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2016年中考数学解析版分类汇编(第1期)尺规作图尺规作图一、选择题1.(2016,湖北宜昌,12,3分)任意一条线段EF,其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示.若连接EH、HF、FG,GE,则下列结论中,不一定正确的是()A.△EGH为等腰三角形B.△EGF为等边三角形C.四边形EGFH为菱形D.△EHF为等腰三角形【考点】作图-基本作图;线段垂直平分线的性质.【分析】根据等腰三角形的定义、菱形的定义、等边三角形的定义一一判断即可.【解答】解:A、正确.∵EG=EH,∴△EGH是等边三角形.B、错误.∵EG=GF,∴△EFG是等腰三角形,若△EFG是等边三角形,则EF=EG,显然不可能.C、正确.∵EG=EH=HF=FG,∴四边形EHFG是菱形.D、正确.∵EH=FH,∴△EFH是等边三角形.故选B.【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质、作图﹣基本作图、等腰三角形的定义等知识,解题的关键是灵活一一这些知识解决问题,属于中考常考题型.2.(2016年浙江省丽水市)用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD,以下四个作图中,作法错误的是()A. B. C. D.【考点】作图-复杂作图.【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解.【解答】解:A、根据垂径定理作图的方法可知,CD是Rt△ABC斜边AB上的高线,不符合题意;B、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知,CD是Rt△ABC斜边AB上的高线,不符合题意;C、根据相交两圆的公共弦的性质可知,CD是Rt△ABC斜边AB上的高线,不符合题意;D、无法证明CD是Rt△ABC斜边AB上的高线,符合题意.故选:D.二、填空题1.(2016吉林长春,11,3分)如图,在△ABC中,AB>AC,按以下步骤作图:分别以点B和点C为圆心,大于BC一半的长为半径作圆弧,两弧相交于点M和点N,作直线MN交AB于点D;连结CD.若AB=6,AC=4,则△ACD的周长为10.【考点】作图-基本作图;线段垂直平分线的性质.【分析】根据题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线,推出DC=DB,可以证明△ADC的周长=AC+AB,由此即可解决问题.【解答】解:由题意直线MN是线段BC的垂直平分线,∵点D在直线MN上,∴DC=DB,∴△ADC的周长=AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB,∵AB=6,AC=4,∴△ACD的周长为10.故答案为10.【点评】本题考查基本作图、线段垂直平分线性质、三角形周长等知识,解题的关键是学会转化,把△ADC的周长转化为求AC+AB来解决,属于基础题,中考常考题型.2.(2016·广东深圳)如图,在□ABCD中,以点为圆心,以任意长为半径作弧,分别交于点,再分别以为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧在内交于点M,连接BM并延长交AD于点E,则DE的长为_________.答案:.2考点:角平分线的作法,等角对等边,平行四边形的性质。解析:依题意,可知,BE为角平分线,所以,∠ABE=∠CBE,又AD∥BC,所以,∠AEB=∠CBE,所以,∠AEB=∠ABE,AE=AB=3,AD=BC=5,所以,DE=5-3=2。三、解答题1.(2016·湖北咸宁)(本题满分12分)如图1,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,1),取一点B(b,0),连接AB,作线段AB的垂直平分线l1,过点B作x轴的垂线l2,记l1,l2的交点为P.(1)当b=3时,在图1中补全图形(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);(2)小慧多次取不同数值b,得出相应的点P,并把这些点用平滑的曲线连接起来,发现:这些点P竟然在一条曲线L上!①设点P的坐标为(x,y),试求y与x之间的关系式,并指出曲线L是哪种曲线;②设点P到x轴,y轴的距离分别为d1,d2,求d1+d2的范围.当d1+d2=8时,求点P的坐标;③将曲线L在直线y=2下方的部分沿直线y=2向上翻折,得到一条"W"形状的新曲线,若直线y=kx+3与这条"W"形状的新曲线有4个交点,直接写出k的取值范围.