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免费2017年江苏省中考数学《第27课时：与圆有关的位置关系》课件+练习中考数学试卷要点分类汇编网第六章圆第27课时与圆有关的位置关系江苏近4年中考真题精选命题点1点、直线与圆的位置关系(2016年连云港8题，2015年盐城16题，2014年常州8题，2013年常州6题)1.(2013常州6题2分)已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.无法判断2.(2016连云港8题3分)如图，在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位)选取9个格点(格线的交点称为格点)．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A·外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为()第2题图A.22＜r＜17B.17＜r＜32C.7＜r＜5D.5＜r＜293.(2014常州8题2分)在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点A(－3，0)，点B(0，3)，点P的坐标为(1，0)，⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左平移，平移后得到⊙P′(点P的对应点为P′)，当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′共有()A.1个B.2个C.3个D.4个第4题图4.(2015盐城16题3分)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是________．命题点2切线的性质与判定(2016年12次，2015年11次，2014年12次，2013年13次)5.(2015南京6题2分)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为()第5题图A.133B.92C.4313D.256.(2014无锡8题3分)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，给出下面3个结论：①AD＝CD；②BD＝BC；③AB＝2BC，其中正确结论的个数是()A.3B.2C.1D.0第6题图第7题图7.(2016徐州15题3分)如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝70°，∠ACB＝40°，则∠BOC＝________°.8.(2015镇江10题2分)如图，AB是⊙O的直径，OA＝1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D.若BD＝2－1，则∠ACD＝_______°.第8题图第9题图9.(2016无锡18题3分)如图，△AOB中，∠O＝90°，AO＝8cm，BO＝6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动．与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动．过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了________s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切．10.(2015盐城23题10分)如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，∠CBA＝50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D.点E在边AC上，且满足ED＝EA.第10题图(1)求∠DOA的度数；(2)求证：直线ED与⊙O相切．11.(2016南通24题9分)已知：如图，AM为⊙O的切线，A为切点．过⊙O上一点B作BD⊥AM于点D，BD交⊙O于点C，OC平分∠AOB.(1)求∠AOB的度数；(2)当⊙O的半径为2cm时，求CD的长．第11题图12.(2016盐城26题10分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝22.以点A为圆心，AD为半径的圆与BC相切于点E，交AB于点F.(1)求∠ABE的大小及DEF︵的长度；(2)在BE的延长线上取一点G，使得DE︵上的一个动点P到点G的最短距离为22－2，求BG的长．第12题图13.(2014淮安26题10分)如图，在△ABC中，AC＝BC，AB是⊙C的切线，切点为D，直线AC交⊙C于点E、F，且CF＝12AC.(1)求∠ACB的度数；(2)若AC＝8，求△ABF的面积．第13题图14.(2016宿迁23题8分)如图①，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3，⊙O是△ABD的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)当BD是⊙O的直径时(如图②)，求∠CAD的度数．第14题图15.