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免费2018届中考数学《第四部分第五讲第1课时二次函数与三角形》同步练习含考点分类汇编详解第五讲二次函数综合型问题第1课时二次函数与三角形的综合(60分)1．(20分)[2016·杭州]已知函数y1＝ax2＋bx，y2＝ax＋bab≠0.在同一平面直角坐标系中，(1)若函数y1的图象过点(－1，0)，函数y2的图象过点(1，2)，求a，b的值；(2)若函数y2的图象经过y1的顶点，①求证：2a＋b＝0；②当1<x<32时，比较y1，y2的大小．解：(1)由题意，得a－b＝0，a＋b＝2，解得a＝1，b＝1，∴a＝1，b＝1；(2)①证明：∵函数y1的图象的顶点坐标为－b2a，－b24a，∴a－b2a＋b＝－b24a，即b＝－b22a，∵ab≠0，∴－b＝2a，∴2a＋b＝0；②∵b＝－2a，∴y1＝axx－2，y2＝ax－2，∴y1－y2＝ax－2x－1，∵1<x<32，∴x－2<0，x－1>0，∴x－2x－1<0，∴当a>0时，ax－2x－1<0，即y1<y2；∴当a<0时，ax－2x－1>0，即y1>y2.2．(20分)[2017·苏州]如图5－1－1，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OB＝OC.点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．(1)求b，c的值；(2)如图①，连结BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标；图5－1－1(3)如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N.试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．【解析】(1)根据二次函数的对称轴公式，将抛物线上的点代入，即可求出c的值；(2)求F的对称点，代入直线BE，即可；(3)构造新的二次函数，利用其性质求极值．解：(1)∵CD∥x轴，CD＝2，∴抛物线对称轴为直线l：x＝1.∴－b2＝1，b＝－2，∵OB＝OC，C(0，c)．∴点B的坐标为(－c，0)，∴0＝c2＋2c＋c，解得c＝－3或c＝0(舍去)，∴c＝－3.(2)设点F的坐标为(0，m)，∴对称轴为直线l：x＝1，∴点F关于直线的对称点F′的坐标为(2，m)．∵直线BE经过点B(3，0)，E(1，－4)，∴用待定系数法可得直线BE的表达式为y＝2x－6.∵点F′在BE上，∴m＝2×2－6＝－2，即点F的坐标为(0，－2)(3)存在点Q满足题意．设点P坐标为(n，0)，则PA＝n＋1，PB＝PM＝3－n，PN＝－n2＋2n＋3.作QR⊥PN，垂足为R，∵SAPM＝S△PQN，∴12(n＋1)(3－n)＝12(－n2＋2n＋3)QR，∴QR＝1.①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为(n－1，n2－4n)，R点的坐标为(n，n2－4n)，N点的坐标为(n，n2－2n－3)．∴在Rt△QRN中，NQ2＝1＋(2n－3)2，∴n＝32时，NQ取最小值．此时Q点的坐标为12，－154.②点Q在直线PN的右侧时，Q点坐标为(n＋1，n2－4)．同理，NQ2＝1＋(2n－1)2，∴n＝12时，NQ取最小值．此时Q点的坐标为32，－154.综上所述：满足题意的点Q的坐标为12，－154和32，－154.3．(20分)如图5－1－2所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC.(1)求A，B两点的坐标及抛物线的对称轴；(2)求直线l的函数表达式(其中k，b用含a的式子表示)；(3)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为54，求a的值；(4)设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．图5－1－2备用图解：(1)当y＝0时，ax2－2ax－3a＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)，对称轴为x＝－1＋32＝1；(2)∵直线l：y＝kx＋b过点A(－1，0)，∴k＝b，∴l：y＝kx＋k，又∵抛物线与直线l交于点A，∴ax2－(2a＋k)x－3a－k＝0，∵CD＝4AC，∴D的横坐标为4，∴－3－ka＝4，则k＝a，∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a；(3)如答图①，过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E(x，ax2－2ax－3a)，则F(x，ax＋a)，∴EF＝ax2－2ax－3a－(ax＋a)＝ax2－3ax－4a，∴S△ACE＝S△AEF－S△CEF＝12ax－322－258a，∵a＜0，∴当x＝32时，S△ACE去最大值54，即－258a＝54，解得a＝－25；(4)以A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形，令ax2－2ax－3a＝ax＋a，解得x1＝－1，x2＝4，∴D(4，5a)，∵抛物线的对称轴为x＝1，设P(1，m)，如答图②，若AD是矩形ADPQ的一条边，则易得Q(－4，21a)，m＝21a＋5a＝26a，∴AD2＋PD2＝AP2，52＋(5a)2＋32＋(26a－5a)2＝22＋(26a)2，∴a＝－77，P1，－2677；第3题答图②如答图③，若AD是矩形APDQ的一条对角线，则易得Q(2，－3a)，m＝5a－(－3a)＝8a，P＝(1，8a)，∴AP2＋PD2＝AD2，∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a－5a)2＝52＋(5a)2，∴a＝－12，P(1，－4)．综上所述，P的坐标为1，－2677或(1，－4)．(20分)4．