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2016年河南省中考数学一模真题试卷含答案解析2016年河南省信阳市中考数学一模试卷一、选择题：1．下列各组数中，互为倒数的是（）A．2和﹣2 B．﹣2和 C．﹣2和﹣ D．﹣和22．下列不是三棱柱展开图的是（）A． B． C． D．3．据统计，今年春节期间（除夕到初五），微信红包总收发次数达321亿次，几乎覆盖了全国75%的网民，数据"321亿"用科学记数法可表示为（）A．3.21×108 B．321×108 C．321×109 D．3.21×10104．如图，把等腰直角三角板的直角顶点放在刻度尺的一边上，若∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°5．为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行调查，下表是这10户居民2015年4月份用电量的调查结果：居民（户） 1 2 3 4月用电量（度/户） 30 42 50 51那么关于这10户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是（）A．中位数是50 B．众数是51 C．方差是42 D．极差是216．一次函数y=kx+b的图象如图，则当0＜x≤1时，y的范围是（）A．y＞0 B．﹣2＜y≤0 C．﹣2＜y≤1 D．无法判断7．如图，?ABCD中，AE平分∠BAD，若CE=3cm，AB=4cm，则?ABCD的周长是（）A．20cm B．21cm C．22cm D．23cm8．如图，平面直角坐标系中，直线y=﹣x+a与x、y轴的正半轴分别交于点B和点A，与反比例函数y=﹣的图象交于点C，若BA：AC=2：1，则a的值为（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3二、填空题：每小题3分，共21分．9．计算：﹣14+﹣4cos30°=．10．不等式组的解集为．11．某市初中毕业女生体育中招考试项目有四项，其中"立定跳远"、"1000米跑"、"篮球运球"为必测项目，另一项从"掷实心球"、"一分钟跳绳"中选一项测试．则甲、乙、丙三位女生从"掷实心球"或"一分钟跳绳"中选择一个考试项目的概率是．12．如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC=度．13．在平面直角坐标系中，点A（2，3），B（5，﹣2），以原点O为位似中心，位似比为1：2，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是．14．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交DC于点E，交AD延长线于点F，则图中阴影部分的面积为．15．如图，有一张长为8cm，宽为7cm的矩形纸片ABCD，现要剪下一个腰长为6cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为cm2．三、解答题：本大题8个小题，共75分．16．先化简分式：（），若该分式的值为2，求x的值．17．如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆O上的两点，CD∥AB，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，tanA=．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）猜想四边形AOCD是什么特殊的四边形，并证明你的猜想．18．手机给人们的生活带来了很多的方便，但也出现了过度使用手机的现象，出现了所谓的"手机控"、"低头族"等，某校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对"初中学生带手机上学"这一现象的看法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图．依据图中信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生家长有名，"很赞同"初中生带手机上学的家长所对应的圆心角度数是；（2）请补全报"无所谓"态度的家长所对应的条形统计图（标上柱高数值）；（3）请你对初中生是否应该带手机上学提出一个合理化的建议．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0．（1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根．（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．20．如图1，被誉为"中原第一高楼"的郑州会展宾馆（俗称"玉米楼"）就坐落在风景如画的如意湖畔，也是来郑观光的游客留影的最佳景点．学完了三角函数后，刘明和王华决定用自己学到的知识测量"玉米楼"的高度．如图2，刘明在点C处测得楼顶B的仰角为45°，王华在高台上测得楼顶的仰角为30°．若高台高DE为5米，点D到点C的水平距离EC为187.5米，A、C、E三点共线，求"玉米楼"AB的高（，结果保留整数）．21．"红星"中学准备为校"教学兴趣小组"购进甲、乙两种学习用具，已知5件甲种学习用具的进价与3件乙种学习用具的进价的和为231元，2件甲种学习用具的进价与3件乙种学习用具的进价的和为141元．（1）求每件甲种、乙种学习用具的进价分别是多少元？（2）如果购进甲种学习用具有优惠，优惠方法是：购进甲种学习用具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x（x＞0）件甲种学习用具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，学校决定在甲、乙两种学习用具中选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助学校判断购进哪种学习用具更省钱．