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免费2018届中考数学《第四部第五讲第3课时二次函数与相似三角形》同步练习含考点分类汇编详解第3课时二次函数与相似三角形的综合(35分)1．(15分)[2017·宜昌]已知抛物线y＝ax2＋bx＋c，其中2a＝b>0>c，且a＋b＋c＝0.(1)直接写出关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根；(2)证明：抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点A在第三象限；(3)直线y＝x＋m与x，y轴分别相交于B，C两点，与抛物线y＝ax2＋bx＋c相交于A，D两点．设抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴与x轴相交于E，如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F，使得△ADF与△BOC相似，并且S△ADF＝12S△ADE，求此时抛物线的表达式．【解析】(1)利用抛物线的对称轴、对称性及二次函数与方程的关系数形结合得出二次方程的根；(2)确定抛物线的顶点位置一可借助数形结合，二可借助顶点坐标的正负性；(3)借助一次函数与二次函数的关系确定与求解相关点的坐标，将坐标转化为相应的线段长，进而借助题意中的相似及面积关系等构建方程求解未知系数的值．解：(1)ax2＋bx＋c＝0的一个根为1(或者－3)；(2)证明：∵b＝2a，∴对称轴x为＝－b2a＝－1，将b＝2a代入a＋b＋c＝0，得c＝－3a.∵a＝b>0>c，∴b2－4ac>0，∴4ac－b24a<0，∴顶点A－1，4ac－b24a在第三象限；(3)∵b＝2a，c＝－3a，∴x＝－b±b2－4ac2a＝－2a±4a2a，∴x1＝－3，x2＝1，∴函数表达式为y＝ax2＋2ax－3a，∵直线y＝x＋m与x轴、y轴分别相交于B，C，两点，则OB＝OC＝|m|，∴△BOC是以∠BOC为直角的等腰直角三角形，这时直线y＝x＋m与对称轴x＝－1的夹角∠BAE＝45°.又∵点F在对称轴左侧的抛物线上，则∠BAE>45°，这时△BOC与△ADF相似，顶点A只可能对应△BOC中的直角顶点O，即△ADF是以A为直角顶点的等腰直角三角形，且对称轴是x＝－1，设对称轴x＝－1与OF交于点G，∵直线y＝x＋m过顶点A，∴m＝1－4a，∴直线表达式为y＝x＋1－4a，解方程组y＝x＋1－4a，y＝ax2＋2ax－3a，解得x1＝－1，y1＝－4a，x2＝1a－1，y2＝1a－4a，这里的(－1，4a)即为顶点A，点1a－1，1a－4a即为点D的坐标，D点到对称轴x＝－1的距离为1a－1－(－1)＝1a，AE＝|－4a|＝4a，S△ADE＝12×1a×4a＝2，即它的面积为定值．这时等腰直角三角形ADF的面积为1，∴底边DF＝2，而x＝－1是它的对称轴，这时D，C重合且在y轴上，由1a－1＝0，∴a＝1，此时抛物线的表达式y＝x2＋2x－32．(20分)[2016·广州一模]如图5－3－1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点B的坐标为(3，0)，直线y＝－x＋3恰好经过B，C两点．(1)写出点C的坐标；(2)求出抛物线y＝x2＋bx＋c的表达式，并写出抛物线的对称轴和点A的坐标；(3)点P在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为D且∠APD＝∠ACB，求点P的坐标．【解析】(1)由直线y＝－x＋3可求出点C坐标；(2)由B，C两点坐标便可求出抛物线方程，从而求出抛物线的对称轴和A点坐标；(3)作辅助线AE，由三角形的两个角相等，证明△AEC∽△AFP，根据两边成比例，便可求出PF的长度，从而求出P点坐标．解：(1)y＝－x＋3与y轴交于点C，故C(0，3)；(2)∵抛物线y＝x2＋bx＋c过点B，C，∴9＋3b＋c＝0，c＝3，解得b＝－4，c＝3，∴抛物线的表达式为y＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)，∴对称轴为直线x＝2，点A(1，0)；(3)由y＝x2－4x＋3，可得D(2，－1)，A(1，0)；∴OB＝3，OC＝3，OA＝1，AB＝2，可得△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°，CB＝32.如答图，设抛物线对称轴与x轴交于点F，∴AF＝12AB＝1.过点A作AE⊥BC于点E.∴∠AEB＝90°.可得BE＝AE＝2，CE＝22.在△AEC与△AFP中，∠AEC＝∠AFP＝90°，∵∠ACE＝∠APF，∴△AEC∽△AFP.∴AEAF＝CEPF，21＝22PF，解得PF＝2.∵点P在抛物线的对称轴上，∴点P的坐标为(2，2)或(2，－2)．(40分)3．(20分)如图5－3－2，若关于x的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0，c＞0，a，b，c是常数)与x轴交于两个不同的点A(x1，0)，B(x2，0)(0＜x1＜x2)，与y轴交于点P，其图象顶点为M，点O为坐标原点．