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免费2018届中考数学《第四部分第四讲第2课时旋转操作型问题》同步练习含考点分类汇编详解第2课时旋转操作型问题(50分)一、选择题(每题6分，共12分)1．如图4－2－1，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为    (A)A．①② B．②③C．①③ D．①②③2．[2017·台州模拟]小东同学对图形世界充满兴趣，他先把一个面积为2743cm2的正三角形绕着它的中心旋转60°，旋转前后的两个正三角形构成如图4－2－2①的一个六角星；然后将该六角星按图②分割后拼成矩形ABCD.请你思考小东的问题：若将该矩形围成圆柱，则圆柱的高为   (D)图4－2－2A．23cm B．33cmC．23cm或6cm D．3cm或33cm【解析】设正三角形的边长为x，则34x2＝2734，解得x＝33，∴AD＝33，如答图，作OH⊥AD于H，AH＝332，∴OH＝33AH＝33×332＝32，∴AB＝2OH＝3，∴把矩形ABCD围成圆柱，则圆柱的高为33cm或3cm.二、填空题(每题6分，共12分)3．[2017·鄞州区模拟]如图4－2－3，将△ABC绕点A顺时针旋转，使点C落在边AB上的点E处，点B落在点D处，连结BD，如果∠DAC＝∠DBA，那么∠BAC的度数是__36__度．【解析】设∠BAC＝x，由旋转的性质，可得∠DAE＝∠BAC＝x，∴∠DAC＝∠DBA＝2x，又∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝2x，又∵△ABD中，∠BAD＋∠ABD＋∠ADB＝180°，∴x＋2x＋2x＝180°，∴x＝36°，即∠BAC＝36°.4．[2017·海曙区模拟]如图4－2－4，已知∠MON＝30°，B为OM上一点，BA⊥ON于A，四边形ABCD为正方形，P为射线BM上一动点，连结CP，将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE，连结BE，若AB＝4，则BE的最小值为__23＋2__．图4－2－4第4题答图【解析】如答图所示，将BC绕着点C顺时针旋转90°得FC，作直线FE交OM于H，则∠BCF＝90°，BC＝FC，∵将CP绕点C按顺时针方向旋转90°得CE，∴∠PCE＝90°，PC＝EC，∴∠BCP＝∠FCE，在△BCP和△FCE中，BC＝FC，∠BCP＝∠FCE，PC＝EC，∴△BCP≌△FCE(SAS)，∴∠CBP＝∠CFE，又∵∠BCF＝90°，∴∠BHF＝90°，∴点E在直线FH上，即点E的轨迹为射线，∵BH⊥EF，∴当点E与点H重合时，BE＝BH最短，∵当CP⊥OM时，Rt△BCP中，∠CBP＝30°，∴CP＝12BC＝2，BP＝3CP＝23，又∵∠PCE＝∠CPH＝∠PHE＝90°，CP＝CE，∴正方形CPHE中，PH＝CP＝2，∴BH＝BP＋PH＝23＋2，即BE的最小值为23＋2，三、解答题(共26分)5．(12分)在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上，这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，则格点多边形的面积可表示为S＝ma＋nb－1，其中m，n为常数．(1)在图4－2－5的方格纸中各画出一个面积为6的格点多边形，依次为三角形、平行四边形(非菱形)、菱形；图4－2－5(2)利用(1)中的格点多边形确定m，n的值．解：(1)如答图；第5题答图(2)三角形：a＝4，b＝6，S＝6；平行四边形：a＝3，b＝8，S＝6；菱形：a＝5，b＝4，S＝6；任选两组数据代入S＝ma＋nb－1，解得m＝1，n＝12.6．(14分)如图4－2－6①，正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，点E在AB上，连结DF，BF.现将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG＝α，其中0°≤α≤180°，如图②.图4－2－6(1)若α＝0°，则DF＝BF.请加以证明；(2)试画一个图形(反例)，说明(1)中命题的逆命题是假命题；(3)对于(1)中命题的逆命题，如果补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由．解：(1)证明：∵四边形AEFG是正方形，∴GF＝EF＝AG＝AE，∠AGF＝∠AEF＝90°.∴∠DGF＝∠BEF＝90°.∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∴AD－AG＝AB－AE，即DG＝BE，在△DGF和△BEF中，DG＝BE，∠DGF＝∠BEF，GF＝EF，∴△DGF≌△BEF(SAS)，∴DF＝BF；(2)反例如答图，DF＝BF，但α≠0°，α＝180°；(3)答案不唯一，如补充条件α＜180°.(30分)7．(14分)(1)如图4－2－7①，在等边三角形ABC中，M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连结AM，以AM为边作等边三角形AMN，连结CN.求证：∠ABC＝∠ACN；(2)如图②，在等边三角形ABC中，M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其他条件不变，(1)中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由；(3)如图③，在等腰三角形ABC中，BA＝BC，M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连结AM，以AM为边作等腰三角形AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC.连结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．图4－2－7解：(1)证明：∵△ABC，△AMN都是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM≌△CAN(SAS)，∴∠ABC＝∠ACN；(2)结论∠ABC＝∠ACN仍成立．