22．阅读并完成下面的数学探究：（1）【发现证明】如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，小颖把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．（2）【类比延伸】如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足关系时，仍有EF=BE+FD．（3）【结论应用】如图（3），四边形ABCD中，AB=AD=80，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥AD，DF=40（），连E、F，求EF的长（结果保留根号）．23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=对称，且经过A、C两点，与x轴交于另一点为B．（1）①求点B的坐标；②求抛物线的解析式．（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA、PC，若△PAC的面积是△ABC面积的，求出此时点P的坐标．（3）在抛物线的对称轴上是否存在点D，使△ADC为直角三角形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．2016年河南省信阳市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：1．下列各组数中，互为倒数的是（）A．2和﹣2 B．﹣2和 C．﹣2和﹣ D．﹣和2【考点】倒数．【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．【解答】解：2×（﹣）=1，故C正确；故选：C．【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．2．下列不是三棱柱展开图的是（）A． B． C． D．【考点】几何体的展开图．【分析】根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个四边形，可得答案．【解答】解：∵三棱柱展开图有3个四边形，2个三角形，∴C选项不是三棱柱展开图，故选：C．【点评】本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形．3．据统计，今年春节期间（除夕到初五），微信红包总收发次数达321亿次，几乎覆盖了全国75%的网民，数据"321亿"用科学记数法可表示为（）A．3.21×108 B．321×108 C．321×109 D．3.21×1010【考点】科学记数法-表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：321亿=32100000000=3.21×1010，故选D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．如图，把等腰直角三角板的直角顶点放在刻度尺的一边上，若∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°【考点】平行线的性质．【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由余角的定义即可得出结论．【解答】解：∵直尺的两边互相平行，∠1=60°，∴∠3=∠1=60°．∵∠3+∠2=90°，∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣60°=30°．故选A．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．5．为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行调查，下表是这10户居民2015年4月份用电量的调查结果：居民（户） 1 2 3 4月用电量（度/户） 30 42 50 51那么关于这10户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是（）A．中位数是50 B．众数是51 C．方差是42 D．极差是21【考点】方差；中位数；众数；极差．【专题】计算题．【分析】根据表格中的数据，求出平均数，中位数，众数，极差与方差，即可做出判断．【解答】解：10户居民2015年4月份用电量为30，42，42，50，50，50，51，51，51，51，平均数为（30+42+42+50+50+50+51+51+51+51）=46.8，中位数为50；众数为51，极差为51﹣30=21，方差为[（30﹣46.8）2+2（42﹣46.8）2+3（50﹣46.8）2+4（51﹣46.8）2]=42.96．故选C．【点评】此题考查了方差，中位数，众数，以及极差，熟练掌握各自的求法是解本题的关键．6．一次函数y=kx+b的图象如图，则当0＜x≤1时，y的范围是（）A．y＞0 B．﹣2＜y≤0 C．﹣2＜y≤1 D．无法判断【考点】一次函数的性质．【分析】根据一次函数的图象与两坐标轴的交点直接解答即可．【解答】解：因为一次函数y=kx+b的图象与两坐标轴的交点分别为（1，0）、（0，﹣2），所以当0＜x≤1，函数y的取值范围是：﹣2＜y≤0，故选B【点评】本题考查的是用数形结合的方法求函数的取值范围，解答此题的关键是正确观察函数在平面直角坐标系内的图象，属较简单题目．7．如图，?ABCD中，AE平分∠BAD，若CE=3cm，AB=4cm，则?ABCD的周长是（）A．20cm B．21cm C．