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免费2017届中考数学一轮复习一元二次方程及应用精讲精练中考数学试题分类汇编解析网第8讲一元二次方程考点一、一元二次方程的有关概念【例1】下列方程中是关于x的一元二次方程的是()A．x2＋1x2＝0B．ax2＋bx＋c＝0C．(x－1)(x＋2)＝1D．3x2－2xy－5y2＝0方法总结方程是一元二次方程要同时满足下列条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不等于0.容易忽略的是条件①和④.举一反三方程x2+ax+1=0和x2﹣x﹣a=0有一个公共根，则a的值是（）A．0 B．1 C．2 D．3考点二、一元二次方程的解法【例2】解方程：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7方法总结此类题目主要考查一元二次方程的解法及优化选择，常常涉及到配方法、公式法、因式分解法．选择解法时要根据方程的结构特点，系数(或常数)之间的关系灵活进行，解题时要讲究技巧，尽量保证准确、迅速．举一反三1.解方程：（x2+4）（x2+1）=2x（4+x2）2.解方程组：3.解方程组：4.解关于x的方程：a2（x2﹣x+1）﹣a（x2﹣1）=（a2﹣1）x．考点三、一元二次方程根的判别式的应用【例3】如果关于x的方程（m+1）x2+2mx+m﹣1=0有实数根，则（）A．m≠1B．m=﹣1C．m≠±1D．m为全体实数方法总结由于一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式b2－4ac＝0，从而得到一个关于m的方程，解方程求得m的值即可．一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：(1)不解方程，判定根的情况；(2)根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围；(3)应用判别式证明方程根的情况．举一反三1.关于x的方程kx2﹣4x﹣=0有实数根，则k的取值范围是．2.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a（x+a）=0的两个实数根为x1，x2，若y=x1+x2+．（1）当a≥0时，求y的取值范围；（2）当a≤﹣2时，比较y与﹣a2+6a﹣4的大小，并说明理由．考点四、一元二次方程根与系数的关系【例4】已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.(1)求k的取值范围；(2)若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．方法总结解决本题的关键是把给定的代数式经过恒等变形化为含x1＋x2，x1x2的形式，然后把x1＋x2，x1x2的值整体代入．研究一元二次方程根与系数的关系的前提为：①a≠0，②b2－4ac≥0.因此利用一元二次方程根与系数的关系求方程的系数中所含字母的值或范围时，必须要考虑这一前提条件．举一反三1.已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=．2.若t是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式M=的大小关系是()A.△=MB.△＞MC.△＜MD.大小关系不能确定3.已知，关于x的一元二次方程x2﹣（a﹣4）x﹣a+3=0（a＜0）．（1）求证：方程一定有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），若y是关于a的函数，且y=，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，利用函数图象，求关于a的方程y+a+1=0的解．考点五、用一元二次方程解实际问题【例5】汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加．据统计，2014年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2016年，该品牌汽车的年产量达到10万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2014年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2016年的年产量为多少万辆？方法总结此题是一道典型的增长率问题，主要考查列一元二次方程解应用题的一般步骤．解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程．最后还要注意求出的未知数的值是否符合实际意义，不符合的要舍去．举一反三受房贷收紧、对政策预期不确定等因素影响，今年前两个月，全国商品住宅市场销售出现销售量和销售价齐跌态势，数据显示，2016年前两个月，某房地产开发公司的销售面积一共8300平方米，其中2月份比1月份少销售300平方米．