图1图2【考点】二次函数,一次函数,尺规作图,平面直角坐标系,勾股定理,一元二次方程,轴对称--翻折,最值问题.【分析】(1)根据垂直平分线、垂线的尺规作图方法画图即可,要标出字母;(2)①分x>0和x≤0两种情况讨论:当x>0时,如图2,连接AP,过点P作PE⊥y轴于点E,可得出PA=PB=y;再在Rt△APE中,EP=OB=x,AE=OE-OA=y-1,由勾股定理,可求出y与x之间的关系式;当x≤0时,点P(x,y)同样满足y=x2+,曲线L就是二次函数y=x2+的图像,也就是说曲线L是一条抛物线.②首先用代数式表示出d1,d2:d1=x2+,d2=|x|,得出d1+d2=x2++|x|,可知当x=0时,d1+d2有最小值,因此d1+d2的范围是d1+d2≥;当d1+d2=8时,则x2++|x|=8.将x从绝对值中开出来,故需分x≥0和x<0两种情况讨论:当x≥0时,将原方程化为x2++x=8,解出x1,x2即可;当x<0时,将原方程化为x2+-x=8,解出x1,x2即可;最后将x=±3代入y=x2+,求得P的纵坐标,从而得出点P的坐标.③直接写出k的取值范围即可.【解答】解:(1)如图1所示(画垂直平分线,垂线,标出字母各1分).……………………………………………………………..3分E图1图2(2)①当x>0时,如图2,连接AP,过点P作PE⊥y轴于点E.∵l1垂直平分AB∴PA=PB=y.在Rt△APE中,EP=OB=x,AE=OE-OA=y-1.由勾股定理,得(y-1)2+x2=y2.………………………………………5分整理得,y=x2+.当x≤0时,点P(x,y)同样满足y=x2+.……………………….6分∴曲线L就是二次函数y=x2+的图像.即曲线L是一条抛物线.…………………………………………………………7分②由题意可知,d1=x2+,d2=|x|.∴d1+d2=x2++|x|.当x=0时,d1+d2有最小值.∴d1+d2的范围是d1+d2≥.………………………………………………8分当d1+d2=8时,则x2++|x|=8.(Ⅰ)当x≥0时,原方程化为x2++x=8.解得x1=3,x2=-5(舍去).(Ⅱ)当x<0时,原方程化为x2+-x=8.解得x1=-3,x2=5(舍去).将x=±3代入y=x2+,得y=5.…………………………………….9分∴点P的坐标为(3,5)或(-3,5).…………………………….10分③k的取值范围是:-<k<.…………………………………………….12分解答过程如下(过程不需写):把y=2代入y=x2+,得x1=-,x2=.∴直线y=2与抛物线y=x2+两个交点的坐标为(-,2)和(,2).当直线y=kx+3过点(-,2)时,可求得k=;当直线y=kx+3过点(,2)时,可求得k=-.故当直线y=kx+3与这条"W"形状的新曲线有4个交点时,k的取值范围是:-<k<.……………………………………………………………….12分【点评】本题是压轴题,综合考查了二次函数,一次函数,尺规作图,勾股定理,平面直角坐标系,一元二次方程,轴对称--翻折,最值问题.读懂题目、准确作图、熟谙二次函数及其图像是解题的关键.近几年的中考,一些题型灵活、设计新颖、富有创意的压轴试题涌现出来,其中一类以平移、旋转、翻折等图形变换为解题思路的题目更是成为中考压轴大戏的主角。解决压轴题目的关键是找准切入点,如添辅助线构造定理所需的图形或基本图形;紧扣不变量,并善于使用前题所采用的方法或结论;深度挖掘题干,反复认真的审题,在题目中寻找多解的信息,等等.压轴题牵涉到的知识点较多,知识转化的难度较高,除了要熟知各类知识外,平时要多练,提高知识运用和转化的能力。2.(2016·四川广安·8分)在数学活动课上,老师要求学生在5×5的正方形ABCD网格中(小正方形的边长为1)画直角三角形,要求三个顶点都在格点上,而且三边与AB或AD都不平行.画四种图形,并直接写出其周长(所画图象相似的只算一种).【考点】作图-相似变换.【分析】在图1中画等腰直角三角形;在图2、3、4中画有一条直角边为,另一条直角边分别为3,4,2的直角三角形,然后计算出四个直角三角形的周长.【解答】解:如图1,三角形的周长=2+;如图2,三角形的周长=4+2;如图3,三角形的周长=5+;如图4,三角形的周长=3+.3.(2016·四川达州·7分)如图,在?ABCD中,已知AD>AB.(1)实践与操作:作∠BAD的平分线交BC于点E,在AD上截取AF=AB,连接EF;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)(2)猜想并证明:猜想四边形ABEF的形状,并给予证明.【考点】平行四边形的性质;作图-基本作图.【分析】(1)由角平分线的作法容易得出结果,在AD上截取AF=AB,连接EF;画出图形即可;(2)由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠AEB,证出BE=AB,由(1)得:AF=AB,得出BE=AF,即可得出结论.