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2016年北京市东城区中考二模数学试卷含答案解析2016年北京市东城区中考二模数学试卷一、单选题（共10小题）1．我国最大的领海是南海，总面积有3500000平方公里，将数3500000用科学记数法表示应为（）A． B．C． D．考点：科学记数法和近似数、有效数字答案：A试题解析：科学记数法是把一个数表示成a×的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.所以3500000=3.5.2．如图，已知数轴上的点A，O，B，C，D分别表示数﹣2，0，1，2，3，则表示数的点P应落在线段（）A．AO上 B．OB上 C．BC上 D．CD上考点：实数大小比较答案：B试题解析：,则表示数的点P应落在线段OB上3．一个不透明的盒子中装有6个除颜色外完全相同的乒乓球，其中4个是黄球，2个是白球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是（）A．B．C．D．考点：概率及计算答案：D试题解析：摸到黄球的概率=.4．下列图案中，既是中心对称又是轴对称图形的是（）A． B．C． D．考点：轴对称与轴对称图形中心对称与中心对称图形答案：A试题解析：B,是轴对称图形不是中心对称图形，C,D是中心对称图形不是轴对称图形。而A即是中心对称图形又是轴对称图形。5．如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的俯视图是（）A． B．C． D．考点：几何体的三视图答案：A试题解析：这个几何体的俯视图是,6．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD等于（）A．18° B．36° C．54° D．64°考点：等腰三角形答案：C试题解析：在等腰△ABC中，AB=AC，所以,因为BD⊥AC，所以,所以,则。7．某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于"劳动时间"的这组数据，以下说法正确的是（）A．中位数是4，平均数是3.75 B．众数是4，平均数是3.75C．中位数是4，平均数是3.8 D．众数是2，平均数是3.8考点：平均数、众数、中位数答案：C试题解析：众数就是在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。所以这组数据的众数是4,。中位数就是将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数（奇数个时数）或最中间两个数的平均数（偶数个时）叫做这组数据的中位数。这组数据从小到大排列为：3，3.5，4，4，4.5.最中间的数是4，所以这组数据的中位数是4.这组数据的平均数是3.88．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：圆锥、圆柱的相关计算答案：C试题解析：用一个圆心角为120°，半径为6的扇形的弧长==4，扇形的弧长和作成的圆锥的底面圆的周长相等的，所以这个圆锥的底面圆的半径是29．如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省（）A．1元 B．2元 C．3元 D．4元考点：函数的表示方法及其图像答案：B试题解析：由函数图像可知当时，。当时，.则一次购买3千克这种苹果付款金额是28元，分三次每次购买1千克这种苹果付款金额=103=30元。则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元。10．某班有20位同学参加乒乓球、羽毛球比赛，甲说："只参加一项的人数大于14人."乙说："两项都参加的人数小于5人."对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是（）A．若甲对，则乙对 B．若乙对，则甲对C．若乙错，则甲错 D．若甲错，则乙对考点：定义新概念及程序答案：B试题解析：若甲对，即只参加一项的人数大于14人，不妨假设只参加一项的人数是15人，则两项都参加的人数为5人，故乙错．若乙对，即两项都参加的人数小于5人，则两项都参加的人数至多为4人，此时只参加一项的人数为16人，故甲对．二、填空题（共6小题）11.分解因式：=．考点：因式分解答案：试题解析：=12.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是．考点：一元二次方程的根的判别式答案：且试题解析：因为关于的一元二次方程，所以因为有两个不相等的实数根，>0,得13.如图，点P在△ABC的边AC上，请你添加一个条件，使得△ABP∽△ACB，这个条件可以是．考点：相似三角形判定及性质答案：试题解析：△ABP与△ACB有一个公共角，若要添加一个条件使得△ABP∽△ACB，则只能用两对角对应相等的三角形相似，所以可以是,也可填.14.九年级（3）班共有50名同学，如图是该班一次体育模拟测试成绩的频数分布直方图（满分为30分，成绩均为整数）．若将不低于23分的成绩评为合格，则该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是．