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广东省东莞市2016年中考数学二模试卷含答案解析2015年广东省东莞市中考数学二模试卷一．选择题：（本题共10个小题，每小题3分，共30分）1．2的倒数是（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣2．国家提倡"低碳减排"，湛江某公司计划在海边建风能发电站，电站年均发电量约为213000000度，若将数据213000000用科学记数法表示为（）A．213×106 B．21.3×107 C．2.13×108 D．2.13×1093．气候宜人的省级度假胜地吴川吉兆，测得一至五月份的平均气温分别为17、17、20、22、24（单位：℃），这组数据的中位数是（）A．24 B．22 C．20 D．174．如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．5．已知一个正多边形一个外角是72°，则这个正多边形是（）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形6．下列各式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．27．下列运算正确的是（）A．a2oa3=a6 B．（a2）4=a6 C．a4÷a=a3 D．（x+y）2=x2+y28．函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x＞﹣3 B．x≥﹣3 C．x≠﹣3 D．x≤﹣39．若关于y的一元二次方程ky2﹣7y﹣7=0有实根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣ B．k≥﹣且k≠0 C．k≤﹣ D．k＞﹣且k≠010．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值 B．对称轴是直线x=C．当x＜，y随x的增大而减小 D．当﹣1＜x＜2时，y＞0二、填空题：（本题共6个小题，每小题4分，共24分）11．化简：（﹣）×（a2﹣1）=．12．不等式组的解集是．13．如图是一副三角板叠放的示意图，则∠α=．14．已知=，则=．15．如图，AC⊥BC，AC=BC=4，以BC为直径作半圆，圆心为O．以点C为圆心，BC为半径作弧AB，过点O作AC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是．16．第一个图形为矩形，依次连矩形各边的中点得到第二个图形（菱形），按照此方法继续下去．已知第一个图形的面积为3，则第n个图形的面积为．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）17．计算：+|π﹣4|+（﹣1）0﹣（）﹣2．18．某市为治理污水，需要铺设一条全长为600米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？19．如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）20．如图，某船由西向东航行，在点A测得小岛O在北偏东60°，船航行了10海里后到达点B，这时测得小岛O在北偏东45°，船继续航行到点C时，测得小岛O恰好在船的正北方，求此时船到小岛的距离．21．甲、乙两组数据（单位：厘米）如下表甲组 173 172 174 172 174乙组 173 174 172 173 173（1）根据以上数据填表（参考公式：S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]） 众数（单位：厘米） 平均数（单位：厘米） 方差（单位：厘米）甲组   乙组   （2）那一组数据比较稳定？22．在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，AC=6．过D点作DE∥AC交BC的延长线于点E．（1）求△BDE的周长；（2）点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q．求证：BP=DQ．五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）23．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）的图象与一次函数y=kx﹣k的图象交点为A（m，2）．（1）求一次函数的解析式；（2）写出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围；（3）设一次函数y=kx﹣k的图象与y轴交于点B，若P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是4，求P的坐标．24．已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且顶点为D（1，4）．（1）求b和c的值；（2）如图，连接BC，与抛物线的对称轴相交于点E，点P是线段BC上一动点，作点P作PF∥DF，交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；①用含m的代数式表示线段PF的长，并求当四边形DEPF为平行四边形时m的值；②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出s的最大值．25．如图1，已知O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF=OA，OE=OD，连结EF，将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△F′OE′．连结AE′、BF′．（1）如图2，探究AE′与BF′的数量关系，并给予证明；（2）如图3，当α=45°，AB=4时，求：①∠AE′O的度数；②BF′的长度．2015年广东省东莞市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一．选择题：（本题共10个小题，每小题3分，共30分）1．2的倒数是（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣【考点】倒数．【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可．【解答】解：∵2×=1，∴2的倒数是．故选C．【点评】本题考查的是倒数的定义，即乘积是1的两数互为倒数．2．国家提倡"低碳减排"，湛江某公司计划在海边建风能发电站，电站年均发电量约为213000000度，若将数据213000000用科学记数法表示为（）A．213×106 B．21.3×107 C．2.13×108 D．2.13×109【考点】科学记数法-表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将213000000用科学记数法表示为2.13×108．故选C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．气候宜人的省级度假胜地吴川吉兆，测得一至五月份的平均气温分别为17、17、20、22、24（单位：℃），这组数据的中位数是（）A．24 B．22 C．20 D．17【考点】中位数．