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2016年各地中考数学解析版分类汇编(第2期)规律探索规律探索一.选择题1．（2016·山东省德州市·4分）如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l2于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l2于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2017的坐标为（21008，21009）．【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【专题】规律型；一次函数及其应用．【分析】写出部分An点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律"A2n+1（（﹣2）n，2（﹣2）n）（n为自然数）"，依此规律即可得出结论．【解答】解：观察，发现规律：A1（1，2），A2（﹣2，2），A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），…，∴A2n+1（（﹣2）n，2（﹣2）n）（n为自然数）．∵2017=1008×2+1，∴A2017的坐标为（（﹣2）1008，2（﹣2）1008）=（21008，21009）．故答案为：（21008，21009）．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中坐标的变化，解题的关键是找出变化规律"A2n+1（（﹣2）n，2（﹣2）n）（n为自然数）"．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分An点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键．2.（2016·四川内江）一组正方形按如图3所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2016B2016C2016D2016的边长是()A．()2015B．()2016C．()2016D．()2015[答案]D[考点]三角形的相似，推理、猜想。[解析]易知△B2C2E2∽△C1D1E1，∴＝＝＝30°．∴B2C2＝C1D1·30°＝．∴C2D2＝．同理，B3C3＝C2D2·30°＝()2；由此猜想BnCn＝()n－1．当n＝2016时，B2016C2016＝()2015．故选D．3.（2016·湖北荆州·3分）如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为（）A．671B．672C．673D．674【分析】将已知三个图案中白色纸片数拆分，得出规律：每增加一个黑色纸片时，相应增加3个白色纸片；据此可得第n个图案中白色纸片数，从而可得关于n的方程，解方程可得．【解答】解：∵第1个图案中白色纸片有4=1+1×3张；第2个图案中白色纸片有7=1+2×3张；第3个图案中白色纸片有10=1+3×3张；…∴第n个图案中白色纸片有1+n×3=3n+1（张），根据题意得：3n+1=2017，解得：n=672，故选：B．【点评】本题考查了图形的变化问题，观察出后一个图形比前一个图形的白色纸片的块数多3块，从而总结出第n个图形的白色纸片的块数是解题的关键．4.（2016·重庆市A卷·4分）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）      A．64 B．77 C．80 D．85【分析】观察图形特点，从中找出规律，小圆圈的个数分别是3+12，6+22，10+32，15+42，…，总结出其规律为+n2，根据规律求解．   【解答】解：通过观察，得到小圆圈的个数分别是：   第一个图形为：+12=4，   第二个图形为：+22=6，   第三个图形为：+32=10，第四个图形为：+42=15，   …，   所以第n个图形为：+n2，   当n=7时，+72=85，   故选D．   【点评】此题主要考查了学生分析问题、观察总结规律的能力．关键是通过观察分析得出规律．  5.（2016·重庆市B卷·4分）观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是（）A．43 B．45 C．51 D．53【考点】规律型：图形的变化类．【分析】设图形n中星星的颗数是an（n为自然是），列出部分图形中星星的个数，根据数据的变化找出变化规律"an=2+"，结合该规律即可得出结论．【解答】解：设图形n中星星的颗数是an（n为自然是），观察，发现规律：a1=2，a2=6=a1+3+1，a3=11=a2+4+1，a4=17=a3+5+1，…，∴an=2+．令n=8，则a8=2+=51．故选C．【点评】本题考查了规律型中的图形的变化类，解题的关键是找出变化规律"an=2+"．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据给定条件列出部分数据，根据数据的变化找出变化规律是关键．二、填空题1.（2016·山东潍坊·3分）在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBnCnCn﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点Bn的坐标是（2n﹣1，2n﹣1）．【考点】一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．【分析】先求出B1、B2、B3的坐标，探究规律后即可解决问题．【解答】解：∵y=x﹣1与x轴交于点A1，∴A1点坐标（1，0），∵四边形A1B1C1O是正方形，∴B1坐标（1，1），∵C1A2∥x轴，∴A2坐标（2，1），∵四边形A2B2C2C1是正方形，∴B2坐标（2，3），∵C2A3∥x轴，∴A3坐标（4，3），∵四边形A3B3C3C2是正方形，∴B3（4，7），∵B1（20，21﹣1），B2（21，22﹣1），B3（22，23﹣1），…，∴Bn坐标（2n﹣1，2n﹣1）．故答案为（2n﹣1，2n﹣1）．2.（2016·黑龙江龙东·3分）如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC"先沿x轴翻折，再向左平移1个单位"为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为．【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；坐标与图形变化-平移．【分析】据轴对称判断出点A变换后在x轴上方，然后求出点A纵坐标，再根据平移的距离求出点A变换后的横坐标，最后写出即可．