24题图1如图1，连接DB，△ABC的边AB是⊙O的切线，∴∠CBE＝∠BDC∠DBC＝90°∴∠BDC＋∠DCB＝90°∵CE⊥AB∴∠CBE＋∠BCE＝90°∴∠DCB＝∠BCE(2)由第1题可得，Rt△BCE∽Rt△DBC，在Rt△BCE中∴∴即DC＝∴⊙O的半径是14.（2014江苏省苏州市，26，10分）如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点，过点B作BE∥AD，交⊙O于点E，连接ED．（1）求证：ED∥AC；（2）若BD=2CD，设△EBD的面积为，△ADC的面积为，且，求△ABC的面积．【答案】（1）∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠DAC．∵∠E=∠BAD，∴∠E=∠DAC．∵BE∥AD，∴∠E=∠EDA．∴∠EDA=∠DAC．∴ED∥AC．（2）∵BE∥AD，∴∠EBD=∠ADC．∵∠E=∠DAC，∴△EBD∽△ADC，且相似比．∴，即．∵，∴，即．∴．∵，∴．