(2013淮安26题10分)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，直线MN经过点C，过A作直线MN的垂线，垂足为点D，且∠BAC＝∠DAC.(1)猜想直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若CD＝6，cos∠ACD＝35，求⊙O的半径．第15题图16.(2016泰州23题10分)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF.(1)判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若PF∶PC＝1∶2，AF＝5，求CP的长．第16题图17.(2016扬州26题10分)如图①，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，且ED⊥AC.(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如图②，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C＝75°，CD＝2－3，求⊙O的半径和BF的长．第17题图18.(2016南京26题8分)如图，O是△ABC内一点，⊙O与BC相交于F、G两点，且与AB、AC分别相切于点D、E，DE∥BC.连接DF、EG.(1)求证：AB＝AC；(2)已知AB＝10，BC＝12.求四边形DFGE是矩形时⊙O的半径．第18题图答案1.C【解析】∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5，5＜6，即d＜r，∴直线l与⊙O的位置关系是相交．2.B【解析】从图中可计算出离点A最近的点到点A的距离是22＋22＝8；其次是12＋42＝17，这样的点有2个；再次是32＋32＝18＝32；∵恰好只有三个点在⊙A内，则半径r的范围为：17<r<32.3.C【解析】如解图，∵点P的坐标为(1，0)，⊙P与y轴相切于点O，∴⊙P的半径是1，若⊙P与AB相切时，设切点为D，∵点A(－3，0)，点B(0，3)，∴OA＝3，OB＝3，由勾股定理得：AB＝23，∴∠DAM＝30°，设平移后圆与直线AB第一次相切时圆心为M(即对应的P′)，则MD⊥AB，MD＝1，又∵∠DAM＝30°，∴AM＝2，∴M点的坐标为(－1，0)，即对应的P′点的坐标为(－1，0)，同理可得圆与直线第二次相切时圆心N的坐标为(－5，0)，即对应的P′点坐标为(－5，0)，∴当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′的横坐标可以是－2，－3，－4，共三个．第3题解图4.3＜r＜5【解析】∵在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，∴根据勾股定理有DB＝32＋42＝5.要使顶点A、B、C中至少有一个点在⊙D内，且至少有一个点在⊙D外，半径长应该在线段DA与DB长之间，即3＜r＜5.5.A【解析】如解图，连接OE、OF、OG，根据切线的性质可知：OE⊥AD，OF⊥AB，OG⊥BC，可证四边形AEOF和四边形BFOG都是正方形，则OE＝OF＝OG＝AF＝BF＝AE＝BG＝2，则DE＝CG＝3.设MN＝x，根据切线长定理，得GM＝MN＝x，DE＝DN＝3，所以DM＝x＋3，CM＝3－x.在Rt△CDM中，由DM2＝CD2＋CM2，得(3＋x)2＝42＋(3－x)2，解得x＝43，所以DM＝3＋43＝133.第5题解图6.A【解析】如解图，连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵∠A＝30°，∴∠ABD＝60°，∴△OBD是等边三角形，∴∠DOB＝∠ABD＝60°，AB＝2OB＝2OD＝2BD.∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OD，∴∠ODC＝90°，在Rt△ODC中，∠C＝90°－∠DOC＝90°－60°＝30°，∠BDC＝90°－60°＝30°.∴BD＝BC，②成立；∴AB＝2BC，③成立；∵∠A＝∠C＝30°，∴DA＝DC，①成立；综上所述，①②③均成立．第6题解图7.125【解析】∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OB、OC是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠OBC＋∠OCB＝12(∠ABC＋∠ACB)＝12(70°＋40°)＝55°.∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－55°＝125°.8.112.5【解析】如解图，连接OC，BC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠1＋∠2＝90°，∵OC＝OB，∴∠2＝∠3，∵AB是⊙O的直径，∴∠A＋∠3＝90°，∴∠1＝∠A，又∵∠D＝∠D，∴△DCB∽△DAC，∴CDAD＝BDCD，∴CD2＝DA·DB＝(2－1＋2)(2－1)＝1，∴CD＝1，∴OC＝CD＝1，∴∠COD＝45°，∵OA＝OC，∠A＋∠OCA＝45°，∴∠A＝∠OCA＝22.5°，∴∠ACD＝∠OCA＋∠OCD＝22.5°＋90°＝112.5°.