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漯河市舞阳县2016年中考数学二模试卷含答案解析2015年河南省漯河市舞阳县中考数学二模试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．在已知实数﹣1，0，，﹣，20150中，最小的一个实数是（）A．﹣ B．﹣1 C． D．02．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，直线l1∥l2，且分别与△ABC的两边AB、AC相交，若∠A=50°，∠1=35°，则∠2的度数为（）A．35° B．65° C．85° D．95°4．为保证达万高速公路在2012年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务．已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用40天，如果甲、乙两队合作，可比规定时间提前14天完成任务．若设规定的时间为x天，由题意列出的方程是（）A． B．C． D．5．如图，A是正方体小木块（质地均匀）的顶点，将木块随机投掷在水平桌面上，则A与桌面接触的概率是（）A． B． C． D．6．如果不等式组的解集是x＜2，那么m的取值范围是（）A．m=2 B．m＞2 C．m＜2 D．m≥27．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．2cm B．cm C． D．8．二次函数y=ax2+bx+1（a＞1）的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），一元二次方程a2x2+bx+1=0有两个实数根x3，x4（x3＜x4），则x1，x2，x3，x4的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x3＜x1＜x2＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2二、填空题9．分解因式：m﹣6mn+9mn2=．10．函数y=中自变量x的取值范围是．11．在平面内，将长度为4的线段AB绕它的中点M，按逆时针方向旋转30°，则线段AB扫过的面积为．12．如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是．13．我市射击队为了从甲、乙两名运动员中选出一名运动员参加省运动会比赛，组织了选拔测试，两人分别进行了五次射击，成绩（单位：环）如下：甲 10 9 8 9 9乙 10 8 9 8 10则应派运动员参加省运动会比赛．14．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧上一点（不与A，B重合），则cosC的值为．15．如图，边长为2a的正方形EFGH在边长为6a的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB，线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为．三、解答题（本大题共8小题，满分75分）16．先化简，再求值：（a﹣3﹣）÷，其中a=﹣4．17．空气质量状况已引起全社会的广泛关注，某市统计了2013年每月空气质量达到良好以上的天数，整理后制成如下折线统计图和扇形统计图．根据以上信息解答下列问题：（1）该市2013年每月空气质量达到良好以上天数的中位数是天，众数是天；（2）求扇形统计图中扇形A的圆心角的度数；（3）根据以上统计图提供的信息，请你简要分析该市的空气质量状况（字数不超过30字）．18．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2．（1）求证：AB=BC；（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE=AE+CD．19．已知，如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A（1，4），点B（m，﹣1），（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出不等式x+b＞的解．20．两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部（1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）（2）设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN=2（+1）km，在M处测得点C位于点M的北偏东60°方向，在N处测得点C位于点N的北偏西45°方向，求点C到公路ME的距离．21．兴华初中准备购买10幅某种品牌的乒乓球拍，每幅球拍配x（x≥2）个乒乓球，该校附近A，B两家超市都有这种品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价均为40元，每个乒乓球的标价为4元，目前两家超市同时在做促销活动：A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售；B超市：买一副乒乓球拍送2个乒乓球．设在A超市购买乒乓球拍和乒乓球的费用为yA（元），在B超市购买乒乓球拍和乒乓球的费用为yB（元）．请解答下列问题：（1）分别写出yA、yB与x之间的关系式；（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？（3）若每副球拍配15个乒乓球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．22．请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．（1）初步探究：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD边AB、AD上，DE⊥CF于点P，小芳看到该图后，发现DE=CF，这是因为∠EDA和∠FCD都是∠EDC的余角，就会由ASA判定得出△ADE≌△DCF．（2）类比发现：小芳进一步思考，如果四边形ABCD是矩形，如图（2），且DE⊥CF于点P，她发现，请你替她完成证明；（3）拓展延伸：如图（3），若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EPC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论．