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免费2017江苏省中考《第16课时：二次函数的综合应用》课件+练习中考数学考点要点试卷分类汇编解析网第一部分考点研究第三章函数第16课时二次函数的综合应用江苏近4年中考真题精选(2013~2016)命题点二次函数的综合应用(2016年10次，2015年9次，2014年9次，2013年8次)1.(2016无锡26题10分)已知二次函数y＝ax2－2ax＋c(a>0)的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP∶PD＝2∶3.(1)求A、B两点的坐标；(2)若tan∠PDB＝54，求这个二次函数的关系式．第1题图2.(2013南京26题9分)已知二次函数y＝a(x－m)2－a(x－m)(a、m为常数，且a≠0)．(1)求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；(2)设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D.①当△ABC的面积等于1时，求a的值；②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．3.(2016宿迁26题10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y＝x2－1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N.(1)求N的函数表达式；(2)设点P(m，n)是以点C(1，4)为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B，求PA2＋PB2的最大值；(3)若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M与N所围成封闭图形内(包括边界)整点的个数．第3题图4.(2016南通26题10分)平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过(－1，m2＋2m＋1)、(0，m2＋2m＋2)两点，其中m为常数．(1)求b的值，并用含m的代数式表示c；(2)若抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴有公共点，求m的值；(3)设(a，y1)、(a＋2，y2)是抛物线y＝x2＋bx＋c上的两点，请比较y2－y1与0的大小，并说明理由．5.(2015无锡27题10分)一次函数y＝34x的图象如图所示，它与二次函数y＝ax2－4ax＋c的图象交于A、B两点(其中点A在点B的左侧)，与这个二次函数图象的对称轴交于点C.(1)求点C的坐标；(2)设二次函数图象的顶点为D.①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；②若CD＝AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．第5题图答案1.解：(1)如解图所示：y＝ax2－2ax＋c，＝a(x2－2x)＋c，＝a(x－1)2＋c－a，∴P点坐标为(1，c－a)．(1分)过点C作CE⊥PQ垂足为E，延长CE交BD于点F，则CF⊥BD.第1题解图∵P(1，c－a)，∴CE＝OQ＝1.∵PQ∥BD，∴△CEP∽△CFD，∴CPCD＝CECF，又∵CP∶PD＝2∶3，∴CPCD＝CECF＝22＋3＝25，∴CF＝2.5，∴OB＝CF＝2.5，∴BQ＝OB－OQ＝1.5，∴AQ＝BQ＝1.5，∴OA＝AQ－OQ＝1.5－1＝0.5，∴A(－0.5，0)，B(2.5，0)；(2)∵tan∠PDB＝54，∴CFDF＝54，∴DF＝45CF＝45×2.5＝2，∵△CFD∽△CEP，∴PEDF＝CECF，∴PE＝DF·CECF＝2×12.5＝0.8，∵P(1，c－a)，∴PE＝OC－(c－a)＝a，∴a＝0.8，∴y＝0.8x2－1.6x＋c把A(－0.5，0)代入得：0.8×(－0.5)2－1.6×(－0.5)＋c＝0，解得：c＝－1∴这个二次函数的关系式为：y＝0.8x2－1.6x－1…2.(1)证明：y＝a(x－m)2－a(x－m)＝ax2－(2am＋a)x＋am2＋am.∵当a≠0时，[－(2am＋a)]2－4a(am2＋am)＝a2>0.∴方程ax2－(2am＋a)x＋am2＋am＝0有两个不相等的实数根．∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；(2)解：①y＝a(x－m)2－a(x－m)＝a(x－2m＋12)2－a4，∴点C的坐标为(2m＋12，－a4)．