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免费2017人教版中考数学《第九讲三角形（二）》复习教案+检测中考数学试题汇编分析网第九讲三角形（二）胡艳华9．1直角三角形基础盘点1．有一个内角_____的三角形是直角三角形，直角三角形两锐角______．2．在直角三角形中，30°角对的直角边等于斜边的_______．3．直角三角形斜边上的中线等于________．4．勾股定理：如果直角三角形两条直角边为a和b，斜边为c，则__________，即，直角三角形_________平方和等于_________.5．如果三角形三边a、b、c满足_________，那么这个三角形是直角三角形．考点呈现考点1直角三角形两锐角互余例1（2015·常州）如图1，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B＝40°，则∠ECD的度数是()A.70°B.60°C.50°D.40°解析：由题意知，△ABC是直角三角形，且∠B＝40°，所以∠A=90°-40°＝50°，再根据"两直线平行，同位相等"可得∠ECD＝∠A=50°.故选C．评注："直角三角形两锐角互余"揭示了直角三角形两锐角的关系，多与平行线的性质结合求角的度数．考点2含30°角的直角三角形的性质例2（2015·青岛）如图2，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC等于()A.B.2C.3D.+2解析：在Rt△BDE中，根据"直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半"，可求得BD=2BE=2，再根据角平分线性质定理，求得CD=ED=1，所以BC=CD+BD=3.故选C．评注：含30°角直角三角形的性质通常用于求三角形的边和角，也是证明线段倍分问题的重要依据．考点3直角三角形斜边上的中线例3（2015·宿迁）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD=5，则EF的长为______．解析：根据"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"可求得AB=2BC=10，再根据三角形中位线定理，可得EF==5，故EF=5．评注：若题目的条件中给出直角三角形斜边上的中线，通常利用直角三角形的性质求得斜边长，从而为问题的进一步解决提供必要的条件．考点4勾股定理例4（2015·西宁）如图4，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为_____．解析：先根据线段垂直平分线的性质得出CD=AD，故AB=BD+AD=BD+CD，设CD=x，则BD=4﹣x，在Rt△BCD中，根据勾股定理可得,即x2=32+（4﹣x）2，解得x=，即CD=.评注：在运用勾股定理解决一些问题时，常需要与方程相结合．运用方程思想，能使思路开阔，方法简便．考点5勾股定理的逆定理例5（2015·桂林）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A.30，40，50B.7，12，13C.5，9，12（Ｄ）3，4，6解析：在A选项中，302+402=502，所以这三条线段能组成三角形，故选A.评注：在利用勾股定理的逆定理判断三条线段能否构成直角三角形时，只要看较小两边的平方和是否等于最长边的平方即可．误区点拨1．受思维定式影响，认为c边一定是斜边例1在△ABC中，∠A，∠B,∠C的对边分别是a,b,c，若，则有（）A.∠A为直角B.∠B为直角C.∠C为直角D.不是直角三角形错解：C剖析：错解受定式影响，认为∠C为直角，事实上，已知条件可转化为，所以∠A为直角.故正确答案为A.评注：勾股定理为了表述方便，通常设∠C为直角，具体解题时，应根据题目中给出的条件确定直角．2．忽视分类讨论致错例2一直角三角形两边长分别是3和4，则第三边长为（）A.5B.C.D.5或错解：A剖析：条件中并没有指出已知的两边是直角边，所以应利用分类讨论的思想：当3和4是直角边时，第三边长为5；当3和4中有一边为斜边时，第三边长为，故应选D．评注：在解涉及直角三角形边的问题，而题目中没有给出图形的情况下，要有分类讨论的意识，以免造成漏解．跟踪训练1．（2015·毕节）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A.，，B.1，，C.6，7，8D.2，3，42．（2015o宜昌）如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1=50°，则∠2的度数是（）A.60°B.50°C.40°D.30°3．（2015·大连）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为（）A.－1B.+1C.－1D.+14.（2015o枣庄）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于______．5.（2014·苏州）如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF=4．设AB=x，AD=y，则的值为____．6.（2015·遵义）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅"弦图"，后人称其为"赵爽弦图"（如图（1）），图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3=____．7.如图，在Rt△ABC中，∠C=30°，以直角顶点A为圆心，AB长为半径画弧交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E．若DE=a，则△ABC的周长用含a的代数式表示为．8.（2015·湘潭）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．9．