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第六章圆第28课时与圆有关的计算江苏近4年中考真题精选命题点1扇形弧长和面积的计算(2016年3次，2015年5次，2014年5次，2013年6次)1.(2013淮安5题3分)若扇形的半径为6，圆心角为120°，则此扇形的弧长是()A.3πB.4πC.5πD.6π2.(2014南通10题3分)如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a(a>23r)的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片"接触不到的部分"的面积是()A.π3r2B.33－π3r2C.(33－π)r2D.πr2第2题图第4题图3.(2014徐州13题3分)半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为________cm2.4.(2015盐城17题3分)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧交边DC于点E，则BE︵的长度为________．5.(2013扬州15题3分)如图，在扇形OAB中，∠AOB＝110°，半径OA＝18，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在AB︵上的点D处，折痕交OA于点C，则AD︵的长为________．第5题图第6题图6.(2014连云港15题3分)如图①，折线段AOB将面积为S的⊙O分成两个扇形，大扇形、小扇形的面积分别为S1、S2.若S1S＝S2S1＝0.618，则称分成的小扇形为"黄金扇形"．生活中的折扇(如图②)大致是"黄金扇形"，则"黄金扇形"的圆心角约为________°.(精确到0.1)第7题图第8题图7.(2013苏州16题3分)如图，AB切⊙O于点B，OA＝2，∠OAB＝30°，弦BC∥OA，劣弧BC︵的弧长为________．(结果保留π)8.(2016连云港16题3分)如图，⊙P的半径为5，A、B是圆上任意两点，且AB＝6，以AB为边作正方形ABCD(点D、P在直线AB两侧)．若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为________．9.(2015苏州24题8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧，设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若BC＝6，∠BAC＝50°，求DE︵、DF︵的长度之和(结果保留π)．第9题图命题点2圆锥、圆柱的相关计算(2016年6次，2015年2次，2014年6次，2013年4次)10.(2013无锡6题3分)已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆柱的侧面积是()A.30cm2B.30πcm2C.15cm2D.15πcm211.(2016徐州16题3分)用一个半径为10的半圆，围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆的半径为________．12.(2016淮安17题3分)若一个圆锥的底面圆的半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是______°.13.(2016盐城14题3分)若圆锥的底面半径为2，母线长为4，则圆锥的侧面积为________．14.(2014南京14题2分)如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为________cm.第14题图命题点3圆中阴影部分面积的计算(2016年3次，2015年4次，2014年盐城17题，2013年3次)15.(2016苏州16题3分)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D.若∠A＝∠D，CD＝3，则图中阴影部分的面积为________．第15题图第16题图16.(2016泰州15题3分)如图，⊙O的半径为2，点A、C在⊙O上，线段BD经过圆心O，∠ABD＝∠CDB＝90°，AB＝1，CD＝3，则图中阴影部分的面积为________．17.(2013盐城17题3分)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5cm，AC＝2cm，将△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转45°到△A1B1C的位置，则线段AB扫过区域(图中的阴影部分)的面积为________cm2.第17题图第18题图18.(2013宿迁17题3分)如图，AB是半圆O的直径，且AB＝8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是________．(结果保留π)19.