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北京市朝阳区2016年中考数学二模试卷含答案解析2015年北京市朝阳区中考数学二模试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．某种埃博拉病毒（EBV）长0.000000665nm左右．将0.000000665用科学记数法表示应为（）A．0.665×10﹣6 B．6.65×10﹣7 C．6.65×10﹣8 D．0.665×10﹣92．下列二次根式中，能与合并的是（）A． B． C． D．3．在下面的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不相同的是（）A．正方体 B．三棱柱 C．圆柱 D．圆锥4．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DE∥BC交AC于点E．若=，AE=6，则EC的长为（）A．6 B．9 C．15 D．185．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中．大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是（）A．10 B．14 C．16 D．406．某射击教练对甲、乙两个射击选手的5次成绩（单位：环）进行了统计，如表甲 10 9 8 5 8乙 8 8 7 9 8所示：设甲、乙两人射击成绩的平均数分别为、，射击成绩的方差分别为、，则下列判断中正确的是（）A．＜，＞ B．=，＜C．=， D．=，＞7．一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点O为圆心，5为半径的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E．若CD=6，则隧道的高（ME的长）为（）A．4 B．6 C．8 D．98．某数学课外活动小组利用一个有进水管与出水管的容器模拟水池蓄水情况：从某时刻开始，5分钟内只进水不出水，在随后的10分钟内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内的蓄水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则第12分钟容器内的蓄水量为（）A．22 B．25 C．27 D．289．如图，点M、N分别在矩形ABCD边AD、BC上，将矩形ABCD沿MN翻折后点C恰好与点A重合．若此时=，则△AMD′的面积与△AMN的面积的比为（）A．1：3 B．1：4 C．1：6 D．1：910．如图，矩形ABCD中，E为AD中点，点F为BC上的动点（不与B、C重合）．连接EF，以EF为直径的圆分别交BE，CE于点G、H．设BF的长度为x，弦FG与FH的长度和为y，则下列图象中，能表示y与x之间的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．若分式的值为0，则x的值为．12．分解因式：3x2﹣12y2=．13．用一个圆心角为120°，半径为6cm的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为．14．如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边中线，分别以点A、C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧交点分别为点E、F，直线EF与AD相交于点O，若OA=2，则△ABC外接圆的面积为．15．如图，点B在线段AE上，∠1=∠2，如果添加一个条件，即可得到△ABC≌△ABD，那么这个条件可以是（要求：不在图中添加其他辅助线，写出一个条件即可）16．如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1：2的两部分，那么称这样的平行四边形为"协调平行四边形"，称该边为"协调边"．当"协调边"为3时，它的周长为．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．求证：BE=CD．18．计算：．19．解不等式x﹣≥x﹣，并把它的解集在数轴上表示出来．20．已知a﹣b=，求（a﹣2）2+b（b﹣2a）+4（a﹣1）的值．21．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象交于A（﹣3，1），B（1，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）设直线AB与y轴交于点C，若点P在x轴上，使BP=AC，请直接写出点P的坐标．22．列方程或方程组解应用题：四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．如图，点F在?ABCD的对角线AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，∠ABF=∠FBC+∠FCB．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若BE=5，AD=8，sin∠CBE=，求AC的长．24．