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免费2018届中考数学《第四部分第五讲第2课时二次函数与四边形》同步练习含考点分类汇编详解第2课时二次函数与四边形的综合(45分)1．(15分)[2017·镇江]如图5－2－1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B坐标为(4，t)(t＞0)．二次函数y＝x2＋bx(b＜0)的图象经过点B，顶点为点D.(1)当t＝12时，顶点D到x轴的距离等于__14__；(2)点E是二次函数y＝x2＋bx(b＜0)的图象与x轴的一个公共点(点E与点O不重合)．求OE·EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；(3)矩形OABC的对角线OB，AC交于点F，直线l平行于x轴，交二次函数y＝x2＋bx(b＜0)的图象于点M，N，连结DM，DN.当△DMN≌△FOC时，求t的值．【解析】(1)将B点坐标(4，12)代入y＝x2＋bx求出二次函数关系式，再用配方法或二次函数的顶点坐标公式解决问题；(2)分别用含b的代数式表示OE，AE的长，再运用二次函数的求最值的方法(配方法)求出OE·EA的最大值；(3)由△DMN≌△FOC可得MN＝CO＝t，再分别用含b，t的代数式表示出点M，N的坐标，将点M或点N的坐标代入y＝x2＋bx就可以求出t的值．解：(2)∵二次函数y＝x2＋bx与x轴交于点E，∴E(－b，0)．∴OE＝－b，AE＝4＋b.∴OE·EA＝－b(b＋4)＝－b2－4b＝－(b＋2)2＋4.∴当b＝－2时，OE·EA有最大值，其最大值为4.此时b＝－2，二次函数表达式为y＝x2－2x；(3)如答图，过D作DG⊥MN，垂足为G，过点F作FH⊥CO，垂足为H.∵△DMN≌△FOC，∴MN＝CO＝t，DG＝FH＝2.∵D－b2，－b24，∴N－b2＋t2，－b24＋2，即Nt－b2，8－b24.把x＝t－b2，y＝8－b24代入y＝x2＋bx，得8－b24＝t－b22＋b·t－b2，解得t＝±22，∵t＞0，∴t＝22.2．(15分)如图5－2－2，直线y＝kx＋m分别交y轴，x轴于A(0，2)，B(4，0)两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c过A，B两点．(1)求直线和抛物线的表达式；(2)设N(x，y)是(1)所得抛物线上的一个动点，过点N作直线MN垂直x轴交直线AB于点M，若点N在第一象限内．试问：线段MN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；(3)在(2)的情况下，以A，M，N，D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．【解析】(1)由直线y＝kx＋m分别交y轴、x轴于A(0，2)，B(4，0)两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c过A，B两点，利用待定系数法即可求得直线和抛物线的表达式；(2)假设x＝t时，线段MN的长度是最大值，可得Mt，－12t＋2，Nt，－t2＋72t＋2，则可得MN＝－t2＋72t＋2－－12t＋2＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4，然后由二次函数的最值问题，求得答案；(3)根据平行四边形的性质即可求得答案．解：(1)∵直线y＝kx＋m分别交y轴，x轴于A(0，2)，B(4，0)两点，∴m＝2，4k＋m＝0，解得m＝2，k＝－12.∴直线的表达式为y＝－12x＋2，将A(0，2)，B(4，0)分别代入抛物线，得c＝2，－16＋4b＋c＝0，解得b＝72，c＝2.∴抛物线的表达式为y＝－x2＋72x＋2；(2)存在．假设x＝t时，线段MN的长度是最大值，由题意，得Mt，－12t＋2，Nt，－t2＋72t＋2，∴MN＝－t2＋72t＋2－－12t＋2＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4，∴当t＝2时，MN有最大值4；(3)由题意可知，D的可能位置有如答图三种情形．当D在y轴上时，设D的坐标为(0，a)，由AD＝MN，得|a－2|＝4，解得a1＝6，a2＝－2，∴D(0，6)或D(0，－2)；当D不在y轴上时，由图可知D为D1N与D2M的交点，∵直线D1N的表达式为y＝－12x＋6，直线D2M的表达式为y＝32x－2，由两方程联立解得D(4，4)．综上可得，D的坐标为(0，6)，(0，－2)或(4，4)．3．(15分)如图5－2－3，抛物线y＝－x2＋6x交x轴正半轴于点A，顶点为M，对称轴MB交x轴于点B，过点C(2，0)作射线CD交MB于点D(D在x轴上方)，OE∥CD交MB于点E，EF∥x轴交CD的延长线于点F，作直线MF.