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免费2018届中考数学《第四部第五讲第4课时二次函数与圆的综合》同步练习含考点分类汇编详解第4课时二次函数与圆的综合(40分)1．(20分)[2017·株洲]已知二次函数y＝－x2＋bx＋c＋1.(1)当b＝1时，求这个二次函数的对称轴的方程；(2)若c＝－14b2－2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切；(3)如图5－4－1，若二次函数的图象与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，且x1＜x2，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好经过点M，二次函数的对称轴l与x轴，直线BM，直线AM分别相交于点D，E，F，且满足DEEF＝13，求二次函数的表达式．解：(1)二次函数的对称轴为x＝－b2a，∵a＝－1，b＝1，∴x＝12；(2)与x轴相切就是与x轴只有一个交点，即－x2＋bx－14b2－2b＋1＝0有相等的实数根，∴Δ＝b2－4×(－1)×－14b2－2b＋1＝0∴－8b＋4＝0，解得b＝12，即b＝12时，函数图象与x轴相切；(3)∵AB是半圆的直径，∴∠AMB＝90°，∴∠OAM＋∠OBM＝90°，∵∠AOM＝∠MOB＝90°，∴∠OAM＋∠OMA＝90°，∴∠OMA＝∠OBM，∴△OAM∽△OMB，∴OAOM＝OMOB，∴OM2＝OA·OB，∵二次函数的图象与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，∴OA＝－x1，OB＝x2，x1·x2＝－(c＋1)，∵OM＝c＋1，∴(c＋1)2＝c＋1，解得c＝0或－1(舍去)，∴c＝0，OM＝1，∴y＝－x2＋bx＋1，∴x1·x2＝－1，x1＋x2＝b，设A(m，0)(m＜0)，则B(－1m，0)，b＝m2－1m，对称轴为x＝b2＝m2－12m，∵yAM经过点A(m，0)，M(0，1)，∴yAM＝－1mx＋1，∵yBM经过点B(－1m，0)，M(0，1)，∴yBM＝mx＋1，∵xE＝m2－12m，∴yE＝m2＋12，DE＝m2＋12，∵xF＝m2－12m，∴yF＝m2＋12m2，∵DEEF＝13，∴DEDF＝14，∴m2＋12m2＋12m2＝14，∴m2＝14(m＜0)，解得m＝－12，∴b＝m2－1m＝32，∴y＝－x2＋32x＋1.2．(20分)如图5－4－2，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与⊙M相交于A，B，C，D四点，其中A，B两点坐标分别为(－1，0)，(0，－2)，点D在x轴上且AD为⊙M的直径，E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧ED︵上的点F作FH⊥AD于点H，且FH＝1.5.(1)求点D的坐标及抛物线的表达式；(2)若P是x轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．解：(1)如答图，连结MB，设⊙M的半径为r.∵A(－1，0)，B(0，－2)，∴在Rt△OMB中，OB＝2，OM＝r－1，由勾股定理，得22＋(r－1)2＝r2.∴r＝52.∴AD＝5.∴点D的坐标是(4，0)．∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(－1，0)，B(0，－2)，D(4，0)，a－b＋c＝0，c＝－2，16a＋4b＋c＝0，解得a＝12，b＝－32，c＝－2.∴抛物线的表达式为y＝12x2－32x－2；(2)如答图，连结BF，与x轴相交于点P，则点P即为所求．连结MF.∵在△MFH中，MF＝2.5，FH＝1.5，∴MH＝MF2－FH2＝2.∴OH＝3.5.由题意，得△POB∽△PHF，∴OPPH＝OBFH.即OP3.5－OP＝21.5.