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2016年中考数学真题汇编详解25：锐角三角形函数一、选择题1.（2015浙江省丽水市，8，3分）如图，点A为∠边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cos的值，错误的是 （）A． B． C． D．【答案】C2.（2015山东省聊城市，10，3分）湖南路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线，某校数学兴趣小组用测量仪测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°（如图），已知测量仪CD的高度为1米，则桥塔AB的高度为（）（参考数据：sin41.5°≈0.663，cos41.5°≈0.749，tan41.5°≈0.885）A.34米B.38米C.45米D.50米【答案】C【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题得AE=DEotan∠ADE=50×0.885=44.25（米），AB=AE+BE=44.25+1=45.25（米）3.（2015湖南省长沙市，11，3分）如图，为测量一棵与地面垂直的树的高度，在距离树的底端30米的处，测得树顶的仰角为，则树的高度为A. 米   B.米  C.米  D.米（第11题图）【答案】C【解析】4.（2015江苏省无锡市，7，3）tan45°的值为           （）A．  B．   C． D．【答案】B【解答】解：tan45°=1，故选择B5.（2015浙江省衢州市，9，3分）如图，已知"人字梯"的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm的绑绳EF，，则"人字梯"的顶端离地面的高度AD是（）A．144cmB.180cmC.240cmD.360cm【答案】B【解析】解：由题平面图如图所示,∵EF=60cm，,故选B6.（2015山东省威海市，2，3分）如图，在△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=26°，BC=5中.若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】首先得出，再根据计算器的使用方法，根据题意先输入5，再乘号，选用tan键，再输入26，最后输入"="；故选D．7.（2015山东日照市，10，3分）如右图，在直角△BAD中，延长斜边ＢＤ到点C，使ＤＣ＝ＢＤ，连接ＡＣ，若tanＢ＝，则tan∠CAD的值为（）（A）(B)(C)(D)【答案】D【解析】解：（1）过点D作DE∥ＡＢ交AC于点E。∵∠BAD=90°，DE∥ＡＢ∴∠ADE=90°，∵tanＢ＝，设AD=5，AB=3，∵DE∥ＡＢ∴∴tan∠CAD=。故选D二、填空题1.(2015广东省广州市，15，3分)如图5，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE，若BE＝9，BC＝12，则cosC＝．【答案】【解析】在Rt△EDC中，只要求出EC和DC即可求出cosC的值．DE是BC的垂直平分线，所以BE＝EC＝9，BD＝DC＝6．2.（2015四川省巴中市，18，3分）如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan∠AOB=．【答案】3.（2015四川省绵阳市，18，3分）如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为_____________．【答案】【解析】过E做EF⊥DC，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°∵△ACE是由△ABD旋转而成∴∠BAC+DAC=∠DAC+∠CAE=∠DAE=∠BAC=60°AD=AE=5，BD=CE=6∴△ADE是等边三角形∴DE=5根据海伦公式得：又，∴，∴∴故答案为4.（2015浙江宁波，16，4分）如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°，若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是m.(结果保留根号)【答案】5.（2015山东潍坊，16，分）观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°，已知楼房高AB约是45米，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是_____m.【答案】135三、解答题1.（2015山东日照市，20，10分）（本题满分10分）如右图，已知，在△ABC中，ＣＡ＝ＣＢ，∠ACB=90°，E、F分别是ＣＡ，ＣＢ边的三等分点。将△ＥＣＦ饶点Ｃ逆时针旋转角（0°＜＜90°），得到△ＭＣＮ，连接ＡＭ，ＢＮ。（１）求证：AM=BN（2）当ＭＡ∥CN时，试求旋转角的余弦值。【答案】（1）证明：△ACM≌△BCN（SAS）∴AM=BN（2）COS=，【解析】（1）证明：∵ＣＡ＝ＣＢ，∠ACB=90°，E、F分别是ＣＡ，ＣＢ边的三等分点，∴CE=CF，∵将△ＥＣＦ饶点Ｃ逆时针旋转角（0°＜＜90°），得到△ＭＣＮ，∠ACM=∠BCN=，在△ACM和△BCN中∴△ACM≌△BCN（SAS）∴AM=BN（2）当ＭＡ∥CN时，∴∠CNM=∠AMN，∵∠CMN=∠CNM=45°，∴∠AMN=∠CMN=∠CNM=45°，∴∠AMC=90°，COS==，2.（2015四川省凉山州市，20，8分）如图，在楼房AB和增值CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且俯角为45°，从距离楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰角为30°，已知树高EF=6米，求塔CD的高度.（结果保留根号）【答案】【解析】解：∵∠ADB=，∠EFD=90°，∴∠FED=∠ADB=45°，∴FD=EF=6，∵HF=PB=1，∴EH=5，∵，即，∴PH=，∴BF=PH=，∴PG=BD=，∵，即，∴CG=，∴CD=.3.（2015上海市，22，10分）如图4，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼.已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=30.假设汽车在高架道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响.（1）过点A作MN的垂线，垂足为点H.如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板.当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1米）（参考数据：【答案】（1）36米（2）89米 【解析】解：（1）连接PA，有已知，AP=39m，在PH=（2）由题意，隔音板位置应从P到Q，在在∴PQ=PH+HQ=PH+DQ-DH=）4.(2015年山东省济宁市)(本题满分9分）在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即==，利用上述结论可以求解如下题目，如：在△ABC中，若∠A=45°，∠B=30°，a=6，求b。解：在△ABC中，∵=，∴b====3问题解决：如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，且乙船从处按北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟后到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距10海里。（1）判断△的形状，并给出证明。（2）乙船每小时航行多少海里？【答案】解：（1）答：△是等边三角形……………………1分证明：如图，由已知=×=，=又∠△是等边三角形……………………4分（2）△是等边三角形=由已知∠…………5分又=105°-60°=45°，在△中，由正弦定理得：……………………………………6分=因此，乙船的速度大小为（海里/小时）………………8分答：乙船每小时航行海里……………………………………9分5.（2015贵州遵义，21，8分）如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC=4米，AB=6米，中间平台宽度DE=1米，EN、DM、CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB=31°，DF⊥BC于F，∠CDF=45°．求DM和BC的水平距离BM的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）【答案】BM=2.5．【解析】解：设EF与AB之间的铅垂距离为x，则EN=BF=x，∴CF=BC-BF=4-x．在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠CDF=45°∴△CDF是等腰Rt△∴DF=CF=4-x易得四边形DMBF、ENMD均是矩形，∴MB=DF=4-x，NM=ED=1在Rt△AEN中，∠ANE=90°，∠EAN=31°∴tan∠EAN=tan31°==≈0.60∴AN=∴AB=AN+NM+MB=+1+4-x=+5又∵AB=6∴+5=6∴∴BM=4-x=4-==2.5．