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免费2018届中考数学《第四部分第四讲第1课时折叠操作型问题》同步练习含考点分类汇编详解第四讲实验操作型问题第1课时折叠操作型问题(50分)一、选择题(每题6分，共12分)1．[2017·长沙]如图4－1－1，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合(H不与端点C，D重合)，折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G.设正方形ABCD的周长为m，△CHG的周长为n，则nm的值为          (B)A.22B.12C.5－12D．随H点位置的变化而变化【解析】设CH＝x，DE＝y，则DH＝m4－x，EH＝m4－y，∵∠EHG＝90°，∴∠DHE＋∠CHG＝90°，∵∠DHE＋∠DEH＝90°，∴∠DEH＝∠CHG，又∵∠D＝∠C＝90°，△DEH∽△CHG,∴CGDH＝CHDE＝HGEH，即CGm4－x＝xy＝HGm4－y，∴CG＝xm4－xy，HG＝xm4－yy，△CHG的周长为n＝CH＋CG＋HG＝mx2－x2y，在Rt△DEH中，DH2＋DE2＝EH2，即m4－x2＋y2＝m4－y2，整理得mx2－x2＝my2，∴n＝CH＋HG＋CG＝mx2－x2y＝my2y＝m2，∴nm＝12.2．[2017·赤峰]如图4－1－2，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF＝23，则∠A＝   (A)A．120° B．100°C．60° D．30°图4－1－2 第2题答图【解析】如答图，连结AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵A沿EF折叠与O重合，∴EF⊥AC，EF平分AO，∵AC⊥BD，∴EF∥BD，∴E，F分别为AB，AD的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF＝12BD，∴BD＝2EF＝43，∴BO＝23，∴AO＝AB2－BO2＝2，∴AO＝12AB，∴∠ABO＝30°，∴∠BAO＝60°，∴∠BAD＝120°.二、填空题(每题6分，共12分)3．[2017·安徽]在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AC＝30cm，将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD(如图4－1－3①)，剪去△CDE后得到双层△BDE(如图②)，再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为__40或__8033__cm.【解析】∵∠A＝90°，∠C＝30°，AC＝30，∴AB＝103，∠ABC＝60°，∵△ADB≌△EDB，∴∠ABD＝∠EBD＝12∠ABC＝30°，BE＝AB＝103，∴DE＝10，BD＝20，如答图①，平行四边形的边是DF，BF，且DF＝BF＝2033，∴平行四边形的周长＝8033，如答图②，平行四边形的边是DE，EG，且DE＝EG＝10，∴平行四边形的周长＝40.综上所述，平行四边形的周长为40或8033.图4－1－3 第3题答图4．如图4－1－4①，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn＋1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称△ABC是好三角形，∠BAC为该三角形的好角．图4－1－4小丽发现好三角形折叠的次数不同，∠B与∠C的数量关系就不同．并作出展示：第一种好三角形：如图②，沿AD折叠1次，点B与点C重合；第二种好三角形：如图③，沿着AB1，A1B2经过2次折叠．(1)小丽展示的第一种好三角形中，∠B与∠C的数量关系是__∠B＝∠C__；(2)如果有一个好三角形ABC要经过5次折叠，最后一次恰好重合．则∠B与∠C的数量关系是__∠B＝5∠C__.【解析】(1)∠B＝∠C.如图②，沿AD折叠1次，点B与点C重合，则AB＝AC.故∠B＝∠C；(2)如答图，根据折叠的性质知，∠B＝∠AA1B1，∠C＝∠A2B2C，∠A1B1C＝∠A1A2B2，根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2＝∠C＋∠A2B2C＝2∠C；根据四边形的外角定理知，∠BAC＋∠B＋∠AA1B1－∠A1B1C＝∠BAC＋2∠B－2∠C＝180°，根据三角形的内角和定理知，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝3∠C；第4题答图由小丽展示的第一种好三角形知，当∠B＝∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的第二种好三角形知，当∠B＝2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；如答图，当∠B＝3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；故可推得若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C(不妨设∠B＞∠C)之间的数量关系为∠B＝n∠C；所以一个好三角形ABC要经过5次折叠，最后一次恰好重合．