某校为了更好的开展"学校特色体育教育"，从全校八年级的各班分别随机抽取了5名男生和5名女生，组成了一个容量为60的样本，进行各项体育项目的测试，了解他们的身体素质情况．下表是整理样本数据，得到的关于每个个体的测试成绩的部分统计表、图：某校60名学生体育测试成绩频数分布表成绩 划记 频数 百分比优秀 正正正a 30%良好 正正正正正正 30 b合格 正9 15%不合格 3 5%合计 60 60 100%（说明：40﹣﹣﹣55分为不合格，55﹣﹣﹣70分为合格，70﹣﹣﹣85分为良好，85﹣﹣﹣100分为优秀）请根据以上信息，解答下列问题：（1）表中的a=，b=；（2）请根据频数分布表，画出相应的频数分布直方图；（3）如果该校八年级共有150名学生，根据以上数据，估计该校八年级学生身体素质良好及以上的人数为．25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，BD是⊙O的直径，PA∥BC，与DB的延长线交于点P，连接AD．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若AB=，BC=4，求AD的长．26．阅读下面材料：小凯遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=4，BD=6，∠AOB=30°，求四边形ABCD的面积．小凯发现，分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足分别为点E、F，设AO为m，通过计算△ABD与△BCD的面积和使问题得到解决（如图2）．请回答：（1）△ABD的面积为（用含m的式子表示）．（2）求四边形ABCD的面积．参考小凯思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=a，BD=b，∠AOB=α（0°＜α＜90°），则四边形ABCD的面积为（用含a、b、α的式子表示）．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．已知：关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣2=0（a＞0）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若y是关于a的函数，且y=ax2+x1，求这个函数的表达式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使y≤﹣3a2+1，则自变量a的取值范围为．28．数学活动课上，老师提出这样一个问题：如果AB=BC，∠ABC=60°，∠APC=30°，连接PB，那么PA、PB、PC之间会有怎样的等量关系呢？经过思考后，部分同学进行了如下的交流：小蕾：我将图形进行了特殊化，让点P在BA延长线上（如图1），得到了一个猜想：PA2+PC2=PB2．小东：我假设点P在∠ABC的内部，根据题目条件，这个图形具有"共端点等线段"的特点，可以利用旋转解决问题，旋转△PAB后得到△P′CB，并且可推出△PBP′，△PCP′分别是等边三角形、直角三角形，就能得到猜想和证明方法．这时老师对同学们说，请大家完成以下问题：（1）如图2，点P在∠ABC的内部，①PA=4，PC=，PB=．②用等式表示PA、PB、PC之间的数量关系，并证明．（2）对于点P的其他位置，是否始终具有②中的结论？若是，请证明；若不是，请举例说明．29．如图，顶点为A（﹣4，4）的二次函数图象经过原点（0，0），点P在该图象上，OP交其对称轴l于点M，点M、N关于点A对称，连接PN，ON．（1）求该二次函数的表达式；（2）若点P的坐标是（﹣6，3），求△OPN的面积；（3）当点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：①求证：∠PNM=∠ONM；②若△OPN为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．2015年北京市朝阳区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．某种埃博拉病毒（EBV）长0.000000665nm左右．将0.000000665用科学记数法表示应为（）A．0.665×10﹣6 B．6.65×10﹣7 C．6.65×10﹣8 D．0.665×10﹣9【考点】科学记数法-表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000000665=6.65×10﹣7；故选：B．【点评】此题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．2．下列二次根式中，能与合并的是（）A． B． C． D．【考点】同类二次根式．【分析】先化成最简二次根式，再判断即可．【解答】解：A、，不能和合并，故本选项错误；B、，不能和合并，故本选项错误；C、，能和合并，故本选项正确；D、=2不能和合并，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了二次根式的性质，同类二次根式的应用，注意：几个二次根式，化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．3．在下面的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不相同的是（）A．