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免费2017人教版中考数学《第八讲三角形（一）》复习教案+检测中考数学试题汇编分析网第八讲三角形（一）葛余常8.1三角形的线段与角基础盘点1．不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做.2．（1）从三角形的向它的作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线.（2）连接三角形的与对边的线段，叫做三角形的中线.（3）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，与之间的线段,叫做三角形的角平分线.注意：三角形的角平分线是线段，一个角的角平分线是射线.3．三角形的两边之和第三边，两边之差第三边.4．三角形的内角和是；三角形的一个外角大于，三角形的一个外角等于.考点呈现考点1三角形的高例1（2015o广安）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）        ABCD解析：根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．只有D符合题意，故选D．评注：本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在三角形外.考点2三角形三边关系例2（2015o青海）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（） A．5 B． 6 C． 12 D． 16解析：设第三边的长为x，因为三角形两边的长分别是4和10，所以10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14．故选C．评注：三条线段能否构成一个三角形，关键在于判定它们是否符合三角形三边的不等关系，符合即可构成一个三角形，否则就不能构成一个三角形.考点3三角形的外角例3（2015·柳州）图1中∠1的大小等于（） A．40° B． 50° C． 60° D． 70°图1解析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算，得∠1=130°﹣60°=70°．故选D．评注：本题考查了"三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和"的性质，理解"与它不相邻的内角"是解题的关键．考点4三角形的内角和例4（2015o绵阳）如图2，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（） A． 118° B． 119° C． 120° D． 121°图2解析：因为∠A=60°，所以∠ABC+∠ACB=120°.因为BE，CD是∠B,∠C的平分线，所以∠CBE=∠ABC，∠BCD=.所以∠CBE+∠BCD=（∠ABC+∠BCA）=60°，所以∠BFC=180°﹣60°=120°.故选C．评注:本题主要考查了三角形内角和定理和角平分线的定义，综合运用三角形内角和定理和角平分线的定义是解答此题的关键．误区点拨1.对三角形的重要线段的认识有误例1下列说法正确的是（）A.三角形的角平分线是射线B.三角形的高是一条垂线C.三角形的三条中线相交于一点D.三角形的中线、角平分线和高都在三角形内错解：A或B或D剖析：选A是混淆了一个角的平分线与三角形角平分线的本质区别：角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段；选B是对三角形的高的定义理解有误，三角形的高是从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫三角形的高，因此三角形的高也是线段；三角形的中线、角平分线以及锐角三角形的三条高都在三角形内部，但钝角三角形有两条高在三角形的外部，故选D也是错误的.只有C选项是正确的.2.运用三角形三边关系时出错例2（2015·大连）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A.1,2,3B.,1，，3C.3,4,8D.4,5，6错解：A或B或C剖析：利用三角形三边关系来判断所给的线段能否构成三角形时，只需求出三角形较小两边的和，如果这两边的和大于第三边，即可保证三角形任何两边的和大于第三边.选项A中1+2=3，选项B中1+＜3；选项C中3+4＜8，所以A，B,C都不能构成三角形，应选D.跟踪训练1（2015o朝阳）一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为．2（2015o山西）如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角尺ABC（∠A=60°）按如图所示放置．若∠1=55°，则∠2的度数为（）A．105° B．110° C．115° D． 120° 第1题图3.（2015o滨州）在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则∠C等于()A.45°   B.60°   C.75°  D.90°4.（2015o河北）如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC=50°，则∠ACD=（）A．120°B．130°C．140°D．150°第4题图第5题图5.（2015·常德）如图，在△ABC中，∠B＝40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝度.8.2全等三角形基础盘点1.的三角形叫做全等三角形2.全等三角形的性质：（1）全等三角形相等；（2）全等三角形相等；3.全等三角形的判定方法：（1）三相等的两个三角形全等；（2）两角和对应相等的两个三角形全等；（3）两角和相等的两个三角形全等；（4）两边和相等的两个三角形全等；（5）斜边和相等的两个直角三角形全等.4.角平分线上的点到角两边的距离.5.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离．考点呈现考点1全等三角形的性质例1（2015·柳州）如图1，△ABC≌△DEF，则EF=．图1解析：因为△ABC≌△DEF，所以BC=EF，则EF=5．评注：按照全等三角形的对应顶点中字母的出现位置来确定对应元素，在相应位置上出现的字母所表示的元素必为对应元素.