【分析】先把这组数据从小到大排列，再找出最中间的数即可．【解答】解：把这组数据从小到大排列为：17、17、20、22、24，最中间的数是20，则这组数据的中位数是20；故选C．【点评】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），熟练掌握中位数的定义是本题的关键．4．如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进行分析可以选出答案．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故A选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故B选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故C选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故D选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．5．已知一个正多边形一个外角是72°，则这个正多边形是（）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形【考点】多边形内角与外角．【分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．【解答】解：这个正多边形的边数：360°÷72°=5．故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．6．下列各式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．2【考点】最简二次根式．【分析】根据最简二次根式是被开方数不含分母，不含能开得尽的因数或因式是最简二次根式，可得答案．【解答】解：A、被开方数含分母，故A不是最简二次根式；B、含分母，故B不是最简二次根式，故B不是最简二次根式；C、是最简二次根式，故C正确；D、含能开方的因数，故D不是最简二次根式；故选：C．【点评】本题考查了最简二次根式，最简二次根式是被开方数不含分母，不含能开得尽的因数或因式是最简二次根式．7．下列运算正确的是（）A．a2oa3=a6 B．（a2）4=a6 C．a4÷a=a3 D．（x+y）2=x2+y2【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【专题】计算题．【分析】A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；B、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；C、利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；D、利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．【解答】解：A、a2oa3=a5，故A错误；B、（a2）4=a8，故B错误；C、a4÷a=a3，故C正确；D、（x+y）2=x2+2xy+y2，故D错误．故选：C．【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．8．函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x＞﹣3 B．x≥﹣3 C．x≠﹣3 D．x≤﹣3【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，x+3≥0，解得x≥﹣3．故选B．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．9．若关于y的一元二次方程ky2﹣7y﹣7=0有实根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣ B．k≥﹣且k≠0 C．k≤﹣ D．k＞﹣且k≠0【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义可得k≠0且△≥0，即（﹣7）2﹣4k×（﹣7）≥0，再解两个不等式，它们的公共部分即为k的取值范围．【解答】解：∵关于y的一元二次方程ky2﹣7y﹣7=0有实数根，∴k≠0且△≥0，即（﹣7）2﹣4k×（﹣7）≥0，解得k≥﹣，∴k的取值范围是k≥﹣且k≠0．故选B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值 B．对称轴是直线x=C．当x＜，y随x的增大而减小 D．当﹣1＜x＜2时，y＞0【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；根据图形直接判断B；根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．【解答】解：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意；B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故B选项不符合题意；C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．二、填空题：（本题共6个小题，每小题4分，共24分）11．化简：（﹣）×（a2﹣1）=a+3．【考点】分式的混合运算．【专题】计算题．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．【解答】解：原式=o（a+1）（a﹣1）=2a+2﹣a+1=a+3．故答案为：a+3【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．不等式组的解集是x＜﹣6．【考点】解一元一次不等式组．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：，由①得，x＜﹣3，由②得，x＜﹣6，故此不等式组的解集为：x＜﹣6．故答案为：x＜﹣6．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知"同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到"的原则是解答此题的关键．13．如图是一副三角板叠放的示意图，则∠α=75°．【考点】三角形的外角性质．【分析】首先根据三角板度数可得：∠ACB=90°，∠1=45°，再根据角的和差关系可得∠2的度数，然后再根据三角形内角与外角的关系可得答案．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠1=45°，∴∠2=90°﹣45°=45°，∴∠α=45°+30°=75°，故答案为：75°．【点评】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．14．已知=，则=．【考点】比例的性质．【分析】根据比例设x=3k，y=5k，然后带入比例式进行计算即可得解．【解答】解：∵=，∴设x=3k，y=5k，∴==．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，利用"设k法"求解更简便．15．如图，AC⊥BC，AC=BC=4，以BC为直径作半圆，圆心为O．