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免费2017年中考总复习：四边形的有关计算与证明中考数学考点分类汇编滚动小专题(八)四边形的有关计算与证明1．(2016·长春)如图，在?ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF＝BE，EF与CD交于点G.(1)求证：BD∥EF；(2)若DGGC＝23，BE＝4，求EC的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴DF∥BE.∵DF＝BE，∴四边形BEFD是平行四边形．∴BD∥EF.(2)∵四边形BEFD是平行四边形，∴DF＝BE＝4.∵DF∥EC，∴△DFG∽△CEG.∴DGCG＝DFCE.∴CE＝DF·CGDG＝4×32＝6.2．(2016·苏州)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD.∴AE∥CD，∠AOB＝90°.又∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，∴∠AOB＝∠EDB.∴DE∥AC.∴四边形ACDE是平行四边形．(2)∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，DO＝3，AD＝CD＝5.又∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8.∴△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.3．(2016·台州)如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和点G，H.(1)求证：△PHC≌△CFP；(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD∥BC.又∵EF∥AB，GH∥AD，∴EF∥CD，GH∥BC.∴∠CPF＝∠HCP，∠CPH＝∠PCF.∵PC＝PC，∴△PHC≌△CFP(A)．(2)证明：由(1)知AB∥EF∥CD，AD∥GH∥BC，∴四边形PEDH和四边形PFBG都是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90°.∴四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形．S矩形PEDH＝S矩形PFBG.4．(2016·遵义)如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE＝DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．(1)求证：CP＝AQ；(2)若BP＝1，PQ＝22，∠AEF＝45°，求矩形ABCD的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC.∴∠E＝∠F.∵BE＝DF，∴AE＝CF.在△CFP和△AEQ中，∠C＝∠A，CF＝AE，∠F＝∠E，∴△CFP≌△AEQ(A)．∴CP＝AQ.(2)∵AD∥BC，∴∠PBE＝∠A＝90°.∵∠AEF＝45°，∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形．∴BE＝BP＝1，AQ＝AE.∴PE＝2BP＝2.∴EQ＝PE＋PQ＝2＋22＝32.∴AQ＝AE＝3.∴AB＝AE－BE＝2.∵CP＝AQ＝3，∴BC＝BP＋CP＝1＋3＝4.∴S矩形ABCD＝AB·BC＝2×4＝8.5．(2016·毕节)如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F.(1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．解：(1)证明：由旋转的性质得：△ABC≌△ADE.∵AB＝AC，∴AE＝AD，AC＝AB，∠BAC＝∠DAE.∴∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，即∠CAE＝∠DAB.在△AEC和△ADB中，AE＝AD，∠CAE＝∠BAD，AC＝AB，∴△AEC≌△ADB(S)．(2)∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC＝45°，∴∠DBA＝∠BAC＝45°.由(1)得，AB＝AD，∴∠DBA＝∠BDA＝45°.∴△ABD是等腰直角三角形．∴BD2＝2AB2，即BD＝2AB＝22.∴AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2.∴BF＝BD－DF＝22－2.6．准备一张矩形纸片ABCD，按如图所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD.由翻折得BM＝AB，DN＝DC，∠A＝∠EMB，∠C＝∠DNF，∴BM＝DN，∠EMB＝∠DNF＝90°.∴BN＝DM，∠EMD＝∠FNB＝90°.∵AD∥BC，∴∠EDM＝∠FBN.∴△EDM≌△FBN(A)．∴ED＝FB.∴四边形BFDE是平行四边形．(2)∵四边形BFDE是菱形，∴∠EBD＝∠FBD.∵∠ABE＝∠EBD，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝13×90°＝30°.在Rt△ABE中，∵AB＝2，∴AE＝233，BE＝433.∴ED＝433，∴AD＝23.∴S△ABE＝12AB·AE＝233，S矩形ABCD＝AB·AD＝43.∴S菱形BFDE＝43－2×233＝833.7．(2016·济宁)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF＝CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO.(1)已知EO＝2，求正方形ABCD的边长；(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝OC，△ABC是等腰直角三角形．在△ACF中，AC＝CF，CF平分∠ACF，∴AE＝EF.∴EO为△AFC的中位线．∴CF＝2EO＝22.∴AC＝22.∴AB＝AC2＝2.(2)EM＝12CN.证明：∵CF＝CA，CE是∠ACF的平分线，∴CE⊥AF.∴∠AEN＝∠CBN＝90°.∵∠ANE＝∠CNB，∴∠BAF＝∠BCN.在△ABF和△CBN中，∠BAF＝∠BCN，AB＝CB，∠ABF＝∠CBN＝90°，∴△ABF≌△CBN(A)．∴AF＝CN.∵∠BAF＝∠BCN，∠ACN＝∠BCN，∴∠BAF＝∠OCM.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∴∠ABF＝∠COM＝90°.∴△ABF∽△COM.∴CMAF＝COAB.∴CMCN＝COAB＝22，即CM＝22CN.由(1)知EO∥BC，∴△EOM∽△CBM.∴EOCB＝EMCM＝22.∴EM＝22CM＝22×22CN＝12CN.