正方体 B．三棱柱 C．圆柱 D．圆锥【考点】简单几何体的三视图．【分析】主视图、左视图分别从物体正面、左面看所得到的图形．【解答】解：A、主视图与左视图都是正方形；B、主视图为长方形，左视图为中间有一条竖直的虚线的长方形，不相同；C、主视图与左视图都是矩形；D、主视图与左视图都是等腰三角形；故选B．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．4．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DE∥BC交AC于点E．若=，AE=6，则EC的长为（）A．6 B．9 C．15 D．18【考点】平行线分线段成比例．【分析】如图，直接运用平行线分线段成比例定理列出比例式，借助已知条件求出EC，即可解决问题．【解答】解：如图，∵DE∥BC，∴，∵=，AE=6，∴EC=9．故选B．【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；运用平行线分线段成比例定理正确写出比例式是解题的关键．5．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中．大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是（）A．10 B．14 C．16 D．40【考点】利用频率估计概率．【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【解答】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.4，∴=0.4，解得：n=10．故选A．【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键．6．某射击教练对甲、乙两个射击选手的5次成绩（单位：环）进行了统计，如表甲 10 9 8 5 8乙 8 8 7 9 8所示：设甲、乙两人射击成绩的平均数分别为、，射击成绩的方差分别为、，则下列判断中正确的是（）A．＜，＞ B．=，＜C．=， D．=，＞【考点】方差；算术平均数．【分析】分别计算平均数和方差后比较即可得到答案．【解答】解：（1）=（10+8+9+8+10）=9；=（9+8+9+10+9）=9；=[（10﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（8﹣9）2+（10﹣9）2]=0.8；=[（9﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2]=0.4；∴=，＞．故选D．【点评】本题考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．7．一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点O为圆心，5为半径的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E．若CD=6，则隧道的高（ME的长）为（）A．4 B．6 C．8 D．9【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【分析】因为M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理，EM⊥CD，则CM=DM=3，在Rt△COM中，有OC2=CM2+OM2，可求得OM，进而就可求得EM．【解答】解：∵M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理：EM⊥CD，又CD=6则有：CM=CD=3，设OM是x米，在Rt△COM中，有OC2=CM2+OM2，即：52=32+x2，解得：x=4，所以EM=5+4=9．故选D．【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．8．某数学课外活动小组利用一个有进水管与出水管的容器模拟水池蓄水情况：从某时刻开始，5分钟内只进水不出水，在随后的10分钟内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内的蓄水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则第12分钟容器内的蓄水量为（）A．22 B．25 C．27 D．28【考点】一次函数的应用．【分析】用待定系数法求出5≤x≤15对应的函数关系式，当x=12时，求出对应的值，即可解答．【解答】解：当5≤x≤15时，设y=kx+b，把（5，20），（15，30）代入得：解得：∴y=x+15，当x=12时，y=12+15=27，故选：C．【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是用待定系数法求出函数解析式．9．如图，点M、N分别在矩形ABCD边AD、BC上，将矩形ABCD沿MN翻折后点C恰好与点A重合．若此时=，则△AMD′的面积与△AMN的面积的比为（）A．1：3 B．1：4 C．1：6 D．1：9【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】由=，可知，易证AN=AM，得到，于是可求出△AMD′的面积与△AMN的面积的比．