∴OP＝2.∴△PEF的周长最小时，点P的坐标是(2，0)．(3)存在．Q132，52，Q232，－52，Q332，－4，Q432，－2516.(40分)3．(20分)[2016·齐齐哈尔]如图5－4－3，对称轴为直线x＝2的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为(－1，0)．(1)求抛物线的表达式；(2)直接写出B，C两点的坐标；(3)求过O，B，C三点的圆的面积(结果用含π的代数式表示)．解：(1)由A(－1，0)，对称轴为x＝2，可得－b2＝2，1－b＋c＝0，解得b＝－4，c＝－5，∴抛物线表达式为y＝x2－4x－5；(2)由A点坐标为(－1，0)，且对称轴方程为x＝2，可知AB＝6，∴OB＝5，∴B点坐标为(5，0)，∵y＝x2－4x－5，∴C点坐标为(0，－5)；(3)如答图，连结BC，则△OBC是直角三角形，∴过O，B，C三点的圆的直径是线段BC的长度，在Rt△OBC中，OB＝OC＝5，∴BC＝52，∴圆的半径为522，∴S＝π5222＝252π.4．(20分)[2017·绵阳]如图5－4－4，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的顶点坐标是(2，1)，并且经过点(4，2)．直线y＝12x＋1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，⊙C与直线m交于对称轴右侧的点M(t，1)．直线m上每一点的纵坐标都等于1.(1)求抛物线的表达式；(2)证明：⊙C与x轴相切；(3)过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F.求BE∶MF的值．解：(1)设抛物线顶点式为y＝a(x－h)2＋k，∵抛物线的顶点坐标是(2，1)，∴y＝a(x－2)2＋1，又∵抛物线经过点(4，2)，∴2＝a(4－2)2＋1，解得a＝14，∴抛物线的表达式y＝14(x－2)2＋1＝14x2－x＋2.(2)证明：联立y＝14x2－x＋2，y＝12x＋1，消去y，整理得x2－6x＋4＝0，解得x1＝3－5，x2＝3＋5，代入直线方程，解得y1＝52－52，y2＝52＋52，∴B3－5，52－52，D3＋5，52＋52，∵点C是BD的中点，∴点C的纵坐标为y1＋y22＝52，利用勾股定理，可算出BD＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝5，即半径R＝52，即圆心C到x轴的距离等于半径R，∴⊙C与x轴相切．(3)法一：如答图①，连结BM和DM，∵BD为直径，∴∠BMD＝90°，∴∠BME＋∠DMF＝90°，又∵BE⊥m于点E，DF⊥m于点F，∴∠BME＝∠MDF，∴△BME∽△MDF，∴BEMF＝EMDF，即y1－1x2－t＝t－x1y2－1，代入得32－52（3＋5）－t＝t－（3－5）32＋52，化简得(t－3)2＝4，解得t＝5或1，∵点M在对称轴右侧，∴t＝5，∴BEMF＝5＋12.法二：如答图②，过点C作CH⊥m，垂足为H，连结DM，由(2)知CM＝R＝52，CH＝R－1＝32，由勾股定理，得MH＝2，∵HF＝x2－x12＝5，∴MF＝HF－MH＝5－2，又∵BE＝y1－1＝32－52，∴BEMF＝5＋12.第4题答图①第4题答图②(20分)5．(20分)[2017·鄂州]如图5－4－5，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3(a＜0)与x轴交于A(3，0)，B两点，与y轴交于点C.抛物线的对称轴是直线x＝1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE＝12.(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；(2)求证：直线DE是△ACD外接圆的切线；(3)在直线AC上方的抛物线上找一点P，使S△PAC＝12S△ACD，求点P的坐标；(4)在坐标轴上找一点M，使以点B，C，M为顶点的三角形与△ACD相似，直接写出点M的坐标．