当y＝0时，a(x－m)2－a(x－m)＝0，解得x1＝m，x2＝m＋1，∴AB＝1.当△ABC的面积等于1时，有12×1×|－a4|＝1.∴12×1×(－a4)＝1，或12×1×a4＝1.∴a＝－8，或a＝8②当x＝0时，y＝am2＋am，所以点D的坐标为(0，am2＋am)．当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，12×1×|－a4|＝12×1×|am2＋am|.∴12×1×(－a4)＝12×1×(am2＋am)，或12×1×a4＝12×1×(am2＋am)．整理得：m2＋m＋14＝0或m2＋m－14＝0，∴m＝－12，或m＝－1－22，或m＝－1＋223.解：(1)由题意得N的函数表达式为y＝－(x－2)2＋9；(2)∵点P的坐标为(m，n)，点A为(－1，0)，点B为(1，0)，∴PA2＋PB2＝(m＋1)2＋(n－0)2＋(m－1)2＋(n－0)2＝m2＋2m＋1＋n2＋m2－2m＋1＋n2＝2m2＋2n2＋2＝2(m2＋n2)＋2＝2OP2＋2，∴当PA2＋PB2最大时，要满足OP最大，即满足OP经过点C，又∵点P(m,n)是以点C(1，4)为圆心、1为半径的圆上一动点，∴CP＝1，∵OC＝12＋42＝17，∴OP＝17＋1，∴PA2＋PB2＝2OP2＋2＝2(17＋1)2＋2＝38＋417；(3)由题意得纵坐标的取值范围为：－1≤y≤9，M与N的图象交点的横坐标即为横坐标的取值范围－1≤x≤3，∴M与N所围成封闭图形内(包括边界)的整点有：(－1，0)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(0，4)，(0，5)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)(1，8)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(3，8)共25个．4.解：(1)把(－1，m2＋2m＋1)、(0，m2＋2m＋2)分别代入y＝x2＋bx＋c，得1－b＋c＝m2＋2m＋1①c＝m2＋2m＋2②，把②代入①中得b＝2,c＝m2＋2m＋2；(2)由(1)得，y＝x2＋2x＋m2＋2m＋2.由题意得，Δ＝22－4(m2＋2m＋2)≥0，∴(m＋1)2≤0，(4分)又∵(m＋1)2≥0，∴(m＋1)2＝0，∴m＝－1，∴当抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴有公共点时，m＝－1；(3)当a＜－2时，y2－y1＜0；当a＝－2时，y2－y1＝0；当a＞－2时，y2－y1＞0.理由如下：由(1)知，抛物线的解析式为y＝x2＋2x＋m2＋2m＋2，∵(a，y1)，(a＋2，y2)是抛物线y＝x2＋bx＋c上的两点，∴y1＝a2＋2a＋m2＋2m＋2，y2＝(a＋2)2＋2(a＋2)＋m2＋2m＋2，∴y2－y1＝(a＋2)2＋2(a＋2)＋m2＋2m＋2－(a2＋2a＋m2＋2m＋2)＝(a＋2)2－a2＋2(a＋2)－2a＝4(a＋2)，(8分)∴当a<－2时，y2－y1<0；当a＝－2时，y2－y1＝0;当a>－2时，y2－y1>05.解：(1)y＝ax2－4ax＋c＝a(x－2)2－4a＋c，∴二次函数图象的对称轴为直线x＝2，当x＝2时，y＝34×2＝32，∴C(2，32);(2)①∵点D与点C关于x轴对称，∴D(2，－32)，∴CD＝3，设A(m，34m)(m<2)，由S△ACD＝3，得12×3×(2－m)＝3，解得m＝0，∴A(0，0)，由A(0，0)、D(2，－32)，得c＝0－4a＋c＝－32，解得a＝38c＝0，∴y＝38x2－32x； 第5题解图②如解图，设A(m，34m)(m<2)，过点A作AE⊥CD于点E，则AE＝2－m，CE＝32－34m，AC＝AE2＋CE2＝（2－m）2＋（32－34m）2＝54(2－m)，∵CD＝AC，∴CD＝54(2－m),由S△ACD＝12×CD×AE＝10得12×54(2－m)2＝10，解得m＝－2或m＝6(舍去)，∴m＝－2，∴A(－2，－32)，CD＝5，若a＞0，则点D在点C下方，∴D(2，－72)，由A(－2，－32)、D(2，－72)，得12a＋c＝－32－4a＋c＝－72，解得a＝18c＝－3，∴y＝18x2－12x－3.(8分)若a＜0，则点D在点C上方，∴D(2，132)，由A(－2，－32)，D(2，132)，得12a＋c＝－32－4a＋c＝132，解得a＝－12c＝92，∴y＝－12x2＋2x＋92.第三章函数第16课时二次函数的综合应用（建议答题时间：90分钟）1.(2016大连)如图，抛物线y＝x2－3x＋54与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E.