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免费遵义专版2018年中考总复习第三编专训4：第4节存在性问题含考点分类汇编详解第四节存在性问题这类问题是近几年来各地中考的"热点"．解决存在性问题就是：假设存在→推理论证→得出结论．若能导出合理的结果，就作出"存在"的判断，导出矛盾，就作出不存在的判断．尤其以二次函数中的是否存在相似三角形、三角形的面积相等、等腰(直角)三角形、平行四边形作为考查对象是中考命题热点．这类题型对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对知识、能力的一次全面的考查．,中考重难点突破)【例1】(汇川中考模拟)抛物线y＝14x2－32x＋2与x轴交于A，B两点(OA<OB)，与y轴交于点C.(1)求点A，B，C的坐标；(2)点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为ts(0<t<2)．21世纪教育网版权所有①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D(如图所示)，当t为何值时，1OP＋1ED的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；21教育网②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．21·cn·jy·com【解析】(1)在抛物线的解析式中，令y＝0，令x＝0，解方程即可得到结果；(2)①由题意得：OP＝2t，OE＝t，通过△CDE∽△CBO得到CECO＝EDOB，即2－t2＝DE4，求得1OP＋1ED有最小值1，即可求得结果；②存在，求得抛物线y＝14x2－32x＋2的对称轴为直线x＝3，设F(3，m)，当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF＝90°时，②当∠EFP＝90°时，③当∠PEF＝90°时，根据勾股定律列方程即可求得结果．2·1·c·n·j·y【答案】解：(1)在抛物线的解析式中，令y＝0，得14x2－32x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝4.∵OA<OB，∴A(2，0)，B(4，0)，在抛物线的解析式中，令x＝0，得y＝2，∴C(0，2)；(2)①由题意，得OP＝2t，OE＝t.∵DE∥OB，∴△CDE∽△CBO，∴CECO＝EDOB，即2－t2＝DE4，∴DE＝4－2t，∴1OP＋1ED＝12t＋14－2t＝1－t2＋2t＝11－（t－1）2，∵0<t<2，1－(t－1)2始终为正数，且t＝1时，1－(t－1)2有最大值1，∴t＝1时，11－（t－1）2有最小值1，即t＝1时，1OP＋1ED有最小值1，此时OP＝2，OE＝1，∴E(0，1)，P(2，0)；②存在．F的坐标为(3，2)或(3，7)．【规律总结】这类问题一般是对结论作出肯定的假设，然后由肯定的假设出发，结合已知条件建立方程，解出方程的解的情况和结合题目的已知条件确定"存在与否"．解题的方法主要是建立方程模型，由方程有无符合条件的解来肯定"存在与否"的问题．21cnjyvvvvv◆模拟题区1．(汇川升学二模)在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋(k－1)x－k与直线y＝kx＋1交于A，B两点，点A在点B的左侧．21·世纪*教育网(1)如图①，当k＝1时，写出A，B两点的坐标；(2)在(1)的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；www-2-1-cnjy-com(3)如图②，抛物线y＝x2＋(k－1)x－k(k>0)与x轴交于点C，D两点(点C在点D的左侧)，在直线y＝kx＋1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．解：(1)当k＝1时，抛物线的解析式为y＝x2－1，直线的解析式为y＝x＋1.联立两个解析式，得x2－1＝x＋1，解得x＝－1或x＝2，当x＝－1时，y＝x＋1＝0；当x＝2时，y＝x＋1＝3，∴A(－1，0)，B(2，3)；(2)设P(x，x2－1)．如图①所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F(x，x＋1)．∴PF＝(x＋1)－(x2－1)＝－x2＋x＋2.S△ABP＝S△PFA＋S△PFB＝12PF(xF－xA)＋12PF(xB－xF)＝12PF(xB－xA)＝32PF，www.21-cn-jyvvvvv∴S△ABP＝32(－x2＋x＋2)＝－32x－122＋278，当x＝12时，yP＝x2－1＝－34.∴△ABP面积最大值为278，此时点P坐标为12，－34；(3)存在，理由如下：设直线AB：y＝kx＋1与x轴，y轴分别交于点E，F，则E－1k，0，F(0，1)，OE＝1k，OF＝1.在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF＝1k2＋1＝1＋k2k.令y＝x2＋(k－1)x－k＝0，即(x＋k)(x－1)＝0，解得x＝－k或x＝1，∴C(－k，0)，OC＝k.设以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC＝90°.设点N为OC中点，连接NQ，如图②所示，则NQ⊥EF，NQ＝CN＝ON＝k2，∴EN＝OE－ON＝1k－k2.∵∠NEQ＝∠FEO，∠EQN＝∠EOF＝90°，∴△EQN∽△EOF，∴NQOF＝ENEF，即k21＝1k－k21＋k2k，∴k＝±255.∵k>0，∴k＝255，∴当k＝255时，存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°.◆中考真题区2．(黔东南中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－16x2＋bx＋c过点A(0，4)和C(8，0)，P(t，0)是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB.过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线相交于点D.【来源：21·世纪·教育·网】(1)求b，c的值；(2)当t为何值时，点D落在抛物线上；(3)是否存在t，使得以A，B，D为顶点的三角形与△AOP相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由．2-1-c-n-j-y解：(1)∵A(0，4)，C(8，0)在抛物线上，∴c＝4，0＝－16×82＋8b＋c，解得b＝56，c＝4；(2)∵∠AOP＝∠PEB＝90°，∠OAP＝90°－∠APO＝∠EPB，∴△AOP∽△PEB，∴AOPE＝APPB，∵AO＝4，AP＝2MP＝2PB，∴PE＝2，OE＝OP＋PE＝t＋2，又∵DE＝OA＝4，∴点D的坐标为(t＋2，4)，当点D落在抛物线上时，有－16(t＋2)2＋56(t＋2)＋4＝4，解得t＝3或t＝－2，∵t＞0，∴t＝3，故当t为3时，点D落在抛物线上；(3)存在t，能够使得以A，B，D为顶点的三角形与△AOP相似．理由如下：①当0＜t＜8时，若△POA∽△ADB，则POAD＝AOBD，即tt＋2＝44－12t整理，得t2＋16＝0，∴t无解；若△POA∽△BDA，同理，解得t＝－2±25(负值舍去)；②当t＞8时，若△POA∽△ADB，则POAD＝AOBD，即tt＋2＝44－12t，解得t＝8±45(负值舍去)；若△POA∽△BDA，同理，解得t无解．综上所述，当t＝－2＋25或8＋45时，以A，B，D为顶点的三角形与△AOP相似.