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免费2017年中考总复习：圆的有关计算与证明中考数学考点分类汇编滚动小专题(九)圆的有关计算与证明类型1与圆的基本性质有关的计算与证明1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD.(1)求证：BD平分∠ABC；(2)当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD.证明：(1)∵OD⊥AC，OD为半径，∴CD︵＝AD︵.∴∠CBD＝∠ABD.∴BD平分∠ABC.(2)∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝30°.∴∠AOD＝∠OBD＋∠ODB＝30°＋30°＝60°.又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA＝90°.∴∠A＝180°－∠OEA－∠AOD＝180°－90°－60°＝30°.又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.在Rt△ACB中，BC＝12AB，∵OD＝12AB，∴BC＝OD.2．(2016·温州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD延长线于点F，连接EF.(1)求证：∠1＝∠F；(2)若sinB＝55，EF＝25，求CD的长．解：(1)证明：连接DE.∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB＝90°.∵E是AB的中点，∴DA＝DB.∴∠1＝∠B.∵∠B＝∠F，∴∠1＝∠F.(2)∵∠1＝∠F，∴AE＝EF＝25.∴AB＝2AE＝45.在Rt△ABC中，AC＝AB·sinB＝4，∴BC＝AB2－AC2＝8.设CD＝x，则AD＝BD＝8－x，∵AC2＋CD2＝AD2，即42＋x2＝(8－x)2，∴x＝3，即CD＝3.3．(2016·苏州)如图，AB是圆O的直径，D、E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD.连接AC交圆O于点F，连接AE、DE、DF.(1)证明：∠E＝∠C；(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数；(3)设DE交AB于点G，若DF＝4，cosB＝23，E是弧AB的中点，求EG·ED的值．解：(1)证明：连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC.∴AB＝AC.∴∠B＝∠C.∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C.(2)∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD＝180°－∠E.又∠CFD＝180°－∠AFD，∴∠CFD＝∠E＝55°.又∵∠E＝∠C＝55°，∴∠BDF＝∠C＋∠CFD＝110°.(3)连接OE.∵∠CFD＝∠AEG＝∠C，∴FD＝CD＝BD＝4.在Rt△ABD中，cosB＝23，BD＝4，∴AB＝6.∵E是AB︵的中点，AB是⊙O的直径，∴∠AOE＝90°.∵AO＝OE＝3，∴AE＝32.∵E是AB︵的中点，∴∠ADE＝∠EAB，∴△AEG∽△DEA.∴AEEG＝DEAE，即EG·ED＝AE2＝18.类型2与圆的切线有关的计算与证明4．(2016·南充)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC＝1，以点O为圆心，OC为半径作圆．(1)求证：AB为⊙O的切线；(2)如果tan∠CAO＝13，求cosB的值．解：(1)证明：作OD⊥AB于点D.∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，∴OD＝OC.∵OC是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．(2)∵∠ACB＝90°，∴AC是⊙O的切线．∴AC＝AD.在Rt△ACB和Rt△OBD中，∵∠ABC＝∠OBD，∴△ABC∽△OBD，∴OBAB＝ODAC＝OCAC＝tan∠CAO＝13.∵OC＝OD＝1，∴AC＝AD＝3.设OB为x，则AB＝3x，BD＝AB－AD＝3x－3.在Rt△ODB中，OB2＝OD2＋DB2，即x2＝12＋(3x－3)2.解得x1＝54，x2＝1(不合题意，舍去)．∴DB＝34，∴cosB＝DBOB＝35.5．(2016·威海)如图，在△BCE中，点A为边BE上一点，以AB为直径的⊙O与CE相切于点D，AD∥OC，点F为OC与⊙O的交点，连接AF.(1)求证：CB是⊙O的切线；(2)若∠ECB＝60°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．解：(1)证明：连接OD，与AF相交于点G.∵CE与⊙O相切于点D，∴OD⊥CE.∴∠CDO＝90°.∵AD∥OC，∴∠ADO＝∠DOC，∠DAO＝∠BOC.∵OA＝OB，∴∠ADO＝∠DAO.∴∠DOC＝∠COB.在△CDO和△CBO中，CO＝CO，∠DOC＝∠BOC，OD＝OB，∴△CDO≌△CBO(SAS)．∴∠CBO＝∠CDO＝90°.∴CB是⊙O的切线．(2)由(1)可知∠OCD＝∠BCO，∠DOC＝∠COB，∵∠ECB＝60°，∴∠OCD＝12∠ECB＝30°.∴∠DOC＝∠COB＝60°.∴∠AOD＝60°.∵OA＝OD，∴△OAD是等边三角形．∴AD＝OD＝OF.在△FOG和△ADG中，∠DOC＝∠ADG，∠FGO＝∠AGD，OF＝AD，∴△FOG≌△ADG(AAS)．∴S△ADG＝S△FOG.∵AB＝6，∴⊙O的半径r＝3，∴S阴影＝S扇形ODF＝60π·32360＝32π.6．(2016·十堰)如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C.(1)求证：∠ACD＝∠B；(2)如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；①求tan∠CFE的值；②若AC＝3，BC＝4，求CE的长．解：(1)证明：连接OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO.∵CD是⊙O切线，∴OC⊥CD.∴∠DCO＝90°.∴∠ACD＋∠ACO＝90°.∵AB是直径，∴∠OAC＋∠B＝90°.∴∠ACD＝∠B.(2)①∵∠CEF＝∠ECD＋∠CDE，∠CFE＝∠B＋∠FDB，∠CDE＝∠FDB，∠ECD＝∠B，∴∠CEF＝∠CFE.∵∠ECF＝90°，∴∠CEF＝∠CFE＝45°.∴tan∠CFE＝tan45°＝1.②在Rt△ABC中，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝AC2＋BC2＝5.∵∠CDA＝∠BDC，∠DCA＝∠B，∴△DCA∽△DBC.∴DCDB＝ACCB＝DADC＝34.设DC＝3k，DB＝4k，∵CD2＝DA·DB，∴9k2＝(4k－5)·4k.∴k＝207.∴CD＝607，DB＝807.∵∠CDE＝∠BDF，∠DCE＝∠B，∴△DCE∽△DBF.∴ECFB＝DCDB.设EC＝CF＝x，∴x4－x＝607807.∴x＝127.∴CE＝127.