以点C为圆心，BC为半径作弧AB，过点O作AC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是﹣2．【考点】扇形面积的计算；三角形的面积．【专题】压轴题．【分析】如图，连接CE．图中S阴影=S扇形BCE﹣S扇形BOD﹣S△OCE．根据已知条件易求得OB=OC=OD=2，BC=CE=4．∠ECB=60°，OE=2所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可．【解答】解：如图，连接CE．∵AC⊥BC，AC=BC=4，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作弧AB，∴∠ACB=90°，OB=OC=OD=2，BC=CE=4．又∵OE∥AC，∴∠ACB=∠COE=90°．∴在直角△OEC中，OC=2，CE=4，∴∠CEO=30°，∠ECB=60°，OE=2∴S阴影=S扇形BCE﹣S扇形BOD﹣S△OCE=﹣π×22﹣×2×2=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了扇形面积的计算．不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算．16．第一个图形为矩形，依次连矩形各边的中点得到第二个图形（菱形），按照此方法继续下去．已知第一个图形的面积为3，则第n个图形的面积为（）2n﹣2．【考点】中点四边形．【专题】规律型．【分析】易得第二个矩形的面积为（×3）2，第三个矩形的面积为（×3）4，依此类推，第n个矩形的面积为（×3）2n﹣2．【解答】解：已知第一个矩形的面积为3．第二个矩形的面积为原来的（×3）2×2﹣2=×32；第三个矩形的面积是（×3）2×3﹣2=×32；…故第n个矩形的面积为：（×3）2n﹣2．故答案为：（）2n﹣2．【点评】本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）17．计算：+|π﹣4|+（﹣1）0﹣（）﹣2．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=3+4﹣π+1﹣4=4﹣π．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．某市为治理污水，需要铺设一条全长为600米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？【考点】分式方程的应用．【分析】先设原计划每天铺设x米管道，则实际施工时，每天的铺设管道（1+20%）x米，由题意可得等量关系：原计划的工作时间﹣实际的工作时间=5，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．【解答】解：设原计划每天铺设x米管道，由题意得：﹣=5，解得：x=20，经检验：x=20是原方程的解．答：原计划每天铺设20米管道．【点评】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．19．如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．【考点】作图-基本作图；平行线的判定．【专题】作图题．【分析】（1）根据角平分线基本作图的作法作图即可；（2）根据角平分线的性质可得∠BDE=∠BDC，根据三角形内角与外角的性质可得∠A=∠BDC，再根据同位角相等两直线平行可得结论．【解答】解：（1）如图所示：（2）DE∥AC∵DE平分∠BDC，∴∠BDE=∠BDC，∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC，∴∠A=∠BDC，∴∠A=∠BDE，∴DE∥AC．【点评】此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直线平行．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）20．如图，某船由西向东航行，在点A测得小岛O在北偏东60°，船航行了10海里后到达点B，这时测得小岛O在北偏东45°，船继续航行到点C时，测得小岛O恰好在船的正北方，求此时船到小岛的距离．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【专题】探究型．【分析】设OC=x海里，依题意得，BC=OC=x，AC=，再根据AC﹣BC=10即可得到关于x的一元一次方程，求出x的值即可．【解答】解：设OC=x海里，依题意得，BC=OC=x，AC=．∴AC﹣BC=10，即（）x=10，∴x==5（+1），答：船与小岛的距离是5（+1）海里．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题意得出关于x的一元一次方程是解答此题的关键．21．甲、乙两组数据（单位：厘米）如下表甲组 173 172 174 172 174乙组 173 174 172 173 173（1）根据以上数据填表（参考公式：S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]） 众数（单位：厘米） 平均数（单位：厘米） 方差（单位：厘米）甲组 172 173 0.8乙组 173 173 0.4（2）那一组数据比较稳定？【考点】方差；加权平均数；众数．【分析】（1）根据众数是出现次数最多的数，平均数是所有数的和除以数的个数，方差：s2=[（x1﹣x?）2+（x2﹣x?）2+…+（xn﹣x?）2]进行计算即可；（2）方差小的数据稳定．【解答】解：（1）填表如下： 众数（单位：厘米） 平均数（单位：厘米） 方差（单位：厘米）甲组 172 173 0.8乙组 173 173 0.4（2）∵0.4＜0.8，∴乙组数据比较稳定．【点评】此题主要考查了方差、众数、平均数，关键是掌握方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．22．在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，AC=6．过D点作DE∥AC交BC的延长线于点E．（1）求△BDE的周长；（2）点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q．求证：BP=DQ．【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）因为菱形的对角线互相垂直及互相平分就可以在Rt△AOB中利用勾股定理求出OB，然后利用平行四边形的判定及性质就可以求出△BDE的周长；（2）容易证明△DOQ≌△BOP，再利用它们对应边相等就可以了．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=5，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC=3∴OB==4，BD=2OB=8，∵AD∥CE，AC∥DE，∴四边形ACED是平行四边形，∴CE=AD=BC=5，DE=AC=6，∴△BDE的周长是：BD+BC+CE+DE=8+10+6=24．（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠QDO=∠PBO，∵在△DOQ和△BOP中，∴△DOQ≌△BOP（ASA），∴BP=DQ．