(2016淮安25题10分)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM＝2∠A.(1)判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若OA＝4，∠BCM＝60°，求图中阴影部分的面积．第19题图答案1.B【解析】∵扇形的半径为6，圆心角为120°，∴此扇形的弧长l＝120π×6180＝4π.2.C【解析】如解图，当圆形纸片运动到与∠A的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心O1作∠A两边的垂线，垂足分别为D、E，连接AO1，则在Rt△ADO1中，∠O1AD＝30°，O1D＝r，AD＝3r.∴S△ADO1＝12O1D·AD＝32r2.∴S四边形ADO1E＝2S△ADO1＝3r2.由题意得，∠DO1E＝120°，∴S扇形O1DE＝π3r2，∴圆形纸片不能接触到的部分的面积为3(3r2－π3r2)＝(33－π)r2.第2题解图3.83π【解析】半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为：60π×42360＝83π(cm2)．4.23π【解析】如解图，连接AE，在Rt△ADE中，AE＝4，AD＝2，∴∠DEA＝30°，∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠DEA＝30°，∴BE︵的长度为30×π×4180＝23π.第4题解图5.5π【解析】如解图，连接OD，根据折叠的性质知，OB＝BD.又∵OD＝OB，∴OD＝OB＝DB，即△ODB是等边三角形，∴∠DOB＝60°.∵∠AOB＝110°，∴∠AOD＝∠AOB－∠DOB＝50°，∴AD︵的长为50π×18180＝5π.第5题解图6.137.5【解析】设黄金扇形的圆心角为n°，那么余下的大扇形的圆心角为(360°－n°)．利用扇形面积公式列方程．设圆的半径为r.则S2S1＝nπr2360（360－n）πr2360＝0.618，解得n≈137.5.7.13π【解析】如解图，连接OB，OC，∵AB为⊙O的切线，∴∠ABO＝90°，在Rt△ABO中，OA＝2，∠OAB＝30°，∴OB＝1，∠AOB＝60°，∵BC∥OA，∴∠OBC＝∠AOB＝60°，又∵OB＝OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC＝60°，则劣弧BC︵长为60π×1180＝13π.第7题解图8.9π【解析】如解图，过点P作PF⊥AB于点F，延长PF交CD于点E，则有AF＝12AB＝3，∵四边形ABCD是正方形，∴CD∥AB，∴PE⊥CD，∴PF＝AP2－AF2＝52－32＝4，∴PE＝PF＋EF＝AD＋PF＝6＋4＝10，∴PD2＝DE2＋PE2＝9＋100＝109，所以AB绕点P旋转一周，CD边扫过的面积＝π×PD2－π×PE2＝109π－100π＝9π.第8题解图9.(1)证明：由作图可知BD＝CD.在△ABD和△ACD中，AB＝ACBD＝CDAD＝AD，∴△ABD≌△ACD(SSS)．∴∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC.(2)解：∵AB＝AC，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°.∵BD＝CD＝BC，∴△BDC为等边三角形．∴∠DBC＝∠DCB＝60°.∴∠DBE＝∠DCF＝180°－∠ABC－∠CBD＝55°.∵BC＝6，∴BD＝CD＝6.∴DE︵的长度＝DF︵的长度＝55×π×6180＝11π6.∴DE︵、DF︵的长度之和为11π6＋11π6＝11π3.10.B【解析】根据圆柱的侧面积公式，可得该圆柱的侧面积为：2π×3×5＝30πcm2.11.5【解析】由题意知，半圆的周长为πr＝10π，∴围成的圆锥的底面圆的半径为10π÷2π＝5.12.120【解析】圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长、扇形的半径等于圆锥的母线长．设扇形的圆心角为n°，则2π×2＝nπ·6180，解得n＝120.13.8π【解析】圆锥底面圆的周长为4π，∴侧面积等于12×4×4π＝8π.14.6【解析】由圆锥底面周长等于侧面展开图弧长可得，2πr＝nπl180，即2π×2＝120π180l，解得l＝6cm.15.33－π2【解析】如解图，连接OC，则OC⊥CD.∵∠A＝∠D，∠A＝∠ACO，∠COD＝∠A＋∠ACO，∴∠COD＝2∠D，又∵∠COD＋∠D＝90°，∴∠D＝30°，∠COD＝60°；在Rt△COD中，OC＝CD·tan∠D＝3×tan30°＝3；∴S阴影＝S△COD－S扇形OBC＝12×3×3－60×π×（3）2360＝33－π2.第15题解图16.53π【解析】如解图，连接OC、OA，∵∠ABD＝∠CDB＝90°，AB＝1，CD＝3，OA＝OC＝2,∴∠COD＝60°，∠AOB＝30°，OD＝1，OB＝3，∴∠AOC＝150°，∴S阴影＝S扇形AOC＋S△OCD－S△OAB＝150360×22·π＋12×3×1－12×3×1＝53π.