(1)当x1＝c＝2，a＝13时，求x2与b的值；(2)当x1＝2c时，试问△ABM能否等边三角形？判断并证明你的结论；(3)当x1＝mc(m＞0)时，记△MAB，△PAB的面积分别为S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1＝S2，求m的值．解：(1)设ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，把a＝13，c＝2代入，得13x2＋bx＋2＝0，∵x1＝2是它的一个根，∴13×22＋2b＋2＝0，解得b＝－53，∴方程为13x2－53x＋2＝0，∴另一个根为x2＝3；(2)当x1＝2c时，x2＝cax1＝12a，此时b＝－a(x1＋x2)＝－2ac＋12，4ac＝－2b－1，∵M－b2a，4ac－b24a，当△ABM为等边三角形时4ac－b24a＝32AB，即4ac－b24a＝3212a－2c，∴b2＋2b＋1＝3(1＋2b＋1)，解得b1＝－1，b2＝23－1(舍去)，此时4ac＝－2b－1，即2c＝12a，A，B重合，∴△ABM不可能为等边三角形；(3)∵△BPO∽△PAO，∴OPAO＝BOOP，即x1x2＝c2＝ca，∴ac＝1，a＝1c，由S1＝S2得c＝4ac－b24a＝b24a－c，∴b2＝4a·2c＝8ac＝8，∴b1＝－22，b2＝22(舍去)，方程可变形为1cx2－22x＋c＝0，∴x1＝22－42·1c＝22－22·1c＝(2－1)c，x2＝22＋42·1c＝(2＋1)c，∵x1＜x2，x1＝mc，∴mc＝(2－1)c，∴m＝2－1.4．(20分)[2017·潍坊]如图5－3－3，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过?ABCD的顶点A(0，3)，B(－1，0)，D(2，3)，抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将?ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F.点P为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t.(1)求抛物线的表达式；(2)当t为何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；(3)是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．图5－3－3备用图【解析】(1)利用待定系数法列方程组求解抛物线的表达式；(2)由平行四边形的对称性可知直线l必过其对称中心，同时利用抛物线的对称性确定E点坐标，进而可求直线l的表达式，结合二次函数表达式确定点F的坐标．作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，列出PM关于t的表达式，最后利用三角形的面积得S△PFE关于t的表达式，利用二次函数的最值求得t值，从而使问题得以解决；(3)分两种情形讨论：①若∠P1AE＝90°，作P1G⊥y轴，易得P1G＝AG，由此构建一元二次方程求t的值；②若∠AP2E＝90°，作P2K⊥x轴，AQ⊥P2K，则△P2KE∽△AQP2，由此利用对应边成比例构建一元二次方程求t的值．解：(1)将点A(0，3)，B(－1，0)，D(2，3)代入y＝ax2＋bx＋c，结得c＝3，a－b＋c＝0，4a＋2b＋c＝3，得a＝－1，b＝2，c＝－1，则抛物线表达式为y＝－x2＋2x＋3；(2)∵直线l将?ABCD分割为面积相等的两部分，∴必过其对称中心12，32.由点A，D知，抛物线对称轴为x＝1，∴E(3，0)，设直线l的表达式为y＝kx＋m，代入点12，32和(3，0)，得12k＋m＝32，3k＋m＝0，解得k＝－35，m＝95.∴直线l的表达式为y＝－35x＋95.由y＝－35x＋95，y＝－x2＋2x＋3，解得xF＝－25.如答图①，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH.点P的纵坐标为yP＝－t2＋2t＋3，点M的纵坐标为yM＝－35t＋95.∴PM＝yP－yM＝－t2＋2t＋3＋35t－95＝－t2＋135t＋65.则S△PFE＝S△PFM＋S△PEM＝12PM·FN＋12PM·EH＝12PM·(FN＋EH)＝12－t2＋135t＋653＋25＝－1710t－13102＋289100×1710∴当t＝1310时，△PFE的面积最大，最大值的立方根为3289100×1710＝1710.(3)由图可知∠PEA≠90°.①若∠P1AE＝90°，如答图②，作P1G⊥y轴，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝45°，∴∠P1AG＝∠AP1G＝45°，∴P1G＝AG.∴t＝－t2＋2t＋3－3，即－t2＋t＝0，解得t＝1或0(舍去)．