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免费2017年中考总复习：一次函数与反比例函数中考数学考点分类汇编滚动小专题(四)一次函数与反比例函数综合1．(2016·襄阳)如图，直线y＝ax＋b与反比例函数y＝mx(x＞0)的图象交于A(1，4)，B(4，n)两点，与x轴，y轴分别交于C，D两点．(1)m＝4，n＝1；若M(x1，y1)，N(x2，y2)是反比例函数图象上两点，且0＜x1＜x2，则y1＞y2(填"＜""＝"或"＞")；(2)若线段CD上的点P到x轴，y轴的距离相等．求点P的坐标．解：∵直线y＝ax＋b经过点A(1，4)，B(4，1)，∴a＋b＝4，4a＋b＝1.解得a＝－1，b＝5.∴y＝－x＋5.当x＝y时，x＝－x＋5，解得x＝52.∴P(52，52)．2．(2016·威海)如图，反比例函数y＝mx的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于A，B两点，点A的坐标为(2，6)，点B的坐标为(n，1)．(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)点E为y轴上一个动点，若S△AEB＝5，求点E的坐标．解：(1)把点A(2，6)代入y＝mx，得m＝12，则y＝12x.把点B(n，1)代入y＝12x，得n＝12，则点B的坐标为(12，1)．由直线y＝kx＋b过点A(2，6)，点B(12，1)得2k＋b＝6，12k＋b＝1.解得k＝－12，b＝7.则所求一次函数的表达式为y＝－12x＋7.(2)设直线AB与y轴的交点为P，点E的坐标为(0，t)，连接AE，BE，则点P的坐标为(0，7)．∴PE＝|t－7|.∵S△AEB＝S△BEP－S△AEP＝5，∴12×|t－7|×(12－2)＝5.∴|t－7|＝1.解得t1＝6，t2＝8.∴点E的坐标为(0，6)或(0，8)．3．(2016·安徽)如图，一次函数y＝kx＋b的图象分别与反比例函数y＝ax的图象在第一象限交于点A(4，3)，与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB.(1)求函数y＝kx＋b和y＝ax的表达式；(2)已知点C(0，5)，试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB＝MC.求此时点M的坐标．解：(1)将A(4，3)代入y＝ax，得3＝a4，∴a＝12.OA＝42＋32＝5.∵OA＝OB，且点B在y轴负半轴上，∴B(0，－5)．将A(4，3)，B(0，－5)代入y＝kx＋b，得3＝4k＋b，－5＝b.解得k＝2，b＝－5.∴所求函数表达式分别为y＝2x－5和y＝12x.(2)∵MB＝MC，∴点M在线段BC的中垂线上，即x轴上．又∵点M在一次函数的图象上，∴M为一次函数图象与x轴的交点．令y＝0，即2x－5＝0，解得x＝52.∴点M的坐标为(52，0)．4．(2016·自贡)如图，已知A(－4，n)，B(2，－4)是一次函数y＝kx＋b和反比例函数y＝mx的图象的两个交点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)观察图象，直接写出方程kx＋b－mx＝0的解；(3)求△AOB的面积；(4)观察图象，直接写出kx＋b－mx＜0的解集．解：(1)∵B(2，－4)在y＝mx上，∴m＝－8.∴反比例函数的解析式为y＝－8x.∵点A(－4，n)在y＝－8x上，∴n＝2.∴A(－4，2)．∵y＝kx＋b经过A(－4，2)，B(2，－4)，∴－4k＋b＝2，2k＋b＝－4.解得k＝－1，b＝－2.∴一次函数的解析式为y＝－x－2.(2)x1＝－4，x2＝2.(3)设一次函数图象与y轴交点为C.∵当x＝0时，y＝－2，∴点C(0，－2)．∴OC＝2.∴S△AOB＝S△ACO＋S△BCO＝12×2×4＋12×2×2＝6.(4)－4＜x＜0或x＞2.5．(2016·乐山)如图，反比例函数y＝kx与一次函数y＝ax＋b的图象交于点A(2，2)，B(12，n)．(1)求这两个函数的解析式；(2)将一次函数y＝ax＋b的图象沿y轴向下平移m个单位，使平移后的图象与反比例函数y＝kx的图象有且只有一个交点，求m的值．解：(1)∵A(2，2)在反比例函数y＝kx的图象上，∴k＝4.∴反比例函数的解析式为y＝4x.又∵B(12，n)在反比例函数y＝4x的图象上，∴12n＝4，解得n＝8.由A(2，2)，B(12，8)在一次函数y＝ax＋b的图象上，得2＝2a＋b，8＝12a＋b.解得a＝－4，b＝10.∴一次函数的解析式为y＝－4x＋10.(2)将直线y＝－4x＋10向下平移m个单位得直线的解析式为y＝－4x＋10－m.∵直线y＝－4x＋10－m与双曲线y＝4x有且只有一个交点，令－4x＋10－m＝4x，得4x2＋(m－10)x＋4＝0.∴Δ＝(m－10)2－64＝0，解得m＝2或18.6．(2016·新疆)如图，直线y＝2x＋3与y轴交于A点，与反比例函数y＝kx(x＞0)的图象交于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，且C点的坐标为(1，0)．(1)求反比例函数的解析式；(2)点D(a，1)是反比例函数y＝kx(x＞0)图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PB＋PD最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵BC⊥x轴于点C，且C点的坐标为(1，0)，∴在直线y＝2x＋3中，当x＝1时，y＝2＋3＝5.∴点B的坐标为(1，5)．又∵点B(1，5)在反比例函数y＝kx上，∴k＝1×5＝5.∴反比例函数的解析式为y＝5x.(2)存在．作D点关于x轴的对称点D′，连接BD′，交x轴于点P，P点即为所求．将D(a，1)代入y＝5x，得a＝5.∴点D的坐标为(5，1)．∴D′(5，－1)．设过点B(1，5)，点D′(5，－1)的直线解析式为y＝tx＋b，可得t＋b＝5，5t＋b＝－1.解得t＝－32，b＝132.∴直线BD′的解析式为y＝－32x＋132.当y＝0时，－32x＋132＝0，解得x＝133.故点P的坐标为(133，0)．