第8题解图9.178【解析】设运动时间为ts，则AC＝2t，BD＝1.5t，∴OC＝8－2t，OD＝6－1.5t,则有ODOC＝6－1.5t8－2t＝34＝OBOA，∴△OCD∽△OAB，∴CD∥AB，则有∠ECF＝∠A,又∵EF⊥CD于点F，∴△CEF∽△ABO，∴CEAB＝CFAO，∵E为OC的中点，∴CE＝12OC＝8－2t2＝4－t，又∵⊙C与EF相切，F为切点，∴CF＝1.5，又∵AB＝10,则CEAB＝CFAO，即4－t10＝1.58，解得t＝178.10.(1)解：∵在⊙O中，OD＝OB，∴∠CBA＝∠ODB＝50°，∴∠DOA＝2∠B＝2×50°＝100°；(2)证明：如解图，连接OE.在△AOE和△DOE中，AE＝DE，OE＝OE，OA＝OD，第10题解图∴△AOE≌△DOE(SSS)．∴∠ODE＝∠OAE＝90°.∵OD为⊙O的半径，∴直线ED与⊙O相切．11.解：(1)∵AM为⊙O的切线，∴OA⊥AM，∵BD⊥AM，∴OA∥BD.∴∠AOC＝∠OCB，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵OC平分∠AOB，∴∠BOC＝∠AOC，∴∠BOC＝∠OCB＝∠OBC，即△OCB为等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴∠AOB＝2∠BOC＝120°；(2)如解图，过点O作OH⊥BC交BC于点H，第11题解图∵OA⊥AM，BD⊥AM，OH⊥BC，∴四边形OADH为矩形．∴DH＝OA＝2cm.∵△OCB为等边三角形，∴∠OCH＝60°，在Rt△OCH中，CH＝OC·cos∠OCH＝1cm，∴CD＝DH－CH＝1cm，即CD的长为1cm.12.解：(1)如解图①，连接AE，则AE⊥BC，AE＝2，∵AE＝AD＝2，∴在Rt△ABE中，sin∠B＝AEAB＝222＝22，∴∠B＝45°，又∵AD∥BC，∴AE⊥AD，∴∠BAD＝∠BAE＋∠EAD＝∠B＋∠EAD＝45°＋90°＝135°，DEF︵的长度为135180π×2＝32π；第12题解图(2)如解图②，PG＝22－2，由于PG为G点到DE︵上的点的最短距离，则A，P，G三点共线，此时AG＝22－2＋2＝22＝AB.∴∠AGB＝∠B＝45°，又∵AE⊥BG∴AE＝BE＝EG＝2，∴BG＝BE＋EG＝4.13.解：(1)如解图，连接CD，第13题解图∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∵CF＝12AC，CF＝CD，∴CD＝12AC，∴∠A＝30°，∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠A＝30°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠ABC＝120°.(2)∵∠A＝30°，∴∠ACD＝90°－∠A＝60°，∴∠BCF＝180°－∠ACB＝60°，在△ACD与△BCF中AC＝BC∠ACD＝∠BCF＝60°，CD＝CF∴△ACD≌△BCF(SAS)，∴∠BFC＝∠ADC＝90°，∵AC＝8，CF＝12AC.∴CF＝4，∴AF＝12，∵∠AFB＝90°，∠A＝30°，∴tan30°＝33＝BFAF，∴BF＝43，∴S△ABF＝12AF·BF＝12×12×43＝243.14.(1)证明：如解图，连接OA，OD.第14题解图设∠ABD＝x，∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3，∴∠ADB＝3x，∠ACB＝2x，∵∠ADB＝∠C＋∠DAC，∴∠DAC＝x，又∵∠AOD＝2∠ABC＝2x，OA＝OD，∴∠OAD＝180°－2x2＝90°－x，∴∠OAC＝∠OAD＋∠DAC＝90°－x＋x＝90°，∴OA⊥AC，∵OA为⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；(2)解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3,∠ABC＋∠ADB＝90°，∴∠ABC＋3∠ABC＝90°，解得∠ABC＝22.5°，∴∠ADB＝67.5°，∠ACB＝45°，∴∠CAD＝∠ADB－∠ACB＝22.5°.15.解：(1)直线MN与⊙O相切．理由：如解图，连接OC，第15题解图∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠CAB＝∠DAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥MN，∴OC⊥MN，∵OC为⊙O的半径，∴直线MN与⊙O相切；(2)∵CD＝6，cos∠ACD＝CDAC＝35，∴AC＝CDcos∠ACD＝10，由勾股定理得：AD＝8，∵AB是⊙O的直径，AD⊥MN，∴∠ACB＝∠ADC＝90°，∵∠DAC＝∠BAC，∴△ADC∽△ACB，∴ADAC＝ACAB，∴810＝10AB，∴AB＝12.5，∴⊙O半径为6.25.16.解：(1)AB与⊙O相切．