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免费2018届中考数学《第四部分第四讲第3课时分割与拼接》同步练习含考点分类汇编详解第3课时分割与拼接操作型问题(50分)一、选择题(每题6分，共12分)1．如图4－3－1，在下列三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(D)图4－3－1A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④【解析】根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定定理：等角对等边，①中，作底角的角平分线即可；②中，不能；③中，作底边上的高线即可；④中，在BC边上截取BD＝AB即可．2．如图4－3－2，一张矩形纸片沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星(正五边形对角线所构成的图形)，则∠OCD等于(C)图4－3－2A．108°B.114°C．126°D.129°【解析】展开如答图：五角星的每个角的度数是1805＝36°，∵∠COD＝360°÷10＝36°，∠ODC＝36°÷2＝18°，∴∠OCD＝180°－36°－18°＝126°.二、填空题(每题6分，共12分)3．如图4－3－3，在四边形纸片ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝150°.将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD＝__2＋__3或4＋2__3__．【解析】如答图①，作AE∥BC，延长AE交CD于点N，过点B作BT⊥EC于点T，四边形ABCE为平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCE是菱形，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝150°，BC∥AN，∴∠ADC＝30°，∠BAN＝∠BCE＝30°，则∠NAD＝60°，∴∠AND＝90°，∵四边形ABCE面积为2，设BT＝x，则BC＝EC＝2x，故2x·x＝2，解得x＝1(负数舍去)，则AE＝EC＝2，EN＝22－12＝3，故AN＝2＋3，则AD＝DC＝4＋23；第3题答图①第3题答图②如答图②，四边形BEDF是平行四边形，∵BE＝BF，∴平行四边形BEDF是菱形，∵∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝150°，∴∠ADB＝∠BDC＝15°，∵BE＝DE，∴∠AEB＝30°，∴设AB＝y，则BE＝2y，AE＝3y，∵四边形BEDF面积为2，∴AB·DE＝2y2＝2，解得y＝1，故AE＝3，DE＝2，则AD＝2＋3，综上所述，CD的值为2＋3或4＋23.4.[2016·江西]如图4－3－4是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP)，使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是__5__2或45__或5__．图4－3－4第4题答图【解析】如答图所示：①AP＝AE＝5时，∵∠BAD＝90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底边PE＝2AE＝52；②当P1E＝AE＝5时，∵BE＝AB－AE＝8－5＝3，∠B＝90°，∴P1B＝P1E2－BE2＝4，∴底边AP1＝AB2＋P1B2＝82＋42＝45；③当P2A＝P2E时，底边AE＝5；综上所述，等腰三角形AEP的底边长是52或45或5.三、解答题(共26分)5．(12分)[2016·荆州]请用割补法作图，将一个锐角三角形(如图4－3－5)经过一次或两次分割后，重新拼成一个与原三角形面积相等的平行四边形(只要求用一种方法画出图形，把相等的线段作相同的标记)．解：如答图所示．第5题答图AE＝BE，DE＝EF，AD＝CF.6．(14分)(1)如图4－3－6，△ABC纸片中，∠A＝36°，AB＝AC，请你剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．请画出示意图，并标明必要的角度；(2)已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，连结AD，若△ACD与△ABD都是等腰三角形，则∠B的度数是__45°或36°__；(3)现将(1)中的等腰三角形改为△ABC中，∠A＝36°，从点B出发引一直线可分成两个等腰三角形，则原三角形的最大内角的所有可能值是__72°，108°，190°，126°__．(直接写出答案)解：(1)如答图①所示．答案不唯一，只要符合题意均正确．第6题答图①(2)如答图②，∠B的度数是45°或36°.第6题答图②(3)72°，108°，90°，126°.(30分)7．(14分)阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图4－3－7①，在边长为a(a＞2)的正方形ABCD各边上分别截取AE＝BF＝CG＝DH＝1，当∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°时，求正方形MNPQ的面积．小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图②)．请回答：(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙不重叠)，则这个新正方形的边长为__a__；(2)求正方形MNPQ的面积．(3)参考小明思考问题的方法，解决问题：如图③，在等边三角形ABC各边上分别截取AD＝BE＝CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边三角形RPQ.若S△RPQ＝33，则AD的长为__23__．图4－3－7解：(1)四个等腰直角三角形的斜边长为a，则斜边上的高为12a，每个等腰直角三角形的面积为12a·12a＝14a2，则拼成的新正方形面积为4×14a2＝a2，即与原正方形ABCD面积相等，∴这个新正方形的边长为a；(2)∵四个等腰直角三角形的面积和为a2，正方形ABCD的面积为a2，∴S正方形MNPQ＝S△ARE＋S△DWH＋S△GCT＋S△SBF＝4S△ARE＝4×12×12＝2；(3)如答图所示，分别延长RD，QF，PE，交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W.