23．已知抛物线y=x2+bx+1经过点（1，0），（0，n）．（1）b=，n=．（2）将该抛物线向下平移m（m＞0）个单位，设得到的抛物线的顶点为A，与x轴的两个交点为B，C，若△ABC为等边三角形．①求m的值；②设点A关于x轴的对称点为点D，在抛物线上是否存在点P，使四边形CBDP为平行四边形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2015年河南省漯河市舞阳县中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．在已知实数﹣1，0，，﹣，20150中，最小的一个实数是（）A．﹣ B．﹣1 C． D．0【考点】实数大小比较．【分析】利用任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小即可得出答案．【解答】解：∵20150=1，正实数都大于0，∴20150＞＞0，∵两个负实数绝对值大的反而小，|﹣|=，|﹣1|=1，，∴﹣1，∵负实数都小于0，正实数大于一切负实数，∴20150＞＞0＞﹣1，故选A．【点评】本题主要考查了实数的大小比较，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小是解答此题的关键．2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：图1、图5都是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．图3不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；也不是中心对称图形，因为绕中心旋转180度后与原图不重合．图2、图4既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选B．【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．如图，直线l1∥l2，且分别与△ABC的两边AB、AC相交，若∠A=50°，∠1=35°，则∠2的度数为（）A．35° B．65° C．85° D．95°【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．【分析】先根据平行线性质求出∠3，再根据三角形内角和定理求出∠4，即可求出答案．【解答】解：∵直线l1∥l2，且∠1=35°，∴∠3=∠1=35°，∵在△AEF中，∠A=50°，∴∠4=180°﹣∠3﹣∠A=95°，∴∠2=∠4=95°，故选D．【点评】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，对顶角相等的应用，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．4．为保证达万高速公路在2012年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务．已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用40天，如果甲、乙两队合作，可比规定时间提前14天完成任务．若设规定的时间为x天，由题意列出的方程是（）A． B．C． D．【考点】由实际问题抽象出分式方程．【专题】压轴题．【分析】设规定的时间为x天．则甲队单独完成这项工程所需时间是（x+10）天，乙队单独完成这项工程所需时间是（x+40）天．根据甲、乙两队合作，可比规定时间提前14天完成任务，列方程为+=．【解答】解：设规定时间为x天，则甲队单独一天完成这项工程的，乙队单独一天完成这项工程的，甲、乙两队合作一天完成这项工程的．则+=．故选B．【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程．在本题中，等量关系：甲单独做一天的工作量+乙单独做一天的工作量=甲、乙合做一天的工作量．5．如图，A是正方体小木块（质地均匀）的顶点，将木块随机投掷在水平桌面上，则A与桌面接触的概率是（）A． B． C． D．【考点】概率公式．【分析】由共有6个面，其中有3个面与桌面接触时，使得A与桌面接触，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵共有6个面，其中有3个面与桌面接触时，使得A与桌面接触，∴A与桌面接触的概率是：=．故选A．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．6．如果不等式组的解集是x＜2，那么m的取值范围是（）A．m=2 B．m＞2 C．m＜2 D．m≥2【考点】解一元一次不等式组；不等式的解集．【专题】计算题．【分析】先解第一个不等式，再根据不等式组的解集是x＜2，从而得出关于m的不等式，解不等式即可．【解答】解：解第一个不等式得，x＜2，∵不等式组的解集是x＜2，∴m≥2，故选D．【点评】本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．7．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．2cm B．cm C． D．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长．【解答】解：作OD⊥AB于D，连接OA．根据题意得：OD=OA=1cm，再根据勾股定理得：AD=cm，根据垂径定理得：AB=2cm．故选：C．【点评】注意由题目中的折叠即可发现OD=OA=1．考查了勾股定理以及垂径定理．8．二次函数y=ax2+bx+1（a＞1）的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），一元二次方程a2x2+bx+1=0有两个实数根x3，x4（x3＜x4），则x1，x2，x3，x4的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x3＜x1＜x2＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】构造两个函数F（x）=f（x）﹣1，G（x）=g（x）﹣1，通过它们与x轴的交点，得出它们的根之间的大小关系，然后通过分类讨论和在同一坐标中作出F（x）和G（x）的图象，然后将两个函数的图象向上平移一个单位，可得x1，x2，x3，x4的大关系．