【解答】解：根据折叠的性质，AN=CN，∠ANM=∠CNM，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠CNM=∠AMN，∴∠ANM=∠AMN，∴AM=AN，∵=，∴，∴，∴△AMD′的面积：△AMN的面积=1：3．故选：A．【点评】本题主要考查了图形的折叠问题、等高的三角形面积比等于底的比，把△AMD′的面积与△AMN的面积的比转化为边的比，运用等高的三角形面积比等于底的比这一性质是解决问题的关键．10．如图，矩形ABCD中，E为AD中点，点F为BC上的动点（不与B、C重合）．连接EF，以EF为直径的圆分别交BE，CE于点G、H．设BF的长度为x，弦FG与FH的长度和为y，则下列图象中，能表示y与x之间的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】作EM⊥BC于M，设AB=CD=a，AD=BC=2b，根据勾股定理表示出BE=CE=，然后用锐角三角函数表示出FG、FH，发现FG+FH为定值，即可得到结论．【解答】解：如图，作EM⊥BC于M，∵点E是矩形ABCD的边AD上的中点，∴BE=CE，∠EBM=∠ECM，∴点M是BC的中点，设AB=CD=a，AD=BC=2b，则BM=CM=b，EM=a，∴BE=CE=，∴sin∠EBM=sin∠ECM=，∵EF是⊙O的直径，∴∠BGF=∠CHF=90°∵BF=x，∴CF=2b﹣x，∴FG=BFosin∠EBM=，FH=CFosin∠ECM=，∴FG+FH=，∵ab为定值，∴FG+FH=为定值，故选：D．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，综合运用勾股定理和锐角三角函数进行计算，通过计算发现FG+FH为定值是解决问题的关键．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．若分式的值为0，则x的值为3．【考点】分式的值为零的条件．【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【解答】解：由题意可得：2x﹣6=0且x+1≠0，解得x=3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意："分母不为零"这个条件不能少．12．分解因式：3x2﹣12y2=3（x﹣2y）（x+2y）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：3x2﹣12y2，=3（x2﹣4y2），=3（x+2y）（x﹣2y）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后，可以利用平方差公式进行二次分解．13．用一个圆心角为120°，半径为6cm的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为2cm．【考点】圆锥的计算．【分析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．【解答】解：扇形的弧长==4π，故圆锥的底面半径为4π÷2π=2．故答案为：2．【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．14．如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边中线，分别以点A、C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧交点分别为点E、F，直线EF与AD相交于点O，若OA=2，则△ABC外接圆的面积为4π．【考点】三角形的外接圆与外心．【分析】利用等腰三角形的性质结合三角形外接圆的作法得出O点即为△ABC外接圆的圆心，进而求出其面积．【解答】解：∵AB=AC，AD是BC边中线，∴AD垂直平分BC，∵分别以点A、C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧交点分别为点E、F，∴EF垂直平分AC，∵直线EF与AD相交于点O，∴点O即为△ABC外接圆圆心，∴AO为△ABC外接圆半径，∴△ABC外接圆的面积为：4π．故答案为：4π．【点评】此题主要考查了三角形的外心，得出O点即为△ABC外接圆圆心是解题关键．15．如图，点B在线段AE上，∠1=∠2，如果添加一个条件，即可得到△ABC≌△ABD，那么这个条件可以是AC=AD或∠ABC=∠ABD或∠C=∠D（要求：不在图中添加其他辅助线，写出一个条件即可）【考点】全等三角形的判定．【专题】开放型．【分析】已知已经有一对角和一条公共边，所以再找一对边或一对角就可以得到两三角形全等．【解答】解：已经有∠CAB=∠DAB，AB=AB，再添加AC=AD，利用SAS证明；或添加∠ABC=∠ABD，利用ASA证明；或添加∠C=∠D，利用AAS证明，（答案只要符合即可）．故答案为AC=AD或∠ABC=∠ABD或∠C=∠D【点评】本题考查了全等三角形的判定；本题是开放性题目，答案不确定，只要符合题意即可．16．如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1：2的两部分，那么称这样的平行四边形为"协调平行四边形"，称该边为"协调边"．