【解答】解:(1)如图所示:(2)四边形ABEF是菱形;理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,∴∠BAE=∠AEB,∴BE=AB,由(1)得:AF=AB,∴BE=AF,又∵BE∥AF,∴四边形ABEF是平行四边形,∵AF=AB,∴四边形ABEF是菱形.4.(2016·四川凉山州·8分)如图,在边长为1的正方形网格中,△ABC的顶点均在格点上,点A、B的坐标分别是A(4,3)、B(4,1),把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C.(1)画出△A1B1C,直接写出点A1、B1的坐标;(2)求在旋转过程中,△ABC所扫过的面积.【考点】作图-旋转变换;扇形面积的计算.【分析】(1)根据旋转中心方向及角度找出点A、B的对应点A1、B1的位置,然后顺次连接即可,根据A、B的坐标建立坐标系,据此写出点A1、B1的坐标;(2)利用勾股定理求出AC的长,根据△ABC扫过的面积等于扇形CAA1的面积与△ABC的面积和,然后列式进行计算即可.【解答】解:(1)所求作△A1B1C如图所示:由A(4,3)、B(4,1)可建立如图所示坐标系,则点A1的坐标为(﹣1,4),点B1的坐标为(1,4);(2)∵AC===,∠ACA1=90°∴在旋转过程中,△ABC所扫过的面积为:S扇形CAA1+S△ABC=+×3×2=+3.5.(2016湖北孝感,20,8分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图,保留作图痕迹:①作∠ACB的平分线,交斜边AB于点D;②过点D作AC的垂线,垂足为点E.(2)在(1)作出的图形中,若CB=4,CA=6,则DE=.【考点】作图-基本作图.【分析】(1)以C为圆心,任意长为半径画弧,交BC,AC两点,再以这两点为圆心,大于这两点的线段的一半为半径画弧,过这两弧的交点与C在直线交AB于D即可,根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出垂线即可;(2)根据平行线的性质和角平分线的性质推出∠ECD=∠EDC,进而证得DE=CE,由DE∥BC,推出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的性质即可推得结论.【解答】解:(1)如图所示;(2)解:∵DC是∠ACB的平分线,∴∠BCD=∠ACD,∵DE⊥AC,BC⊥AC,∴DE∥BC,∴∠EDC=∠BCD,∴∠ECD=∠EDC,∴DE=CE,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,【点评】本题考查了角的平分线的性质,平行线的性质,等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质,基本作图,解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.6.(2016·广东广州)如图,利用尺规,在的边上方做,在射线上截取,连接,并证明:(尺规作图要求保留作图痕迹,不写作法)【难易】容易【考点】尺规作图,平行线,平行四边形【解析】利用"等圆中,等弧所对的圆心角相等"可以完成等角的作图再利用"内错角相等"可判定两直线平行,然后利用"一组对边平行且相等的四边形是平行四边形"完成平行四边形的判定,最后利用平行四边形的性质进行平行的证明【参考答案】]证明;如图AD,CD为所做因为,所以因为所以四边形ABCD为平行四边形所以7.(2016·广东梅州)如图,在平行四边形ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B、F为圆心,大于长为半径画弧,两弧交于一点P,连接AP并延长交BC于点E,连接EF.(1) 四边形ABEF是_______;(选填矩形、菱形、正方形、无法确定)(直接填写结果)(2)AE,BF相交于点O,若四边形ABEF的周长为40,BF=10,则AE的长为________,∠ABC=________°.(直接填写结果)考点:角平分线的画法,菱形的判定及其性质,勾股定理。解析:(1)菱形(2)依题意,可知AE为角平分线,因为ABEF的周长为40,所以,AF=10,又FO=5,AO==,所以,AE=,,所以,∠ABO=120°,∠ABC=120°。8.(2016年浙江省衢州市)如图,已知BD是矩形ABCD的对角线.(1)用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线,分别交AD、BC于E、F(保留作图痕迹,不写作法和证明).(2)连结BE,DF,问四边形BEDF是什么四边形?请说明理由.【考点】矩形的性质;作图-基本作图.