则∠B与∠C的数量关系是∠B＝5∠C.三、解答题(共26分)5．(12分)[2017·鄂州]如图4－1－5，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E.图4－1－5(1)求证：△AFE≌△CDE；(2)若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°，∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，∴∠F＝∠B，AB＝AF，∴AF＝CD，∠F＝∠D，在△AFE与△CDE中，∠F＝∠D，∠AEF＝∠CED，AF＝CD，∴△AFE≌△CDE；(2)∵AB＝4，BC＝8，∴CF＝AD＝8，AF＝CD＝AB＝4，∵△AFE≌△CDE，∴AE＝CE，FE＝DE，∴DE2＋CD2＝CE2，即DE2＋42＝(8－DE)2，∴DE＝3，∴EF＝3，∴S阴影＝S△ACE－S△AEF＝12×4×8－12×4×3＝10.6．(14分)[2017·衡阳一模]如图4－1－6，将矩形ABCD沿MN折叠，使点B与点D重合．(1)求证：DM＝DN；(2)当AB和AD满足什么数量关系时，△DMN是等边三角形？并说明你的理由．图4－1－6 第6题答图解：(1)证明：如答图，由题意知∠1＝∠2，又∵AB∥CD，得∠1＝∠3，则∠2＝∠3.故DM＝DN；(2)当AB＝3AD时，△DMN是等边三角形．理由：如答图，连结BD.∵∠A＝90°，AB＝3AD，∴tan∠ABD＝ADAB＝33，∴∠ABD＝30°，∵BM＝MD，∴∠ABD＝∠MDB＝30°，∴∠BMD＝120°，∴∠1＝∠2＝60°，又∵DM＝DN，∴△DMN是等边三角形．(30分)7．(15分)[2017·邵阳一模](1)操作发现：如图4－1－7，小明在矩形纸片ABCD的边AD上取中点E，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部，将BG延长交DC于点F，认为GF＝DF，你同意吗？说明理由；(2)问题解决：保持(1)中条件不变，若DC＝2FC，求ADAB的值．图4－1－7 第7题答图解：(1)同意．理由：如答图，连结EF，则∠EGF＝∠D＝90°.∵点E是AD的中点，∴由折叠的性质知，EG＝ED，在Rt△EGF和Rt△EDF中，EG＝ED，EF＝EF，∴Rt△EGF≌Rt△EDF(HL)．∴GF＝DF；(2)由(1)知，GF＝DF.设FC＝x，BC＝y，则有AD＝y.∵DC＝2FC，∴GF＝DF＝x，DC＝AB＝BG＝2x，∴BF＝BG＋GF＝3x.在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC2＋CF2＝BF2，即y2＋x2＝(3x)2.∴y＝22x，∴ADAB＝y2x＝2.8．(15分)[2017·兰山区模拟]已知：如图4－1－8，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点A，点D重合)，将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连结BP，BH.(1)求证：∠APB＝∠BPH；(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论． 图4－1－8第8题答图解：(1)证明：∵PE＝BE，∴∠EBP＝∠EPB.又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP，即∠PBC＝∠BPH，又∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC，∴∠APB＝∠BPH；(2)△PHD的周长不变为定值8.证明：如答图，过B作BQ⊥PH，垂足为Q.由(1)知∠APB＝∠BPH，在△ABP和△QBP中，∠APB＝∠PBH，∠A＝∠BQP，BP＝BP，∴△ABP≌△QBP(AAS)，∴AP＝QP，AB＝QB，又∵AB＝BC，∴BC＝BQ，又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，∴Rt△BCH≌Rt△BQH(HL)．∴CH＝QH.∴△PHD的周长为PD＋DH＋PH＝AP＋PD＋DH＋HC＝AD＋CD＝8.(20分)9．(20分)[2016·十堰]如图4－1－9，将矩形纸片ABCD(AD＞AB)折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；(2)若AB＝3，BC＝9，求线段CE的取值范围．解：(1)四边形CEGF为菱形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠FEC，∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折痕，∴∠GEF＝∠FEC，∴∠GFE＝∠FEG，∴GF＝GE，∵图形翻折后EC与GE完全重合，∴GE＝EC，∴GF＝EC，∴四边形CEGF为菱形；(2)如答图①，当点F与点D重合时，CE取最小值，由折叠的性质，得CD＝DG，∠CDE＝∠GDE＝45°，∵∠ECD＝90°，∴∠DEC＝45°＝∠CDE，∴CE＝CD＝DG，∵DG∥CE，∴四边形CEGD是正方形，∴CE＝CD＝AB＝3；第9题答图如答图②，当点G与点A重合时，CE取最大值，由折叠的性质，得AE＝CE，∵∠B＝90°，∴AE2＝AB2＋BE2，即CE2＝32＋(9－CE)2，∴CE＝5，∴线段CE的取值范围是3≤CE≤5.