当"协调边"为3时，它的周长为8或10．【考点】平行四边形的性质．【专题】分类讨论．【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义得出AB=AE；分两种情况：①当AE=1，DE=2时；②当AE=2，DE=1时；即可求出平行四边形ABCD的周长．【解答】解：如图所示：①当AE=1，DE=2时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=3，AB=CD，AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=1，∴平行四边形ABCD的周长=2（AB+AD）=8；②当AE=2，DE=1时，同理得：AB=AE=2，∴平行四边形ABCD的周长=2（AB+AD）=10；故答案为：8或10．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键；注意分类讨论思想的运用，避免漏解．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．求证：BE=CD．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据垂直的定义以及等量代换可知∠CBE=∠ACD，根据已知条件∠BEC=∠CDA，∠CBE=∠ACD，BC=AC，根据全等三角形的判定AAS即可证明△BEC≌△CDA，再利用全等三角形的性质证明即可．【解答】证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠BEC=∠CDA=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，又∵∠DCA+∠ECB=90°，∴∠EBC=∠DCA，又∵BC=AC，在△BEC与△CDA中，，∴△BEC≌△CDA（AAS），∴BE=CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，关键是根据AAS证明两三角形全等，难度适中．18．计算：．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项化为最简二次根式，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=4+2﹣4﹣1=2﹣1．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．解不等式x﹣≥x﹣，并把它的解集在数轴上表示出来．【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．【专题】计算题．【分析】先去分母、移项得到3x﹣4x≥﹣2+4，然后合并后把x的系数化为1即可得到不等式的解集，再利用数轴表示解集．【解答】解：去分母得3x﹣4≥4x﹣2，移项得3x﹣4x≥﹣2+4，合并得﹣x≥2，系数化为1得x≤﹣2，用数轴表示为：．【点评】本题考查了解一元一次不等式：解一元一次不等式的一般步骤为：先去括号，再移项，接着合并同类项，然后把系数化为1．也考查了在数轴上表示不等式的解集．20．已知a﹣b=，求（a﹣2）2+b（b﹣2a）+4（a﹣1）的值．【考点】整式的混合运算-化简求值．【专题】计算题．【分析】原式利用完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：（a﹣2）2+b（b﹣2a）+4（a﹣1）=a2﹣4a+4+b2﹣2ab+4a﹣4=a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2，∵a﹣b=，∴原式=2．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象交于A（﹣3，1），B（1，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）设直线AB与y轴交于点C，若点P在x轴上，使BP=AC，请直接写出点P的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）把A（﹣3，1）代入y=，把A（﹣3，1），B（1，﹣3）代入y=kx+b，即可得到结果；（2）直线AB与y轴交于点C，求得C（0，﹣2），求出AC==3，由于点P在x轴上，设P（a，0）根据AC=PB和两点间的距离公式得3=，解得a=4，或a=﹣2，即可得到结果．【解答】解：（1）把A（﹣3，1）代入y=，得，解得m=﹣3，∴反比例函数的表达式为，当x=1时，，∴B（1，﹣3）；把A（﹣3，1），B（1，﹣3）代入y=kx+b，∴，解得：，∴一次函数的表达式为y=﹣x﹣2；（2）∵直线AB与y轴交于点C，∴C（0，﹣2），∴AC==3，∵点P在x轴上，∴设P（a，0）∵AC=PB，∴3=，解得：a=4，或a=﹣2，∴P（4，0）或（﹣2，0）．【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，两点间的距离公式，正确的识图是解题的关键．22．列方程或方程组解应用题：【考点】分式方程的应用；一元二次方程的应用．【分析】设小白家这两年用水的年平均下降率为x，根据图示可得，实用新型冲水马桶之后，两年之后全年用水量只剩下64000升，据此列方程求解．