【解答】解：解：∵△ABC是等边三角形AB=3﹣1=2，∴点C到x轴的距离为1+2×=+1，横坐标为2，∴A（2，+1），第2016次变换后的三角形在x轴上方，点A的纵坐标为+1，横坐标为2-2016×1=-2014，所以，点A的对应点A′的坐标是(-2014，+1)故答案为：(-2014，+1)．3．（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为（﹣，）．【考点】位似变换；坐标与图形性质；矩形的性质．【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，即可求得Bn的坐标，然后根据矩形的性质即可求得对角线交点的坐标．【解答】解：∵在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，∴矩形A1OC1B1与矩形AOCB是位似图形，点B与点B1是对应点，∵OA=2，OC=1．∵点B的坐标为（﹣2，1），∴点B1的坐标为（﹣2×，1×），∵将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，∴B2（﹣2××，1××），∴Bn（﹣2×，1×），∵矩形AnOCnBn的对角线交点（﹣2××，1××），即（﹣，），故答案为：（﹣，）．4．（2016·湖北黄石·3分）观察下列等式：第1个等式：a1==﹣1，第2个等式：a2==﹣，第3个等式：a3==2﹣，第4个等式：a4==﹣2，按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第n个等式：an==﹣；；（2）a1+a2+a3+…+an=﹣1．【分析】（1）根据题意可知，a1==﹣1，a2==﹣，a3==2﹣，a4==﹣2，…由此得出第n个等式：an==﹣；（2）将每一个等式化简即可求得答案．【解答】解：（1）∵第1个等式：a1==﹣1，第2个等式：a2==﹣，第3个等式：a3==2﹣，第4个等式：a4==﹣2，∴第n个等式：an==﹣；（2）a1+a2+a3+…+an=（﹣1）+（﹣）+（2﹣）+（﹣2）+…+（﹣）=﹣1．故答案为=﹣；﹣1．【点评】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．5．按一定规律排列的一列数：，1，1，□，，，，…请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】把整数1化为，可以发现后一个数的分子恰是前面数的分母，分析即可求解．【解答】解：把整数1化为，得，，，（），，，…可以发现后一个数的分子恰是前面数的分母，所以，第4个数的分子是2，分母是3，故答案为：．6．（2016·山东省东营市·4分）在求1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S＝1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38①，然后在①式的两边都乘以3，得：3S＝3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38＋39②，②一①得：3S―S＝39－1，即2S＝39－1，∴S＝39―12.得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把"3"换成字母m（m≠0且m≠1），能否求出1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2016的值？如能求出，其正确答案是___________.【专题】规律探究--数式规律【答案】m2017－1m－1.【解析】设S＝1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2016…………………①，在①式的两边都乘以m，得：mS＝m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2016＋m2017…………………②②一①得：mS―S＝m2017－1.∴S＝m2017－1m－1.【点拨】仔细理解题目中所给的求1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38的值过程，仿照其解法，即可得到求出1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2016的值的方法.7．（2016·山东省滨州市·4分）观察下列式子：1×3+1=22；7×9+1=82；25×27+1=262；79×81+1=802；…可猜想第2016个式子为（32016﹣2）×32016+1=（32016﹣1）2．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】观察等式两边的数的特点，用n表示其规律，代入n=2016即可求解．【解答】解：观察发现，第n个等式可以表示为：（3n﹣2）×3n+1=（3n﹣1）2，当n=2016时，（32016﹣2）×32016+1=（32016﹣1）2，故答案为：（32016﹣2）×32016+1=（32016﹣1）2．【点评】此题主要考查数的规律探索，观察发现等式中的每一个数与序数n之间的关系是解题的关键．8．（2016·山东省菏泽市·3分）如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m=﹣1．【考点】二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．【专题】规律型．【分析】将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1=A1A2，照此类推可以推导知道点P（11，m）为抛物线C6的顶点，从而得到结果．【解答】解：∵y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），∴配方可得y=﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2），∴顶点坐标为（1，1），∴A1坐标为（2，0）∵C2由C1旋转得到，∴OA1=A1A2，即C2顶点坐标为（3，﹣1），A2（4，0）；照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）；C4顶点坐标为（7，﹣1），A4（8，0）；C5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）；C6顶点坐标为（11，﹣1），A6（12，0）；∴m=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标．9.（2016·福建龙岩·3分）如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10=π．【考点】三角形的内切圆与内心；规律型：图形的变化类．