第16题解图17.25π8【解析】在Rt△ABC中，BC＝AC2＋AB2＝29，S扇形BCB1＝45π×（29）2360＝29π8，S△ABC＝S△CB1A1＝12×5×2＝5；S扇形CAA1＝45π×22360＝π2.故S阴影＝S扇形BCB1＋S△CB1A1－S△ABC－S扇形CAA1＝29π8＋5－5－π2＝25π8cm2.18.8π3【解析】如解图，过点O作OD⊥BC于点D，交BC︵于点E，连接OC，则点E是BEC︵的中点，由折叠的性质可得点O为BOC︵的中点，∴S弓形BO＝S弓形CO，∵OD＝12r＝2，OB＝OC＝r＝4，∴∠OBD＝∠OCD＝30°，∴∠AOC＝60°，∴S阴影＝S扇形AOC＝60π×42360＝8π3.第18题解图19.解：(1)直接MN与⊙O相切．理由：如解图，连接OC，第19题解图∵OA、OC均为⊙O的半径，∴OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，又∵∠BOC为△OAC的外角，∴∠BOC＝∠A＋∠OCA＝2∠A，又∵∠BCM＝2∠A，∴∠BOC＝∠BCM，∵∠B＝90°，∠BOC＋∠BCO＝90°，∴∠BCO＋∠BCM＝90°，∴∠OCM＝90°.∴直线MN与⊙O相切．(2)∵∠BCM＝60°，∴∠A＝30°，∴∠AOC＝120°，又∵∠AOC＝∠B＋∠OCB，∴∠OCB＝30°，∵OA＝4，∴OC＝OA＝4，∴BC＝23，∴S扇形OAC＝120×π×42360＝16π3，S△AOC＝12×OA×BC＝12×4×23＝43，∴S阴影＝S扇形OAC－S△AOC＝16π3－43.∴图中阴影部分的面积为16π3－43.第六章圆第28课时与圆有关的计算基础过关1.(2016遵义)如图，半圆的圆心为O，直径AB的长为12，C为半圆上一点，∠CAB＝30°，AC︵的长是()A.12πB.6πC.5πD.4π第1题图第2题图2.(2016青岛)如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120?，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为()A.175πcm2B.350πcm2C.8003πcm2D.150πcm23.(2016十堰)如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的高为()A.10cmB.15cmC.103cmD.202cm第3题图第4题图4.(2016贵港)如图，点A在以BC为直径的⊙O内，且AB＝AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，得到扇形ABC，剪下扇形ABC围成一个圆锥(AB和AC重合)，若∠BAC＝120°，BC＝23，则这个圆锥底面圆的半径是()A.13B.23C.2D.35.(2016兰州)如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了()A.πcmB.2πcmC.3πcmD.5πcm第5题图6.(2016山西)如图，在?ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12，∠C＝60°，则FE︵的长为()A.π3B.π2C．πD．2π第6题图第7题图7.(2016深圳)如图，在扇形AOB中∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是AB︵的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为22时，则阴影部分的面积为()A.2π－4B.4π－8C.2π－8D.4π－48.(2016东营)如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形ABD的面积为________．第8题图9.(2016烟台)如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点．若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是________cm.第9题图第10题图10.(2016安徽)如图，已知⊙O的半径为2，A为⊙O外一点．过点A作⊙O的一条切线AB，切点是B，AO的延长线交⊙O于点C.若∠BAC＝30°，则劣弧BC︵的长为______．11.(2016巴中)如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)．则所得扇形AFB(阴影部分)的面积为________．第11题图12.(2016安顺)如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是________(结果保留π)．第12题图第13题图13.(2016乐山)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝23，以点C为圆心，CB的长为半径画弧，与AB边交于点D，将BD︵绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为________．