理由：∵∠ACB＝90°，∴∠CAE＋∠AEC＝90°，又∵∠AEC＝∠CDF，∠CAE＝∠ADF，∴∠CDF＋∠ADF＝90°，即∠ADC＝90°，又∵CD为⊙O的直径，∴AB与⊙O相切；(2)如解图，连接CF，∵CD为⊙O的直径，∴∠CDF＋∠DCF＝90°，第16题解图又∵∠CDF＋∠ADF＝90°，∴∠DCF＝∠ADF，又∵∠CAE＝∠ADF，∴∠CAE＝∠DCF，又∵∠CPA＝∠FPC，∴△PCF∽△PAC，∴PCPA＝PFPC，又∵PF∶PC＝1∶2，AF＝5，设PF＝a，则PC＝2a，∴＝a2a，解得a＝53，∴PC＝2PF＝2a＝2×53＝103.17.解：(1)△ABC为等腰三角形．理由：如解图①，连接OE，第17题解图①在⊙O中，OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE，∵DE是⊙O的切线，∴∠OED＝90°，∵ED⊥AC，∴∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠OED＝90°，∴OE∥AC，∴∠OEB＝∠C，∵∠OEB＝∠B，∴∠B＝∠C，∴AC＝AB，∴△ABC为等腰三角形；(2)如解图②，过点B作BH⊥DF，第17题解图②∵AC⊥DF，∴BH∥AC，∠EBH＝∠C，由(1)知∠CDE＝∠BHE＝90°，BE＝CE，∴△CDE≌△BHE(AAS)，∴CD＝BH＝2－3，∵∠HBF＝180°－∠OBE－∠EBH＝180°－75°－75°＝30°，∴∠F＝90°－30°＝60°，在Rt△BFH中，BF＝BHsin60°＝43－63，设OE＝x，在Rt△OEF中，sin60°＝OEOF＝＝32，解得x＝2，故⊙O的半径为2，BF的长为43－63.18.(1)证明：∵⊙O与AB、AC分别相切于点D、E，∴AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∵DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；(2)解：如解图，连接AO，交DE于点M，延长AO交BC于点N，连接OE、DG.第18题解图设⊙O的半径为r，∵四边形DFGE是矩形，∴∠DFG＝90°，∴DG是⊙O的直径，∵⊙O与AB、AC分别相切于点D、E，∴OD⊥AB，OE⊥AC，又∵OD＝OE，∴AN平分∠BAC，又∵AB＝AC，∴AN⊥BC，BN＝12BC＝6，在Rt△ABN中，AN＝AB2－BN2＝102－62＝8，(6分)∵OD⊥AB，AN⊥BC，∴∠ADO＝∠ANB＝90°，又∵∠OAD＝∠BAN，∴△AOD∽△ABN，∴ODBN＝ADAN，即r6＝AD8，∴AD＝43r，∴BD＝AB－AD＝10－43r，∵OD⊥AB，AN⊥BC，∴∠ANB＝∠BDG＝90°，又∵∠ABN＝∠DBG，∴△GBD∽△ABN，∴BDBN＝GDAN，即10－43r6＝2r8，∴r＝6017，∴当四边形DFGE是矩形时⊙O的半径为6017.第六章圆第27课时与圆有关的位置关系基础过关1.(2016宜昌)在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木．则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为()A.E，F，GB.F，G，HC.G，H，ED.H，E，F第1题图第3题图2.(2016湘西州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不能确定3.(2016上海)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是()A.1＜r＜4B.2＜r＜4C.1＜r＜8D.2＜r＜84.(2016贵阳)小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上．若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为()A.23cmB.43cmC.63cmD.83cm5.(2016河北)如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是()A.△ACD的外心B.△ABC的外心C.△ACD的内心D.△ABC的内心第5题图第6题图6.(2016衢州)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为()A.12B.22C.32D.337.(2016邵阳)如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD，若∠ACD＝30°，则∠DBA的大小是()A.15°B.30°C.60°D.75°第7题图第8题图8.(2016荆州)如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧ABC︵上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD.若∠APB＝80°，则∠ADC的度数是()A.15°B.20°C.25°D.30°9.(2016赤峰)如图，两同心圆的大圆半径长为5cm，小圆半径长为3cm，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C.则弦AB的长是________．第9题图第10题图10.(2016株洲)如图，△ABC的内切圆的三个切点分别为D、E、F，∠A＝75°，∠B＝45°.则圆心角∠EOF＝________度．