考点：数据的收集与整理答案：92%试题解析：由频数分布直方图可知达到合格的人数为46人，则该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比=15.定义运算"*"，规定x*y=a（x+y）+xy，其中a为常数，且1*2=5，则2*3=．考点：定义新概念及程序答案：11试题解析：1*2=a(1+2)+12=5,求得a=1,则2*3=16.在平面直角坐标系中，小明玩走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位，…，依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第8步时，棋子所处位置的坐标是；当走完第2016步时，棋子所处位置的坐标是．考点：定义新概念及程序答案：(2016,672)试题解析：由题意得,每3步为一个循环组,且一个循环组向右三个单位,向上一个单位,则第8步棋子所处的位置坐标是(9,2).走完第2016步则672个循环组,向上672个单位,向右672=2016个单位,所以当走完第2016步时，棋子所处位置的坐标是(2016,672).三、计算题（共2小题）17.计算：考点：锐角三角函数答案：试题解析：原式==18.已知，求代数式的值．考点：代数式及其求值答案：2试题解析：==，已知设∴原式=-2四、证明题（共1小题）19.如图，已知∠ABC=90°，分别以AB和BC为边向外作等边△ABD和等边△BCE，连接AE，CD.求证：AE=CD．考点：全等三角形的判定答案：见解析试题解析：因为△ABD和△BCE为等边三角形，∠ABD=∠CBE=60°，BA=BD，BC=BE.∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，即∠CBD=∠ABE.△CBD≌△EBA.（SAS）AE=CD.五、解答题（共9小题）20.列方程或方程组解应用题：为迎接"五一劳动节"，某超市开展促销活动，决定对A，B两种商品进行打折出售．打折前，买6件A商品和3件B商品需要108元，买3件A商品和4件B商品需要94元.问：打折后，若买5件A商品和4件B商品仅需86元，比打折前节省了多少元钱？考点：一次方程（组）的应用答案：见解析试题解析：设打折前一件商品A的价格为x元，一件商品B的价格为y元.依据题意，得.解得：，所以5×10+4×16-86=28（元）答：比打折前节省了28元.21.如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD于点E．（1）求证：∠BAM=∠AEF；（2）若AB=4，AD=6，，求DE的长.考点：四边形综合题答案：见解析试题解析：（1）∵矩形ABCD，∴∠B=∠BAC=90°.∵EF⊥AM，∴∠AFE=∠B=∠BAD=90°.∴∠BAM+∠EAF=∠AEF+∠EAF=90°.∴∠BAM=∠AEF.（2）在Rt△ABM中，∠B=90°，AB=4，cos∠BAM=，∴AM=5.∵F为AM中点，∴AF=.∵∠BAM=∠AEF，∴cos∠BAM=cos∠AEF=.∴sin∠AEF=.在Rt△AEF中，∠AFE=90°，AF=，sin∠AEF=，∴AE=.∴DE=AC-AE=6-=.22.如图，四边形是平行四边形，点．反比例函数的图象经过点.（1）求反比例函数的解析式；（2）经过点C的一次函数的图象与反比例函数的图象交于P点，当k＞0时，确定点横坐标的取值范围（不必写出过程）.考点：反比例函数与几何综合答案：见解析试题解析：（1）∵四边形是平行四边形，点，∴BC=2.∴D（1,2）.∵反比例函数的图象经过点，∴.∴.∴.（2）.23.2013年是北京市正式执行新《环境空气质量标准》的第一年.这一年，北京建立起35个覆盖全市的监测站点，正式对PM2.5、二氧化硫、二氧化氮等六项污染物开展监测.2013年全年,本市空气质量一级优的天数有41天；二级良天数135天.本市主要大气污染物PM2.5年均浓度为89.5微克/立方米，单就PM2.5的浓度而言，全年共有204天达到一级优或二级良水平.2014年全年，PM2.5年均浓度为85.9微克/立方米.，PM2.5优良天数总计204天，其中PM2.5一级优天数达到93天，比2013年的71天增加了22天.2015年全年，本市空气质量达标天数为186天，即空气质量优良的好天儿占了一半，比2014年增加了14天.本市主要大气污染物PM2.5年均浓度为80.6微克/立方米，单就PM2.5的浓度而言，2015年PM2.5优良天数累计达到223天，其中一级优天数首次突破100达到105天，二级良天数累计为118天.根据以上材料解答下列问题：（1）北京市2014年空气质量达到优良的天数为天；单就PM2.5的浓度而言，北京市2013年全年达到二级良的天数为天；（2）选择统计表或统计图，将2013-2015年北京市PM2.5的年均浓度和PM2.5的优良天数表示出来.考点：数据的收集与整理答案：见解析试题解析：（1）172；133.（2）24.如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F．（1）求证：∠ABC=2∠CAF；（2）若AC=，，求BE的长．考点：圆的综合题答案：见解析试题解析：（1）证明：连结.∵是的直径，∴.∴.∵∴.∵AF为⊙O的切线，∴∠FAB=90°.∴.∴.∴（2）解：连接AE.∴∠AEB=∠AEC=90°.∵∴．∵∴=BC.∵∴.∴.25.