14.(2016淮安二模)如图，Rt△ABC中，∠BAC＝60°，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC相切于点D，与AC交于点E，连接AD.(1)求∠CAD的度数；(2)若OA＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．第14题图满分冲关1.(2016武汉)如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝22.点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是()A.2πB.πC.22D.2第1题图第2题图2.(2016重庆B)如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是()A.183－9πB.18－3πC.93－9π2D.183－3π3.(2016绥化)如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则图中阴影部分的面积为________．(结果用含π的式子表示)第3题图第4题图4.(2016广州)如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB＝123，OP＝6，则劣弧AB︵的长为________(结果保留π)5.(2016河南)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，以点A为圆心，OA的长为半径作OC︵交AB︵于点C.若OA＝2，则阴影部分的面积为________．第5题图第6题图6.(2016德州)如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是________．7.(2016宜昌)如图，CD是⊙O的弦，AB是直径．且CD∥AB.连接AC、AD、OD，其中AC＝CD，过点B的切线交CD的延长线于E.(1)求证：DA平分∠CDO；(2)若AB＝12，求图中阴影部分的周长之和．(参考数据：π≈3.1，2≈1.4，3≈1.7)第7题图答案基础过关1.D【解析】如解图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠C＝∠A＝30°，∴∠AOC＝120°，∴AC︵的长度＝120π×6180＝4π.第1题解图2.B【解析】S贴纸＝2S扇环＝2(S扇形BAC－S扇形DAE)＝2[120π·252360－120π·（25－15）2360]＝350πcm2.3.D【解析】如解图，在△OAB中，作OE⊥AB，垂足为点E，则OE＝60×sin30°＝30cm，即圆锥的母线长为30cm，所以lCED︵＝120×π×30180＝20π，设围成的圆锥底面半径为r，则20π＝2πr，解得：r＝10，∴h＝302－102＝202cm，故选D.第3题解图4.B【解析】如解图，连接AO，∵AB＝AC，∴AO⊥BC且AO平分∠BAC，∴∠OAC＝60°，∵BC＝23，∴CO＝3，∴AC＝COsin60°＝2，设扇形ABC围成的圆锥的底面圆的半径是r，∴lBC︵＝120π×2180＝2πr，∴r＝23.第4题解图5.C【解析】由题意得，点P的运动路径是一段弧，其弧长为108×π×5180＝3πcm，重物上升的距离与点P运动的距离相等，为3πcm.6.C【解析】如解图，连接OE、OF，∵AB为⊙O的直径，AB＝12，∴AO＝OB＝6，∵⊙O与DC相切于点E，∴∠OEC＝90°，∵在?ABCD中，∠C＝60°，AB∥DC，∴∠A＝∠C＝60°，∠AOE＝∠OEC＝90°，在△AOF中，∠A＝60°，AO＝FO，∴△AOF是等边三角形，即∠AOF＝∠A＝60°，∴∠EOF＝∠AOE－∠AOF＝90°－60°＝30°，∴FE︵的长＝30π×6180＝π.第6题解图7.A【解析】如解图，连接OC，∵C是AB︵的中点，∴∠BOC＝12∠AOB＝45°，∵CD＝22，∴OD＝CD＝22，OC＝OD2＋CD2＝4，∴S阴影＝S扇形BOC－S△OCD＝45π×42360－12×22×22＝2π－4.第7题解图8.25【解析】l扇形＝BC＋CD＝10，所以S扇形＝12lr＝12×10×5＝25.9.53【解析】如解图，通过图中的操作，可得到如下的一个平面图，由题意可得EN是直径且为10cm，∠EOM＝60°，∠ENM＝30°，所以MN＝10cos30°＝53cm.第9题解图第10题解图10.43π【解析】如解图，连接OB.∵AB为⊙O的切线，B为切点，∴∠B＝90°，又∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°，∴∠BOC＝120°，∴劣弧BC︵的长＝120×π×2180＝43π.11.18【解析】∵扇形的半径r＝AB＝3，l扇形＝正六边形的周长－(AB＋AF)＝6AB－2AB＝4AB＝12.