11.(2016益阳)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P点，若∠P＝40°，则∠D的度数为________．第11题图第12题图12.(2016永州)如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m＝4.由此可知：(1)当d＝3时，m＝________；(2)当m＝2时，d的取值范围是________．13.(2016北京)如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交AC︵于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E.(1)求证：AC∥DE;(2)连接CD，若OA＝AE＝a，写出求四边形ACDE面积的思路．第13题图14.(2016绵阳)如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是BC︵的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F.(1)判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)若OF＝4，求AC的长度．第14题图15.(2016武汉)如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E.(1)求证：AC平分∠DAB;(2)连接BE交AC于点F，若cos∠CAD＝45，求AFFC的值．第15题图16.(2016陕西)如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G.第16题图求证：(1)FC＝FG；(2)AB2＝BC·BG.满分冲关1.(2016潍坊)如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A(8，0)，与y轴分别交于点B(0，4)与点C(0，16)，则圆心M到坐标原点O的距离是()A.10B.82C.413D.241第1题图第2题图2.(2016遵义)如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，连接AC，⊙P和⊙Q分别是△ABC和△ADC的内切圆，则PQ的长是()A.52B.5C.52D.223.(2016台州)如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是()A.6B.213＋1C.9D.323第3题图第4题图4.(2016鄂州)如图所示，AB是⊙O的直径，AM、BN是⊙O的两条切线，D、C分别在AM、BN上，DC切⊙O于点E，连接OD、OC、BE、AE，BE与OC相交于点P，AE与OD相交于点Q，已知AD＝4，BC＝9.以下结论：①⊙O的半径为132；②OD∥BE；③PB＝181313；④tan∠CEP＝23.其中正确结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个5.(2016徐州模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过A、D两点的⊙O与BC相切于点E.则⊙O的半径为________．第5题图第6题图6.(2016泸州)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B(1－a，0)，C(1＋a，0)(a＞0)，点P在以D(4，4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则a的最大值是________．7.(2016苏州一模)如图，CA⊥AB，DB⊥AB，已知AC＝2，AB＝6，点P是射线BD上一动点，以CP为直径作⊙O，点P运动时，若⊙O与线段AB有公共点，则BP的最大值为________．第7题图第8题图8.(2016攀枝花)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上的一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为________．9.(2016德州)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E作直线l∥BC.(1)判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE＝EF；(3)在(2)的条件下，若DE＝4，DF＝3，求AF的长．第9题图答案基础过关1.A【解析】设图中小正方形的边长为x，则OA＝5x，OE＝OF＝2x，OG＝x，OH＝22x，∵OE＝OF<OA，OG<OA，OH>OA，所以点E、F、G在⊙O内，点H在⊙O外，因此E、F、G三棵树需要被移除．2.A【解析】如解图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，由勾股定理得AB＝5.过点C作CD⊥AB于点D，则S△ABC＝12AC×BC＝12AB×CD，解得CD＝2.4＜2.5，所以直线AB与⊙C相交．第2题解图第3题解图3.B【解析】连接AD，则AD＝AC2＋CD2＝42＋32＝5，∵⊙A与⊙D相交，∴3－r<5<3＋r，解得r>2，又∵点B在⊙D外，∴r<BD，即r<4.