(1)求直线BC的解析式；(2)当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．第1题图2.(2016宁波)如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)．(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时，求点P的坐标．第2题图3.(2016安徽)如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．(1)求a、b的值；(2)点C是该二次函数图象上A、B两点之间的一动点，横坐标为x(2<x<6)．写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．第3题图4.(2016北京)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx＋m－1(m>0)与x轴的交点为A、B.(1)求抛物线的顶点坐标；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m＝1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A、B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．第4题图5.(2016陕西)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx＋5经过点M(1，3)和N(3，5)．(1)试判断该抛物线与x轴交点的情况；(2)平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A(－2，0)，且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．第5题图6.(2016上海)如图，抛物线y＝ax2＋bx－5(a≠0)经过点A(4，－5)，与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝5OB，抛物线的顶点为点D.(1)求这条抛物线的表达式；(2)连接AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；(3)如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO＝∠ABC，求点E的坐标．第6题图7.(2016益阳)如图，顶点为A(3，1)的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B.(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；(2)过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；(3)在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．第7题图答案（精讲版）1.解：(1)当x＝0时，y＝54，∴C(0，54)，当y＝0时，x2－3x＋54＝0，∴(x－52)(x－12)＝0，解得x＝52或x＝12，∴A(12，0)，B(52，0)，设直线BC的解析式为y＝kx＋54，将B(52，0)代入得52k＋54＝0，解得k＝－12，∴直线BC的解析式为y＝－12x＋54；(2)设E(a，－12a＋54)，则D(a，a2－3a＋54)(0＜a＜52)，∴ED＝(－12a＋54)－(a2－3a＋54)＝－a2＋52a＝－(a－54)2＋2516.将a＝54代入y＝a2－3a＋54中得y＝－1516.∴当a＝54时，线段DE的长度最大，此时点D的坐标为(54，－1516)．2.解：(1)把B(3，0)代入抛物线解析式，得0＝－32＋3m＋3，解得m＝2，∴y＝－x2＋2x＋3，∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点坐标为(1，4)；(2)如解图，连接BC交抛物线的对称轴l于点P，连接AP，此时PA＋PC的值最小．第2题解图设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，由题知，点C的坐标为(0，3)，抛物线的对称轴为直线x＝1.把点(3，0)，(0，3)分别代入，得0＝3k＋b3＝b，∴k＝－1b＝3，∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.当x＝1时，y＝－1＋3＝2.答：当PA＋PC的值最小时，点P的坐标为(1，2)．