∴扇形的面积＝12lr＝12×12×3＝18.12.2π【解析】∵在正方形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝90°，∴S扇形ABD＝90π·42360＝4π，以AB为直径的半圆面积为S半圆＝12π×22＝2π.∴S阴影＝S扇形ABD－S半圆＝4π－2π＝2π.13.23－2π3【解析】∵BD︵绕点D旋转180°后点B与点A重合，∴BD＝AD＝12AB，∴CD是Rt△ACB斜边上的中线，∴CD＝12AB，∴CD＝BD＝AD.又∵CB＝CD，∴CB＝CD＝BD＝AD，∴△BDC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BCD＝60°.∵CD是Rt△ACB斜边上的中线，∴S△ABC＝2S△BDC＝2S△ADC.在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝23，∠ABC＝60°，∴tan∠ABC＝ACBC，∴BC＝ACtan∠ABC＝23tan60°＝2.∵S阴影＝S△ADC－S弓形AD＝S△BDC－S弓形BD，而S弓形BD＝S扇形CBD－S△BDC，∴S阴影＝S△BDC－(S扇形CBD－S△BDC)＝2S△BDC－S扇形CBD＝S△ABC－S扇形CBD＝12×2×23－60·π·22360＝23－2π3.14.解：(1)如解图①，连接OD，第14题解图①∵BC与⊙O相切于点D，∴DO⊥BC，∵AC⊥BC,∴OD∥AC，∴∠ADO＝∠CAD，∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠OAD，∴∠CAD＝∠OAD，∴AD平分∠BAC，∴∠CAD＝12∠BAC＝30°；(2)如解图②，连接OE，ED，OD.第14题解图②∵∠EAD＝12∠EOD，∴∠EOD＝60°，∵OE＝OD，∴△EOD是等边三角形，∴∠DEO＝60°，又∵∠EAO＝60°，OA＝OE，∴△AOE是等边三角形，∴∠AOE＝60°，∴∠AOE＝∠DEO，∴ED∥AO，∴S△AED＝S△EOD，∴S阴影＝S扇形EOD＝60π·22360＝2π3.满分冲关1.B【解析】如解图，M点运动的路径是以△ABC的两直角边上中点的连线为直径的半圆弧长，设AC与BC的中点分别是D、Q两点，则有DQ＝CD2＋CQ2＝（2）2＋（2）2＝2，则M运动的路径长为：2π2＝π.第1题解图2.A【解析】∵∠DAB＝60°，DF⊥AB，AD＝6，∴DF＝AD·sin60°＝33，∠ADC＝120°，S阴影＝S菱形ABCD－S扇形EDG＝6×33－120π×（33）2360＝183－9π.3.π－1【解析】利用转化思想可得S阴影＝S扇形－S△ACD，即S阴影＝90π×22360－2×22＝π－1.4.8π【解析】如解图，∵AB是小圆的切线，∴OP⊥AB，∴AP＝12AB＝63.连接OA，OB,∵OA＝OB，∴∠AOB＝2∠AOP.在Rt△AOP中，OA＝OP2＋AP2＝12，tan∠AOP＝APOP＝636＝3，∴∠AOP＝60°.∴∠AOB＝120°，∴劣弧AB︵＝120π·12180＝8π.第4题解图5.3－13π【解析】如解图，连接OC、AC，过点C作CH⊥OA于点H，根据题意，以点A为圆心，OA的长为半径作OC︵交AB︵于点C，易得OA＝AC＝OC，∴△AOC为等边三角形，∠AOC＝60°，∴弓形AmC与弓形OnC是全等的图形，∵S弓形AmC＝S扇形AOC－S△AOC＝60π×22360－12OA×CH＝23π－12×2×2×sin60°＝23π－3.∴S弓形OnC＝S弓形AmC＝23π－3.∵∠AOB＝90°，∴∠COB＝30°，∴S扇形COB＝30π×22360＝13π，∴S阴影＝S扇形COB－S弓形OnC＝13π－(23π－3)＝3－13π.第5题解图6.－π6＋32【解析】如解图，连接OM，OA，OB，∵点M、O关于AB对称，∴OC⊥AB，OC＝12OM＝12OA＝12，AB＝2AC，∴∠OAC＝30°，∴∠AOC＝60°，同理∠BOC＝60°，∠AOB＝120°.∵cos30°＝ACOA＝AC1，∴AC＝1×cos30°＝32，∴AB＝3.S阴影＝S半圆－2S弓形AMB＝12π·12－2(S扇形AOB－S△AOB)＝12π－2(120π·12360－12×3×12)＝12π－2(π3－34)＝12π－2π3＋32＝－π6＋32.第6题解图7.(1)证明：∵CD∥AB，∴∠CDA＝∠BAD，又∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠BAD，∴∠ADO＝∠CDA，∴DA平分∠CDO；(2)解：如解图①，连接BD，∵AB是⊙O的直径，第7题解图①∴∠ADB＝90°.∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA，又∵CD∥AB，∴∠CDA＝∠BAD，∴∠CDA＝∠BAD＝∠CAD，∴AC︵＝DC︵＝BD︵.∠AOB＝180°，∴∠DOB＝60°，∴∠BAD＝12∠DOB＝30°.在Rt△ADB中，∠DAB＝30°，∠ABD＝60°，AB＝12.∴BD＝12×AB＝6.∴AC＝BD＝6.