∴2<r<4.4.B【解析】如解图，连接OB、OC，过点O作OM⊥BC于点M，△ABC是⊙O的内接正三角形，BC＝12，∴BM＝12BC＝12×12＝6，∴∠BOM＝60°，∴OB＝OC.∴在Rt△BOM中，OB＝BMsin60°＝6sin60°＝632＝43.第4题解图5.B【解析】观察题图可知，点O既在AC的垂直平分线上，又在BC的垂直平分线上，所以点O是△ABC的外心．6.A【解析】如解图，连接OC，∵EC与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠COE＝∠ACO＋∠A＝30°＋30°＝60°，∴∠E＝180°－∠OCE－∠COE＝180°－90°－60°＝30°，sin∠E＝sin30°＝12.第6题解图7.D【解析】如解图，连接OD，∵CA，CD是⊙O的切线，∴OA⊥AC，OD⊥CD，∴∠OAC＝∠ODC＝90°，∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝360°－∠C－∠OAC－∠ODC＝150°，∵OB＝OD，∴∠DBA＝∠ODB，又∵∠AOD＝∠DBA＋∠ODB，∴∠DBA＝∠ODB＝12∠AOD＝75°.第7题解图第8题解图8.C【解析】如解图，连接OA，则∠PAO＝90°.根据切线长定理可得∠APO＝40°，则∠O＝50°.再根据圆周角定理，得∠ADC＝12∠O＝25°.9.8cm【解析】∵AB是小圆的切线，∴OC⊥AB，∵OB＝5cm，OC＝3cm，∴BC＝OB2－OC2＝4cm，∵AB是大圆的弦，OC过圆心，OC⊥AB，∴AB＝2BC＝2×4＝8cm.10.120【解析】由题图知，OE⊥BC，OF⊥AC，∵∠A＝75°，∠B＝45°，∴∠C＝180°－75°－45°＝60°，在四边形OECF中，∠EOF＝360°－60°－90°－90°＝120°.11.115°【解析】连接OC，如解图，由题意可得，∠OCP＝90°，∠P＝40°，∴∠COB＝50°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝65°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠D＋∠ABC＝180°，∴∠D＝115°.第11题解图12.(1)1；(2)1<d<3【解析】(1)当d＝3，即OM＝3时，M点在⊙O外，∵⊙O的半径为2，则此时只有OM与⊙O的交点到直线l的距离为1，故m＝1；(2)由题意可知当0≤d<1时，m＝4；当d＝1时，m＝3；当1<d<3时，m＝2；当d＝3时，m＝1；当d>3时，m＝0.故答案为1<d<3.13.(1)证明：∵ED与⊙O相切于点D，∴OD⊥DE，∵F为弦AC的中点，∴OD⊥AC，∴AC∥DE；(2)解：①如解图，作DH⊥AB于点H，连接AD，第13题解图②由∠EDO＝90°，EA＝AO，OA＝OD，得AD＝AO＝DO，△DAO为等边三角形；③由AF是△ODE的中位线，得AF＝12DE，AF＝12AC，DE＝AC且DE∥AC，得四边形AEDC为平行四边形；④由△DAO为等边三角形，得DH＝32a；⑤S?AEDC＝EA×DH＝32a2.【一题多解】①连接AD、DC，如解图，②由直角三角形斜边上的中线性质可得AD＝a，进而可得△ADO是等边三角形；③由∠AOD＝60°可解得：ED＝3a，DF＝12a，AC＝3a；④S四边形ACDE＝S△EDA＋S△ADC＝32a2.14.解：(1)DE与⊙O相切．证明如下：连接OD，AD，如解图，第14题解图∵点D是BC︵的中点，∴BD︵＝CD︵，∴∠DAO＝∠DAC.∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ODA，∴∠DAC＝∠ODA，∴OD∥AE.∵DE⊥AE，∴DE⊥OD，∵OD为⊙O的半径，∴DE与⊙O相切；(2)如解图，连接BC交OD于点H，延长DF交⊙O于点G，由垂径定理可得：OH⊥BC，BC︵＝2BD︵＝2DC︵，BD︵＝BG︵，∴DG︵＝BC︵，∴DG＝BC，∴弦心距OH＝OF＝4.∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴OH∥AC，∴OH是△ABC的中位线，故AC＝2OH＝8.15.(1)证明：如解图①，连接OC，第15题解图①∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠OCA，∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC平分∠DAB；(2)解：如解图②，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，第15题解图②∵cos∠CAD＝45，∴设AD＝4x，则AC＝5x，CD＝3x，∴tan∠DAC＝34，∵∠DAC＝∠EBC＝∠BAC，∴tan∠EBC＝tan∠BAC＝34，∴CFBC＝BCAC＝34，∴BCAC·CFBC＝34×34，∴CFAC＝916，∴CFAF＝CFAC－CF＝916－9＝97，∴AFFC＝79.16.证明：(1)如解图，∵EF∥BC，AB⊥BG，第16题解图∴EF⊥AD.又∵E是AD的中点，∴FA＝FD.∴∠FAD＝∠D.又∵GB⊥AB，∴∠GAB＋∠G＝∠D＋∠1＝90°.