(1)求点A，M的坐标；(2)当BD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？(3)当BD＝1时，①求直线MF的表达式，并判断点A是否落在该直线上；②延长OE交FM于点G，取CF中点P，连结PG，△FPG，四边形DEGP，四边形OCDE的面积分别记为S1，S2，S3，则S1∶S2∶S3＝__3∶4∶8__.解：(1)令y＝0，则－x2＋6x＝0，解得x1＝0，x2＝6，∴A(6，0)，∴对称轴是直线x＝3，∴M(3，9)；(2)∵OE∥CF，OC∥EF，C(2，0)，∴EF＝OC＝2，∴BC＝1，∴点F的横坐标为5，∵点F落在抛物线y＝－x2＋6x上，∴F(5，5)，BE＝5.∵BDDE＝CBOC＝12，∴DE＝2BD，∴BE＝3BD，∴BD＝53；(3)①当BD＝1时，BE＝3，∴F(5，3)．设MF的表达式为y＝kx＋b，将M(3，9)，F(5，3)代入，得9＝3k＋b，3＝5k＋b，解得k＝－3，b＝18，∴y＝－3x＋18.∵当x＝6时，y＝－3×6＋18＝0，∴点A落在直线MF上；②∵BD＝1，BC＝1，∴△BDC为等腰直角三角形，∴△OBE为等腰直角三角形，∴CD＝2，CF＝OE＝32，∴DP＝22，PF＝322，根据MF及OE的表达式求得点G的坐标为92，92，如答图，过点G作GN⊥EF交EF于点N，则EN＝GN＝32，∴EG＝322，S△FPG，S梯形DEGP，S梯形OCDE的高相等，所以三者面积比等于底之比，故S△FPG∶S梯形DEGP∶S梯形OCDE＝PF∶(DP＋EG)∶(DC＋OE)＝322∶22∶42＝32∶2∶4＝3∶4∶8.(35分)4．(15分)[2017·临沂]如图5－2－4，抛物线y＝ax2＋bx－3经过点A(2，－3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB.(1)求抛物线的表达式；(2)点D在y轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D的坐标；(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(1)本题需先根据已知条件，求出C点坐标，即OC，进而根据OC＝3OB求出点B的坐标，再根据过A，B两点，即可得出结果；(2)过点B作BE⊥x轴交AC的延长线于点E，由∠BDO＝∠BAC，∠BOD＝∠BEA＝90°得到Rt△BDO和Rt△BAE相似，得到OD，进而得到点D的坐标；(3)根据题意可知N点在对称轴x＝1上，而A，B，M，N四点构成平行四边形符合题意的有三种情况：①BM∥AN，AM∥BN；②BN∥AM，AB∥MN；③BM∥AN，AB∥MN，然后根据平行直线k相同可以得到点M的坐标．解：(1)令x＝0，由y＝ax2＋bx－3，得y＝－3，∴C(0，－3)，∴OC＝3，又∵OC＝3OB，∴OB＝1，∴B(－1，0)，把点B(－1，0)和A(2，－3)分别代入y＝ax2＋bx－3，得a－b－3＝0，4a＋2b－3＝－3，解得a＝1，b＝－2.∴该二次函数的表达式为y＝x2－2x－3.(2)如答图①，过点B作BE⊥x轴交AC的延长线于点E.∵∠BDO＝∠BAC，∠BOD＝∠BEA＝90°，∴Rt△BDO∽Rt△BAE，∴OD∶OB＝AE：BE，∴OD∶1＝3∶3，∴OD＝1，∴D点坐标为(0，1)或(0，－1)．第4题答图①第4题答图②(3)如答图②，M1(0，－3)，M2(－2，5)，M3(4，5)．5．(20分)[2017·邵阳]如图5－2－5所示，顶点为12，－94的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点M(2，0)．图5－2－5备用图(1)求抛物线的表达式；(2)点A是抛物线与x轴的交点(不与点M重合)，点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y＝x＋1上一点(处于x轴下方)，点D是反比例函数y＝kx(k>0)图象上一点．若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．【解析】(1)已知抛物线的顶点坐标，可设顶点式为y＝ax－122－94，再把点M(2，0)代入，可求a＝1，所以抛物线的表达式可求；(2)先分别求出A，B两点的坐标，及AB的长，再根据反比例函数y＝kx(k>0)，考虑点C在x轴下方，故点D只能在第一、三象限．确定菱形有两种情形：①菱形以AB为边，如答图①，过点D作y轴的垂线，交y轴于点N，因此，∠BDN＝∠GAO＝45°，BD＝AB，从而求出DN，NO，即D的坐标可求，从而k可求．②菱形以AB为对角线，如答图②，过点D作x轴的垂线，与x轴交于点F，与过点B作y轴的垂线交于点E，可证△DBE是等腰直角三角形，所以设BE＝DE＝x，则DF＝x－2，DB＝2x，在Rt△ADF中，AD＝BD＝2x，AF＝x＋1，利用勾股定理，构造关于x的方程，求出x，则D点坐标(x，x－2)可求，k可求．