在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=1，∠A=，求sin2（用含sin，cos的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取AB的中点O，连接OC，过点C作CD⊥AB于点D，则∠COB=2，然后利用锐角三角函数在Rt△ABC中表示出AC，BC，在Rt△ACD中表示出CD，则可以求出sin====．阅读以上内容，回答下列问题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=1.（1）如图3，若BC=，则sin=，sin2=；（2）请你参考阅读材料中的推导思路，求出tan2的表达式（用含sin，cos的式子表示）．考点：解直角三角形的实际应用答案：见解析试题解析：（1）sin=，sin2=.（2）∵AC=cos，BC=sin，∴CD==.∵∠DCB=∠A，∴在Rt△BCD中，BD=sin2.∴OD=-sin2.∴tan2==.26.二次函数的图象过点A（-1,2），B（4,7）.（1）求二次函数的解析式；（2）若二次函数与的图象关于x轴对称，试判断二次函数的顶点是否在直线AB上；（3）若将的图象位于A，B两点间的部分（含A，B两点）记为G，则当二次函数与G有且只有一个交点时，直接写出m满足的条件.考点：二次函数与几何综合答案：见解析试题解析：（1）∵的图象过点A（-1,2），B（4,7），∴∴∴.（2）∵二次函数与的图象关于x轴对称，∴.∴的顶点为（1,2）.∵A（-1,2），B（4,7）,∴过A、B两点的直线的解析式：.令x=1，则y=4.∴的顶点不在直线AB上.（3）或.图像可以看成图像上下平移而得,当图像经过点A时求的m=4,当经过点C时求得m=14，所以当时二次函数与G有且只有一个交点。图像往下平移正好经过图形G的顶点时，求得，此时与图形G有一个交点.所以当二次函数与G有且只有一个交点时，直接写出m满足的条件为或.27.【问题】在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点E在直线BC上（B,C除外），分别经过点E和点B做AE和AB的垂线，两条垂线交于点F，研究AE和EF的数量关系.【探究发现】某数学兴趣小组在探究AE，EF的关系时，运用"从特殊到一般"的数学思想，他们发现当点E是BC的中点时，只需要取AC边的中点G（如图1），通过推理证明就可以得到AE和EF的数量关系，请你按照这种思路直接写出AE和EF的数量关系；【数学思考】那么当点E是直线BC上（B，C除外）（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从"点E在线段BC上"；"点E在线段BC的延长线"；"点E在线段BC的反向延长线上"三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论；【拓展应用】当点E在线段CB的延长线上时，若BE=nBC（），请直接写出：的值．考点：全等三角形的判定答案：见解析试题解析：【探究发现】：相等.【数学思考】证明：在AC上截取CG=CE，连接GE.∵∠ACB=90°,∴∠CGE=∠CEG=45°.∵AE⊥EF，AB⊥BF，∴∠AEF=∠ABF=∠ACB=90°,∴∠FEB+∠AEF=∠AEB=∠EAC+∠ACB.∴∠FEB=∠EAC.∵CA=CB，∴AG=BE，∠CBA=∠CAB=45°.∴∠AGE=∠EBF=135°.∴△AGE≌△EBF.∴AE=EF.【拓展应用】如图，延长CA至G使得AG=BE,可证△AGE≌△EBF.所以AE=EF。设AC=1，则CE=n+1,AE=.=,=.所以：=1：（）28.定义：y是一个关于的函数，若对于每个实数，函数y的值为三数，，中的最小值，则函数y叫做这三数的最小值函数.（1）画出这个最小值函数的图象，并判断点（1，3）是否为这个最小值函数图象上的点；（2）设这个最小值函数图象的最高点为，点（1,3），动点（，）.①直接写出△ABM的面积，其面积是；②若以为圆心的圆经过两点，写出点的坐标；③以②中的点为圆心，以为半径作圆.在此圆上找一点，使的值最小，直接写出此最小值.考点：定义新概念及程序答案：见解析试题解析：（1）如图红色部分为这个最小函数图像.；是.（2）①因为动点（，）在直线y=x上，与y=x+2平行，所以y=x与y=x+2之间的距离为=,AB=,△ABM的面积==2②若以为圆心的圆经过两点，则M为AB的垂直平分线与y=x的交点，AB的中点（2,4），令AB的垂直平分线y=-x+b,过点（2,4），求得b=6.则y=-x+6与y=x的交点为（3,3）。所以M（3,3）.③如图，A(1，3)B(3，5),M(3，3)，取MB的中点D,P为圆上任意一点，PM=,MB=2，MD=1，可证,可得PD=PB,则最小也就是PA+PD最小，所以连接AD，线段AD的长就是所求的最小值，最小值为.六、作图题（共1小题）29.如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的等腰三角形．（要求：画出三个大小不同，符合题意的等腰三角形，只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）考点：正方形的性质与判定答案：满足条件的所有图形如图所示：试题解析：满足条件的所有图形如图所示：