3.解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．∴4＝4a＋2b0＝36a＋6b，解得a＝－12b＝3；第3题解图①(2)如解图①，过点A作x轴的垂线，垂足为点D(2，0)，连接CD，过点C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为点E，点F，则S△OAD＝12OD·AD＝12×2×4＝4，S△ACD＝12AD·CE＝12×4×(x－2)＝2x－4，S△BCD＝12BD·CF＝12×4×(－12x2＋3x)＝－x2＋6x，则S＝S△OAD＋S△ACD＋S△BCD＝4＋(2x－4)＋(－x2＋6x)＝－x2＋8x.∴S关于x的函数表达式为S＝－x2＋8x(2<x<6)．∵S＝－(x－4)2＋16，∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16.【一题多解】解法一：由(1)知，y＝－12x2＋3x，如解图②，连接AB，则S＝S△AOB＋S△ABC，其中S△AOB＝12×6×4＝12，设直线AB解析式为y1＝k1x＋b1，将点A(2，4)，B(6，0)代入，易得y1＝－x＋6，过点C作直线l⊥x轴交AB于点D，∴C(x，－12x2＋3x)，D(x，－x＋6)，∴S△ABC＝S△ADC＋S△BDC＝12·CD·(x－2)＋12·CD·(6－x)＝12·CD·4＝2CD，其中CD＝－12x2＋3x－(－x＋6)＝－12x2＋4x－6，∴S△ABC＝2CD＝－x2＋8x－12，∴S＝S△ABC＋S△AOB＝－x2＋8x－12＋12＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16(2<x<6)，即S关于x的函数表达式为S＝－x2＋8x(2<x<6)，∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16.解法二：∵点C在抛物线上y＝－12x2＋3x上，∴C(x，－12x2＋3x)，第3题解图如解图③，过点A作AD⊥x轴，垂足为点D，过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，则点D的坐标为(2，0)，点E的坐标为(x，0)，∴S＝S△OAD＋S梯形ADEC＋S△CEB＝12×2×4＋12(4－12x2＋3x)(x－2)＋12(6－x)(－12x2＋3x)＝－x2＋8x，∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16(2<x<6)，∴当x＝4时，四边形OACB的面积S取最大值，最大值为16.4.解：(1)将抛物线的表达式变形为顶点式y＝m(x－1)2－1，则抛物线的顶点坐标为(1，－1)；(2)①当m＝1时，抛物线表达式为y＝x2－2x，因此A、B的坐标分别为(0，0)和(2，0)，则线段AB上的整点有(0，0)，(1，0)，(2，0)共3个；②抛物线顶点坐标为(1，－1)，则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点纵坐标只能为－1或0，∴即要求AB线段上(含AB两点)必须有5个整点；又∵抛物线表达式为y＝mx2－2mx＋m－1，第4题解图令y＝0，则mx2－2mx＋m－1＝0，得到A、B两点坐标分别为(1－1m，0)、(1＋1m，0)，即5个整点是以(1，0)为中心向两侧分散，∴点A在(－1，0)与(－2，0)之间包括(－1，0)，∴－2<1－1m≤－1，即2≤1m<3，∴19<m≤14.5.解：(1)由题意，得a＋b＋5＝39a＋3b＋5＝5，解得a＝1b＝－3，∴抛物线的解析式为y＝x2－3x＋5.对于方程x2－3x＋5＝0，∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×5＝9－20＝－11＜0，第5题解图∴抛物线与x轴无交点．(2)如解图，∵△AOB是等腰直角三角形，点A的坐标为(－2，0)，点B在y轴上，∴点B的坐标为B1(0，2)或B2(0，－2)．设平移后的抛物线的表达式为y＝x2＋mx＋n.①当抛物线经过点A(－2，0)，B1(0，2)时，n＝24－2m＋n＝0，解得m＝3n＝2，∴平移后的抛物线解析式为y＝x2＋3x＋2＝(x＋32)2－14.∴该抛物线顶点坐标为(－32，－14)．而原抛物线顶点坐标为(32，114)，∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线；②当抛物线过点A(－2，0)，B2(0，－2)时，n＝－24－2m＋n＝0，解得m＝1n＝－2.∴平移后的抛物线解析式为y＝x2＋x－2＝(x＋12)2－94.∴该抛物线顶点坐标为(－12，－94)．