理由：∵△ABC，△AMN都是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°.∴∠BAM＝∠CAN.∴△BAM≌△CAN(SAS)；∴∠ABC＝∠ACN；(3)∠ABC＝∠ACN.理由：∵BA＝BC，MA＝MN，∠ABC＝∠AMN，∴∠BAC＝∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴ABAM＝ACAN.∵∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC＝∠ACN.8．(16分)[2016·资阳]在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连结BD，过点D作DF⊥AC于点F.(1)如图4－2－8①，若点F与点A重合，求证：AC＝BC；图4－2－8(2)若∠DAF＝∠DBA，(Ⅰ)如图②，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由；(Ⅱ)当点F在线段CA上时，设BE＝x，请用含x的代数式表示线段AF.解：(1)证明：由旋转性质，得∠BAC＝∠BAD，∵DF⊥AC，∴∠CAD＝90°，∴∠BAC＝∠BAD＝45°，∵∠C＝90°，∴∠ABC＝45°，∴AC＝BC；(2)(Ⅰ)AF＝BE.理由：由旋转性质，得AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠DAF＝∠DBA，∴∠DAF＝∠ADB，∴AF∥BD，∴∠BAC＝∠ABD，∵∠ABD＝∠FAD，由旋转性质，得∠BAC＝∠BAD，∴∠FAD＝∠BAC＝∠BAD＝13×180°＝60°，由旋转性质，得AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD，在△AFD和△BED中，∠F＝∠BED＝90°，∠FAD＝∠EBD，AD＝BD，∴△AFD≌△BED(AAS)，∴AF＝BE；(Ⅱ)如答图，由旋转性质，得∠BAC＝∠BAD，∵∠DBA＝∠DAF＝∠BAC＋∠BAD＝2∠BAD，由旋转性质，得AD＝AB，∴∠DBA＝∠ABD＝2∠BAD，∵∠BAD＋∠ABD＋∠ADB＝180°，∴∠BAD＋2∠BAD＋2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝36°，设BE＝x，作BG平分∠DBA，交AD于点G.∴∠BAD＝∠GBD＝36°∴AG＝BG＝BD，∴DG＝AD－AG＝AD－BG＝AD－BD，∵∠BDG＝∠ADB，∴△BDG∽△ADB，∴BDAD＝DGDB.∴BDAD＝AD－BDBD，设BDAD＝a，则a＝1a－1，解得a＝1＋52，∴ADBD＝1＋52，∵∠FAD＝∠EBD，∠AFD＝∠BED，∴△AFD∽△BED，∴ADBD＝AFBE，∴AF＝ADBD·BE＝1＋52x.(20分)9．(20分)[2017·淮安]【操作发现】如图4－2－9①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．图4－2－9(1)请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连结BB′；(2)在(1)所画图形中，∠AB′B＝__45°__．【问题解决】如图②，在等边三角形ABC中，AC＝7，点P在△ABC内，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积．小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题产生了如下想法：想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连结PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连结PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系…请参考小明同学的一种想法，完成该问题的解答过程．【灵活运用】如图③，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB(k为常数)，求BD的长(用含k的式子表示)．解：【操作发现】(1)如答图①所示．第9题答图①(2)45°.【问题解决】如答图②，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连结PP′，则AP′＝AP，∠PAP′＝60°，∠AP′B＝∠APC.∴△APP′是等边三角形．∴∠APP′＝∠AP′P＝60°.∵∠APC＝90°，∠BPC＝120°，∴∠APB＝360°－∠APC－∠BPC＝150°.∴∠BPP′＝∠APB－∠APP′＝150°－60°＝90°.∴∠BP′P＝∠AP′B－∠AP′P＝90°－60°＝30°.设BP＝a.在Rt△BPP′中，∵∠BP′P＝30°，∴P′B＝2a，P′P＝3a.∴AP＝3a，PC＝2a.在Rt△APC中，由勾股定理，得AP2＋PC2＝AC2，即(3a)2＋(2a)2＝72，解得a＝7.∴AP＝21，PC＝27.∴S△APC＝12AP·PC＝12×21×27＝73.第9题答图②第9题答图③【灵活运用】如答图③，连结AC.∵AE⊥BC，BE＝CE，∴AB＝AC.又∵AE⊥BC，∴∠BAE＝∠CAE.设∠BAE＝α，则∠CAE＝α，∠ABE＝90°－α，∠ADC＝α.将△ACD绕点A顺时针旋转2α，得到△ABD′，则BD′＝CD＝5，AD＝AD′，∠DAD′＝2α，∠BD′A＝α.过点A作AF⊥DD′，垂足为F，则∠D′AF＝α，∠AD′F＝90°－α，DD′＝2D′F.∴∠BD′D＝∠BD′A＋∠AD′F＝α＋90°－α＝90°.在Rt△AD′F中，D′F＝AD′·cos∠AD′F＝AD·cos(90°－α)＝kAB·cos(90°－α)＝k·BE＝2k.∴DD′＝4k.在Rt△BDD′中，由勾股定理得BD＝BD′2＋D′D2＝52＋（4k）2＝25＋16k2.