【点评】本题主要利用菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理来解决，也考查了全等三角形的判定及性质．五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）23．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）的图象与一次函数y=kx﹣k的图象交点为A（m，2）．（1）求一次函数的解析式；（2）写出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围；（3）设一次函数y=kx﹣k的图象与y轴交于点B，若P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是4，求P的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）将A点坐标代入y=（x＞0），求出m的值为2，再将（2，2）代入y=kx﹣k，求出k的值，即可得到一次函数的解析式；（2）根据图象即可求得；（3）将三角形以x轴为分界线，分为两个三角形计算，再把它们相加．【解答】解：（1）将A（m，2）代入y=（x＞0）得，m=2，则A点坐标为A（2，2），将A（2，2）代入y=kx﹣k得，2k﹣k=2，解得k=2，则一次函数解析式为y=2x﹣2；（2）∵A（2，2），∴根据图象可知：反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围0＜x＜2；（3）∵一次函数y=2x﹣2与x轴的交点为C（1，0），与y轴的交点为B（0，﹣2），S△ABP=S△ACP+S△BPC，∴×2CP+×2CP=4，解得CP=2．则P点坐标为（3，0），（﹣1，0）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求出函数解析式并熟悉点的坐标与图形的关系是解题的关键．24．已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且顶点为D（1，4）．（1）求b和c的值；（2）如图，连接BC，与抛物线的对称轴相交于点E，点P是线段BC上一动点，作点P作PF∥DF，交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；①用含m的代数式表示线段PF的长，并求当四边形DEPF为平行四边形时m的值；②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出s的最大值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）设出二次函数的顶点式，代入顶点坐标即可求得b、c的值；（2）①PF的长就是当x=m时，抛物线的值与直线BC所在一次函数的值的差．可先根据B，C的坐标求出BC所在直线的解析式，然后将m分别代入直线BC和抛物线的解析式中，求得出两函数的值的差就是PF的长．根据直线BC的解析式，可得出E点的坐标，根据抛物线的解析式可求出D点的坐标，然后根据坐标系中两点的距离公式，可求出DE的长，然后让PF=DE，即可求出此时m的值．②可将三角形BCF分成两部分来求：一部分是三角形PFC，以PF为底边，以P的横坐标为高即可得出三角形PFC的面积．一部分是三角形PFB，以PF为底边，以P、B两点的横坐标差的绝对值为高，即可求出三角形PFB的面积．然后根据三角形BCF的面积=三角形PFC的面积+三角形PFB的面积，可求出关于S、m的函数关系式，配方后即可确定最大值．【解答】解：（1）设y=﹣x2+bx+c=﹣（x﹣h）2+k，∵顶点为D（1，4），∴y=﹣x2+bx+c=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3，∴b=2，c=3；（2）令y=0，则﹣x2+2x+3=﹣（x+1）（x﹣3）=0，解得，x=﹣1或x=3，则A（﹣1，0），B（3，0）．令x=0，则y=0，则C（0，3）．综上所述，A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），抛物线的对称轴是x=1；①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b（k≠0）．把B（3，0），C（0，3）分别代入得：，解得：k=﹣1，b=3．所以直线BC的函数关系式为：y=﹣x+3．当x=1时，y=﹣1+3=2，∴E（1，2）．当x=m时，y=﹣m+3，∴P（m，﹣m+3）．在y=﹣x2+2x+3中，当x=1时，y=4．∴D（1，4）当x=m时，y=﹣m2+2m+3，∴F（m，﹣m2+2m+3）∴线段DE=4﹣2=2，线段PF=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m∵PF∥DE，∴当PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形．由﹣m2+3m=2，解得：m1=2，m2=1（不合题意，舍去）．因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得：OB=OM+MB=3．S=S△BCF=S△BPF+S△CPF=FPoOM+FPoBM=（﹣m2+3m）×3=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+．∴S的最大值为．【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，根据二次函数得出相关点的坐标和对称轴的解析式是解题的基础．25．如图1，已知O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF=OA，OE=OD，连结EF，将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△F′OE′．连结AE′、BF′．（1）如图2，探究AE′与BF′的数量关系，并给予证明；（2）如图3，当α=45°，AB=4时，求：①∠AE′O的度数；②BF′的长度．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）首先证明△AOE′≌△BOF′，根据全等三角形的对应边相等，即可证得；（2）①当α=45°时，OF′=OE′=OA，∠E′OF′=90°，所以A是等腰直角三角形OE′F′斜边中点，∠AE′O=45°；②易证四边形AOBF′是正方形，BF′=OA=AB=2．【解答】解：（1）∵正方形ABCD中，OA=OD=OB，又∵OF=2OA，OE=2OD，∴OE=OF，则OE′=OF′，在△AOE′和△BOF′中，，∴△AOE′≌△BOF′∴AE′=BF′；（2）①当α=45°时，OF′=OE′=OA，∠E′OF′=90°，∴△OE′F′是腰直角三角形，A为E′F′中点，∴∠AE′O=45°；②∵△AOE′≌△BOF′，∴∠BF′O=∠AE′O=45°，∵∠OF′A=45°，∴∠BF′A=90°，∵∠BF′A=∠F′AO=∠AOB=90°，OA=OB，∴四边形AOBF′是正方形，∴BF′=OA=AB=2．【点评】本题考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定与性质，以及正方形的性质，熟练的运用旋转的性质和全等三角形的证明方法是解决问题的关键．