【解答】解：设函数F（x）=f（x）﹣1=ax2+bx，G（x）=g（x）﹣1=a2x2+bx，则两个函数都经过原点，此外F（x）与x轴的令一交点的横坐标为﹣，G（x）与x轴的令一交点的横坐标为x=﹣，①∵a＞0，当b＜0时，有0＜﹣＜﹣，在同一坐标系中作出F（x）和G（x）的图象，将此两个函数的图象向上平移一个单位可得函数f（x）和g（x）的图象，∴由图象得：x1＜x3＜x4＜x2，②当b＜0时，同理可得：x1＜x3＜x4＜x2，综上所述：x1，x2，x3，x4的大小关系是x1＜x3＜x4＜x2，故选B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根，二次函数的图象和性质，采用数形结合和分类讨论的数学思想解题是本题的关键所在．二、填空题9．分解因式：m﹣6mn+9mn2=m（1﹣3n）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】计算题．【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=m（1﹣6n+9n2）=m（1﹣3n）2．故答案为：m（1﹣3n）2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10．函数y=中自变量x的取值范围是x＞﹣3．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．【解答】解：根据题意得到：x+3＞0，解得x＞﹣3，故答案为x＞﹣3．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆．11．在平面内，将长度为4的线段AB绕它的中点M，按逆时针方向旋转30°，则线段AB扫过的面积为．【考点】扇形面积的计算；旋转的性质．【分析】线段AB扫过的面积是：半径是2，圆心角是30的扇形的面积的2倍，利用扇形的面积公式即可求解．【解答】解：半径是2，圆心角是30的扇形的面积是：=，则线段AB扫过的面积是2×=π．故答案是：π．【点评】本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是关键．12．如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是﹣（a+3）．【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】设点B的横坐标为x，然后表示出BC、B′C的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可得解．【解答】解：设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为﹣1﹣x，B′、C间的横坐标的长度为a+1，∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，∴2（﹣1﹣x）=a+1，解得x=﹣（a+3）．故答案为：﹣（a+3）．【点评】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．13．我市射击队为了从甲、乙两名运动员中选出一名运动员参加省运动会比赛，组织了选拔测试，两人分别进行了五次射击，成绩（单位：环）如下：甲 10 9 8 9 9乙 10 8 9 8 10则应派甲运动员参加省运动会比赛．【考点】方差．【分析】先分别计算出甲和乙的平均数，再利用方差公式求出甲和乙的方差，最后根据方差的大小进行判断即可．【解答】解：甲的平均数是：（10+9+8+9+9）=9，乙的平均数是：（10+8+9+8+10）=9，甲的方差是：S2甲=[（10﹣9）2+（9﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（9﹣9）2]=0.4；乙的方差是：S2乙=[（10﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（8﹣9）2+（10﹣9）2]=0.8；∵S2甲＜S2乙，∴甲的成绩稳定，∴应派甲运动员参加省运动会比赛．故答案为：甲．【点评】本题考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．14．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧上一点（不与A，B重合），则cosC的值为．【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理；锐角三角函数的定义．【分析】首先构造直径所对圆周角，利用勾股定理得出BD的长，再利用cosC=cosD=求出即可．【解答】解：连接AO并延长到圆上一点D，连接BD，可得AD为⊙O直径，故∠ABD=90°，∵⊙O的半径为5，∴AD=10，在Rt△ABD中，BD===8，∵∠ADB与∠ACB所对同弧，∴∠D=∠C，∴cosC=cosD===，故答案为：．【点评】此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义和圆周角定理，根据已知构造直角三角形ABD是解题关键．15．如图，边长为2a的正方形EFGH在边长为6a的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB，线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为a．【考点】三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．【分析】因为题目没有确定正方形EFGH的位置，所以我们可以将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，重新作出图形，这样有利于我们解题，过点M作MO⊥ED与O，则可得出OM是梯形FEDC的中位线，从而可求出ON、OM，然后在RT△MON中利用勾股定理可求出MN．【解答】解：如图，将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，过点M作MO⊥ED与O，则MO是梯形FEDC的中位线，∴EO=OD=4a，MO=（EF+CD）=4a．∵点N、M分别是AD、FC的中点，∴AN=ND=3a，∴ON=OD﹣ND=4a﹣3a=a．在Rt△MON中，MN2=MO2+ON2，即MN===a．故答案是：a．