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免费2017江苏省中考《第19课时：等腰三角形》课件+练习中考数学考点要点试卷分类汇编解析网第四章三角形第19课时等腰三角形江苏近4年中考真题精选命题点1等腰三角形的性质与判定(2016年5次，2015年12次，2014年12次，2013年8次)1.(2014盐城7题3分)若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为()A.40°B.50°C.60°D.70°2.(2015苏州7题3分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为()A.35°B.45°C.55°D.60°第2题图第3题图3.(2014扬州7题3分)如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝()A.3B.4C.5D.64.(2016淮安16题3分)已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是________．5.(2014徐州16题3分)如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE＝________．第5题图第6题图6.(2016宿迁16题3分)如图，在矩形ABCD中，AD＝4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为________．7.(2015南通16题3分)如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝______度．第7题图8.(2015南京25题10分)如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．(要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)第8题图9.(2015宿迁21题6分)如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC.求证：∠C＝2∠D.第9题图命题点2等边三角形的性质与判定(2016年1次，2015年2次，2014年2次，2013年2次)10.(2016常州18题2分)如图，△APB中，AB＝2，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD，正△APE和正△PBC，则四边形PCDE面积的最大值是________．第10题图答案1.D【解析】∵等腰三角形的两个底角相等，顶角是40°，∴其底角为180°－40°2＝70°.2.C【解析】∵AB＝AC，D为BC中点，∴∠BAC＝2∠BAD＝70°，∴∠C＝180°－70°2＝55°.3.C【解析】如解图，过点P作PD⊥OB，交OB于点D，在Rt△OPD中，∵∠AOB＝60°，∴∠OPD＝30°，∴OD＝12OP＝12×12＝6，∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，∴MD＝ND＝12MN＝1，∴OM＝OD－MD＝6－1＝5.第3题解图4.10【解析】若三条线段的长分别为2，2，4，∵2＋2＝4，∴它们不能构成三角形，即此种情况不存在；若三条线段的长分别为2，4，4，此时能构成三角形，且周长为10.故该等腰三角形的周长为10.5.15°【解析】∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ACB＝∠ABC＝12(180°－50°)＝65°，∵将△ABC折叠，使点A落在点B处，折痕为DE，∠A＝50°，∴∠ABE＝∠A＝50°，∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝65°－50°＝15°.6.4或23【解析】满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，以BC为底的三角形必有一个：(1)如解图①，分别以B，C为圆心，BC长为半径的圆与直线AD有两个交点时，满足题意，以BC为腰的等腰三角形中有一个与以BC为底的三角形重合，∴△P1BC是等边三角形，∠ABP1＝30°，利用三角函数可求出AB＝23；(2)如解图②，当以B为圆心，BC长为半径的圆与直线AD只有一个交点，此时也满足题意，AB＝BC＝4.第6题解图7.52【解析】∵AC＝AD＝DB，∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，设∠B＝∠BAD＝x，∴∠ADC＝2x，∴∠C＝2x，∴∠B＋∠C＝3x，∵∠BAC＝102°，∴∠B＋∠C＝78°，∴3x＝78°，解得x＝26°，∴∠ADC＝52°.8.【思维教练】3可能是等腰三角形的腰长，也可能是等腰三角形的底边长，等腰三角形的顶角可能是锐角，可能是直角，也可能是钝角．要把所有的问题考虑全．解：如解图所示．第8题解图9.证明：∵AB＝AD＝AC，∴∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠D，∵AD∥BC，∴∠D＝∠DBC＝∠ABD，∴∠C＝∠ABC＝2∠ABD＝2∠D.10.1【解析】连接DE、DC，∵△ABD，△APE，△BPC都是等边三角形，∴∠EAD＝∠EAP－∠DAP＝∠PAB，同理∠PBA＝∠CBD，∴△AED≌△APB(S)，△APB≌△DCB(S)，∴ED＝PB，AP＝DC，∵PB＝PC，AP＝EP，∴ED＝PC，EP＝DC，∴四边形PCDE是平行四边形，∠BCD＝∠AED＝90°，∴S五边形ABCDE＝S△ABD＋S△AED＋S△BCD，S?PCDE＝S五边形ABCDE－S△APB－S△APE－S△BCP，S△AED＝S△BCD＝S△APB，S?PCDE＝S△ABD＋2S△APB－S△APB－S△APE－S△BPC＝S△ABD＋S△APB－S△APE－S△BPC，设AP＝x，BP＝y，原式＝34×22＋12xy－34x2－34y2＝3＋12xy－34(x2＋y2)＝3＋12xy－3＝12xy＝S△APB，∴当AP＝BP时，S?PCDE最大＝S△ABP最大＝2×2×12＝1.第10题解图第四章三角形第19课时等腰三角形1.(2016赤峰)等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是()A.30°，60°B.45°，45°C.45°，90°D.20°，70°2.(2016枣庄)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于()A.15°B.17.5°C.20°D.22.5第2题图第3题图3.(2015陕西)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有()A.2个B.3个C.4个D.5个4.(2016杭州)已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n(m<n)，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则()A.m2＋2mn＋n2＝0B.m2－2mn＋n2＝0C.m2＋2mn－n2＝0D.m2－2mn－n2＝05.