这种方法的使用前提是表示全等三角形时，所写的表达式中对应顶点的位置必须写得准确无误.此题主要考查了全等三角形的性质，找出对应边是解题关键．考点2全等三角形的判定例2（2015o贵阳）如图2，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（）A．∠A=∠C B． ∠D=∠B C． AD∥BC D． DF∥BE 图2解析：当∠D=∠B时，在△ADF和△CBE中因为，所以△ADF≌△CBE（SAS）.故选B．评注：添加使两个三角形全等的条件，基本方法是先结合图形挖掘隐含条件（如公共边、公共角、对顶角等），然后根据全等三角形的判定方法去补充适当的条件．考点3角平分线的性质例3（2015o茂名）如图3，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（）A．6B．5C．4D．3解析：过点P作PE⊥OB于点E，如图3.根据"角平分线上的点到角的两边的距离相等"可得PE=PD.因为PD=6，所以PE=6，即点P到OB的距离是6．故选A．图3评注：应用角平分线的性质及其判定时，一定要具备两个垂直距离（即点到直线的距离），证明过程中要直接运用这两个定理，而不要去寻找全等三角形．误区点拨1.混淆全等三角形的对应元素例1如图4所示，△ABD≌△CAE，∠BAD=∠ACE，∠D=∠E.请写出全等三角形的其他对应元素.图4错解：对应角∠B和∠CAE，对应边BD和CE，AD和AE，AB和AC.剖析：全等三角形的对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角.因此，对应边应该是BD与AE，AD与CE，AB与CA.注意，记两个全等三角形时，对应的顶点字母写在对应的位置上，由字母顺序去找对应元素就不会出错.2.误将"SSA"当成"SAS"来证题例2如图5，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，试说明∠BAE=∠CAE．图5错解：在△AEB和△AEC中，所以△AEB≌△AEC．所以∠BAE=∠CAE．剖析：本题错在说明两个三角形全等时用了"边边角"的条件来判定，这是不正确的．因为有两条边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．正解：因为BE=CE，所以∠EBC=∠ECB．又因为∠ABE=∠ACE，所以∠ABC=∠ACB，AB=AC．在△AEB和△AEC中，所以△AEB≌△AEC．所以∠BAE=∠CAE．跟踪训练1.（2015o海南）如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．AB=DC，AC=DBB．AB=DC，∠ABC=∠DCBC．BO=CO，∠A=∠DD．AB=DC，∠A=∠D第1题图第2题图2．(2015o南昌)如图，OP平分∠MON,PE⊥OM于E,PF⊥ON于F,OA=OB,则图中有对全等三角形3.(2015·义乌)如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线.此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是A.SASB.ASAC.AASD.SSS第3题图第4题图4.（2015o宜昌）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（） A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个8.3等腰三角形基础盘点1.有的三角形叫做等腰三角形.2.（1）等腰三角形是对称图形，其对称轴是；（2）等腰三角形的两个相等（简写成"等边对等角"），等腰三角形的、和互相重合（简称"三线合一"）.3.等边三角形是的三角形，也叫正三角形，它是对称图形，有条对称轴.4.（1）的三角形是等腰三角形（简写成"等角对等边"）；（2）的三角形是等边三角形；（3）有一个角是的等腰三角形是等边三角形.考点呈现考点1等腰三角形的边长确定例1（2015o衡阳）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．11B．16C．17D．16或17解析：①6是腰长时，三角形的三边长分别为6，6，5，利用三角形的三边关系判断可知其能组成三角形，则周长=6+6+5=17；②6是底边时，三角形的三边长分别为6，5，5，利用三角形的三边关系判断可知其能组成三角形，则周长=6+5+5=16．综上所述，三角形的周长为16或17．故选D．评注：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确底和腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.考点2等腰三角形的性质例2（2015o湘西州）如图1，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（）A．36° B． 60° C． 72° D． 108° 图1解析：因为∠A=36°，AB=AC，所以∠ABC=∠C=72°，因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=36°，所以∠1=∠A+∠ABD=72°，故选：C．评注：本题考查的是三角形的外角的性质和等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．考点3等腰三角形的"三线合一"例3(2015o苏州)如图2，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．60°解析：AB=AC，D为BC的中点，所以AD平分∠BAC，AD⊥BC.所以∠DAC=∠BAD=35°，∠ADC=90°.所以∠C=∠ADC-∠DAC=55°.故选C.此题方法不唯一评注：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边的中线互相重合，称"三线合一"．"三线合一"是说明两角相等、两线段相等及两线垂直的重要依据，一定要注意它适用的范围和结论成立的条件.