【解答】解：设小白家这两年用水的年平均下降率为x，由题意，得（1﹣x）2=64000，解得：x1=1.8，x2=0.2，∵x=1.8不符合题意，舍去，∴x=0.2=20%．答：小白家这两年用水的年平均下降率为20%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题案的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．如图，点F在?ABCD的对角线AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，∠ABF=∠FBC+∠FCB．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若BE=5，AD=8，sin∠CBE=，求AC的长．【考点】菱形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．【分析】（1）由外角的性质可得∠AFB=∠FBC+∠FCB，又因为∠ABF=∠FBC+∠FCB，易得AB=AF，由菱形的判定定理可得结论；（2）作DH⊥AC于点H，由特殊角的三角函数可得∠CBE=30°，由平行线的性质可得∠2=∠CBE=30°，利用锐角三角函数可得AH，DH，由菱形的性质和勾股定理得CH，得AC．【解答】（1）证明：∵EF∥AB，BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形．∵∠ABF=∠FBC+∠FCB，∠AFB=∠FBC+∠FCB，∴∠ABF=∠AFB，∴AB=AF，∴?ABEF是菱形；（2）解：作DH⊥AC于点H，∵，∴∠CBE=30°，∵BE∥AC，∴∠1=∠CBE，∵AD∥BC，∴∠2=∠1，∴∠2=∠CBE=30°，Rt△ADH中，，DH=ADosin∠2=4，∵四边形ABEF是菱形，∴CD=AB=BE=5，Rt△CDH中，，∴．【点评】本题主要考查了菱形的性质及判定定理，锐角三角函数等，由锐角三角函数解得AH，CH是解答此题的关键．24．某校为了更好的开展"学校特色体育教育"，从全校八年级的各班分别随机抽取了5名男生和5名女生，组成了一个容量为60的样本，进行各项体育项目的测试，了解他们的身体素质情况．下表是整理样本数据，得到的关于每个个体的测试成绩的部分统计表、图：某校60名学生体育测试成绩频数分布表成绩 划记 频数 百分比优秀 正正正a 30%良好 正正正正正正 30 b合格 正9 15%不合格 3 5%合计 60 60 100%（说明：40﹣﹣﹣55分为不合格，55﹣﹣﹣70分为合格，70﹣﹣﹣85分为良好，85﹣﹣﹣100分为优秀）请根据以上信息，解答下列问题：（1）表中的a=18，b=50%；（2）请根据频数分布表，画出相应的频数分布直方图；（3）如果该校八年级共有150名学生，根据以上数据，估计该校八年级学生身体素质良好及以上的人数为120．【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表．【分析】（1）根据样本容量和百分比求出频数，根据样本容量和频数求出百分比；（2）根据频数画出频数分布直方图；（3）求出八年级学生身体素质良好及以上的人数的百分比，根据总人数求出答案．【解答】解：（1）60×30%=18，30÷60×100%=50%，∴a=18，b=50%；（2）如图，（3）150×（30%+50%）=120．【点评】本题考查读频数分布表的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，BD是⊙O的直径，PA∥BC，与DB的延长线交于点P，连接AD．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若AB=，BC=4，求AD的长．【考点】切线的判定；勾股定理．【分析】（1）连接OA交BC于点E，根据垂径定理的推论求得OA⊥BC，然后根据平行线的性质证得∠PAO=90°，即可证得结论．（2）根据勾股定理求得AE，得出tanC=，根据∠D=∠C，得出tanD==，从而求得AD的长．【解答】（1）证明：连接OA交BC于点E，由AB=AC可得OA⊥BC，∵PA∥BC，∴∠PAO=∠BEO=90°．∵OA为⊙O的半径，∴PA为⊙O的切线．（2）解：根据（1）可得CE=BC=2．Rt△ACE中，，∴tanC=．∵BD是直径，∴∠BAD=90°，又∵∠D=∠C，∴tanD==，∴AD=．【点评】本题考查了切线的判定，勾股定理的应用，正切函数的应用等；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．26．阅读下面材料：小凯遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=4，BD=6，∠AOB=30°，求四边形ABCD的面积．小凯发现，分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足分别为点E、F，设AO为m，通过计算△ABD与△BCD的面积和使问题得到解决（如图2）．请回答：（1）△ABD的面积为（用含m的式子表示）．（2）求四边形ABCD的面积．参考小凯思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=a，BD=b，∠AOB=α（0°＜α＜90°），则四边形ABCD的面积为（用含a、b、α的式子表示）．