(2016安顺)已知实数x、y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是()A.20或16B.20C.16D.以上答案均不对6.(2016邵阳)如图所示，点D是△ABC的边AC上一点(不含端点)，AD＝BD，则下列结论正确的是()A.AC＞BCB.AC＝BCC.∠A＞∠ABCD.∠A＝∠ABC第6题图7.(2017原创)如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝()A.30°B.20°C.25°D.15°第7题图第8题图8.(2016漳州)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若线段AD长为正整数，则点D的个数共有()A.5个B.4个C.3个D.2个9.(2016武汉)平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0)，若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是()A.5B.6C.7D.810.(2016河北)如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有()A.1个B.2个C.3个D.3个以上第10题图第12题图11.(2016内江)已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为()A.32B.332C.32D.不能确定12.(2016遵义)如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°.AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝________度．13.(2016福州)如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝5－12，在AC边上截取AD＝BC，连接BD.(1)通过计算，判断AD2与AC·CD的大小关系；(2)求∠ABD的度数．第13题图答案1.B【解析】∵三角形的内角和为180°，∴90°的角为等腰三角形的顶角，∴两底角的和为180°－90°＝90°，∴两个底角分别为45°，45°.2.A【解析】∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝12×(180°－30°)＝75°，∴∠ACE＝180°－75°＝105°，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∴∠DBC＝12×75°＝37.5°，∠DCE＝12×105°＝52.5°，∴∠D＝∠DCE－∠DBC＝52.5°－37.5°＝15°.3.D【解析】∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝12∠ABC＝36°，∴∠A＝∠ABD＝36°，∴BD＝AD，∴△ABD是等腰三角形．在△BCD中，∵∠BDC＝180°－∠DBC－∠C＝180°－36°－72°＝72°，∴∠C＝∠BDC＝72°，∴BD＝BC，∴△BCD是等腰三角形．∵BE＝BC，∴BD＝BE，∴△BDE是等腰三角形，∴∠BED＝(180°－36°)÷2＝72°，∴∠ADE＝∠BED－∠A＝72°－36°＝36°，∴∠A＝∠ADE，∴DE＝AE，∴△ADE是等腰三角形，∴图中的等腰三角形有5个．4.C【解析】根据题意，画图如解图：则AC＝m，BC＝n，AC＝CD＝m，AD＝BD＝n－m，根据勾股定理，得AC2＋CD2＝AD2，即m2＋m2＝(n－m)2，2m2＝n2＋m2－2mn，整理得：m2＋2mn－n2＝0.第4题解图5.B【解析】∵|x－4|＋y－8＝0，∴x－4＝0，y－8＝0，解得x＝4，y＝8.又∵以4，8为等腰三角形的边长，∴分两种情况讨论：①当4为腰时，根据三角形三边关系知4＋4＝8，∴这样的三角形不存在；②当8为腰时，则有4＋8>8，能够组成等腰三角形，∴此三角形的周长是8＋8＋4＝20.6.A【解析】在△DBC中，BD＋DC＞BC，∵AD＝BD，∴AD＋DC＞BC，即AC＞BC，故A正确，B错误；∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD，∵∠ABC＞∠ABD，∴∠ABC＞∠A，故C，D错误．7.D【解析】∵AD是等边三角形ABC的中线，∴∠CAD＝30°，AD⊥BC，∵AE＝AD，∴△ADE是等腰三角形，∴∠ADE＝∠AED＝12(180°－∠EAD)＝75°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝90°－75°＝15°.8.C【解析】如解图，当AD⊥BC时，∵AB＝AC，∴BD＝CD＝12BC＝4，∴AD＝AB2－BD2＝3；又∵AB＝AC＝5，∴在BD和CD之间一定存在AD＝4的两种情况，∴点D的个数共有3个．第8题解图9.A【解析】分三种情况讨论，①当AC＝AB时，满足条件的C点只有(0，0)点一个；②当BC＝BA时，满足条件的C点有两个，分别为：(4＋22，0)和(4－22，0)；③当CA＝CB时，满足条件的C点有两个，分别为：(2，0)和(0，－2)．综上，满足条件的C点共有5个，故选A.10.D【解析】如解图，当OM1＝2，点N1与点O重合时，△PM1N1是等边三角形；当ON2＝2，点M2与点O重合时，△PM2N2是等边三角形；当点M3，N3分别是OM1，ON2的中点时，△PM3N3是等边三角形；当取∠M1PM4＝∠OPN4时，易证△M1PM4≌△OPN4，∴PM4＝PN4，又∵∠M4PN4＝60°，∴△PM4N4是等边三角形，∴此时点M，N有无数个，综上所述，故选D.第10题解图11.B【解析】如解图，△ABC是等边三角形，AB＝3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AH⊥BC于点H.则BH＝32，AH＝AB2－BH2＝332.连接PA，PB，PC，则S△PAB＋S△PBC＋S△PCA＝S△ABC.∴12AB·PD＋12BC·PE＋12CA·PF＝12BC·AH.∴PD＋PE＋PF＝AH＝332.第11题解图12.35【解析】∵AB＝BC，∠ABC＝110°，∴∠A＝∠C＝35°，∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝35°.13.解：(1)AD2＝AC·CD.∵AD＝BC＝5－12，∴AD2＝(5－12)2＝3－52.∵AC＝1，∴CD＝AC－AD＝1－5－12＝3－52，∴AD2＝AC·CD.(2)∵AD2＝AC·CD，∴BC2＝AC·CD，即BCAC＝CDBC，又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，∴ABBD＝ACBC，又∵AB＝AC，∴BD＝BC＝AD.∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC.设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x，∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°.解得x＝36°，∴∠ABD＝36°.