22cm D．23cm【考点】平行四边形的性质．【分析】由平行四边形的性质得出AD=BC=4cm，AB=DC，AD∥BC，由平行线的性质和角平分线求出BE=AB=4cb，得出BC=7cm，即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=10，AB=DC，AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA，∵AE平分∠BCD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BEA=∠BAE，∴BE=AB=4cm，∴BC=BE+CE=7cm，∴?ABCD的周长=2（DC+BC）=2（4+7）=22cm；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证出BE=AB是解决问题的关键．8．如图，平面直角坐标系中，直线y=﹣x+a与x、y轴的正半轴分别交于点B和点A，与反比例函数y=﹣的图象交于点C，若BA：AC=2：1，则a的值为（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】想办法把C点坐标用a表示出来，然后代入y=﹣即可．【解答】解：作CE⊥x轴于E，∵AO∥CE，BA：AC=2：1，AO=OB=a，∴=，∴EB=，CE=，∴点C坐标（﹣，a），又∵点C在y=﹣上，∴﹣=﹣3，∵a＞0，∴a=2．故选A．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的有关知识，学会用转化的思想解决，把问题变成方程是解题的关键，属于中考常考题型．二、填空题：每小题3分，共21分．9．计算：﹣14+﹣4cos30°=﹣1．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】首先化简二次根式以及利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：﹣14+﹣4cos30°=﹣1+2﹣4×=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．10．不等式组的解集为﹣3＜x＜﹣2．【考点】解一元一次不等式组．【分析】分别求得各不等式的解集，然后求出公共部分即可．【解答】解：，由①得：x＞﹣3，由②得：x＜﹣2，则不等式组的解集为﹣3＜x＜﹣2．故答案为：﹣3＜x＜﹣2．【点评】】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．某市初中毕业女生体育中招考试项目有四项，其中"立定跳远"、"1000米跑"、"篮球运球"为必测项目，另一项从"掷实心球"、"一分钟跳绳"中选一项测试．则甲、乙、丙三位女生从"掷实心球"或"一分钟跳绳"中选择一个考试项目的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先分别用A，B代表"掷实心球"、"一分钟跳绳"，然后根据题意画树状图，继而求得所有等可能的结果与甲、乙、丙三位女生从"掷实心球"或"一分钟跳绳"选择同一个测试项目的情况，利用概率公式即可求得答案．【解答】解：分别用A，B代表"掷实心球"、"一分钟跳绳"，画树状图得：∵共有8种等可能的结果，甲、乙、丙三位女生从"掷实心球"或"一分钟跳绳"中选择一个考试项目的有2种情况，∴其概率是：=．故答案为：．【点评】此题考查了树状图法求概率的知识．注意树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．12．如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC=52度．【考点】等腰三角形的性质．【分析】设∠ADC=α，然后根据AC=AD=DB，∠BAC=102°，表示出∠B和∠BAD的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数．【解答】解：∵AC=AD=DB，∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠C，设∠ADC=α，∴∠B=∠BAD=，∵∠BAC=102°，∴∠DAC=102°﹣，在△ADC中，∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，∴2α+102°﹣=180°，解得：α=52°．故答案为：52．【点评】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等．13．在平面直角坐标系中，点A（2，3），B（5，﹣2），以原点O为位似中心，位似比为1：2，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（，﹣1）或（﹣，1）．【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】由以原点O为位似中心，位似比为1：2，把△ABO缩小，直接利用位似图形的性质求解即可求得答案．【解答】解：∵以原点O为位似中心，位似比为1：2，把△ABO缩小，B（5，﹣2），∴点B的对应点B′的坐标是：（，﹣1）或（﹣，1）．故答案为：（，﹣1）或（﹣，1）．【点评】此题考查了位似图形的性质．注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．14．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交DC于点E，交AD延长线于点F，则图中阴影部分的面积为8﹣4+π．【考点】扇形面积的计算．