（1）求2016年1、2月份各销售了多少平方米；（2）该公司2月份每平方米的售价为8000元，3月份开始，决定以降价促销的方式应对当前的形势，据调查，与2月份相比较，每平方米销售单价下调a%，则销售面积将增加（a+10）%，结果3月份总销售额为3456万元，求a的值．一、选择题1．关于x的方程的根的情况描述正确的是（）A.k为任何实数，方程都没有实数根B.k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C.k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D.根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种2．关于x的方程（p，q是正整数）,若它的正根小于或等于4，则正根是整数的概率是（）A．B．C．D．3．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的三倍，则称这样的方程为"3倍根方程"，以下说法不正确的是（）A．方程x2﹣4x+3=0是3倍根方程B．若关于x的方程（x﹣3）（mx+n）=0是3倍根方程，则m+n=0C．若m+n=0且m≠0，则关于x的方程（x﹣3）（mx+n）=0是3倍根方程D．若3m+n=0且m≠0，则关于x的方程x2+（m﹣n）x﹣mn=0是3倍根方程4．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值是（）A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1二、填空题1．将关于的一元二次方程变形为，就可将表示为关于x的一次多项式，从而达到"降次"的目的，我们称这样的方法为"降次法".已知，可用"降次法"求得值是.2．(2014下城区一模，14)已知等腰三角形的一腰为，周长为，则方程的根为.3.(2013上城区一模，13)已知是一元二次方程的一个解，且，则的值为．三、解答题1．已知方程x2﹣4x+3=0：，解决以下问题：(1)不解方程判断此方程的根的情况；(2)请按要求分别解这个方程：①配方法；②因式分解法.(3)这些方法都是将解转化为解；(4)尝试解方程：x3﹣x=02．把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t（秒）时该足球距离地面的高度h（米）适用公式h=20t﹣5t2（0≤t≤4）．（1）当t=3时，求足球距离地面的高度；（2）当足球距离地面的高度为10米时，求t；（3）若存在实数t1，t2（t1≠t2）当t=t1或t2时，足球距离地面的高度都为m（米），求m的取值范围．1．设a、b是方程x2+x﹣2018=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．20172．已知m、n是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，且（2m2﹣6m+a）（3n2﹣9n﹣5）=10，则a的值为（）A．7 B．﹣7 C．3 D．﹣33．已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则=．4．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．5．如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建一条长方形道路LMPQ及一条平行四边形道路RSTK，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若LM=RS=x米，则根据题意可列出方程为．6．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为"凤凰"方程．已知x2+mx+n=0是"凤凰"方程，且有两个相等的实数根，则mn=．7．选择适当方法解下列方程：（1）x2﹣5x+1=0（用配方法）；（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）；（3）2x2﹣2x﹣5=0（公式法）；（4）（y+2）2=（3y﹣1）2．8．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为"友好方程"．如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+5m=mx+5与x2+x+m﹣1=0互为"友好方程"，求m的值．9．阅读下列材料：（1）关于x的方程x2﹣3x+1=0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，（2）a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）．根据以上材料，解答下列问题：（1）x2﹣4x+1=0（x≠0），则=，=，=；（2）2x2﹣7x+2=0（x≠0），求的值．10.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．11.已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0．