∵BE切⊙O于点B，∴BE⊥AB，∴∠DBE＝∠ABE－∠ABD＝30°，又∵CD∥AB，∴BE⊥CE，∴DE＝12BD＝3，BE＝BD×cos∠DBE＝6×32＝33，∴BD︵的长为60π×6180＝2π.又∵AC︵＝BD︵，∴AC︵的长为2π，∴图中阴影部分周长之和为：AC︵＋AC＋BD︵＋DE＋BE＝2π＋6＋2π＋3＋33＝4π＋9＋33≈4×3.1＋9＋3×1.7＝26.5.【一题多解】如解图②，连接CO，过点D作DF⊥AB，垂足为点F.∵AC＝CD，第7题解图②∴∠ADC＝∠CAD，∴AC︵＝DC︵，∵∠CDA＝∠BAD，∴AC︵＝BD︵，∵AC︵＝DC︵＝BD︵，∠AOB＝180°，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°.在Rt△DFO中，∠ODF＝30°，OD＝6，∴OF＝12OD＝3.∴DF＝OD2－OF2＝33.∵BE切⊙O于点B，∴BE⊥AB，即∠B＝90°.又∵CD∥AB，∴∠E＝90°.又∵∠DFB＝90°.∴四边形DFBE为矩形．∴DE＝BF＝OB－OF＝3，BE＝DF＝33.AC︵的长为60π×6180＝2π，又∵AC︵＝BD︵，∴BD︵的长为2π.综上可知△ACO为等边三角形，∴AC＝CO＝AO＝6.∴图中阴影部分周长之和为：AC︵＋AC＋BD︵＋DE＋BE＝2π＋6＋2π＋3＋33＝4π＋9＋33≈4×3.1＋9＋3×1.7＝26.5.与圆有关的证明及计算巩固集训1.(2016上海)已知：⊙O是△ABC的外接圆，AB︵＝AC︵，点D在边BC上，AE∥BC，AE＝BD.(1)求证：AD＝CE；(2)如果点G在线段DC上(不与点D重合)，且AG＝AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．第1题图2.(2016沈阳)如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，BD＝CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F.(1)求证：DF⊥AC；(2)若⊙O的半径为5，∠CDF＝30°，求BD︵的长．(结果保留π)第2题图3.(2016盐城射阳县二模)如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，D是劣弧AC上的点(不与点A、C重合)，延长BD至E.(1)求证：AD的延长线DF平分∠CDE；(2)若∠BAC＝30°，△ABC中BC边上的高为2＋3，求⊙O的面积．第3题图4.(2016南京一模)如图①，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D.(1)求证：∠CAD＝∠BAC；(2)如图②，若把直线EF向上移动，使得EF与⊙O相交于G，C两点(点C在点G的右侧)，连接AC，AG，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与∠CAD相等的角？若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，说明理由．第4题图5.(2016南通启东市二模)如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝120°，弦AB＝23，点M是AB︵上任意一点(与端点A、B不重合)，ME⊥AB于点E，以点M为圆心、ME长为半径作⊙M，分别过点A、B作⊙M的切线，两切线相交于点C.(1)求AB︵的长；(2)试判断∠ACB的大小是否随点M的运动而改变？若不变，请求出∠ACB的大小；若改变，请说明理由．第5题图6.(2016曲靖)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E.(1)若AC＝5，BC＝13，求⊙O的半径．(2)过点E作弦EF⊥AB于M，连接AF，若∠F＝2∠B，求证：四边形ACEF是菱形．第6题图7.(2016呼和浩特)如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC.(1)求证：∠FBC＝∠FCB；(2)已知FA·FD＝12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA＝2，求CD的长．第7题图8.(2016昆明)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F.(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)若∠F＝30°，EB＝4，求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π)．第8题图9.(2016徐州模拟)如图，已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，点D是BC边上一动点，以AD为直径的⊙O分别交AB、AC于点E、F.(1)如图①，若∠AEF＝∠C，求证：BC与⊙O相切；(2)如图②，若∠BAC＝90°，BD长为多少时，△AEF与△ABC相似．