【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得∠AED=30°，进而求得∠1=60°；由勾股定理求出DE，再根据阴影FDE的面积S1=S扇形AEF﹣S△ADE、阴影ECB的面积S2=S矩形﹣S△ADE﹣S扇形ABE列式计算即可得解．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，∴AB=2DA，AB=AE（扇形的半径），∴AE=2DA，∴∠AED=30°，∴∠1=90°﹣30°=60°，∵DA=2∴AB=2DA=4，∴AE=4，∴DE==2，∴阴影FDE的面积S1=S扇形AEF﹣S△ADE=﹣×2×2=π﹣2．阴影ECB的面积S2=S矩形﹣S△ADE﹣S扇形ABE=2×4﹣×2×2﹣=8﹣2﹣π；．则图中阴影部分的面积为=8﹣2﹣π+π﹣2=8﹣4+π．故答案为：8﹣4+π．【点评】本题考查了矩形的性质，扇形的面积计算，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并求出∠AED=30°是解题的关键，也是本题的难点．15．如图，有一张长为8cm，宽为7cm的矩形纸片ABCD，现要剪下一个腰长为6cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为18或3或12cm2．【考点】勾股定理；等腰三角形的判定；矩形的性质．【专题】分类讨论．【分析】因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分三种情况进行讨论：（1）△AEF为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解即可；（2）先利用勾股定理求出AE边上的高BF，再代入面积公式求解；（3）先求出AE边上的高DF，再代入面积公式求解．【解答】解：分三种情况计算：（1）当AE=AF=6时，如图：∴S△AEF=AEoAF=×6×6=18（cm2）；（2）当AE=EF=6时，如图：则BE=7﹣6=1，BF===，∴S△AEF=oAEoBF=×6×=3（cm2）；（3）当AE=EF=6时，如图：则DE=8﹣6=2，DF===4，∴S△AEF=AEoDF=×6×4=12（cm2）；故答案为：18或3或12．【点评】本题主要考查了勾股定理的运用，矩形的性质，三角形的面积，要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论，有一定的难度．三、解答题：本大题8个小题，共75分．16．先化简分式：（），若该分式的值为2，求x的值．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再由该分式的值为2，求出x的值即可．【解答】解：原式=o=，∵该分式的值为2，∴=2，即2（x+2）=4，解得x=0，经检验x=0是分式方程的解．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．17．如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆O上的两点，CD∥AB，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，tanA=．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）猜想四边形AOCD是什么特殊的四边形，并证明你的猜想．【考点】切线的判定；菱形的判定．【分析】（1）连接OD，由锐角三角函数得出∠A=60°，证出△OAD是等边三角形，得出∠ADO=∠AOD=60°，再证明△COD是等边三角形，得出∠COD=60°=∠ADO，证出OC∥AE，由已知条件得出CE⊥OC，即可得出结论；（2）由（1）得：△OAD和△COD是等边三角形，得出OA=AD=OD=CD=OC，即可证出四边形AOCD是菱形．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：∵tanA=，∴∠A=60°，∵OA=OD，∴△OAD是等边三角形，∴∠ADO=∠AOD=60°，∵CD∥AB，∴∠ODC=60°，∵OC=OD，∴△COD是等边三角形，∴∠COD=60°=∠ADO，∴OC∥AE，∵CE⊥AE，∴CE⊥OC，∴CE是⊙O的切线；（2）解：四边形AOCD是菱形；理由如下：由（1）得：△OAD和△COD是等边三角形，∴OA=AD=OD=CD=OC，∴四边形AOCD是菱形．【点评】本题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质、三角函数、菱形的判定；熟练掌握切线的判定方法，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．18．手机给人们的生活带来了很多的方便，但也出现了过度使用手机的现象，出现了所谓的"手机控"、"低头族"等，某校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对"初中学生带手机上学"这一现象的看法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图．依据图中信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生家长有200名，"很赞同"初中生带手机上学的家长所对应的圆心角度数是36°；（2）请补全报"无所谓"态度的家长所对应的条形统计图（标上柱高数值）；（3）请你对初中生是否应该带手机上学提出一个合理化的建议．【考点】条形统计图；扇形统计图．【分析】（1）根据赞同的人数和所占的百分比求出总人数，再乘以无所谓所占的百分比求出无所谓的人数，用总人数减去其它的人数求出很赞同的人数，然后乘以360°求出"很赞同"初中生带手机上学的家长所对应的圆心角的度数；（2）根据（1）求出无所谓的人数可直接画出条形统计图；（3）根据学生现在正需要好好地学习，不应该带手机，网络这么发达，会影响学习．