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免费2017广东省中考数学复习检测专题十：代数几何综合题中考数学试卷分类汇编解析网专题十解答题突破--代数几何综合题(涉及二次函数)类型一以几何图形为背景的综合题【例1】(2016·苏州一模)如图1①，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD＝6cm，DC＝8cm，BC＝12cm.动点M在CB上运动，从C点出发到B点，速度每秒2cm；动点N在BA上运动，从B点出发到A点，速度每秒1cm.两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t(秒)．(1)求线段AB的长．(2)当t为何值时，MN∥CD?(3)设三角形DMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式．(4)如图1②，连接BD，是否存在某一时刻t，使MN与BD互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．图1【例2】(2016·吉林)如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝82cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以2cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM＝90°(点M，C位于PQ异侧)．设点P的运动时间为x(s)，△PQM与△ADC重叠部分的面积为y(cm2)图2备用图(1)当点M落在AB上时，x＝____________；(2)当点M落在AD上时，x＝____________；(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．1．(2016·宁夏)如图3，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QP，QD，PD.若两个点同时运动的时间为x秒(0＜x≤3)，解答下列问题：(1)设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？并求出最小值；图3(2)是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由．2．(2016·梅州)如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒3cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN.图4(1)若BM＝BN，求t的值；(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．3.如图5，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．(1)在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；(2)经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；(3)P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC为等腰三角形？若存在，求出此时的t值；若不存在，请说明理由．(5≈2.24，结果保留一位小数)图5类型二以二次函数与几何图形为背景的综合题【例】(2016·枣庄)如图6，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且抛物线经过A(1,0)，C(0,3)两点，与x轴交于点B.(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．图6(2016·德州)已知，m，n是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(m,0)，B(0，n)，如图7所示．(1)求这个抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；(3)点P是直线BC上的一个动点(点P不与点B和点C重合)，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为2个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．图7备用图专题训练十解答题突破--代数几何综合题(涉及二次函数)1．(2016·新疆)如图1，抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO＝OC＝3AO，直线y＝－13x＋1与y轴交于点D．图1(1)求抛物线的解析式；(2)证明：△DBO∽△EBC；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．2．如图2，图3，在每一个四边形ABCD中，均有AB∥DC，AD⊥AB，∠ABC＝30°，CD＝6，AB＝12.