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2016年各地中考数学解析版分类汇编(第2期)开放性问题开放性问题一、 填空题1.（2016·山东省济宁市·3分）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：AH=CB等（只要符合要求即可），使△AEH≌△CEB．【考点】全等三角形的判定．【分析】开放型题型，根据垂直关系，可以判断△AEH与△CEB有两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了．【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，∴∠BEC=∠AEC=90°，在Rt△AEH中，∠EAH=90°﹣∠AHE，又∵∠EAH=∠BAD，∴∠BAD=90°﹣∠AHE，在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE，∴∠EAH=∠DCH，∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE，所以根据AAS添加AH=CB或EH=EB；根据ASA添加AE=CE．可证△AEH≌△CEB．故填空答案：AH=CB或EH=EB或AE=CE．三.解答题1．（2016·山东省滨州市·14分）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；函数及其图象．【分析】（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），由此不难解决问题．（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，∴x2+2x﹣8=0，x=﹣4或2，∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），令x=0，得y=2，∴点C坐标（0，2）．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1，∴点E的横坐标为﹣7或5，∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣），∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×=．（3）如图所示，①当C为顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，在RT△CM1N中，CN==，∴点M1坐标（﹣1，2+），点M2坐标（﹣1，2﹣）．②当M3为顶点时，∵直线AC解析式为y=﹣x+1，线段AC的垂直平分线为y=x，∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．③当点A为顶点的等腰三角形不存在．综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1.2﹣）．【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．2．（2016·四川攀枝花）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）连接BC，则△ABC的面积是不变的，过P作PM∥y轴，交BC于点M，设出P点坐标，可表示出PM的长，可知当PM取最大值时△PBC的面积最大，利用二次函数的性质可求得P点的坐标及四边形ABPC的最大面积；（3）设直线m与y轴交于点N，交直线l于点G，由于∠AGP=∠GNC+∠GCN，所以当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB=90°，则可证得△AOC≌△NOB，可求得ON的长，可求出N点坐标，利用B、N两的点坐标可求得直线m的解析式．【解答】解：（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）如图1，连接BC，过Py轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H，在y=x2﹣2x﹣3中，令y=0可得0=x2﹣2x﹣3，解得x=﹣1或x=3，∴A点坐标为（﹣1，0），∴AB=3﹣（﹣1）=4，且OC=3，∴S△ABC=ABoOC=×4×3=6，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴直线BC解析式为y=x﹣3，设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则M点坐标为（x，x﹣3），∵P点在第四限，∴PM=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x，∴S△PBC=PMoOH+PMoHB=PMo（OH+HB）=PMoOB=PM，∴当PM有最大值时，△PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大，∵PM=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，PMmax=，则S△PBC=×=，此时P点坐标为（，﹣），S四边形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+=，即当P点坐标为（，﹣）时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为；（3）如图2，设直线m交y轴于点N，交直线l于点G，则∠AGP=∠GNC+∠GCN，当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB，又∠AGB+∠CGB=180°，∴∠AGB=∠CGB=90°，∴∠ACO=∠OBN，在Rt△AON和Rt△NOB中∴Rt△AON≌Rt△NOB（ASA），∴ON=OA=1，∴N点坐标为（0，﹣1），设直线m解析式为y=kx+d，把B、N两点坐标代入可得，解得，∴直线m解析式为y=x﹣1，即存在满足条件的直线m，其解析式为y=x﹣1．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、二次函数的最值、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质等．在（2）中确定出PM的值最时四边形ABPC的面积最大是解题的关键，在（3）中确定出满足条件的直线m的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是第（2）问和第（3）问难度较大．3．（2016·四川内江）(12分)如图15，已知抛物线C：y＝x2－3x＋m，直线l：y＝kx(k＞0)，当k＝1时，抛物线C与直线l只有一个公共点．(1)求m的值；(2)若直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线l与直线l1：y＝－3x＋b交于点P，且＋＝，求b的值；(3)在(2)的条件下，设直线l1与y轴交于点Q，问：是否存在实数k使S△APQ＝S△BPQ，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．[考点]二次函数与一元二次方程的关系，三角形的相似，推理论证的能力。解：(1)∵当k＝1时，抛物线C与直线l只有一个公共点，∴方程组有且只有一组解． 2分消去y，得x2－4x＋m＝0，所以此一元二次方程有两个相等的实数根．∴△＝0，即(－4)2－4m＝0．∴m＝4． 4分(2)如图，分别过点A，P，B作y轴的垂线，垂足依次为C，D，E，则△OAC∽△OPD，∴＝．同理，＝．∵＋＝，∴＋＝2．∴＋＝2．∴＋＝，即＝． 5分解方程组得x＝，即PD＝． 6分由方程组消去y，得x2－(k＋3)x＋4＝0．∵AC，BE是以上一元二次方程的两根，∴AC＋BE＝k＋3，AC·BE＝4． 7分∴＝．解得b＝8． 8分(3)不存在．理由如下： 9分假设存在，则当S△APQ＝S△BPQ时有AP＝PB，于是PD－AC＝PE－PD，即AC＋BE＝2PD．由(2)可知AC＋BE＝k＋3，PD＝，∴k＋3＝2×，即(k＋3)2＝16．解得k＝1(舍去k＝－7)． 11分当k＝1时，A，B两点重合，△QAB不存在．∴不存在实数k使S△APQ＝S△BPQ． 12分