【点评】本题考查了梯形的中位线定理、正方形的性质及勾股定理的知识，属于综合性题目，对待这样既有动态因素又不确定位置的题目，一定要将位置特殊化，这样不影响结果且解题过程简单，同学们要学会在以后的解题中利用这种思想．三、解答题（本大题共8小题，满分75分）16．先化简，再求值：（a﹣3﹣）÷，其中a=﹣4．【考点】分式的化简求值．【专题】计算题．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=o=o=2（a+4）=2a+8，当a=﹣4时，原式=2（﹣4）+8=2．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．空气质量状况已引起全社会的广泛关注，某市统计了2013年每月空气质量达到良好以上的天数，整理后制成如下折线统计图和扇形统计图．根据以上信息解答下列问题：（1）该市2013年每月空气质量达到良好以上天数的中位数是14天，众数是13天；（2）求扇形统计图中扇形A的圆心角的度数；（3）根据以上统计图提供的信息，请你简要分析该市的空气质量状况（字数不超过30字）．【考点】折线统计图；扇形统计图；中位数；众数．【专题】图表型．【分析】（1）利用折线统计图得出各数据，进而求出中位数和众数；（2）利用（1）中数据得出空气为优的所占比例，进而得出扇形A的圆心角的度数；（3）结合空气质量进而得出答案．【解答】解：（1）由题意可得，数据为：8，9，12，13，13，13，15，16，17，19，21，21，最中间的是：13，15，故该市2013年每月空气质量达到良好以上天数的中位数是14天，众数是13天故答案为：14，13；（2）由题意可得：360°×=60°．答：扇形A的圆心角的度数是60°．（3）该市空气质量为优的月份太少，应对该市环境进一步治理，合理即可．【点评】此题主要考查了折线统计图以及中位数和众数的概念，利用折线统计图分析数据是解题关键．18．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2．（1）求证：AB=BC；（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE=AE+CD．【考点】勾股定理；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据勾股定理AB2+BC2=AC2，得出AB2+BC2=2AB2，进而得出AB=BC；（2）首先证明CDEF是矩形，再根据△BAE≌△CBF，得出AE=BF，进而证明结论．【解答】证明：（1）连接AC．∵∠ABC=90°，∴AB2+BC2=AC2．∵CD⊥AD，∴AD2+CD2=AC2．∵AD2+CD2=2AB2，∴AB2+BC2=2AB2，∴BC2=AB2，∵AB＞0，BC＞0，∴AB=BC．（2）过C作CF⊥BE于F．∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，∴∠FED=∠CFE=∠D=90°，∴四边形CDEF是矩形．∴CD=EF．∵∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∴在△BAE与△CBF中∴，∴△BAE≌△CBF．（AAS）∴AE=BF．∴BE=BF+EF=AE+CD．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及三角形的全等证明，根据已知得出四边形CDEF是矩形以及△BAE≌△CBF是解决问题的关键．19．已知，如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A（1，4），点B（m，﹣1），（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出不等式x+b＞的解．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）根据反比例函数y=的图象过点A（1，4）利用待定系数法求出即可；把B（m，﹣1）代入所求的反比例函数的解析式得出B点坐标，进而利用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）将三角形AOB分割为S△AOB=S△BOC+S△AOC，求出即可．（3）根据函数的图象和交点坐标即可求得．【解答】解：（1）把A点坐标（1，4）分别代入y=，y=x+b，得k=1×4，1+b=4，解得k=4，b=3，∴反比例函数、一次函数的解析式分别为y=，y=x+3．（2）如图，当y=﹣1时，x=﹣4，∴B（﹣4，﹣1），又∵当y=0时，x+3=0，x=﹣3，∴C（﹣3，0）．∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×4+×3×1=．（3）不等式x+b＞的解是x＞1或﹣4＜x＜0．【点评】此题主要考查了待定系数法求出反比例函数、一次函数解析式以及求三角形面积等知识，根据已知得出B点坐标以及得出S△AOB=S△BOC+S△AOC是解题关键．20．两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部（1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）（2）设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN=2（+1）km，在M处测得点C位于点M的北偏东60°方向，在N处测得点C位于点N的北偏西45°方向，求点C到公路ME的距离．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题；作图-应用与设计作图．【专题】作图题．【分析】（1）到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C．（2）作CD⊥MN于点D，由题意得：∠CMN=30°，∠CND=45°，分别在Rt△CMD中和Rt△CND中，用CD表示出MD和ND的长，从而求得CD的长即可．【解答】解：（1）答图如图：（2）作CD⊥MN于点D，由题意得：∠CMN=30°，∠CND=45°，∵在Rt△CMD中，=tan∠CMN，∴MD==；∵在Rt△CND中，=tan∠CNM，∴ND==CD；∵MN=2（+1）km，∴MN=MD+DN=CD+CD=2（+1）km，解得：CD=2km．故点C到公路ME的距离为2km．【点评】本题考查了解直角三角形的应用及尺规作图，正确的作出图形是解答本题的关键，难度不大．21．