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免费2017年中考总复习：与图形变换有关的简单计算中考数学考点分类汇编滚动小专题(十)与图形变换有关的简单计算与证明1．(2016·厦门)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，若点A，B的对应点分别是点D，E，画出旋转后的三角形，并求点A与点D之间的距离．(不要求尺规作图)解：如图，△EDC即为所求．连接AD.∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，∴AC＝AB2－BC2＝3.∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°，点A，B的对应点分别是点D，E，∴AC＝CD＝3，∠ACD＝90°.∴AD＝AC2＋CD2＝32.2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝4，△ABC的周长为14，将△ABC平移到△DEF的位置．(1)指出平移的方向和平移的距离；(2)求四边形ABFD的周长．解：(1)平移的方向是沿AD(或者是沿BC)方向，平移的距离是4.(2)根据平移的性质：AD＝CF＝4.∵△ABC≌△DEF，∴AC＝DF.∵C△ABC＝AB＋BC＋AC＝14，∴C梯形ABFD＝AB＋BF＋DF＋AD＝AB＋BC＋CF＋AC＋AD＝C△ABC＋CF＋AD＝14＋4＋4＝22.3．(2015·连云港)如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E.(1)求证：∠EDB＝∠EBD；(2)判断AF与DB是否平行，并说明理由．解：(1)证明：由折叠可知：∠CDB＝∠EDB.∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB.∴∠CDB＝∠EBD.∴∠EDB＝∠EBD.(2)AF∥DB，理由如下：∵∠EDB＝∠EBD，∴DE＝BE.由折叠可知：DC＝DF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB.∴DF＝AB.∴AE＝EF.∴∠EAF＝∠EFA.在△BED中，∠EDB＋∠EBD＋∠DEB＝180°，∴2∠EDB＋∠DEB＝180°.同理，在△AEF中，2∠EFA＋∠AEF＝180°.∵∠DEB＝∠AEF，∴∠EDB＝∠EFA.∴AF∥DB.4.(2016·齐齐哈尔)如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)，B(－4，0)，C(0，0)．(1)画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；(2)画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；(3)在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．解：(1)如图所示，△A1B1C1为所求作的三角形．(2)如图所示，△A2B2O为所求作的三角形．(3)∵A2坐标为(3，1)，A3坐标为(4，－4)，∴A2A3所在直线的解析式为y＝－5x＋16.令y＝0，则x＝165，∴P点的坐标为(165，0)．5．(2015·日照)如图，已知在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，E，F分别是CA，CB边的三等分点，将△ECF绕点C逆时针旋转α角(0°＜α＜90°)，得到△MCN，连接AM，BN.(1)求证：AM＝BN；(2)当MA∥CN时，试求旋转角α的余弦值．解：(1)证明：∵CA＝CB，∠ACB＝90°，E，F分别是CA，CB边的三等分点，∴CE＝CF.根据旋转的性质，CM＝CE＝CN＝CF，∠ACM＝∠BCN＝α.在△AMC和△BNC中，CA＝CB，∠ACM＝∠BCN，CM＝CN，∴△AMC≌△BNC(SAS)．∴AM＝BN.(2)∵MA∥CN，∴∠ACN＝∠CAM.∵∠ACN＋∠NCB＝90°，∴∠ACN＋∠ACM＝90°.∴∠CAM＋∠ACM＝90°.∴∠AMC＝90°.∴cosα＝CMAC＝CEAC＝13.6．(2016·北京)在等边△ABC中：图1图2(1)如图1，P、Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；(2)点P、Q是BC边上的两个动点(不与点B、C重合)，点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM、PM.①依题意将图2补全；②小茹通过观察、实验，提出猜想：在P、Q运动的过程中，始终有PA＝PM.小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明PA＝PM，只需证△PAM是等边三角形．想法2：在BA上取一点N，使得BN＝BP，要证PA＝PM，只需证△ANP≌△PCM.想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60，得到线段BK，要证PA＝PM，只需证PA＝CK，PM＝CK.……请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA＝PM(一种方法即可)．解：(1)∵AP＝AQ，∴∠AQB＝∠APC.又∵∠APC＝∠B＋∠BAP＝60°＋20°＝80°，∴∠AQB＝80°.(2)①如图所示．②证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°.又∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQB.∴∠BAP＋∠ABC＝∠APQ＝∠AQB＝∠CAQ＋∠ACB.∴∠BAP＝∠CAQ.∵Q，M关于AC对称∴AQ＝AM，∠QAC＝∠MAC.∴∠PAM＝∠PAC＋∠MAC＝∠PAC＋∠BAP＝∠BAC＝60°.又∵PA＝QA＝MA，∴△APM为正三角形．∴PA＝PM.7．有一根直尺，短边的长为4cm，长边的长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长16cm.如图1，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿AB方向平移，如图2，图3，设平移的长度为xcm，且满足0≤x≤12，直尺与直角三角形纸板重合部分的面积(即图中阴影部分)为Scm2.(1)当x＝0时，S＝8cm2；当x＝4时，S＝24cm2；当x＝6时，S＝28cm2；(2)是否存在一个位置，使阴影部分的面积为26cm2？若存在，请求出此时x的值．解：存在．当S＝26cm2时，4＜x＜12，∴S＝S△ABC－S△ADG－S△BEF，即12×16×8－12x2－12(16－x－4)2＝26.解得x1＝6－2，x2＝6＋2.故当x1＝6－2，x2＝6＋2时，阴影部分面积为26cm2.8．(2016·十堰)如图，将矩形纸片ABCD(AD＞AB)折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；(2)若AB＝3，BC＝9，求线段CE的取值范围．解：(1)四边形CEGF为菱形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠GFE＝∠FEC.∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折线，∴∠GEF＝∠FEC.∴∠GFE＝∠FEG.∴GF＝GE.∵图形翻折后EC与GE完全重合，∴GE＝EC.∴GF＝EC.又∵GF∥EC，∴四边形CEGF为平行四边形．∴四边形CEGF为菱形．(2)如图1，当F与D重合时，CE取最小值，由折叠的性质得CD＝DG，∠CDE＝∠GDE＝45°.∵∠ECD＝90°，∴∠DEC＝45°＝∠CDE.∴CE＝CD＝DG.∵DG∥CE，∴四边形CEGD是正方形．∴CE＝CD＝AB＝3.如图2，当G与A重合时，CE取最大值，由折叠的性质得AE＝CE.∵∠B＝90°，∴AE2＝AB2＋BE2，即CE2＝32＋(9－CE)2.∴CE＝5.∴线段CE的取值范围3≤CE≤5.