2解直角三角形基础盘点1.在△ABC中，∠C=90?，三个内角对边分别为a，b，c，则有___；___；_____.2.特殊角的三角函数值.三角函数 30° 45° 60°      3.视线与水平线方向的夹角中，视线在水平线_________的角叫做仰角，视线在水平线________的角叫做俯角.4.如图，把________与________的夹角叫做坡角（如图中的∠）.坡面的_________与______的比叫做坡度（也叫坡比），用字母表示为i=____=_____．考点呈现考点1锐角三角函数例1（2015o丽水）如图1，点A为∠边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cos的值，错误的是（）A.B.C.D.解析：在Rt△ABC中，cos=；在Rt△DBC中，cos=；易得∠ACD=，在Rt△ACD中，cos∠ACD=cos=，故错误的应选C．评注：本题考查了锐角余弦的意义，难度不大，关键是弄清各个三角函数与直角三角形三边的关系．考点2特殊角三角函数值例2(2015o平凉)已知α，β均为锐角，且满足|sinα－|＋＝0，则α＋β＝______．解析：因为条件中给出了两个非负数的和等于零，所以每一个非负数都等于零，即|sinα－|=0，且=0，由此可得sin=，tan=1，故=30°，=45°，所以α＋β＝75°．评注：本题考查了由特殊角的三角函数值，求角的度数，熟记特殊角的三角函数值，是解答本题的关键；同时本题也考查了"几个非负数之和为零，则每个非负数都等于零"这一性质．考点3解直角三角形例3（2015o襄阳）如图2，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：⑴BC的长；⑵sin∠ADC的值．分析：⑴本题条件中给出了一些角的三角函数值，做可考虑作辅助线，构造直角三角形求解，过点A作AE⊥BC于点E，即可将△ABC分成两个直角三角形，并将题目中的条件充分利用起来；⑵根据AD是△ABC的中线，求出BD的长，得到DE的长，从而求得sin∠ADC的值．解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，∵cosC=，∴∠C=45°.在Rt△ACE中，CE=ACocosC=1.∴AE=CE=1.在Rt△ABE中，tanB=，即=，∴BE=3AE=3，∴BC=BE+CE=4.∵AD是△ABC的中线，∴CD=BC=2.∴DE=CD﹣CE=1.∵AE⊥CD，∴∠ADC=45°.∴sin∠ADC=．评注：在利用解直角三角形的知识解决斜三角形的问题时，通常需要作辅助线，构造直角三角形，从而将问题解决．考点4解直角三角形的应用例4（2015o黔南州）如图3是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i=：3．若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）分析：先根据题目中给出的条件，求出AB的长，在Rt△BCD中，根据新的坡面坡度的意义，求出DB的长，由AD=DB﹣AB，求出AD的长，由AD+3与10比较即可得到结果．解：需要拆除.理由如下：∵CB⊥AB，∠CAB=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB=BC=10米.∵新坡面DC的坡度为，即，解得DB=10，∴AD=BD﹣AB=（10﹣10）米≈7.32米.∵3+7.32=10.32＞10，∴需要拆除．评注：本题考查坡度坡角问题，掌握它们的概念及之间的关系是解题的关键.．例5（2015o昆明）如图4，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝15m，CD＝20m，AB和CD之间有一观景池，小南在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°（点B、E、D在同一直线上），求两幢建筑物之间的距离BD（结果精确到0.1m，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）.分析：在Rt△ABE中，根据正切可求得BE，在Rt△DEC中，根据等腰直角三角形的性质求得ED，然后根据BD=BE+ED求解即可．解：由题意,得∠AEB=42°，∠DEC=45°.∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴在RT△ABE中，∠ABE=90°，AB=15，∠AEB=42°.∵tan∠AEB=,∴BE=≈15÷0.90=.在Rt△DEC中，∠CDE=90°，∠DEC=∠DCE=45°，CD=20，∴ED=CD=20，∴BD=BE+ED=+20≈36.7．答：两幢建筑物之间的距离BD约为36.7m．评注：本题主要考查了利用俯角解直角三角形．在利用解直角三角形的知识解决实际问题时，要借助俯角、仰角构造直角三角形．误区点拨1．题中无图漏解致错例1（2015o牡丹江）在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为()A.17B.8C.8或17D.7或17错解：A剖析：由于题目中没有给出图形，所以在解题时只画出图甲，利用解直角三角形的知识和勾股定理，可得BD=12，CD=5，所以BC=BD+CD=17，这便漏下了△ABC为钝角三角形这一情况，正解应分图6和图7两种情况，在图7中，BC=BD-CD=7.故应选D．2．混淆概念致错例2河堤横断面如图8所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（）A.12B.4米C.5米D.6米错解：D．剖析：坡比指的是斜坡的垂直高度比上水平宽度，即图中的BC与AC之比，即等于坡角的正切，本题错在将坡比误认为等于坡角的正弦．应先根据坡比的意义，求出坡角为30°，进而求得AB=12米，应选A．跟踪训练1．（2015o崇左）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则下列三角函数表示正确的是()A.sinA＝B.cosA＝C.tanA＝D.tanB＝2.