第9题图10.(2016包头)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点(点E不与点A、B重合)，DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F.(1)求证：AE＝BF；(2)连接GB，EF，求证：GB∥EF；(3)若AE＝1，EB＝2，求DG的长．第10题图答案1.证明：(1)在⊙O中，∵AB︵＝AC︵，∴AB＝AC，∵∠B＝∠ACB，∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB，∴∠B＝∠EAC，在△ABD和△CAE中，AB＝CA∠B＝∠EACBD＝AE，∴△ABD≌△CAE(S)，∴AD＝CE；(2)如解图，连接AO并延长，交BC于点H，在BC上找一点G，连接AG，使AG＝AD，第1题解图∵AB︵＝AC︵，OA为半径，∴AH⊥BC，∴BH＝CH，∵AD＝AG，∴DH＝HG，∴BH－DH＝CH－GH，即BD＝CG，∵BD＝AE，∴CG＝AE，∵CG∥AE，∴四边形AGCE是平行四边形．2.(1)证明：如解图，连接OD，第2题解图∵DF是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DF，∴∠ODF＝90°，∵BD＝CD，OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∴∠CFD＝∠ODF＝90°，∴DF⊥AC；(2)解：∵∠CDF＝30°，由(1)得∠ODF＝90°，∴∠ODB＝180°－∠CDF－∠ODF＝60°.∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∴BD︵的长＝nπr180＝60π×5180＝53π.3.(1)证明：∵A，B，C，D四点共圆，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，又∵∠ADC＋∠CDF＝180°，∴∠CDF＝∠ABC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝∠CDF，∵∠ADB＝∠EDF，∴∠EDF＝∠CDF，即AD的延长线DF平分∠CDE；(2)解：如解图，连接AO并延长交BC于点H，交⊙O于点M，连接OC，第3题解图∵AB＝AC，∴AB︵＝AC︵，∴AH⊥BC，∴∠OAC＝∠OAB＝12BAC＝12×30°＝15°，∴∠COH＝2∠OAC＝30°，设⊙O的半径为r，在Rt△OCH中，则OH＝OC·cos30°＝32r，∵△ABC中BC边上的高为2＋3，∴AH＝OA＋OH＝r＋32r＝2＋3，解得r＝2.∴S＝πr2＝4π.∴△ABC的外接圆的面积为4π.4.(1)证明：如解图①，连接OC，则OC⊥EF，且OC＝OA，易得∠OCA＝∠OAC，∵AD⊥EF，OC⊥EF，∴OC∥AD，∴∠OCA＝∠CAD，∴∠CAD＝∠OAC，即∠CAD＝∠BAC；第4题解图(2)解：与∠CAD相等的角是∠BAG.证明如下：如解图②，连接BG.∵四边形ACGB是⊙O的内接四边形，∴∠ABG＋∠ACG＝180°，∵D，C，G三点共线，∴∠ACD＋∠ACG＝180°，∴∠ACD＝∠ABG，∵AB是⊙O的直径，∴∠AGB＝90°，∴∠BAG＋∠ABG＝90°，∵AD⊥EF，∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BAG.5.解：(1)过点O作OH⊥AB于点H，如解图，则AH＝12AB＝3，∵∠AOB＝120°，∴∠OAH＝30°，∴AO＝AHcos30°＝2，∴lAB︵＝120π·2180＝4π3；第5题解图(2)如解图，连接AM、BM，∵ME⊥AB，∴AB是⊙M的切线，∵AC、BC是⊙M的切线，∴⊙M是△ABC的内切圆，∴AM、BM是∠CAB、∠ABC的平分线，∴∠AMB＝180°－(∠MAB＋∠MBA)＝180°－12(∠CAB＋∠ABC)＝180°－12(180°－∠ACB)，∴∠AMB＝90°＋12∠ACB，∵∠AOB＝120°，∴∠AMB＝120°，∴∠ACB＝60°，即∠ACB的大小不变，为60°.6.(1)解：如解图，连接OE，设⊙O的半径为r，则OA＝OE＝r.在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝BC2－AC2＝132－52＝12，第6题解图∵⊙O与BC边相切于点E，∴OE⊥BC，∴∠OEB＝∠CAB＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△BOE∽△BCA，∴BOBC＝OECA，即12－r13＝r5，解得r＝103.所以⊙O的半径为103.(2)证明：分别连接OE、OF，如解图，∵BC⊥OE，∴∠B＋∠BEF＝∠OEF＋∠BEF，∴∠B＝∠OEF，∵OE＝OF，∴∠OFE＝∠OEF＝∠B，∵∠F＝2∠B，∴∠OFA＝∠AFE－∠OFE＝2∠B－∠B＝∠B，又∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA＝∠B，∴AF∥CB，∵CA⊥AB，EF⊥AB，∴CA∥EF，∴四边形AFEC是平行四边形．