【分析】（1）图1，作辅助线构建正方形OECF，设圆O的半径为r，根据切线长定理表示出AD和BD的长，利用AD+BD=5列方程求出半径r=（a、b是直角边，c为斜边），运用圆面积公式=πr2求出面积=π；（2）图2，先求斜边上的高CD的长，再由勾股定理求出AD和BD，利用半径r=（a、b是直角边，c为斜边）求两个圆的半径，从而求出两圆的面积和=π；（3）图3，继续求高DM和CM、BM，利用半径r=（a、b是直角边，c为斜边）求三个圆的半径，从而求出三个圆的面积和=π；综上所述：发现S1+S2+S3+…+S10=π．【解答】解：（1）图1，过点O做OE⊥AC，OF⊥BC，垂足为E、F，则∠OEC=∠OFC=90°∵∠C=90°∴四边形OECF为矩形∵OE=OF∴矩形OECF为正方形设圆O的半径为r，则OE=OF=r，AD=AE=3﹣r，BD=4﹣r∴3﹣r+4+r=5，r==1∴S1=π×12=π（2）图2，由S△ABC=×3×4=×5×CD∴CD=由勾股定理得：AD==，BD=5﹣=由（1）得：⊙O的半径==，⊙E的半径==∴S1+S2=π×+π×=π（3）图3，由S△CDB=××=×4×MD∴MD=由勾股定理得：CM==，MB=4﹣=由（1）得：⊙O的半径=，：⊙E的半径==，：⊙F的半径==∴S1+S2+S3=π×+π×+π×=π∴图4中的S1+S2+S3+S4=π则S1+S2+S3+…+S10=π故答案为：π．10.（2016·广西百色·3分）观察下列各式的规律：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4…可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）=a2017﹣b2017．【考点】平方差公式；多项式乘多项式．【分析】根据已知等式，归纳总结得到一般性规律，写出所求式子结果即可．【解答】解：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4；…可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）=a2017﹣b2017，故答案为：a2017﹣b201711.（2016·贵州安顺·4分）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为4．【分析】观察图形我们可以得出x和y的关系式为：y=2x2﹣4，因此将x的值代入就可以计算出y的值．如果计算的结果＜0则需要把结果再次代入关系式求值，直到算出的值＞0为止，即可得出y的值．【解答】解：依据题中的计算程序列出算式：12×2﹣4．由于12×2﹣4=﹣2，﹣2＜0，∴应该按照计算程序继续计算，（﹣2）2×2﹣4=4，∴y=4．故答案为：4．【点评】解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．由于代入1计算出y的值是﹣2，但﹣2＜0不是要输出y的值，这是本题易出错的地方，还应将x=﹣2代入y=2x2﹣4继续计算．12.（2016·贵州安顺·4分）观察下列砌钢管的横截面图：则第n个图的钢管数是n2+n（用含n的式子表示）【分析】本题可依次解出n=1，2，3，…，钢管的个数．再根据规律以此类推，可得出第n堆的钢管个数．【解答】解：第一个图中钢管数为1+2=3；第二个图中钢管数为2+3+4=9；第三个图中钢管数为3+4+5+6=18；第四个图中钢管数为4+5+6+7+8=30，依此类推，第n个图中钢管数为n+（n+1）+（n+2）+…+2n=+=n2+n，故答案为：n2+n．【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．13.（2016广西南宁3分）观察下列等式：在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第44层．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】先按图示规律计算出每一层的第一个数和最后一个数；发现第一个数分别是每一层层数的平方，那么只要知道2016介于哪两个数的平方即可，通过计算可知：442＜2016＜452，则2016在第44层．【解答】解：第一层：第一个数为12=1，最后一个数为22﹣1=3，第二层：第一个数为22=4，最后一个数为23﹣1=8，第三层：第一个数为32=9，最后一个数为24﹣1=15，∵442=1936，452=2025，又∵1936＜2016＜2025，∴在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第44层，故答案为：44【点评】本题考查了数学变化类的规律题，这类题的解题思路是：①从第一个数起，认真观察、仔细思考，能不能用平方或奇偶或加、减、乘、除等规律来表示；②利用方程来解决问题，先设一个未知数，找到符合条件的方程即可；本题以每一行的第一个数为突破口，找出其规律，得出结论．14.(2016河北4分）如图，已知∠AOB=7°，一条光线从点A出发后射向OB边.若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A=90°-7°=83°.第19题图当∠A<83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1=∠2.若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A=__76___°.……若光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值=___6____°.解析：此题有些难度，第一问简单，先求∠2，再求∠AA1A2，进而求∠A；第二问有些难度，原路返回，那么最后的线垂直于BO，中间的角，从里往外，是7°的2倍，4倍，8倍......，2∠1=180°-14°×n，在利用外角性质，∠A=∠1-7°=83°-7°×n，当n=11时，∠A=6°。15.（2016·辽宁丹东·3分）观察下列数据：﹣2，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是﹣\frac{122}{11}．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】根据题意可得：所有数据分母为连续正整数，第奇数个是负数，且分子是连续正整数的平方加1，进而得出答案．【解答】解：∵﹣2=﹣，，﹣，，﹣，…，∴第11个数据是：﹣=﹣．故答案为：﹣．16.（2016·四川内江）将一些半径相同的小圆按如图5所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有______个小圆．(用含n的代数式表示)[答案]n2＋n＋4[考点]规律探索。[解析]每个图由外围的4个小圆和中间的"矩形"组成，矩形的面积等于长成宽．由此可知第1个图中小圆的个数＝1×2＋4，第2个图中小圆的个数＝2×3＋4，第3个图中小圆的个数＝3×4＋4，……第n个图中小圆的个数＝n(n＋1)＋4＝n2＋n＋4．故答案为：n2＋n＋4．