【解析】(1)利用点A(3，0)及对称轴是直线x＝1即可求解；(2)先证明△ACD是直角三角形，再证明∠ADE＝90°；(3)设P(t，－t2＋2t＋3)先求出△ACD的面积，再用含t的式子表示△PAC的面积，最后解方程求得t的值，从而得到点P的坐标；(4)∵△ACD是直角三角形，∴△BCM也为直角三角形，分B为直角顶点，C为直角顶点，M为直角顶点三种情形求解．解：(1)把A(3，0)代入y＝ax2＋bx＋3，得0＝9a＋3b＋3.①∵抛物线的对称轴为x＝1.∴－b2a＝1.②解①②组成的方程组，得a＝－1，b＝2.∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴D的坐标是(1，4)．(2)证明：在y＝－x2＋2x＋3中，当x＝0时，y＝3.∴C(0，3)，OC＝3.∵A(3，0)，∴OA＝3.在△OAC中，由勾股定理得AC2＝18.如答图①，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，则DF＝4，AF＝2.在△ADF中，同理可求AD2＝20.过点D作DG⊥y轴，垂足为点G，则DG＝1，CG＝1.在△CDG中，同理可求CD2＝2.∵AC2＋CD2＝18＋2＝20，∴AC2＋CD2＝AD2.∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°.∴AD是△ACD外接圆的直径．∵CG＝DG＝1，DG⊥y轴，∴∠GCD＝45°.过点E作EH⊥CD，垂足为点H.则EH＝CH＝EC2＝122＝24.∵CD2＝2，AC2＝18，∴CD＝2，AC＝32.∴DH＝2－24＝324.在△DEH中，tan∠EDH＝EHDH＝24324＝13.在△ACD中，tan∠DAC＝CDAC＝232＝13.∴∠EDH＝∠DAC.∵∠ACD＝90°，∴∠DAC＋∠ADC＝90°.∴∠EDH＋∠ADC＝90°，即∠ADE＝90°.∴AD⊥DE.∴DE是△ACD外接圆的切线．(3)∵CD＝2，AC＝32.∴S△ACD＝12AC·CD＝3.设直线AC的函数表达式为y＝mx＋n.把A(3，0)，C(0，3)代入，得0＝3m＋n，3＝n.解得m＝－1，n＝3.∴直线AC的函数表达式为y＝－x＋3.设P(t，－t2＋2t＋3)，如答图②，过点P作PK∥y轴交AC于点K，交x轴于点Q.∴K(t，－t＋3)．∴PK＝－t2＋2t＋3－(－t＋3)＝－t2＋3t.∵S△PAC＝S△PCK＋S△PAK＝12PK·OQ＋12PK·AQ＝12PK(OQ＋AQ)＝12PK·OA＝12(－t2＋3t)×3＝－32t2＋92t.∵S△PAC＝12S△ACD，∴－32t2＋92t＝32，解得t1＝3＋52，t2＝3－52.当t＝3＋52时，－t2＋2t＋3＝5－52；当t＝3－52时，－t2＋2t＋3＝5＋52.∴P3＋52，5－52或3－52，5＋52.(4)0，－13，(9，0)，(0，0)．提示：∵△ACD是直角三角形，△ACD与△BCM相似，∴△BCM是直角三角形．∵抛物线的对称轴是直线x＝1，A(3，0)，∴B(－1，0)，OB＝1.连结BC.∵OBOC＝13，CDAC＝13，又∵∠ACD＝∠BOC，∴△ACD∽△COB.∴△BCM与△COB相似．当点B为直角顶点时，如答图③，过点B作BM1⊥BC交x轴于点M1.∴∠CBO＋∠OBM1＝90°.∵∠BOC＝90°，∴∠CBO＋∠OCB＝90°.∴∠OBM1＝∠OCB.又∵∠COB＝∠BOM1＝90°，∴△OBC∽△OM1B.∴OBOM1＝OCOB，即1OM1＝31.∴OM1＝13.∴M10，－13.当点C为直角顶点时，如答图④，过点C作CM2⊥BC交x轴于点M2.同理可求OM2＝9.∴M2(9，0)．当点M为直角顶点时，如答图⑤，以BC为直径作⊙N.∵∠BOC＝90°，∴点O在⊙N上，此时点M3在点O处，即M3(0，0)．综上所述，点M的坐标为0，－13，(9，0)，(0，0)．