考点4等腰三角形的判定例4（2015o泸州）在平面直角坐标系中，点A，B，动点C在轴上，若以A，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为A.2B.3C.4D.5解析：如图3，首先根据线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等，求出AB的中垂线与x轴的交点，即可求出点C1；然后再求出AB的长为16，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴的交点为点C2，C3；最后判断出以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴没有交点，据此判断出点C的个数为3个.故选B．评注：本题是在坐标系中进行图形操作，考查等腰三角形的分类思想.同学们解答此类问题时，要按AB为底边和腰分类思考，同时不要遗漏.图3误区点拨1.考虑问题不全面例1（2015o宿迁）若等腰三角形中的两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（） A．9 B． 12 C． 7或9 D． 9或12错解：当腰长为2，底为5时，周长为2×2+5=9；当腰长为5，底为2时，周长为5×2+2=12，故选D.剖析：由三角形三边之间的关系可知，当腰长为2，底为5时，不能构成三角形，而边长为5cm的边只可以作腰，不可以作底，因此周长只能为12.本题应分两种情况来考虑求解是正确的，但要注意构成三角形的条件.2.忽视分类思想的应用例2（2015o西宁）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是．错解：如图4，由BD⊥AC，∠ABD=20°，得到顶角∠BAC=70°；图4图5剖析：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是锐角时，同错解；当等腰三角形的顶角是钝角时，如图5，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°.故答案为110°或70°.跟踪训练1.(2015·陕西)如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（） A．2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个第1题图第2题图第3题图第4题图2.（2015o遂宁）如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（） A．1cm B． 2cm C． 3cm D． 4cm3.（2015o黄石）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（） A．36° B． 54° C． 18° D． 64°4.（2015o通辽）如图，在一张长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为 参考答案8.1三角形的线段与角1.82.C3.C4.C5.70解析：因为∠B=40°，所以由三角形内角和定理，得∠BAC+∠ACB=180°-40°=140°.所以∠DAC+∠FCA=180°-∠BAC+180°-∠BCA=360°-140=220°.所以∠EAC+∠ECA=(∠DAC+∠FCA)=110°.所以由三角形内角和定理，得∠AEC=70°.8.2全等三角形1.D2.33.D4.C8.3等腰三角形1.D2.C3.B4.8或2或2解析：如图分三种情况：①中剪下的等腰三角形的面积为×4×4=8；②中剪下等腰三角形的面积为×4×=2；③中剪下等腰三角形的面积为×4×=2.①②③第4题图三角形（一）综合测试题葛余常(时间：满分：120分)（班级：姓名：得分：）一、选择题（每题3分，共30分）1.有下列长度的三条线段,能组成三角形的是()A.,,B.,,C.,,D.,,2.在中,,则此三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形3.等腰三角形的周长为26㎝，一边长为6㎝，那么腰长为（）Ａ．6㎝  Ｂ．10㎝ Ｃ．6㎝或10㎝Ｄ．14㎝ 4.若三角形一边的中线和这边上的高重合，则这个三角形是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90，AB＝AC，∠BAD＝30，AD＝AE，则∠EDC的度数为（）A．10   B．12   C．15   D．206．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50，则这个等腰三角形的底角是（）A．70   B．20   C．70或20 D．40或1407.如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能是（） A．AE=CF B． BE=DF C． BF=DE D． ∠1=∠2第7题图第8题图8.将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连接D1B，则∠E1D1B的度数为（）A．10° B． 20° C． 7.5° D． 15°9.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（） A．（﹣，1） B． （﹣1，） C． （，1） D.（﹣，﹣1）10.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（） A．4个 B． 3个 C．2个 D．1个二、填空题（每题4分，共32分）11.若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为cm．12.在中，若，则是______三角形．13.在中，若BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的两条角平分线，∠A=100°，则∠BOC的度数为．14.如图，l∥m，等边三角形ABC的顶点A在直线l上，则∠α=°.第14题图15.如图，△ABC中，AB=5，AC=3，AD是角平分线，过点C作CG⊥AD交AB于G，则线段BG的长为.16.如图，在△ABC中，∠C＝90?，∠B＝22.5?，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若CE＝3，则BE的长是.17.如图,在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，DE三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下三个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°，其中正确的.