【考点】解直角三角形；三角形的面积；含30度角的直角三角形．【分析】（1）首先得出AE的长，再利用三角形的面积公式求出即可；（2）根据直角三角形的性质可得AE=，再根据三角形的面积公式可得S△ABD=，同理再表示CF=，然后再表示△BCD的面积，再求两个三角形的面积和可得答案；（3）方法与（2）类似．【解答】解：（1）∵AO=m，∠AOB=30°，∴AE=m，∴△ABD的面积为：×m×6=；故答案为：m；（2）由题意可知∠AEO=90°．∵AO=m，∠AOB=30°，∴AE=．∴S△ABD=．同理，CF=．∴S△BCD=．∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=6．解决问题：分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足分别为点E、F，设AO为x，∵AO=x，∠AOB=α，∴AE=xosinα．∴S△ABD=BDoAE=xb，同理，CF=（4﹣x）osinα，∴S△BCD=．DBoCF=bo（4﹣x）osinα，∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=．故答案为：．【点评】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形的面积，三角函数，关键是掌握三角形的面积公式．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．已知：关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣2=0（a＞0）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若y是关于a的函数，且y=ax2+x1，求这个函数的表达式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使y≤﹣3a2+1，则自变量a的取值范围为0＜a≤．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．【专题】计算题．【分析】（1）由于a＞0，则计算判别式的值得到△＞0，于是根据判别式的意义可判断方程有两个不相等的实数根；（2）利用求根公式可得到x1=1，x2=1﹣，于是得到y=ax2+x1=a﹣1；（3）把y≤﹣3a2+1理解为一次函数y=a﹣1与二次函数y=﹣3a2+1比较函数值的大小，先求出两函数的交点坐标，然后写出抛物线都在直线上方所对应的自变量的范围即可，注意a＞0．【解答】（1）证明：∵△=[﹣2（a﹣1）]2﹣4a（a﹣2）=4．∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：x==∵a＞0，x1＞x2，∴x1=1，x2=1﹣，∴y=ax2+x1=a﹣1，即这个函数的表达式为y=a﹣1（a＞0）；（3）解：如图，解方程组得或，即抛物线y=﹣3a2+1与直线y=a﹣1的两个交点坐标为（﹣1，﹣2）、（，﹣），当y≤﹣3a2+1时，0＜a≤．故答案为0＜a≤．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系：△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．28．数学活动课上，老师提出这样一个问题：如果AB=BC，∠ABC=60°，∠APC=30°，连接PB，那么PA、PB、PC之间会有怎样的等量关系呢？经过思考后，部分同学进行了如下的交流：小蕾：我将图形进行了特殊化，让点P在BA延长线上（如图1），得到了一个猜想：PA2+PC2=PB2．小东：我假设点P在∠ABC的内部，根据题目条件，这个图形具有"共端点等线段"的特点，可以利用旋转解决问题，旋转△PAB后得到△P′CB，并且可推出△PBP′，△PCP′分别是等边三角形、直角三角形，就能得到猜想和证明方法．这时老师对同学们说，请大家完成以下问题：（1）如图2，点P在∠ABC的内部，①PA=4，PC=，PB=2．②用等式表示PA、PB、PC之间的数量关系，并证明．（2）对于点P的其他位置，是否始终具有②中的结论？若是，请证明；若不是，请举例说明．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）根据结论代入即可填写；（2）根据△ABP≌△CBP′得出PA=P′C，∠A=∠BCP′，即可得出PA、PB、PC之间的数量关系；（3）当点P在CB的延长线上时，得出PA2+PB2=PC2．【解答】解：（1）①PB==．故答案为：；②PA2+PC2=PB2，证明：作∠PBP′=∠ABC=60°，且使BP′=BP，连接P′C、P′P，如图1：∴∠1=∠2，∵AB=CB，在△ABP与△CBP′中，，∴△ABP≌△CBP′，∴PA=P′C，∠A=∠BCP′，在四边形ABCP中，∵∠ABC=60°，∠APC=30°，∴∠A+∠BCP=270°，∴∠BCP′+∠BCP=270°，∴∠PCP′=360°﹣（∠BCP′+∠BCP）=90°，∵△PBP′是等边三角形，∴PP′=PB，在Rt△PCP′中，P'C2+PC2=P'P2，∴PA2+PC2=PB2；（2）点P在其他位置时，不是始终具有②中猜想的结论，举例：如图2，当点P在CB的延长线上时，结论为PA2+PB2=PC2．