兴华初中准备购买10幅某种品牌的乒乓球拍，每幅球拍配x（x≥2）个乒乓球，该校附近A，B两家超市都有这种品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价均为40元，每个乒乓球的标价为4元，目前两家超市同时在做促销活动：A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售；B超市：买一副乒乓球拍送2个乒乓球．设在A超市购买乒乓球拍和乒乓球的费用为yA（元），在B超市购买乒乓球拍和乒乓球的费用为yB（元）．请解答下列问题：（1）分别写出yA、yB与x之间的关系式；（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？（3）若每副球拍配15个乒乓球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据购买费用=单价×数量建立关系就可以表示出yA、yB的解析式；（2）分三种情况进行讨论：当yA=yB时，当yA＞yB时，当yA＜yB时，分别求出购买划算的方案；（3）分两种情况进行讨论计算求出需要的费用，再进行比较就可以求出结论．【解答】解：（1）由题意，得yA=（10×40+4x）×0.9=3.6x+360，yB=10×40+4（x﹣20）=4x+320．（2）当yA=yB时，3.6x+360=4x+320，得x=100；当yA＞yB时，3.6x+360＞4x+320，得x＜100；当yA＜yB时，3.6x+360＜4x+320，得x＞100，∴当2≤x＜100时，到B超市购买划算，当x=100时，两家超市一样划算，当x＞100时在A超市购买划算．（3）由题意，知x=15×10=150＞100，∴选择A超市，yA=3.6×150+360=900（元）；如果先选择B超市购买10副乒乓球拍，送20个乒乓球，费用为400元，然后在A超市购买剩下的乒乓球，费用为（10×15﹣20）×4×0.9=468（元），共需费用868元．∵868＜900，∴最佳方案是先选择在B超市购买10副乒乓球拍，然后在A超市购买130个乒乓球．【点评】本题考查了一次函数的解析式的运用，分类讨论的数学思想的运用，方案设计的运用，解答时求出函数的解析式是关键．22．请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．（1）初步探究：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD边AB、AD上，DE⊥CF于点P，小芳看到该图后，发现DE=CF，这是因为∠EDA和∠FCD都是∠EDC的余角，就会由ASA判定得出△ADE≌△DCF．（2）类比发现：小芳进一步思考，如果四边形ABCD是矩形，如图（2），且DE⊥CF于点P，她发现，请你替她完成证明；（3）拓展延伸：如图（3），若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EPC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论．【考点】四边形综合题．【分析】（2）根据∠A=∠ADC=90°，DE⊥CF，证明∠ADE=∠DCF，得到△ADE∽△DCF，得到答案；（3）在AD的延长线上取点M，使CM=CF，证明△ADE∽△DCM，得到答案．【解答】（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=90°，又∵DE⊥CF，∴∠ADE=∠DCF，∴△ADE∽△DCF，∴=；（3）当∠B+∠EPC=180°时，=成立．证明：在AD的延长线上取点M，使CM=CF，则∠CMF=∠CFM，∵AD∥BC，∴∠CFM=∠FCB，∵AB∥CD，∴∠A=∠CDM，又∵∠B+∠EPC=180°，∴∠AED=∠FCB，∴∠CMF=∠AED，∴△ADE∽△DCM，∴=，即=．【点评】本题考查的是正方形、矩形和平行四边形的性质，灵活运用三角形全等和相似的判定和性质、正确作出辅助线是解题的关键．23．已知抛物线y=x2+bx+1经过点（1，0），（0，n）．（1）b=﹣2，n=1．（2）将该抛物线向下平移m（m＞0）个单位，设得到的抛物线的顶点为A，与x轴的两个交点为B，C，若△ABC为等边三角形．①求m的值；②设点A关于x轴的对称点为点D，在抛物线上是否存在点P，使四边形CBDP为平行四边形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题．【分析】（1）直接把（1，0），（0，n）分别代入y=x2+bx+1可求出b和n的值；（2）①根据抛物线的平移规律得到抛物线y=（x﹣1）2向下平移m（m＞0）个单位所得抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣m，则A（1，﹣m），再根据抛物线与x轴的交点问题得到B（1﹣，0），C（1+，0），则BC=2，然后根据等边三角形的性质得o2=m，解得m=3；②当m=3时，A（1，﹣3），抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣3，利用关于x轴的点的坐标特征得到D（1，3），根据平行四边形的性质得DP∥BC，DP=BC，而BC=2，于是可得P（1+2，3），然后判断P（1+2，3）不在抛物线y=（x﹣1）2﹣3上，于是得到不存在这样的P点．【解答】解：（1）把（1，0），（0，n）分别代入y=x2+bx+1得1+b+1=0，n=1，所以b=﹣2，n=1；故答案为﹣2，1；（2）①y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，将抛物线y=（x﹣1）2向下平移m（m＞0）个单位所得抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣m，则A（1，﹣m），当y=0时，（x﹣1）2﹣m=0，解得x1=1+，x2=1﹣，则B（1﹣，0），C（1+，0），∴BC=2，∵△ABC为等边三角形，∴o2=m，∴m=3；②不存在．理由如下：当m=3时，A（1，﹣3），y=（x﹣1）2﹣3，∵点A关于x轴的对称点为点D，∴D（1，3），要使四边形CBDP为平行四边形，则DP∥BC，DP=BC，而BC=1+﹣1+=2，∴P（1+2，3），当x=1+2时，y=（x﹣1）2﹣3=12﹣3=9，∴P（1+2，3）不在抛物线y=（x﹣1）2﹣3上，∴不存在这样的P点．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等边三角形的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求抛物线进行．