图2图3(1)如图图2，点M是四边形ABCD边AB上的一点，求△DMC的面积；(2)点M是四边形ABCD边AB上的任意一点，请你求出△DMC周长的最小值；(3)如图3，如果点M在AB上，是以1个单位/秒的速度从A向点B运动，是否存在一个时刻t，使得△MCB是等腰三角形？如存在，请求出此时的t值；如不存在，请说明理由．3．(2016·青羊区模拟)如图4所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形(如图5所示)．将纸片△AC1D1沿直线D2B(A→B方向)平移(点A，D1，D2，B始终在同一直线上)，当D1与点B重合时，停止平移．在平移的过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2，BC2分别交于点F，P.图4图5图6(1)当△AC1D1平移到如图6所示位置时，猜想D1E与D2F的数量关系，并说明理由．(2)设平移距离D2D1为x，△AC1D1和△BC2D2重复部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围．(3)对于(2)中的结论是否存在这样的x，使得重复部分面积等于原△ABC纸片面积的38？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－3，∴c＝－3.∴C(0，－3)．∴OC＝3.∵BO＝OC＝3AO，∴BO＝3，AO＝1.∴B(3,0)，A(－1,0)．∵该抛物线与x轴交于A，B两点，∴9a＋3b－3＝0，a－b－3＝0.∴a＝1，b＝－2.∴抛物线解析式为y＝x2－2x－3.(2)由(1)知，抛物线解析式为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴E(1，－4)．∵B(3,0)，A(－1,0)，C(0，－3)，∴BC＝32，BE＝25，CE＝2.∵直线y＝－13x＋1与y轴交于点D，∴D(0,1)．∵B(3,0)，∴OD＝1，OB＝3，BD＝10，∴CEOD＝2，BCOB＝2，BEBD＝2.∴CEOD＝BCOB＝BEBD.∴△BCE∽△BOD.(3)存在，理由：设P(1，m)，∵B(3,0)，C(0，－3)，∴BC＝32，PB＝m2＋4，PC＝m＋32＋1，∵△PBC是等腰三角形，①当PB＝PC时，∴m2＋4＝m＋32＋1，∴m＝－1.∴P(1，－1)．②当PB＝BC时，∴32＝m2＋4，∴m＝±14.∴P(1，14)或P(1，－14)，③当PC＝BC时，∴32＝m＋32＋1，∴m＝－3±17，∴P(1，－3＋17)或P(1，－3－17)，∴符合条件的P点坐标为P(1，－1)或P(1，14)或P(1，－14)或P(1，－3＋17)或P(1，－3－17)2．解：(1)如图1，过C作CF⊥AB，图1∴四边形AFCD为矩形．∴AF＝CD＝6，BF＝AB－AF＝6，在Rt△BCF中，∠ABC＝30°，BF＝6，∴CF＝BFtan30°＝23，ME＝23.则S△DMC＝12CD·ME＝63.(2)如图2，作点D关于直线AB的对称点D′，图2连接D′C，交AB于点M，则点M就是所求的点．∴△DMC周长的最小值为DM＋MC＋CD＝D′M＋MC＋CD＝CD′＋DC.∵AD＝CF＝23，∴DD′＝2AD＝43.∵DC＝6，CD′＝CD2＋DD′2＝221，∴△DMC周长的最小值为221＋6.(3)分三种情况讨论．1)如图3，图3当MC＝CB时，由(1)可知，BC＝2CF＝43，∴MF＝FB＝6.∴MB＝12.图4即点M与点A重合时．∴t＝0.2)当MB＝BC，如图4时，MB＝BC＝43，则AM＝12－43，∴t＝12－43.3)当MB＝MC时，作MH⊥BC，如图5.图5∴HB＝HC＝23.∴MH＝2，MB＝4.∴AM＝8，∴t＝8.综上所述，当t为0或8或12－43时，三角形MBC为等腰三角形．3．解：(1)D1E＝D2F.理由如下：∵C1D1∥C2D2，∴∠C1＝∠AFD2.又∵∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，∴DC＝DA＝DB，即C1D1＝C2D2＝BD2＝AD1.∴∠C1＝∠A.∴∠AFD2＝∠A.∴AD2＝D2F.同理：BD1＝D1E.又∵AD1＝BD2，∴AD2＝BD1.∴D1E＝D2F.(2)∵在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∴由勾股定理，得AB＝10.即AD1＝BD2＝C1D1＝C2D2＝5.又∵D2D1＝x，∴D1E＝BD1＝D2F＝AD2＝5－x.∴C2F＝C1E＝x.在△BC2D2中，C2到BD2的距离就是△ABC的AB边上的高，为245.设△BED1的BD1边上的高为h，由D1C1∥D2C2，得△BC2D2∽△BED1，∴h245＝5－x5.∴h＝245－x25.S△BED1＝12×BD1×h＝1225(5－x)2.又∵∠C1＋∠C2＝90°，∴∠FPC2＝90°.又∵∠C2＝∠B，sinB＝45，cosB＝35.∴PC2＝35x，PF＝45x，S△FC2P＝12PC2×PF＝625x2.而y＝S△BC2D2－S△BED1－S△FC2P＝12S△ABC－1225(5－x)2－625x2.∴y＝－1825x2＋245x(0≤x≤5)．(3)不存在．当y＝38S△ABC时，即－1825x2＋245x＝9，整理得6x2－40x＋75＝0.∵Δ＝1600－4×6×75＝－200＜0，∴该方程无解，即对于(2)中的结论不存在这样的x，使得重复部分面积等于原△ABC纸片面积的38.