由题意易得△RSF，△QET，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长．不妨设等边三角形边长为a，则SF＝AC＝a.过点R作RM⊥SF于点M，则MF＝12SF＝12a，在Rt△RMF中，RM＝MF·tan30°＝12a×33＝36a，∴S△RSF＝12a·36a＝312a2.过点A作AN⊥SD于点N，设AD＝＝x，则AN＝AD·sin30°＝12x，SD＝2ND＝2ADcos30°＝3x，∴S△ADS＝12SD·AN＝12·3x·12x＝34x2.∵三个等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面积和＝3S△RSF＝3×312a2＝34a2，∴S△RPQ＝S△ADS＋S△CFT＋S△BEW＝3S△ADS，∴33＝3×34x2，得x2＝49，解得x＝23或－23(不合题意，舍去)，∴x＝23，即AD的长为23.8．(16分)[2016·山西]综合与实践问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以"菱形纸片的剪拼"为主题开展数学活动，如图4－3－8①，将一张菱形纸片ABCD(∠BAD＞90°)沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD.操作发现：(1)将图①中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图②所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是__菱形__；(2)创新小组将图①中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝2∠BAC，得到如图③所示的△AC′D，连结DB，C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形，请你证明这个结论；实践探究：(3)缜密小组在创新小组所发现结论的基础上，量得图③中BC＝13cm，AC＝10cm，然后提出一个问题：将△AC′D沿着射线DB方向平移acm，得到△A′C′′D′，连结BD′，CC′′，使四边形BCC′′D′恰好为正方形．求a的值，请你解答此问题；图4－3－8(4)请你参照以上操作，将图①中的△ACD在同一平面内进行一次平移，得到△A′C′D，画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．解：(1)如答图①，由题意可得∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠1＝∠4，AC＝AC′，故AC′∥EC，AC∥C′E，则四边形ACEC′是平行四边形，故四边形ACEC′的形状是菱形；(2)证明：如答图②，作AE⊥CC′于点E，由旋转得AC′＝AC，则∠CAE＝∠C′AE＝12α＝∠BAC，∵四边形ABCD是菱形，∴BA＝BC，∴∠BCA＝∠BAC，∴∠CAE＝∠BCA，∴AE∥BC，同理可得AE∥DC′，∴BC∥DC′，则∠BCC′＝90°，又∵BC＝DC′，∴四边形BCC′D是平行四边形，∵∠BCC′＝90°，∴四边形BCC′D是矩形；(3)如答图②，过点B作BF⊥AC，垂足为F，∵BA＝BC，∴CF＝AF＝12AC＝12×10＝5，在Rt△BCF中，BF＝BC2－CF2＝132－52＝12，在△ACE和△CBF中，∵∠CAE＝∠BCF，∠CEA＝∠BFC＝90°，∴△ACE∽△CBF，∴CEBF＝ACBC，即CE12＝1013，解得EC＝12013，∵AC＝AC′，AE⊥CC′，∴CC′＝2CE＝2×12013＝24013，当四边形BCC′′D′恰好为正方形时，分两种情况：①点C″在边C′C上，a＝C′C－13＝24013－13＝7113，②点C″在C′C的延长线上，a＝C′C＋13＝24013＋13＝40913.综上所述，a的值为7113或40913.(4)答案不唯一，例如：如答图③所示，平移及构图方法：将△ACD沿着射线CA方向平移，平移距离为12AC的长度，得到△A′C′D′，连结A′B，D′C.结论：∵BC＝A′D′，BC∥A′D′，∴四边形A′BCD′是平行四边形．(20分)9．(20分)用如图4－3－9①，②所示的两个直角三角形(部分边长及角的度数在图中已标出)，完成以下两个探究问题：图4－3－9探究一：将以上两个三角形如图③拼接(BC和ED重合)，在BC边上有一动点P.(1)当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连结AP，求线段AP的长；(2)当点P在运动的过程中出现PA＝FC时，求∠PAB的度数．探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M，N两点，连结MN.在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．图4－3－9解：探究一：(1)依题意画出图形，如答图①所示：由题意，得∠CFB＝60°，FP为角平分线，则∠CFP＝30°，∴CF＝BC·tan30°＝3×33＝3，∴CP＝CF·tan∠CFP＝3×33＝1.过点A作AG⊥BC于点G，则AG＝12BC＝32，∴PG＝CG－CP＝32－1＝12.在Rt△APG中，由勾股定理得AP＝AG2＋PG2＝322＋122＝102.(2)由(1)可知，FC＝3.如答图②所示，以点A为圆心，以FC＝3长为半径画弧，与BC交于点P1，P2，则AP1＝AP2＝3.过点A作AG⊥BC于点G，则AG＝12BC＝32.在Rt△AGP1中，cos∠P1AG＝AGAP1＝323＝32，∴∠P1AG＝30°，∴∠P1AB＝45°－30°＝15°；同理求得，∠P2AG＝30°，∠P2AB＝45°＋30°＝75°.∴∠PAB的度数为15°或75°.探究二：△AMN的周长存在最小值．如答图③所示，连结AD.∵△ABC为等腰直角三角形，点D为斜边BC的中点，∴AD＝CD，∠C＝∠MAD＝45°.∵∠EDF＝90°，∠ADC＝90°，∴∠MDA＝∠NDC.∵在△AMD与△CND中，∠MAD＝∠C，AD＝CD，∠MDA＝∠NDC，∴△AMD≌△CND(A)．∴AM＝CN.设AM＝x，则CN＝x，AN＝AC－CN＝22BC－CN＝322－x.在Rt△AMN中，由勾股定理得MN＝AM2＋AN2＝x2＋（322－x）2＝2x2－32x＋92＝2x－3242＋94，△AMN的周长为AM＋AN＋MN＝322＋2x－3242＋94，当x＝324时，有最小值，最小值为322＋94＝3＋322.∴△AMN周长的最小值为3＋322.