【点评】本题考查了几何变换问题，本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理以及三角形全等的性质．29．如图，顶点为A（﹣4，4）的二次函数图象经过原点（0，0），点P在该图象上，OP交其对称轴l于点M，点M、N关于点A对称，连接PN，ON．（1）求该二次函数的表达式；（2）若点P的坐标是（﹣6，3），求△OPN的面积；（3）当点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：①求证：∠PNM=∠ONM；②若△OPN为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据二次函数图象的顶点设出二次函数的关系式，再很据二次函数图象经过原点，求出a的值，即可得出二次函数的关系式；（2）设直线OP的解析式为y=kx，将A点代入，求出直线OP的解析式，再把x=﹣4代入y=﹣x，求出M的坐标，根据点M、N关于点P对称，求出N的坐标，从而得出MN的长，再根据三角形的面积公式即可得出答案．（3）①设对称轴l交x轴于点B，作PC⊥l于点C，由P在二次函数图象上，设P，再由O的坐标，表示出直线OP的解析式，进而表示出M，N及H的坐标，设对称轴l交x轴于点B，作PC⊥l于点C，构建相似三角形：△NCP∽△NBO．由相似三角形的对应角相等证得结论；②△OPN能为直角三角形，理由为：分三种情况考虑：若∠ONP为直角，由①得到∠PNM=∠ONM=45°，可得出三角形ACN为等腰直角三角形，得到PC=CN，将表示出的PC及CN代入，得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值为0或4±，进而得到此时A与P重合，不合题意，故∠ONP不能为直角；若∠PON为直角，利用勾股定理得到OP2+ON2=PN2，由P的坐标，利用勾股定理表示出OP2，由OB及BN，利用勾股定理表示出ON2，由PC及CN，利用勾股定理表示出PN2，代入OP2+ON2=PN2，得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值为4±4或0，然后判断∠PON是否为直角；若∠NPO为直角，则有△PMN∽△BMO∽△BON，由相似得比例，将各自的值代入得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值为4，此时A与P重合，故∠NPO不能为直角，综上，点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，△OPN不能为直角三角形．【解答】（1）解：设二次函数的表达式为y=a（x+4）2+4，把点（0，0）代入表达式，解得．∴二次函数的表达式为，即；（2）解：设直线OP为y=kx（k≠0），将P（﹣6，3）代入y=kx，解得，∴．当x=﹣4时，y=2．∴M（﹣4，2）．∵点M、N关于点A对称，∴N（﹣4，6）．∴MN=4．∴S△PON=S△OMN+S△PMN=12；（3）①证明：设点P的坐标为，其中t＜﹣4，设直线OP为y=k′x（k′≠0），将P代入y=k′x，解得．∴．当x=﹣4时，y=t+8．∴M（﹣4，t+8）．∴AN=AM=4﹣（t+8）=﹣t﹣4．设对称轴l交x轴于点B，作PC⊥l于点C，则B（﹣4，0），C．∴OB=4，NB=4+（﹣t﹣4）=﹣t，PC=﹣4﹣t，NC==．则，．∴．又∵∠NCP=∠NBO=90°，∴△NCP∽△NBO．∴∠PNM=∠ONM．②△OPN能为直角三角形，理由如下：解：分三种情况考虑：（i）若∠ONP为直角，由①得：∠PNM=∠ONM=45°，∴△PCN为等腰直角三角形，∴CP=NC，即m﹣4=m2﹣m，整理得：m2﹣8m+16=0，即（m﹣4）2=0，解得：m=4，此时点A与点P重合，故不存在P点使△OPN为直角三角形；（ii）若∠PON为直角，根据勾股定理得：OP2+ON2=PN2，∵OP2=m2+（﹣m2﹣2m）2，ON2=42+m2，AN2=（m﹣4）2+（﹣m2﹣2m+m）2，∴m2+（﹣m2﹣2m）2+42+m2=（m﹣4）2+（﹣m2﹣2m+m）2，整理得：m（m2﹣8m﹣16）=0，解得：m=0或m=﹣4﹣4或﹣4+4（舍去），当m=0时，P点与原点重合，故∠PON不能为直角，当m=﹣4﹣4，即P（﹣4﹣4，4）时，N为第四象限点，成立，故∠PON能为直角；（iii）若∠NPO为直角，可得∠NPM=∠OBM=90°，且∠PMN=∠BMO，∴△PMN∽△BMO，又∵∠MPN=∠OBN=90°，且∠PNM=∠OND，∴△PMN∽△BON，∴△PMN∽△BMO∽△BON，∴=，即=，整理得：（m﹣4）2=0，解得：m=4，此时A与P重合，故∠NPO不能为直角，综上，点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，△OPN能为直角三角形，当m=4+4，即P（）时，N为第四象限的点成立．【点评】此题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，两点坐标确定一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，本题（3）中的第②小问利用的是反证法，先假设结论成立，利用逻辑推理的方法得出与已知条件，定理，公理矛盾，可得出假设错误，原结论不成立．