（2015o庆阳）在△ABC中，若角A，B满足|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的大小是（） A．45° B． 60° C． 75° D． 105°3．（2015o日照）如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值为（）A.B.C.D.4．(2015o广州)如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE，若BE＝9，BC＝12，则cosC＝．5．（2015大连）如图，从一个建筑物的A处测得对面楼BC的顶部B的仰角为32°，底部C的俯角为45°，观测点与楼的水平距离AD为31m，则楼BC的高度约为_______m（结果取整数）．（参考数据：sin32°≈0.5，cos32°≈0.8，tan32°≈0.6）6．（2015o娄底）"为了安全，请勿超速"．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）7．（2015o广元）某学校体育看台的侧面如图中阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶，已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长度均为0.8米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的低端分别为D、C），且∠DAB=66.5°（cos66.5°≈0.4）．（1）求点D与点C的高度差DH；（2）求所用不锈钢材料的总长度l（即AD+AB+BC的长）．参考答案9．1直角三角形1．B2．C3．D4．85．166．127．6+8．解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=10．由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°．所以BE=AB﹣AE=10﹣6=4.在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE2+BE2=BD2，即CD2+42=（8﹣CD）2，解得CD=3.在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，即32+62=AD2，解得AD=．9．2解直角三角形1．A2．D3．D4．5．506．解：此车没有超速．理由：如图，过C作CH⊥MN.因为∠CBN=60°，BC=200，所以CH=BCosin60°=200×=100，BH=BCocos60°=100.因为∠CAN=45°，所以AH=CH=100，所以AB=100﹣100≈73.因为60千米/时=米/秒，所以=14.6（m/s）＜≈16.7（m/s），所以此车没有超速．7．（1）DH=1.6×=1.2米.（2）如图，连接CD．因为AD∥BC，所以四边形ABCD为平行四边形．所以AB∥CD且AB=CD．所以∠HDC=∠DAB=66.5°.在Rt△HDC中，cos∠HDC=，所以CD==3．所以l=AD+AB+BC=0.8+3+0.8=4.6．所以所用不锈钢材料的长度约为4.6米．三角形（二）综合测试题李村（时间：_______满分：120分）（班级：_______姓名：_______得分：_______）一、选择题（每小题3分，共30分）1.一直角三角形的两条直角边分别为3和4，下列说法中不正确的是（）A.斜边长为5  B.三角形周长为12C.第三边长为25 D.三角形面积为62．如图，AB∥CD，AE交CD于C，∠A=34°，∠DEC=90°，则∠D的度数为（）A.17°B.34°C.56°D.124°3.计算sin245°+cos30°otan60°，其结果是（）A.2B.1C.D.4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于（）A.cmB.2cmC.3cmD.8cm6．如图，点F在正方形ABCD内，满足∠AFB=90°，AF=6，BF=8，则图中阴影部分面积为（）A.48B.60C.76D.807.等腰三角形底边长为10cm，周长为36cm，那么它的底角的余弦是（）A.B.C.D.8．如果一个三角形的一个内角是另一个内角的3倍，那么我们称这个三角形是"智慧三角形"，下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的是()A.1，2，3B.1，1，C.1，2，D.1，1，9．如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，AB=2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线的距离（即CD的长）为（）A.4kmB.（4﹣）kmC.2kmD.（2+）km10．小明去爬山，在山脚看山顶仰为30°，小明在坡比为5︰12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，则山高为（）A.（600﹣250)米B.（600﹣250）米C.（350+350）米D.500米二、填空题（每小题4分，共32分）11．已知为锐角，且，则=_______．12.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D为AB中点，则CD=______．13．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对的边分别为，，，其中，，小明得到下面4个结论：①；②；③；④∠B=30°，正确的结论是_______（填序号）.14．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，斜边AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，若BD=2，则AC的长为______.15．