∴∠1＝∠G.而∠1＝∠2，∴∠2＝∠G.∴FC＝FG；(2)如解图，连接AC，∵AB⊥BG，∴∠CBA＝90°，∴AC是⊙O的直径．又∵FD是⊙O的切线，切点为C，∴AC⊥DF，∴∠1＋∠4＝90°，又∵∠3＋∠4＝90°，∴∠1＝∠3.而由(1)可知∠1＝∠G，∴∠3＝∠G，∴△ABC∽△GBA，∴ABGB＝BCBA，故AB2＝BC·BG.满分冲关1.D【解析】∵C(0，16)，B(0，4)，A(8，0)，∴BC＝12，OA＝8.如解图，作MD⊥y轴于点D，则CD＝BD＝6，∴OD＝10，连接MA，则MA⊥x轴，四边形DOAM是矩形，所以MA＝OD＝10，连接OM.在Rt△OAM中，OM＝OA2＋AM2＝241.第1题解图2.B【解析】如解图，过点P作PF⊥AB于点F，过点Q作QE⊥AB于点E，过点P作PH⊥QE于点H，⊙P与⊙Q的半径均为3＋4－52＝1，所以PF＝HE＝AE＝BF＝1，QH＝1，EF＝2，在Rt△QPH中，PQ＝1＋22＝5.第2题解图3.C【解析】如解图①时，PQ长最大，∵102＝62＋82，∴AB2＝BC2＋AC2，∴△ABC为直角三角形，∠C＝90°，最大值＝AB－AQ＝AB－(OA－OQ)＝10－(5－3)＝8；第3题解图①第3题解图②如解图②时，PQ长最小，最小值＝OP－OQ＝4－3＝1，所以最大值与最小值和为9.4.B【解析】根据切线长定理可知DE＝AD＝4，CE＝BC＝9，∴DC＝13，过点D作DH⊥BC于点H，∵AM、BN与⊙O相切，且AB是⊙O的直径，∴AB⊥AM，AB⊥BN，∴四边形ABHD是矩形，∴BH＝AD＝4，DH＝AB，∴CH＝5，在Rt△DHC中，由勾股定理得DH＝DC2－CH2＝12，∴⊙O的半径为6，故①错误；连接OE，则OA＝OE，DA＝DE，∴OD⊥AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE，∴OD∥BE，故②正确；在Rt△OBC中，OB＝6，BC＝9，∴OC＝62＋92＝313，易得BP⊥CO，∴BC·OB＝OC·BP，∴BP＝BC·OBOC＝9×6313＝181313，故③正确；由CB＝CE得∠CEP＝∠CBP，又∵∠CBP＝∠COB，∴tan∠CEP＝tan∠COB＝BCOB＝96＝32，故④错误．∴正确的结论有2个．第4题解图5.254【解析】如解图，连接EO并延长交AD于点F，连接OA，∵⊙O与BC边相切于点E，∴OE⊥BC，∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，∴OF⊥AD，∴AF＝DF＝12AD＝6，易得四边形ABEF为矩形，则EF＝AB＝8，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OF＝8－r，在Rt△AOF中，∵OF2＋AF2＝OA2，∴(8－r)2＋62＝r2，解得r＝254，即⊙O的半径为254.第5题解图6.6【解析】∵A(1，0)，B(1－a，0)，C(1＋a，0)，∴BC＝|1＋a|＋|1－a|＝1＋a＋a－1＝2a，而AB＝1－(1－a)＝1－1＋a＝a，∴A是BC的中点，又∵∠BPC＝90°，∴AP＝AB＝AC，∴当AP取最大值时，a有最大值，由题意可知，当AP经过点D时，AP的值最大，由点D(4，4)、A(1，0)可求AD＝5，再由⊙D的半径为1，可得AP＝6，∴a的最大值为6.7.92【解析】当AB与⊙O相切时，PB的值最大，如解图，设AB与⊙O相切于点E，连接OE，则OE⊥AB，过点C作CF⊥PB于点F，∵CA⊥AB，DB⊥AB，∴AC∥OE∥PB，四边形ABFC是矩形，∴CF＝AB＝6，∵CO＝OP，∴AE＝BE，设PB＝x，则PC＝2OE＝2＋x，PF＝x－2，∴在Rt△PCF中，(x＋2)2＝(x－2)2＋62，解得：x＝92，∴BP的最大值为92.第7题解图8.67【解析】如解图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，连接OB，∵AB、BC是⊙O的切线，点E、F是切点，∴OE＝OF，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴由勾股定理，得BC＝4；又∵D是BC边的中点，∴S△ABD＝S△ACD，∵S△ABD＝S△ABO＋S△BOD，∴12AB·OE＋12BD·OF＝12BD·AC，即5×OE＋2×OE＝2×3，解得OE＝67，∴⊙O的半径是67.第8题解图9.(1)解：直线l与⊙O相切．第9题解图理由：连接OE、OB、OC，如解图，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴BE︵＝CE︵，∴∠BOE＝∠COE，∵OB＝OC，∴OE⊥BC，又∵l∥BC，∴OE⊥l，∵OE为⊙O半径，∴直线l与⊙O相切；(2)证明：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF.又∵∠CBE＝∠CAE＝∠BAE，∴∠CBE＋∠CBF＝∠BAE＋∠ABF，又∵∠EFB＝∠BAE＋∠ABF.∴∠EBF＝∠EFB，∴BE＝EF；(3)解：由(2)知，BE＝EF＝DE＋DF＝7，在△BED和△AEB中，∠DBE＝∠BAE，∠DEB＝∠BEA，∴△BED∽△AEB，∴DEBE＝BEAE，即47＝7AE，∴AE＝494，∴AF＝494－7＝214.