连接OC，如解图，∵AO＝EO，∠CAO＝∠CEO＝90°，CO＝CO，∴Rt△AOC∽Rt△EOC.∴CA＝CE，∴平行四边形AFEC是菱形．7.(1)证明：∵四边形AFBC是圆的内接四边形，∴∠FBC＋∠FAC＝180°，又∵∠CAD＋∠FAC＝180°，∴∠FBC＝∠CAD，∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，∴∠EAD＝∠CAD＝∠FBC，又∵∠EAD＝∠FAB，∴∠FAB＝∠CAD＝∠FBC，又∵∠FAB＝∠FCB，∴∠FBC＝∠FCB.(2)解：由(1)知∠FBC＝∠FCB，又∵∠FCB＝∠FAB，∴∠FAB＝∠FBC，又∵∠BFA＝∠BFD，∴△AFB∽△BFD，∴BFDF＝FAFB，即BF2＝FA·FD＝12，解得：BF＝23，∵FA＝2，∴FD＝6，AD＝4，∵AB为圆的直径，∴∠BFA＝∠BCA＝90°，∴tan∠FBA＝AFBF＝223＝33，∴∠FBA＝30°，由△AFB∽△BFD得，∠FBA＝∠FDB，∴∠FDB＝30°，∴CD＝AD·cos30°＝23.8.(1)证明：如解图，连接OD，第8题解图∵四边形OBEC是平行四边形，∴OC∥BE，∴∠AOC＝∠OBE，∠COD＝∠ODB，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠DOC＝∠AOC，在△COD和△COA中，OC＝OC∠COD＝∠COAOD＝OA，∴△COD≌△COA(S)，∴∠CAO＝∠CDO＝90°，∴CF⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴CF是⊙O的切线；(2)解：∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，∴∠DOF＝∠AOC＝∠COD＝60°，∵OD＝OB，∴△OBD是等边三角形，∴∠DBO＝60°，∵∠DBO＝∠F＋∠FDB，∴∠FDB＝∠EDC＝30°，∵EC∥OB，∴∠E＝180°－∠OBD＝120°，∴∠ECD＝180°－∠E－∠EDC＝30°，∴EC＝ED＝BO＝DB，∵EB＝4，∴OB＝OD＝OA＝2，在Rt△AOC中，∵∠OAC＝90°，OA＝2，∠AOC＝60°，∴AC＝OA·tan60°＝23，∴S阴＝2S△OAC－S扇形OAD＝2×12×2×23－120π·22360＝43－4π3.9.(1)证明：如解图，连接DF，在⊙O中∠AEF＝∠ADF，第9题解图又∵∠AEF＝∠C，∴∠ADF＝∠C，∵AD为⊙O的直径，∴∠AFD＝90°，∴∠CFD＝90°，∴∠C＋∠CDF＝90°，∴∠ADF＋∠CDF＝90°，∴∠ADC＝90°，又∵AD为⊙O的直径，∴BC与⊙O相切；(2)解：分两种情况：①若△AEF∽△ACB，则∠AEF＝∠C，由(1)知BC与⊙O相切，∴设BD＝x，∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴由勾股定理得BC＝10，∴DC＝10－x，∴根据勾股定理得62－x2＝82－（10－x）2，解得x＝3.6，∴BD＝3.6；②若△AEF∽△ABC，∴∠AEF＝∠B，∴EF∥BC，∵∠EAF为直角，∴EF为直径，∴△AEO∽△ABD，∴EABA＝EOBD＝AOAD＝12，∴BD＝2EO＝EF，∵△AEF∽△ABC，∴EFBC＝EABA＝12，即BD＝2EO＝EF＝12BC＝5.10.(1)证明：如解图，连接BD，第10题解图在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠A＝∠C＝45°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，∴AD＝DC＝BD＝12AC，∠CBD＝∠C＝45°，∴∠A＝∠FBD，∵DF⊥DG，∴∠FDG＝90°，∴∠FDB＋∠BDG＝90°，∵∠EDA＝∠BDG＝90°，∴∠EDA＝∠FDB，在△AED和△BFD中，∠A＝∠FBDAD＝BD∠EDA＝∠FDB，∴△AED≌△BFD(A)，∴AE＝BF；(2)证明：如解图，连接EF，BG，∵△AED≌△BFD，∴DF＝DE，∵∠EDF＝90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴∠DEF＝45°，∵∠G＝∠A＝45°，∴∠G＝∠DEF，∴GB∥EF；(3)解：∵AE＝BF，AE＝1，∴BF＝1，在Rt△EBF中，∠EBF＝90°，∴根据勾股定理得：EF2＝EB2＋BF2，∵EB＝2，BF＝1，∴EF＝22＋12＝5，∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF＝90°，∴cos∠DEF＝DEEF，∵EF＝5，∴DE＝5×22＝102，∵∠G＝∠A，∠GEB＝∠AED，∴△GEB∽△AED，∴GEAE＝EBED，即GE·ED＝AE·EB，∴102·GE＝2，即GE＝2105，则GD＝GE＋ED＝91010.