如图，△ABC中，∠A=30°，，AC=，则AB的长为______.16.某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的光线AB,AC与地面MN所夹的锐角分别为和，大灯A离地面的距离为1m则该车大灯照亮地面的宽度BC是米.（不考虑其他因素））（参考数据：sin8°≈，tan8°≈，sin10°≈tan10°≈）第16题图17．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，∠B＝90°，BC＝6米，AC=12米.当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE＝______米时，有DC＝AE＋BC.18.如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，20分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为_______米．三、解答题（共58分）19．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，CD=，BD=，求AB及∠B.20．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．21．（12分）如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．(1)过点A作MN的垂线，垂足为点H．如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(精确到1米)(参考数据：≈1.7)22．（12分）如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．（1）若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE的长最多为_____米；（2）一座建筑物GH距离坡角A点27米远（即AG=27米），小明在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？23．（14分）如图，我南海某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60?方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C处，同时捕鱼船低速航行到A点的正北1.5海里D处，渔政船航行到点C处时测得点D在南偏东53?方向上．(1)求CD两点的距离；(2)渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点E处相会合，求∠ECD的正弦值(参考数据：，，).三角形（二）综合测试题参考答案一、1.C2.C3.A4.D5.C6.C7.A8.C9.D10.B9．解析：过点B作BE⊥AD交AC于点E，则BE=AB=2，AE=2，根据题意可知，∠CBD=67.5°，所以∠BCE=22.5°，所以CE=BE=2，AC=2+2，在Rt△ACD中，sin∠CAD=,所以CD=km.第9题图第10题图10．解析：如图，根据题意可得，BE=500米，AE=1200米，设EC=x米，则DF=,所以CD=500+，AC=1200+x，在Rt△ACD中，AC=CD，即1200+x=，解得.∴DF==，CD=DF+CF=，故应选B.二、11．7012．513．①②14．15．516．17．18．三、19．解：过D点作DE⊥AB于E点，因为AD平分∠CAB，所以DE=DC=.在Rt△BED中，sinB=，∴∠B=30°，在Rt△ABC中，，所以AB=6．第19题图20．解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，∴DC=AD=1．在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=，AD=1，∴AB==3，∴BD==2，∴BC=BD+DC=2+1；（2）∵AE是BC边上的中线，∴CE=BC=+，∴DE=CE﹣CD=﹣，∴tan∠DAE==﹣．21．解：（1）如图，连接PA．由题意知，AP=39m．在直角△APH中，PH==36（米）.（2）由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．在Rt△ADH中，DH=（米）．在Rt△CDQ中，DQ=（米）．则PQ=PH+HQ=PH+DQ-DH=36+78-15≈114-15×1.7=88.5≈89（米）．答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89米．第21题图22．解：（1）11.0；（2）过点D作DP⊥AC，垂足为P．在Rt△DPA中，DP=AD=×30=15，PA=ADocos30°=×30=15．在矩形DPGM中，MG=DP=15，DM=PG=15+27，在Rt△DMH中，HM=DMotan30°=×（15+27）=15+9．GH=HM+MG=15+15+9≈45.6．答：建筑物GH高为45.6米．第22题图23．解：(1)如图，过点C作CG⊥AB于点G，DF⊥CG于点F.则在Rt△CBG中，由题意知∠CBG=30°，∴CG=BC==7.5.∵∠DAG=90°，∴四边形ADFG是矩形.∴GF=AD=1.5，∴CF=CGGF=7.5－1.5=6.在Rt△CDF中，∠CFD=90?，∵∠DCF=53°，∴cos∠DCF=，∴(海里)．答：CD两点距离为10海里．（2）如图，设渔政船调整方向后t小时能与捕渔船相会合，由题意知CE=30t，DE=1.5×2×t=3t，∠EDC=53°，过点E作EH⊥CD于点H，则∠EHD=∠CHE=90?，∴sin∠EDH=，∴EH=EDsin53°=，∴在Rt△EHC中，sin∠ECD=．答：sin∠ECD=．