②若∠AP2E＝90°，作P2K⊥x轴，AQ⊥P2K，则△P2KE∽△AQP2，∴P2KAQ＝KEP2Q，∴－t2＋2t＋3t＝3－t－t2＋2t，即t2－t－1＝0，解得t＝1＋52或1－52＜－25(舍去)．综上可知t＝1或1＋52符合题意．(25分)5．(25分)[2017·盐城]如图5－3－4，在平面直角坐标系中，直线y＝12x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C.抛物线y＝－12x2＋bx＋c经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点．①连结BC，CD.设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求S1S2的最大值；②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连结CD.是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．图5－3－4备用图【解析】(1)先求出直线y＝12x＋2与x轴交点A的坐标，与y轴交点B的坐标，再将点A，B的坐标代入抛物线的函数表达式即可求解；(2)①过点C作CH⊥BD交BD于点H，则CH是△CDE与△BCE的高线，所以S1S2＝DEBE，分别过点D，B作DM∥y轴、BN⊥x轴，DM交AC于点M，BN交AC于点N，则DEBE＝DMBN.由抛物线的函数表达式求出点B的坐标，进而可求出点N的坐标，得到BN的长；设Dt，－12t2－32t＋2，表示出点M的坐标为t，12t＋2，可得DM＝－12t2－2t，于是S1S2转化为关于t的二次函数，从而求得最大值；②分三种情形求解：(Ⅰ)∠DFC＝2∠BAC；(Ⅱ)∠CDF＝2∠BAC；(Ⅲ)∠FCD＝2∠BAC.情形(Ⅰ)通过判断∠BAC的度数确定是否存在；情形(Ⅱ)可通过作∠BAC关于轴的对称图形构成出2∠BAC，再过点C作平行线求解；情形(Ⅲ)在x轴负半轴取点P，使CP＝AP，构成出2∠BAC再求解．解：(1)在y＝12x＋2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝－4.∴C(0，2)，A(－4，0)．代入y＝－12x2＋bx＋c，得2＝c，0＝－12×16－4b＋c，解得b＝－32，c＝2.∴抛物线的函数表达式为y＝－12x2－32x＋2.(2)如答图①，过点C作CH⊥BD于点H，则S1＝12DE·CH，S2＝12BE·CH.∴S1S2＝DEBE.过点D作DM∥y轴，交AC于点M，过点B作BN⊥x轴交AC于点N，则DM∥BN.∴DEBE＝DMBN.在y＝－12x2－32x＋2中，当y＝0时，－23x2－43x＋2＝0，解得x＝－4或1.∴B(1，0)．当x＝1时，y＝12x＋2＝52.∴N1，52，BN＝52.设Dt，－12t2－32t＋2，则Mt，12t＋2.∴DM＝－12t2－32t＋2－12t＋2＝－12t2－2t.∴S1S2＝－12t2－2t52＝－15(t＋2)2＋45.∴当t＝－2时，S1S2取最大值45.②∵A(－4，0)，B(1，0)，C(0，2)，∴OA＝4，OB＝1，OC＝2.OCOA＝24＝12，OBOC＝12.又∵∠AOC＝∠BOC＝90°，∴△AOC∽△COB.∴∠ACO＝∠ABC.(Ⅰ)∵tan∠BAC＝OCOA＝12≠1，∴∠BAC≠45°.∴∠DFC≠2∠CAB.(Ⅱ)当∠DCF＝2∠CAB时，如答图②，作点C关于x轴的对称点G，连结AG，则∠CAB＝∠GAB，G(0，－2)．∴∠CAG＝2∠CAB.设直线AG的函数表达式为y＝kx＋d(k≠0)．把A(－4，0)，G(0，－2)代入，得0＝－4k＋d，－2＝d，解得k＝－12，d＝－2.∴直线AG的函数表达式为y＝－12x－2.过点C作CD∥AG交第二象限内的抛物线于点D，则∠DCF＝∠CAG＝2∠CAB，且直线CD的函数表达式为y＝－12x＋2.由－12x＋2＝－12x2－32x＋2，解得x1＝0(舍去)，x2＝－2.∴点D的横坐标为－2.(Ⅲ)当∠CDF＝2∠CAB时，如答图③，在x轴负半轴上取点P，使CP＝AP.∴∠CAB＝∠ACP，∴∠CPO＝∠CAB＋∠ACP＝2∠CAB.设OP＝m，则CP＝AP＝4－m.在Rt△OCP中，由勾股定理，得OP2＋OC2＝CP2.∴m2＋22＝(4－m)2.解得m＝32，即OP＝32.∴tan∠CDF＝tan∠CPO＝COOP＝43.∴CFDF＝43.过点F作QK∥x轴交y轴于点K，过点D作DQ∥y轴交QK于Q，则∠Q＝∠FKC＝90°，∠CFK＋∠FCK＝90°，KCOC＝FKOA.∴KC2＝FK4，即FK＝2KC.∵DF⊥AC，∴∠CFK＋∠DFQ＝90°.∴∠FCK＝∠DFQ.又∵∠Q＝∠FKC，∴△FKC∽△DQF.∴KCQF＝FKDQ＝CFDF＝43.设QF＝3n，则KC＝4n，FK＝8n，DQ＝6n，OK＝2－4n.∴D(－11n，2＋2n)，代入y＝－12x2－32x＋2，得2＋2n＝－12×(－11n)2－32x(－11n)＋2.解得n1＝0(不合题意，舍去)，n2＝29121.∴－11n＝－2911，即点D的横坐标为－2911.综上诉述，点D的横坐标为－2或－2911.