【解答】解：（1）本次调查的学生家长有=200（名），无所谓的人数是：200×20%=40（人），很赞同的人数是：200﹣50﹣40﹣90=20（人），则"很赞同"初中生带手机上学的家长所对应的圆心角度数是360°×=36°；故答案为：200，36°；（2）根据（1）求出的无所谓的人数是40，补图如下：（3）初中生不应该带手机，影响学习．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0．（1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根．（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．【考点】根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】（1）求出根的判别式，利用偶次方的非负性证明；（2）分△ABC的底边长为2、△ABC的一腰长为2两种情况解答．【解答】（1）证明：△=（k+3）2﹣4×3k=（k﹣3）2≥0，故不论k取何实数，该方程总有实数根；（2）解：当△ABC的底边长为2时，方程有两个相等的实数根，则（k﹣3）2=0，解得k=3，方程为x2﹣6x+9=0，解得x1=x2=3，故△ABC的周长为：2+3+3=8；当△ABC的一腰长为2时，方程有一根为2，方程为x2﹣5x+6=0，解得，x1=2，x2=3，故△ABC的周长为：2+2+3=7．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式、等腰三角形的性质，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．20．如图1，被誉为"中原第一高楼"的郑州会展宾馆（俗称"玉米楼"）就坐落在风景如画的如意湖畔，也是来郑观光的游客留影的最佳景点．学完了三角函数后，刘明和王华决定用自己学到的知识测量"玉米楼"的高度．如图2，刘明在点C处测得楼顶B的仰角为45°，王华在高台上测得楼顶的仰角为30°．若高台高DE为5米，点D到点C的水平距离EC为187.5米，A、C、E三点共线，求"玉米楼"AB的高（，结果保留整数）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】作DM⊥AB于M，交BC于F，作CG⊥DM于G，设BM=x米，根据题意和正切的定义表示出DM、FM，列出方程，计算即可．【解答】解：作DM⊥AB于M，交BC于F，作CG⊥DM于G，设BM=x米，由题意得，DG=187.5米，CG=5米，∠BFM=45°，∠BDM=30°，则GF=CG=5米，DF=DG+GF=192.5米，FM=BM=x米，∴DM==x，∵DM﹣FM=DF，∴x﹣x=192.5，解得，x=≈275，275+5=280（米）．答："玉米楼"AB的高约为280米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确理解仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．21．"红星"中学准备为校"教学兴趣小组"购进甲、乙两种学习用具，已知5件甲种学习用具的进价与3件乙种学习用具的进价的和为231元，2件甲种学习用具的进价与3件乙种学习用具的进价的和为141元．（1）求每件甲种、乙种学习用具的进价分别是多少元？（2）如果购进甲种学习用具有优惠，优惠方法是：购进甲种学习用具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x（x＞0）件甲种学习用具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，学校决定在甲、乙两种学习用具中选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助学校判断购进哪种学习用具更省钱．【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．【分析】（1）设每件甲种学习用具的进价是a元，每件乙种学习用具的进价是b元，根据花费钱数=单价×数量，结合两种不同购进方式可列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（2）结合优惠政策对x进行分段考虑，由花费钱数=单价×数量，可得出y关于x的函数关系式；（3）找出购进乙种学习用具x件的花费，令乙种的花费＜甲种的花费找出关于x的一元一次不等式，解出不等式即可得出结论．【解答】解（1）设每件甲种学习用具的进价是a元，每件乙种学习用具的进价是b元，根据题意得：，解得：．答：每件甲种学习用具的进价是30元，每件乙种学习用具的进价是27元．（2）当0＜x≤20时，y=30x；当x＞20时，y=20×30+0.7×30（x﹣20）=21x+180．（3）购买x件乙种学习用具的花费为27x元，购买x件甲种学习用具的花费为（21x+180）元，令27x＜21x+180，解得：x＜30．即：当20＜x＜30时，购进乙种学习用具更省钱；当x=30时，两种学习用具的花费一样；当x＞30时，购买甲种学习用具更省钱．【点评】本题考查了解二元一次方程组、一次函数的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）根据已知列出关于a、b的二元一次方程组；（2）结合优惠政策分段寻找函数解析式；（3）令购买乙种的花费＜购买甲种的花费找出此时的x的取值范围．本题属于中档题，难度不大，解决该类型题目时，把握住数量关系是关键．22．阅读并完成下面的数学探究：（1）【发现证明】如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，小颖把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．