【分析】(1)分别以B、D为圆心,比BD的一半长为半径画弧,交于两点,确定出垂直平分线即可;(2)连接BE,DF,四边形BEDF为菱形,理由为:由EF垂直平分BD,得到BE=DE,∠DEF=∠BEF,再由AD与BC平行,得到一对内错角相等,等量代换及等角对等边得到BE=BF,再由BF=DF,等量代换得到四条边相等,即可得证.【解答】解:(1)如图所示,EF为所求直线;(2)四边形BEDF为菱形,理由为:证明:∵EF垂直平分BD,∴BE=DE,∠DEF=∠BEF,∵AD∥BC,∴∠DEF=∠BFE,∴∠BEF=∠BFE,∴BE=BF,∵BF=DF,∴BE=ED=DF=BF,∴四边形BEDF为菱形.9.(2016·四川巴中)如图,方格中,每个小正方形的边长都是单位1,△ABC在平面直角坐标系中的位置如图.(1)画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1;(2)画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2;(3)求△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积.【考点】作图-旋转变换;作图-平移变换.【分析】(1)将△ABC向右平移2个单位即可得到△A1B1C1.(2)将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°即可得到的△A2B2C2.(3)B2C2与A1B1相交于点E,B2A2与A1B1相交于点F,如图,求出直线A1B1,B2C2,A2B2,列出方程组求出点E、F坐标即可解决问题.【解答】解:(1)如图,△A1B1C1为所作;(2)如图,△A2B2C2为所作;(3)B2C2与A1B1相交于点E,B2A2与A1B1相交于点F,如图,∵B2(0,1),C2(2,3),B1(1,0),A1(2,5),A2(5,0),∴直线A1B1为y=5x﹣5,直线B2C2为y=x+1,直线A2B2为y=﹣x+1,由解得,∴点E(,),由解得,∴点F(,).∴S△BEF=×﹣o﹣o﹣o=.∴△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积为.10.(2016.山东省青岛市,4分)已知:线段a及∠ACB.求作:⊙O,使⊙O在∠ACB的内部,CO=a,且⊙O与∠ACB的两边分别相切.【考点】作图-复杂作图.【分析】首先作出∠ACB的平分线CD,再截取CO=a得出圆心O,作OE⊥CA,由角平分线的性质和切线的判定作出圆即可.【解答】解:①作∠ACB的平分线CD,②在CD上截取CO=a,③作OE⊥CA于E,以O我圆心,OE长为半径作圆;如图所示:⊙O即为所求.11.(2016·江苏无锡)如图,OA=2,以点A为圆心,1为半径画⊙A与OA的延长线交于点C,过点A画OA的垂线,垂线与⊙A的一个交点为B,连接BC(1)线段BC的长等于;(2)请在图中按下列要求逐一操作,并回答问题:①以点A为圆心,以线段BC的长为半径画弧,与射线BA交于点D,使线段OD的长等于②连OD,在OD上画出点P,使OP得长等于,请写出画法,并说明理由.【考点】作图-复杂作图.【分析】(1)由圆的半径为1,可得出AB=AC=1,结合勾股定理即可得出结论;(2)①结合勾股定理求出AD的长度,从而找出点D的位置,根据画图的步骤,完成图形即可;②根据线段的三等分点的画法,结合OA=2AC,即可得出结论.【解答】解:(1)在Rt△BAC中,AB=AC=1,∠BAC=90°,∴BC==.故答案为:.(2)①在Rt△OAD中,OA=2,OD=,∠OAD=90°,∴AD===BC.∴以点A为圆心,以线段BC的长为半径画弧,与射线BA交于点D,使线段OD的长等于.依此画出图形,如图1所示.故答案为:A;BC.②∵OD=,OP=,OC=OA+AC=3,OA=2,∴.故作法如下:连接CD,过点A作AP∥CD交OD于点P,P点即是所要找的点.依此画出图形,如图2所示.12.(2016安徽,17,8分)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中,给出了四边形ABCD的两条边AB与BC,且四边形ABCD是一个轴对称图形,其对称轴为直线AC.(1)试在图中标出点D,并画出该四边形的另两条边;(2)将四边形ABCD向下平移5个单位,画出平移后得到的四边形A′B′C′D′.【考点】作图-平移变换.【分析】(1)画出点B关于直线AC的对称点D即可解决问题.(2)将四边形ABCD各个点向下平移5个单位即可得到四边形A′B′C′D′.【解答】解:(1)点D以及四边形ABCD另两条边如图所示.(2)得到的四边形A′B′C′D′如图所示.
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