解：(1)依题意可设抛物线为y＝ax－122－94，将点M(2，0)代入可得a＝1，∴抛物线的表达式为y＝x－122－94＝x2－x－2；(2)当y＝0时，x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2，∴A(－1，0)，当x＝0时，y＝－2，∴B(0，－2)．在Rt△OAB中，OA＝1，OB＝2，∴AB＝5.设直线y＝x＋1与y轴的交点为点G，易求G(0，1)，∴Rt△AOG为等腰直角三角形，∴∠AGO＝45°.∵点C在y＝x＋1上且在x轴下方，而k>0，∴y＝kx的图象位于第一、三象限，故点D只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下两种情况：∴①菱形以AB为边且AC也为边，如答图①所示，过点D作DN⊥y轴于点N，在Rt△BDN中，∵∠DBN＝∠AGO＝45°，∴DN＝BN＝102，∴D－102，－102－2，点D在y＝kx(k>0)的图象上，∴k＝－102×－102－2＝52＋10.②菱形以AB为对角线，如答图②所示，作AB的垂直平分线CD交直线y＝x＋1于点C，交y＝kx的图象于点 D．再分别过点D，B作DE⊥x轴于点F，BE⊥y轴，DE与BE相交于点E.在Rt△BDE中，同①可证∠AGO＝∠DBO＝∠BDE＝45°，∴BE＝DE.设点D的坐标为(x，x－2)．∵BE2＋DE2＝BD2，∴BD＝2BE＝2x.∵四边形ACBD是菱形，∴AD＝BD＝2x.∴在Rt△ADF中，AD2＝AF2＋DF2，(2x)2＝(x＋1)2＋(x－2)2，解得x＝52，∴点D的坐标为52，12，点D在y＝kx(k>0)的图象上，∴k＝54.综上所述，k的值为52＋10或54.(20分)6．(20分)[2017·咸宁]如图5－2－6，抛物线y＝12x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB＝OC＝6.(1)求抛物线的表达式及点D的坐标；(2)连结BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB＝∠EDB时，求点F的坐标；(3)平行于x轴的直线交抛物线于M，N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ＝12MN时，求菱形对角线MN的长．【解析】(1)利用OB＝OC＝6得到点B(6，0)，C(0，－6)，将其代入抛物线的表达可求出b，c的值，进而得到抛物线的表达式，最后通过配方得到顶点坐标；(2)由于F为抛物线上一动点，∠FAB＝∠EDB，可以分两种情况求解：一是点F在x轴上方；二是点F在x轴下方．每一种情况都可以作FG⊥x轴于点G，构造Rt△AFG与Rt△DBE相似，利用对应边成比例或三角函数的定义求点F的坐标．(3)首先根据MN与x轴的位置关系画出符合要求的两种图形：一是MN在x轴上方；二是MN在x轴下方．设菱形对角线的交点T到x轴的距离为n，利用PQ＝12MN，得到MT＝2n，进而得到点M的坐标为(2＋2n，n)，再由点M在抛物线上，得n＝12(2＋2n)2－2(2＋2n)－6，求出n的值，最后可以求得MN＝2MT＝4n的两个值．解：(1)∵OB＝OC＝6，∴B(6，0)，C(0，－6)．∴12×62＋6b＋c＝0，c＝－6，解得b＝－2，c＝－6，∴抛物线的表达式为y＝12x2－2x－6.∵y＝12x2－2x－6＝12(x－2)2－8，∴点D的坐标为(2，－8)；(2)如答图①，当点F在x轴上方时，设点F的坐标为x，12x2－2x－6.过点F作FG⊥x轴于点G，易求得OA＝2，则AG＝x＋2，FG＝12x2－2x－6.∵∠FAB＝∠EDB，∴tan∠FAG＝tan∠EDB，即12x2－2x－6x＋2＝12，解得x1＝7，x2＝－2(舍去)．当x＝7时，y＝92，∴点F的坐标为7，92.当点F在x轴下方时，同理求得点F的坐标为5，－72.综上所述，点F的坐标为7，92或5，－72.(3)∵点P在x轴上，∴根据菱形的对称性可知点P的坐标为(2，0)．如答图②，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点．∵PQ＝12MN，∴MT＝2PT.设TP＝n，则MT＝2n.∴M(2＋2n，n)．∵点M在抛物线上，∴n＝12(2＋2n)2－2(2＋2n)－6，即2n2－n－8＝0.解得n1＝1＋654，n2＝1－654(舍去)．∴MN＝2MT＝4n＝65＋1.当MN在x轴下方时，设TP＝n，得M(2＋2n，－n)．∵点M在抛物线上，∴－n＝12(2＋2n)2－2(2＋2n)－6，即2n2＋n－8＝0.解得n1＝－1＋654，n2＝－1－654(舍去)．∴MN＝2MT＝4n＝65－1.综上所述，菱形对角线MN的长为65＋1或65－1.