而原抛物线顶点坐标为(32，114)，∴将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线．【一题多解】解法一：由(1)得平移前的抛物线表达式为y＝(x－32)2＋114.∵△AOB是等腰直角三角形，A(－2，0)，点B在y轴上，∴点B的坐标为B1(0，2)或B2(0，－2)．设平移后的抛物线的表达式为y＝(x－32＋m)2＋114＋n.①当平移后的抛物线过点A(－2，0)，B1(0，2)时，（－2－32＋m）2＋114＋n＝0（－32＋m）2＋114＋n＝2，解得m＝3n＝－3.∴将原抛物线向左平移3个单位，向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线．②当平移后的抛物线过点A(－2，0)，B2(0，－2)时，（－2－32＋m）2＋114＋n＝0（－32＋m）2＋114＋n＝－2，解得m＝2n＝－5.∴将原抛物线向左平移2个单位，向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线．解法二：设平移后抛物线表达式为y＝(x－m)2＋n.∵△AOB是等腰直角三角形，A(－2，0)，点B在y轴上，∴B1(0，2)或B2(0，－2)．①当平移后的抛物线过点A(－2，0)，B1(0，2)时，（－2－m）2＋n＝0（－m）2＋n＝2，解得m＝－32n＝－14.∴平移后抛物线的顶点坐标为(－32，－14)．而原抛物线的顶点坐标为(32，114)，∴将原抛物线向左平移3个单位，向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线．②当平移后的抛物线过点A(－2，0)，B2(0，－2)时，（－2－m）2＋n＝0（－m）2＋n＝－2，解得m＝－12n＝－94.∴平移后抛物线的顶点坐标为(－12，－94)．而原抛物线的顶点坐标为(32，114)，∴将原抛物线向左平移2个单位，向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线．6.解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－5与y轴交于点C，∴C(0，－5)，∴OC＝5，∵OC＝5OB，∴OB＝1，又∵点B在x轴的负半轴上，∴B(－1，0)，∵抛物线经过点A(4，－5)和点B(－1，0)，∴16a＋4b－5＝－5a－b－5＝0，解得a＝1b＝－4，∴这条抛物线的表达式为y＝x2－4x－5；第6题解图(2)由y＝x2－4x－5，得顶点D的坐标为(2，－9)，连接AC，如解图，∵点A的坐标是(4，－5)，点C的坐标是(0，－5)，∴S△ABC＝12×4×5＝10，S△ACD＝12×4×(9－5)＝8，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝18；(3)连接BE，BG，过点C作CH⊥AB，垂足为点H，如解图．∵S△ABC＝12×AB×CH＝10，AB＝[4－（－1）]2＋（－5）2＝52，∴CH＝22，在Rt△BCH中，∠BHC＝90°，BC＝（0－1）2＋（－5）2＝26，BH＝BC2－CH2＝32，∴tan∠CBH＝CHBH＝23.在Rt△BOE中，∠BOE＝90°，tan∠BEO＝BOEO，∵∠BEO＝∠ABC，∴BOEO＝23，得EO＝32，∴点E的坐标为(0，32)．7.(1)解：∵抛物线顶点为A(3，1)，设抛物线解析式为y＝a(x－3)2＋1，∵抛物线过原点(0，0)，∴0＝a(3)2＋1，∴a＝－13，∴抛物线的表达式为：y＝－13x2＋233x.(2)证明：令y＝0，得0＝－13x2＋233x，∴x＝0(舍)，或x＝23，∴B点的坐标为(23，0)，设直线OA的表达式为：y＝kx，∵A(3，1)在直线OA上，∴3k＝1，∴k＝33，∴直线OA对应的一次函数的表达式为y＝33x.∵BD∥AO.设直线BD对应的一次函数的表达式为y＝33x＋b，∵B(23，0)在直线BD上，∴0＝33×23＋b，∴b＝－2，∴直线BD的表达式为y＝33x－2.第7题解图由y＝33x－2y＝－13x2＋233x，得交点D的坐标为(－3，－3)，y＝33x－2中，令x＝0得，y＝－2，∴C点的坐标为(0，－2)，由勾股定理，得OA＝2＝OC，AB＝2＝CD，OB＝23＝OD，在△OAB与△OCD中，OA＝OCAB＝CDOB＝OD，∴△OAB≌△OCD(SSS)．(3)解：点C关于x轴的对称点C′的坐标为(0，2)，∴C′D与x轴的交点即为点P，它使得△PCD的周长最小，过点D作DQ⊥y轴，垂足为Q，连接C′D，如解图，∴PO∥DQ，∴△C′PO∽△C′DQ，∴PODQ＝C′OC′Q，∴PO3＝25.∴PO＝235，∴点P的坐标为(－235，0)．