（2）【类比延伸】如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足关系∠EAF=∠BAD时，仍有EF=BE+FD．（3）【结论应用】如图（3），四边形ABCD中，AB=AD=80，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥AD，DF=40（），连E、F，求EF的长（结果保留根号）．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据旋转变换的性质和正方形的性质证明△EAF≌△GAF，得到EF=FG，证明结论；（2）把△ABE绕点A逆时针旋转至△ADH，使AB与AD重合，证明△EAF≌△HAF，证明即可；（3）延长BA交CD的延长线于P，连接AF，根据四边形内角和定理求出∠C的度数，得到∠P=90°，求出PD、PA，证明∠EAF=∠BAD，又（2）的结论得到答案．【解答】（1）证明：由旋转的性质可知，△ABE≌△ADG，∴BE=DG，AE=AG，∠BAE=∠DAG，∠ADG=∠ABE=90°，∴G、D、F在同一条直线上，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∴∠EAG=90°，又∠EAF=45°，∴∠FAG=45°，在△EAF和△GAF中，，∴△EAF≌△GAF，∴EF=FG，∴EF=BE+FD；（2）当∠EAF=∠BAD时，仍有EF=BE+FD．证明：如图（2），把△ABE绕点A逆时针旋转至△ADH，使AB与AD重合，则BE=DH，∠BAE=∠DAH，∠ADH=∠B，又∠B+∠D=180°，∴∠ADH+∠D=180°，即F、D、H在同一条直线上，当∠EAF=∠BAD时，∠EAF=∠HAF，由（1）得，△EAF≌△HAF，则EF=FH，即EF=BE+FD，故答案为：∠EAF=∠BAD；（3）如图（3），延长BA交CD的延长线于P，连接AF，∵∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，∴∠C=30°，∴∠P=90°，又∠ADC=120°，∴∠ADP=60°，∴PD=AD×cos∠ADP=40，AP=AD×sin∠ADP=40，∴PF=PD+DF=40，∴PA=PF，∴∠PAF=45°，又∠PAD=30°，∴∠DAF=15°，∴∠EAF=75°，∠BAE=60°，∴∠EAF=∠BAD，由（2）得，EF=BE+FD，又BE=BA=80，∴EF=BE+FD=40（）．【点评】本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的四条边都相等、四个角都是直角，旋转变换的旋转角相等、旋转后的三角形与原三角形全等是解题的关键．23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=对称，且经过A、C两点，与x轴交于另一点为B．（1）①求点B的坐标；②求抛物线的解析式．（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA、PC，若△PAC的面积是△ABC面积的，求出此时点P的坐标．（3）在抛物线的对称轴上是否存在点D，使△ADC为直角三角形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）①由直线过点A，可得出点A的坐标，由A、B关于直线x=对称可找出B点的坐标；②由直线经过点C可求出点C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）由△PAC的面积是△ABC面积的，结合同底三角形的面积公式即可得出点P到直线AC的距离为点B到直线AC的距离的，设出P点坐标，由点到直线的距离可列出关于m的一元二次方程，解方程即可得出结论；（3）假设存在，设出D点坐标，由两点间的距离公式用n表示出各边长度，结合勾股定理分别讨论即可得出结论．【解答】解：（1）①令y=﹣=0，解得：x=4，即点A的坐标为（4，0）．∵A、B关于直线x=对称，∴点B的坐标为（﹣1，0）．②令x=0，则y=2，∴点C的坐标为（0，2），∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C，∴有，解得：．故抛物线解析式为y=﹣++2．（2）直线AC的解析式为y=﹣，即x+y﹣2=0，设点P的坐标为（m，﹣+m+2），∵点P为直线AC上方的抛物线上的一点，∴0＜m＜4．∵△PAC的面积是△ABC面积的，∴点P到直线AC的距离为点B到直线AC的距离的．由点到直线的距离可知：|m﹣+m+2﹣2|=|﹣﹣2|，即m2﹣4m+3=0，解得：m1=1，m2=3．所以点P的坐标为（1，3）或（3，2）．（3）假设存在，设D点的坐标为（，n）．由两点间的距离公式可知：AC==2，AD=，CD=，△ADC为直角三角形分三种情况：①AC2+AD2=CD2，此时有4n=﹣20，解得：n=﹣5，此时点D的坐标为（，﹣5）；②AC2+CD2=AD2，此时有20﹣4n=0，解得：n=5，此时点D的坐标为（，5）；③AD2+CD2=AC2，此时有4n2﹣8n﹣15=0，解得：n=1±．此时点D的坐标为（，1+）和（，1﹣）．综上可知：在抛物线的对称轴上存在点D，使△ADC为直角三角形，点D的坐标为（，﹣5）、（，5）、（，1﹣）和（，1+）．【点评】本题考查了待定系数法求解析式、点到直线的距离以及勾股定理，解题的关键是（1）待定系数法求解析式；（2）结合点到直线的距离列出关于m的一元二次方程；（3）结合两点间的距离公式和勾股定理得出关于n的方程．本题属于中档题，（1）难度不大，（2）可以借助点到直线的距离找出关于m的一元二次方程来解决问题，（3）分情况讨论找出点D的纵坐标．