(20分)[2016·湖州]如图5－1－3，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点A(3，1)，点C(0，4)，顶点为M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC.(1)求该二次函数的表达式及点M的坐标；(2)若将该二次函数图象向下平移m(m＞0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界)，求m的取值范围；(3)点P是直线AC上的动点，若点P，C，M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标．【解析】(1)将点A，C的坐标代入函数表达式，即可求出b，c的值，通过配方法得到点M的坐标；(2)点M是沿着对称轴直线x＝1向下平移的，可先求出直线AC的表达式，将x＝1代入求出点M在向下平移时与AC，AB相交时y的值，即可得到m的取值范围；(3)由题意，可得∠MCP＝90°，若△PCM与△BCD相似，则要进行分类讨论，分成△PCM∽△BDC和△PCM∽△CDB两种，然后利用边的对应比值求出点P坐标．解：(1)把点A(3，1)，C(0，4)分别代入二次函数y＝－x2＋bx＋c，得－9＋3b＋c＝1，c＝4，解得b＝2，c＝4，∴二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋4，配方得y＝－(x－1)2＋5，∴点M的坐标为(1，5)；(2)设直线AC的表达式为y＝kx＋n，把点A(3，1)，C(0，4)代入，得3k＋n＝1，n＝4，解得k＝－1，n＝4，∴直线AC的表达式为y＝－x＋4.如答图①，对称轴直线x＝1与△ABC两边分别交于点E，F.把x＝1代入直线AC的表达式y＝－x＋4，解得y＝3，则点E坐标为(1，3)，点F坐标为(1，1)，∴1＜5－m＜3，解得2＜m＜4；① ②第4题答图(3)如答图②，连结MC，作MG⊥y轴并延长交AC于点N，则点G坐标为(0，5)．∵MG＝1，GC＝5－4＝1，∴MC＝MG2＋GG2＝12＋12＝2，把y＝5代入y＝－x＋4，解得x＝－1，则点N坐标为(－1，5)，∵NG＝GC，GM＝GC，∴∠NCG＝∠GCM＝45°，∴∠NCM＝90°，由此可知，若点P在AC上，则∠MCP＝90°，则点D与点C必为相似三角形对应点，(Ⅰ)若有△PCM∽△BDC，则有MCCP＝CDBD，∵BD＝1，CD＝3，∴CP＝MC·BDCD＝2×13＝23，∵CD＝DA＝3，∴∠DCA＝45°，若点P在y轴右侧，作PH⊥y轴，∵∠PCH＝45°，CP＝23，∴PH＝23÷2＝13，把x＝13代入y＝－x＋4，解得y＝113，∴P113，113；同理可得，若点P在y轴左侧，则把x＝－13代入y＝－x＋4，解得y＝133，∴P2－13，133；(Ⅱ)若有△PCM∽△CDB，则有MCCP＝BDDC，∴CP＝2×31＝32，∴PH＝32÷2＝3，若点P在y轴右侧，把x＝3代入y＝－x＋4，解得y＝1；若点P在y轴左侧，把x＝－3代入y＝－x＋4，解得y＝7.∴P3(3，1)，P4(－3，7)．∴所有符合题意的点P坐标有4个，分别为P113，113，P2－13，133，P3(3，1)，P4(－3，7)．(20分)5．(20分)[2017·攀枝花]如图5－1－4，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的表达式；(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE＋EF的最大值；(3)点D为抛物线对称轴上一点；①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．图5－1－4备用图解：(1)由题意得32＋3b＋c＝0，c＝3.解得b＝－4，c＝3.∴抛物线的表达式为y＝x2－4x＋3.(2)方法1：如答图①，过P作PG∥CF交CB于G，由题意知∠BCO＝∠CFE＝45°，F(0，m)，C(0，3)，∴△CFE和△GPE均为等腰直角三角形，∴EF＝22CF＝22(3－m)，PE＝22PG，设xP＝t(1＜t＜3)，则PE＝22PG＝22(－t＋3－t－m)＝22(－m－2t＋3)，∵t2－4t＋3＝t＋m，∴PE＋EF＝22(－m－2t＋3)＋22(3－m)＝22(－2t－2m＋6)＝－2(t＋m－3)＝－2(t2－4t)＝－2(t－2)2＋42，∴当t＝2时，PE＋EF最大值42.第5题答图①第5题答图②方法2：(几何法)由题意知直线BC的表达式为y＝－x＋3，OC＝OB＝3，∴∠OCB＝45°.同理可知∠OFE＝45°，∴△CEF为等腰直角三角形，如答图②，以BC为对称轴将△FCE对称得到△F′CE，作PH⊥CF′于H点，则PF＋EF＝PF′＝2PH.又∵PH＝yC－yP＝3－yP.∴当yP最小时，PF＋EF取最大值，∵抛物线的顶点坐标为(2，－1)，∴当yP＝－1时，(PF＋EF)max＝2×(3＋1)＝42.(3)①由(1)知对称轴为x＝2，设D(2，n)，如答图③.当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D在C上方D1位置时由勾股定理得CD2＋BC2＝BD2，即(2－0)2＋(n－3)2＋(32)2＝(3－2)2＋(0－n)2，解得n＝5；当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D在C下方D2位置时，由勾股定理，得BD2＋BC2＝CD2，即(2－3)2＋(n－0)2＋(32)2＝(2－0)2＋(n－3)2，解得n＝－1.∴当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D点坐标为(2，5)或(2，－1)．第5题答图③第5题答图④②如答图④，以BC的中点T(3，3)，为圆心12BC为半径作⊙T，与对称轴x＝2交于D3和D4，由直径所对的圆周角是直角得∠CD3B＝∠CD4B＝90°，设D(2，m)，由DT＝12BC＝322，得32－22＋32－m2＝3222，解得m＝3±172，∴D32，3＋172，D42，3－172，又由①得D1(2，5)，D2(2，－1)，∴若△BCD是锐角三角形，则点D在线段D1D3或D2D4上(不与端点重合)，故点D的纵坐标的取值范围是－1＜yD＜3－172或3＋172＜yD＜5.