第17题图第18题图18.如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则∠DCE的大小为.三、解答题（共58分）19.（10分）已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为9cm和15cm两部分，求这个等腰三角形的底边长和腰长．20.（12分）如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的长．21.（12分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=OC．（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．22.（12分）如图，∠ABC=90°，D，E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB的延长线相交于点M．（1）求证：∠FMC=∠FCM；（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．23.（12分）如图①，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．（1）连接BE，CD，求证：BE=CD；（2）如图②，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．i当旋转角为度时，边AD′落在AE上；ii在i的情形下，延长DD'交CE于点P，连接BD′，CD′．当线段AB，AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．①②第23题图三角形（一）综合测试题参考答案一、1.C2.B3.B4.B5.C6.C7.A8.D解析：由题意易得，AB⊥CD1，∠BD1C=45°.又∠E1D1C=30°,所以∠E1D1C=45°-30°-15°.9.A10.A解析：因为BF∥AC,所以∠C=∠FBC.因为BC平分∠ABF,所以∠ABC=∠FBC,所以∠C=∠ABC.又因为AD平分∠CABF,所以DB=DC,AD⊥BC.易证△CDE≌△BDF，所以DE=DF,CE=BF.又AE=2BF，所以AC=3BF.综上，①②③④均正确，故选A.二、11.3512.直角13.14014.2015.216.317.①②③解析：证△ABD≌△ACE即可.18.45°解析：设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x＋y，∠BCE＝90°－∠ACE＝90°－x－y.因为AE＝AC，所以∠ACE＝∠AEC＝x＋y.因为BD＝BC，所以∠BDC＝∠BCD＝∠BCE＋∠DCE＝90°－x－y＋x＝90°－y.在△DCE中，因为∠DCE＋∠CDE＋∠DEC＝180°，所以x＋（90°－y）＋（x＋y）＝180°，解得x＝45°，即∠DCE＝45°.三、19.解：设等腰三角形的腰长为2b，底边长为a.①若解得此时腰长为6，底边长为12，6+6=12,构不成三角形，所以舍去.②若解得此时腰长为10，底边长为4，能构成三角形，所以符合题意.2b=10.综上，这个等腰三角形的底边长为4cm，腰长为10cm.20.（1）证明：因为AD⊥BC，∠BAD=45°，所以△ABD是等腰直角三角形.所以AD=BD.因为BE⊥AC，AD⊥BC，所以∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°.所以∠CAD=∠CBE.又∠ADC=∠BDF=90°，所以△ADC≌△BDF（ASA），所以AC=BF.因为AB=BC，BE⊥AC，所以AC=2AF，所以BF=2AE.（2）解：因为△ADC≌△BDF，所以CD=DF=.在Rt△CDF中，CF=.因为BE⊥AC，AE=EC，所以AF=CF=2.所以AD=AF+DF=2+．21.（1）①②；①③．（2）选①③证明如下：因为OB=OC，所以∠OBC=∠OCB.因为∠EBO=∠DCO，∠ABC=∠EBO+∠OBC，∠ACB=∠DCO+∠OCB，所以∠ABC=∠ACB.所以△ABC是等腰三角形．选择①②证明如下：△DFC≌△AFM（因为∠EBO=∠DCO，∠EOB=∠DOC,BE=CE,所以△OBE≌△OCD,所以OB=OC.所以∠OBC=∠OCB.因为∠ABC=∠EBO+∠OBC，∠ACB=∠DCO+∠OCB，所以∠ABC=∠ACB.所以△ABC是等腰三角形．22.（1）证明：因为△ADE是等腰直角三角形，F是AE的中点，所以DF⊥AE，DF=AF=EF.又因为∠ABC=90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，所以∠DCF=∠AMF.在△DFC和△AFM中，所以△DFC≌△AFM（AAS）.所以CF=MF，所以∠FMC=∠FCM.（2）AD⊥MC.理由：由（1）知，∠MFC=90°，FD=EF，FM=FC，所以∠FDE=∠FMC=45°.所以DE∥CM.又AD⊥DE，所以AD⊥MC．23.（1）证明：因为△ABD和△ACE都是等边三角形．所以AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°.所以∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠BAE=∠DAC.在△BAE和△DAC中，所以△BAE≌△DAC（SAS）.所以BE=CD.（2）解：①因为∠BAD=∠CAE=60°，所以∠DAE=180°﹣60°×2=60°.因为边AD′落在AE上，所以旋转角=∠DAE=60°.②当AC=2AB时，△BDD′与△CPD′全等．理由：由旋转可知，AB′与AD重合，所以AB=BD=DD′=AD′.所以四边形ABDD′是菱形.所以∠ABD′=∠DBD′=∠ABD=×60°=30°，DP∥BC.因为△ACE是等边三角形，所以AC=AE，∠ACE=60°.因为AC=2AB，所以AE=2AD′.所以∠PCD′=∠ACD′=∠ACE=×60°=30°.又因为DP∥BC，所以∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PCD′=∠PD′C=30°.在△BDD′与△CPD′中，所以△BDD′≌△CPD′（ASA）．