（1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根．（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．12.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．13.阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：（1﹣﹣﹣）×（+++）﹣（1﹣﹣﹣﹣）×（++）．令++=t，则原式=（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t=t+﹣t2﹣t﹣t+t2=问题：（1）计算（1﹣﹣﹣﹣…﹣）×（++++…++）﹣（1﹣﹣﹣﹣﹣…﹣﹣）×（+++…+）；（2）解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7．答案【例1】C举一反三C【例2】解：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7，4x2﹣4x+1=3x2+2x﹣7，x2﹣6x=﹣8，（x﹣3）2=1，x﹣3=±1，x1=2，x2=4举一反三1.解：（x2+4）（x2+1）=2x（4+x2），两边同时除以x2+4得：x2+1=2x，整理得：x2﹣2x+1=0，（x﹣1）2=0，∴x1=x2=12.解：令，则等价于解方程组，解得或．继而解得或．经检验它们都是原方程组的解．3.解：由①得2x=﹣y﹣2，两边平方得：4x2=5y2+20y+20③，把③代入②，整理得7y2+10y﹣8=0，解得：y1=﹣2或y2=，代入②得x1=0或x2=﹣，故原方程组的解为或4.解：整理方程得（a2﹣a）x2﹣（2a2﹣1）x+（a2+a）=0．（1）当a2﹣a≠0，即a≠0，1时，原方程为一元二次方程，[ax﹣（a+1）][（a﹣1）x﹣a]=0，x1=，x2=；（2）当a2﹣a=0时，原方程为一元一次方程，当a=0时，x=0；当a=1时，x=2【例3】D举一反三1.k≥﹣6解：当k=0时，﹣4x﹣=0，解得x=﹣，当k≠0时，方程kx2﹣4x﹣=0是一元二次方程，根据题意可得：△=16﹣4k×（﹣）≥0，解得k≥﹣6，k≠0，综上k≥﹣6，故答案为k≥﹣6．2.解：（1）由x2﹣2x+a（x+a）=0得，x2+（a﹣2）x+a2=0△=（a﹣2）2﹣4××a2=﹣4a+4∵方程有两个实数根，∴﹣4a+4≥0．∴a≤1∵a≥0∴0≤a≤1∴y=x1+x2+=﹣4a+8+a=﹣3a+8∵﹣3≤0，∴y随a的增大而减小当a=0时，y=8；a=1时，y=5∴5≤y≤8．（2）由（1）得a≤1，又a≤﹣2，∴a≤﹣2∴y=x1+x2+=﹣4a+8﹣a=﹣5a+8当a=﹣2时，y=18；∵﹣3≤0∴y随a的增大而减小．∴当a≤﹣2时，y≥18又∵﹣a2+6a﹣4=﹣（a﹣3）2+5≤5而18＞5∴当a≤﹣2时，y＞﹣a2+6a﹣4【例4】解：(1)依题意，得b2－4ac≥0，即[－2(k－1)]2－4k2≥0，解得k≤12.(2)依题意，可知x1＋x2＝2(k－1)．由(1)可知k≤12，∴2(k－1)＜0，即x1＋x2＜0.∴－2(k－1)＝k2－1，解得k1＝1，k2＝－3.∵k≤12，∴k＝－3.举一反三1.8解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，∴mn=﹣5，m+n=﹣2，∵m2+2m﹣5=0∴m2=5﹣2mm2﹣mn+3m+n=（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n=10+m+n=10﹣2=82.A3.解：（1）△=（a﹣4）2+4（a﹣3）=a2﹣4a+4=（a﹣2）2∵a＜0，∴（a﹣2）2＞0．∴方程一定有两个不相等的实数根；（2），∴x=a﹣3或．∵a＜0，x1＜x2，∴x1=a﹣3，x2=﹣1，∴（a＜0）；（3）如图，在同一平面直角坐标系中分别画出（a＜0）和y=﹣a﹣1（a＜0）的图象．由图象可得当a＜0时，方程y+a+1=0的解是a=﹣2．【例5】解：设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x，由题意，得6.4(1＋x)2＝10，解得x1＝0.25，x2＝－2.25.∵x2＝－2.25＜0，故舍去，∴x＝0.25＝25%.10×(1＋25%)＝12.5.答：2016年的年产量为12.5万辆．举一反三解：（1）设1月份的销售面积为xm2，则x+（x﹣300）=8300，解得：x=4300，∴x﹣300=4000m2，答：2016年度月销售4300m2，2月份销售4000m2．（2）由题意可得：8000（1﹣a%）×4000[1+（a+10）%]=34560000令t=a%，则整理为：50t2+5t﹣1=0，解得：t=0.1或t=﹣0.2故a=10或a=﹣20（不符合题意，舍去）答：a的值为10．一、选择题1．B2．A3．B4．D二、填空题1．20162．3.5三、解答题1．解：(1)，有两个不相等的实数根(2)①配方法：;② 因式分解法：(3)一个一元二次方程，两个一元一次方程(4)2．解：（1）当t=3时，h=20t﹣5t2=20×3﹣5×9=15（米），∴当t=3时，足球距离地面的高度为15米；（2）∵h=10，∴20t﹣5t2=10，即t2﹣4t+2=0，解得：t=2+或t=2﹣，故经过2+或2﹣时，足球距离地面的高度为10米；（3）∵m≥0，由题意得t1，t2是方程20t﹣5t2=m的两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac=202﹣20m＞0，∴m＜20，故m的取值范围是0≤m＜20．1． D解：∵a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，∴a+b=﹣1；又∵a2+a﹣2014=0，∴a2+a=2014，∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2018+（﹣1）=2017即a2+2a+b的值为2017．2．B解：∵m、n是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，∴代入方程可以分别得到m2﹣3m﹣1=0，n2﹣3n﹣1=0，∴m2﹣3m=1，n2﹣3n=1，∴2m2﹣6m=2，3n2﹣9n=3，而（2m2﹣6m+a）（3n2﹣9n﹣5）=10，∴（2+a）（3﹣5）=10，∴a=﹣7．3．﹣解：∵m≠n时，则m，n是方程3x2+6x﹣5=0的两个不相等的根，∴m+n=﹣2，mn=﹣．∴原式====﹣，4．k＜且k≠05．（22﹣x）（17﹣x）=3006．﹣2解：∵x2+mx+n=0是"凤凰"方程，∴1+m+n=0，即n=﹣m﹣1．又∵方程x2+mx+n=0有两个相等的实数根，∴△=m2﹣4n=0，将n=﹣m﹣1代入，得m2﹣4（﹣m﹣1）=0，解得m=﹣2，∴n=1，∴mn=﹣2×1=﹣2．故答案为﹣2．7．解：（1）x2﹣5x=﹣1，x2﹣5x+（）2=﹣1+（）2，（x﹣）2=，x﹣=±，所以x1=，x2=；（2）3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0，所以x1=2，x2=3；（3）△=（﹣2）2﹣4×2×（﹣5）=48x===，所以x1=，x2=；（4）（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，（y+2+3y﹣1）（y+2﹣3y+1）=0，y+2+3y﹣1=0或y+2﹣3y+1=0，所以y1=﹣，y2=．8．解：x2﹣4x+5m=mx+5，整理得，x2﹣（4+m）x+5（m﹣1）=0，分解因式得，（x﹣5）[x﹣（m﹣1）]=0，解得x1=5，x2=m﹣1．当x=5时，25+5+m﹣1=0，解得m=﹣24﹣5；当x=m﹣1时，（m﹣1）2+（m﹣1）+m﹣1=0，解得m=1或m=﹣．所以m的值为﹣24﹣5或1或﹣．9．解；（1）∵x2﹣4x+1=0，∴x+=4，∴（x+）2=16，∴x2+2+=16，∴x2+=14，∴（x2+）2=196，∴x4++2=196，∴x4+=194．故答案为4，14，194．（2）∵2x2﹣7x+2=0，∴x+=，x2+=，∴=（x+）（x2﹣1+）=×（﹣1）=．10.解：（1）根据题意得△=4（m+1）2﹣4（m2+5）≥0，解得m≥2，x1+x2=2（m+1），x1x2=m2+5，∵（x1﹣1）（x2﹣1）=28，即x1x2﹣（x1+x2）+1=28，∴m2+5﹣2（m+1）+1=28，整理得m2﹣2m﹣24=0，解得m1=6，m2=﹣4，而m≥2，∴m的值为6；（2）若x1=7时，把x=7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+5=0，整理得m2﹣14m+40=0，解得m1=10，m2=4，当m=10时，x1+x2=2（m+1）=22，解得x2=15，而7+7＜15，故舍去；当m=4时，x1+x2=2（m+1）=10，解得x2=3，则三角形周长为3+7+7=17；若x1=x2，则m=2，方程化为x2﹣6x+9=0，解得x1=x2=3，则3+3＜7，故舍去，所以这个三角形的周长为17．11.（1）证明：△=（k+3）2﹣4×3k=（k﹣3）2≥0，故不论k取何实数，该方程总有实数根；（2）解：当△ABC的底边长为2时，方程有两个相等的实数根，则（k﹣3）2=0，解得k=3，方程为x2﹣6x+9=0，解得x1=x2=3，故△ABC的周长为：2+3+3=8；当△ABC的一腰长为2时，方程有一根为2，方程为x2﹣5x+6=0，解得，x1=2，x2=3，故△ABC的周长为：2+2+3=7．12.解：（1）△ABC是等腰三角形；理由：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，∴x2+x=0，解得：x1=0，x2=﹣1．13.解：（1）设++…+=t，则原式=（1﹣t）×（t+）﹣（1﹣t﹣）×t=t+﹣t2﹣t﹣t+t2+t=；（2）设x2+5x+1=t，则原方程化为：t（t+6）=7，t2+6t﹣7=0，解得：t=﹣7或1，当t=1时，x2+5x+1=1，x2+5x=0，x（x+5）=0，x=0，x+5=0，x1=0，x2=﹣5；当t=﹣7时，x2+5x+1=﹣7，x2+5x+8=0，b2﹣4ac=52﹣4×1×8＜0，此时方程无解；即原方程的解为：x1=0，x2=﹣5．